Resumé

SUMMARY: This article intends to systematize the necessary information for an agent to diversify her portfolio through international capital markets. Focus is on a Danish investor. optimal portfolio is found, presuming prices can be described by Brownian motions, to which the Random Walk processes are the discreet version. Empirical solutions found for stockmarkets and moneymarkets in six countries. It seems prices can be described by Random Walk models, but ARIMA-models improve the description. Those models are used to forecast prices, and the results are promising.

1. Indledning

Denne artikel søger at systematisere den information, som en agent må inddrage i sine om at sprede sin portefølje på internationale markeder. I forhold til udelukkende placere sin portefølje på det indenlandske marked giver adgang til internationale større muligheder for agenten. For at drage fordel af dette potentiale må imidlertid kræves, at agenten dels har kendskab til prisudviklingen på de enkelte markeder og samvariationen mellem markederne, dels er i stand til at udnytte dette kendskab konsistent vis.

Ved at anvende en porteføljemodel søges agentens nytte maksimeret ved at afveje det forventede reale afkast i danske kroner mod den forventede risiko. Løsningen på dette optimeringsproblem bliver en portefølje spredt på markeder, der tager hensyn til afkast og risiko; men hvor agentens endelige porteføljevalg beror på agentens risikoaversion.

Porteføljemodellen er kun anvendelig, hvis agenten har kendskab til aktivernes prisudvikling. artiklen efterprøves de fordelinger, der ligger bag den betragtede porteføljemodel, aktie- og pengemarkeder i seks lande. Fordelingsantagelserne er rimeligt opfyldt.

Agenten må søge at forudsige prisudviklingen på markederne for på baggrund af disseestimater danne sin portefølje. Til disse forudsigelser benyttes den systematiske statistiskesammenhæng egenprisudviklingen, som er estimeret. Eftersom der er langt flereforhold egenprisudviklingen, der influerer på et aktivs prisdannelse, kan udnyttelseaf

---

Artiklen er baseret på min afsluttende opgave »Aspekter af internationalt porteføljevalg« og har derfor ingen med mit nuværende arbejde i Danmarks Nationalbank. Jeg ønsker at takke professor Niels Thygesen, lektor Niels Erik Jensen, prokurist Ib Hansen samt fuldmægtig Jan Giehm Mikkelsen for værdifulde Artiklen er tildelt Zeuthen-prisen.

seafden statistiske sammenhæng ikke være dækkende; men ved at udnytte den danske
prisudviklings sammenhæng med den udenlandske forbedres modellernes forudsigelsesevnenævneværdigt.

Dersom agenten beskattes af sit afkast, må denne beskatning inddrages i porteføljeovervejelserne.
forhold betragtes sidst i artiklen.

2. En porteføljemodel med Brownske prisbevægelser

Vi vil først finde den optimale porteføljesammensætning for en agent, der maksimerer
reale fremtidige forbrugsmulighed og anser prisdannelsen for eksogent givet.
Modellen er fra Branson & Henderson 1985.

2.1 2-lande model

I første omgang betragtes en 2-lande model, hvorved formuen W opdeles på udenlandske EF {E angiver valutakursen målt som antal indenlandske enheder for hver udenlandsk valutaenhed, mens F angiver det udenlandske aktiv bcnæ-.nt i de:; udenlandske valuta) med andelen A og på indenlandske B med andelen (1^—A).

2.1

Uden valutasikring af de udenlandske beløb er de udenlandske afkast målt i indenlandsk sammensat af et rente- samt et valutakursafkast. Agenten kan frit både låne og placere og kan herved geare sin portefølje i det omfang, hun ønsker. Der ses bort fra andre placeringsmuligheder. Endvidere antages, at der kan placeres og lånes i de respektive i vilkårlige enheder, ligesom det udenlandske og indenlandske aktiv udover afkastfordelingen er perfekte substitutter.

Den procentvise ændring i aktivpriser, det indenlandske prisindeks Q og valutakursen følger en geometrisk Brownskproces med drift, hvilket giver prisfordelingerne matematiske egenskaber. For en diskussion af disse antagelser henvises til Adler & Dumas 1983.

De direkte renteafkast i og / * på hhv. B og F er ikke-stokastiske.'

Både afkast og valutakurs forudsættes bestemt uden for modellen, og modellen omtaler om agentens forventninger til de fremtidige variable. Det må derfor kræves, at agenten har fuldt kendskab til de underliggende fordelinger. Processen for indenlandske priser og valutakurs antages at kunne beskrives som følger.

---

1. Der tages ikke eksplicit hensyn til kursgevinster ved placering på rentekurven, idet sådanne gevinster ikke modellens resultater. Alternativt kan man sige, at vi betragter en horisont, inden for hvilken vi har fuldt overblik over valutakurs- og børskursgevinster/tab.

1.2a

2.2b

2.2c

2.2d

hvor eog 7Tq er driften i henholdsvis valutakurs og det indenlandske prisniveau, mens cre 2e2
og crq2q2 er variansen for den stokastiske proces og Ze og Zq er den til processen hørende
hvid støj (Wienerproces).

Når aktivernes fordeling herved er en stationær logaritmisk normalfordeling, og hvis investor har en homotetisk nyttefunktion med konstant relativ risikoaversion, kan det vises 1971), at der kan dannes en tidsinvariant porteføljeregel, der er ækvivalent med periodevist at maksimere en lineær funktion af det gennemsnitlige reale afkast og variansen.

Agentens nyttemaksimering kan derfor beskrives ved en maksimering af en kriteriefunktion,
er en lineær funktion af afkast og varians. Med risikoaversionen R betragter
& Henderson følgende kriteriefunktionen V:

2.3

hvor den reale formue w er givet ved

2.4

Taylors rækkeudvikling benyttes til at udregne differentialet for w, hvorved porteføljens
afkast kan findes til

2.5

Det forventede afkast er givet ved det nominelle afkast (\-k) i + k(i *+e), der deflateres driften for prisuviklingen ir_q og iøvrigt korrigeres for samvariationen mellem valutakurs og prisindeks. agea_qe angiver covariansen mellem prisudvikling og inflation. På tilsvarende vis findes udtrykket for variansen:

2.6

2.5 og 2.6 indsættes i nyttefunktionen 2.3, der maksimeres ved differentiering m.h.t. A
for at finde førsteordensbetingelsen for den optimale porteføljesammensætning. Den
optimale nominelle andel for udenlandske aktiver A*:

2.7

A * mindskes ved øget valutakursvariabilitet og risikoaversion, men øges ved en større risikopræmie ^* +s-i' samt ved større korrelation mellem valutakurs og prisindeks. Øget samvariation mellem valutakurs og prisindeks bevirker, at det udenlandske aktiv er et bedre hedge mod inflation.

Den efficiente rand, der angiver det højst opnåelige forventede afkast for given risiko,
fremkommer ved at variere R.

Denne fundne porteføljesammensætning kan dekomponeres på flere måder. I det følgende
en opsplitning på en minimum-varians porteføljeandel samt en logaritmisk

Den udenlandske minimumvariansporteføljemodel bestemmes ved at minimere 2.6
m.h.t. A. Denne porteføljeandel findes til:

Denne porteføljeandel minimerer variansen af ændringen i realformuen og er uafhængig rentespændet. Afdækning ved international diversifikation sker kun af hensyn til det indenlandske prisniveaus følsomhed overfor ændringer i valutakursen, svarende til betakoefficienten (3_qe, hvorfor AMA^M er det bedste hegde mod inflationsusikkerhed. Eftersom indgår, er porteføljen, hvor AMA^M er placeret udenlands, afhængig af, i hvilket land investor er bosat.²

Derimod vil den optimale porteføljeandel fra en investor med logaritmisk nyttefunktion uafhængig af investors domicilland. Eftersom realformuen er defineret ved forholdet mellem den nominelle formue og prisniveauet, vil en investor med logaritmisk nyttefunktion kunne maksimere sin nominelle formue uafhængigt af prisniveauet. Porteføljeandelen derfor ikke afhænge af de indenlandske forbrugerpriser.

Med logaritmisk nyttefunktion er den relative risikoaversion R lig med 1. Indsættes
dette i udtrykket for A* fas:

Porteføljen, som har ALA^L placeret i udenlandske fordringer, kaldes den logaritmiske eller investor's rule«-portefølje. Porteføljen er uafhængig af investors nationalitet, den kun afhænger af den nominelle risikopræmie og valutakursvolatiliteten, og dersom hvert land har sin Markowitz' efficiente rand, vil disse tangere i dette fælles punkt.

---

2. Ved opfyldelse af købekraftsparitetsteorement er minimum-varians porteføljeandelen dog uafhængig af investors nationalitet. Med opfyldelse af købekraftsparitetsteoremet er det dog heller ikke relevant at afdække via udenlandsk placering/låntagning.

Ifølge to-funds separationsteoremet er enhver efficient portefølje en sammenvægtning
to efficiente porteføljer. Derfor kan også den optimale porteføljeandel beskrives
ved den logaritmiske og minimum varians porteføljen:

2.8

For R gående mod uendelig approksimerer det optimale porteføljevalg minimumvariansstrategien,
den logaritmiske regel dominerer for R gående mod 1. Hensynet til
at afdække det fremtidige reale forbrug øges ved stigende risikoaversion.

2.2 Fler-lande model

Med flere lande og aktiver vil de enkelte aktiver ikke nødvendigvis være bruttosubstitutter, der nu indgår en varians-covarians matrice i stedet for variansen på valutakursen den optimale porteføljeandel. Adler & Dumas 1983 opstiller en tilsvarende fler-lande porteføljemodel, der forudsætter en risikofri rente r, men iøvrigt tillader stokastiske afkast, som f.eks. aktieafkast.³ Vægtningen mellem minimumvarians og den logaritmiske porteføljeandel er uændret i forhold til Branson & Hendersons model, hvor k^M og \^L dog er matricer.

Minimumvariansporteføljen er givet ved:

2.10

fl er en NxN covarians-varians matrice med covarianser mellem aktivernes nominelle afkast, mens co er en Nx\ vektor med covarianser mellem de iV aktiver og investors inflationsrate. investorspecifikke porteføljeandel er således fortsat bestemt ved korrelationen aktiverne samt aktivernes inflationssikrende evne. Den sidste række i matricen angiver andelen i indenlandsk risikofri placering.

Den logaritmiske portefølje er givet ved:

2.9

fjL er en vektor med de nominelt forventede afkast, mens r angiver det risikofri afkast, og
1 er en Nx\ søjlevektor med 1-taller og T dens transponerede. Den logaritmiske porteføljeer

---

3. En udvidelse af Branson & Hendersons 2-lande model, hvor der tillades stokastiske direkte afkast kan ses hos Dyrlev (1992).

føljeerfortsat bestemt ved risikopræmier samt covarianser. Prisindeks indgår ikke, hvorveddenne
er uafhængig af investors hjemland.

3. Empiriske undersøgelser vedrørende porteføljemodeller

For at få en ide om det praktisk implementerbare af modellerne søges de benyttet på observerede data. For i første omgang at komme så tæt på modellernes verden som muligt, ukritisk opfyldelse af modellernes forudsætninger. Dette gælder i særdeleshed antagede prisfordelinger, hvor det kræves, at tidsrækken af første differenser for de logaritmiske data er stationære. Ved et plot af prisernes logaritmiske førstedifferenser virker dette plausibelt.

Der benyttes daglige data, hvilket forudsættter, at investor foretager daglige porteføljevalg. opfattes herved som mindste tidsenhed for fortsat at kunne opfatte porteføljevalget kontinuert. Data er fra Danmark, Vesttyskland, Storbritannien, Sverige, japan ug USA.

Som proxy for stationære afkast i forskellige lande benyttes tremåneders-renter (eurorenten pågældende valutaindskud). Tre-månedersrenten er valgt frem for dag-til-dag renten, idet dag-til-dag renten i langt højere grad influeres af kreditpolitikken og den daglige nettovalutastilling over for udlandet. Man må derfor a priori vente, at udviklingen dag-til-dag renten i mindre grad er stokastisk end tre-måneders renten. For alle lande standardafvigelsen således cirka fem gange højere for dag-til-dag markedet. Vi vil antage, at 3 mdr. renten er relevant for investor, og i det følgende vil vi betegne den danske mdr. rente som den »risikofri« rente. Der er data for 3-mdr. renten siden september 1988 for Storbritannien og april 1983 for Sverige mod juni 1981 for øvrige lande. Ved at betragte de lange tidsserier tages intet hensyn til, at kapitalmarkedsintegrationen er øget i den betragtede periode, idet den fuldstændige kapitalliberalisering blev gennemført i 1988 med lempelser i årene forinden.

Som udtryk for stokastiske direkte afkast benyttes data om aktieindekset i de enkelte lande siden januar 1986. De benyttede indeks er Totalindekset på Københavns Fondsbørs Danmark, Frankfurt for Tyskland, London FT-100 for England, Nikkei for Japan, for Sverige og Dow Jones for USA. Selvsagt vil det være muligt i de forskellige at finde enkeltaktier, der indbyrdes har langt lavere (eller højere) korrelation den mellem indeksene gældende. Derfor vil indeks ikke kunne illustrere de potentielle der er på de enkelte markeder. Imidlertid har nationale større effekt for prisdannelsen på enkeltaktier end branchemæssige, hvorfor kan have mening først at vælge porteføljeandele i forskellige lande før udvælgelsen enkeltaktier. Endvidere har investor jo mulighed for at investere i de enkelte indeks, aktieindeksene kan være en dækkende beskrivelse af investors investeringsvalg.

Dog er der sammenlignelighedsproblemer mellem indeksene, der kan have forskellig udvikling udelukkende qua forskellig branchesammensætning. Ligeledes kan udbyttekorrektionen forskellig for de enkelte indeks. Dersom denne forskel er konstant, er dette mindre væsentligt ved udregning af korrelationsgrader m.v., eftersom der tages differenser indeksudviklingen; men til gengæld skal man være varsom med direkte at sammenligne afkast beregnet ud fra indeksudviklingen. Endelig kan volatilitetsforskelle tillægges likviditetsforskelle. Specielt indeholder det danske indeks flere illikvide aktier, hvorved indekset med denne »døde tonnage« bliver mindre volatilt.

Prisindekset offentliggøres kun månedligt. En måneds prisstigning kunne fordeles på dage for at opnå samme tidsenhed som for de øvrige observationer; men en sådan allokering altid være arbitrær. Ved udregning af prisudviklingens korrelation med øvrige data beregnes derfor månedlige afkast for øvrige observationer i den betragtede periode. Idet variansen for Brownske processer øges proportionalt med tiden, vil covariansen målt på månedlige afkast ligeledes øges med antallet af dage i måneden i forhold til covariansen daglige observationer. I formler for optimale porteføljeandele divideres fundne covarianser med prisindekset derfor med 21, hvor 21 approksimativt er det gennemsnitlige antal børsdage pr. måned.

Eftersom der ikke tages hensyn til skatteforhold i modellen, betragtes konsistent hermed
som udtryk for inflationsudviklingen.

Ved udregning af udviklingen for renter og valutakurser benyttes det gennemsitlige daglige udkast over hele perioden. Herved modificeres porteføljemodellen fra at lade prisdannelsen være givet ved drift (dvs. muliggøre lokale trends) til at være givet ved en gennemsnitlig trend over hele perioden. Samtidig antages korrelationsstrukturen konstant.

Ved udregning af korrelationer og covarianser har jeg valgt ikke at tage hensyn til desynkron Dersom markederne var effektive, ville kausaliteten mellem de enkelte markeder ikke være entydig. Hvis ny information offentliggøres i den danske fondsbørs' åbningstid, mens f.eks. det amerikanske er lukket, vil aktiekursudviklingen i Danmark skulle påvirke aktiekursudviklingen i USA, når dette marked åbner. Selvom empiri indikerer, det amerikanske marked er det ledende marked, har jeg derfor alligevel valgt ikke lagge de amerikanske data.

Jeg vil kort opsummere resultatet for de fundne optimale porteføljeandele for Adler &
Dumas' fler-lande model, idet resultater for to-lande modellen kan findes hos Dyrlev
1992.

Tabel 1 angiver de fundne værdier. Det fremgår, at det danske afkast på alle aktiemarkederhar større end den »risikofri« rente r, mens det danske afkast på det engelske,svenske amerikanske pengemarked har været negativt over den betragtede periode.Kun på det danske aktiemarked og det engelske pengemarked har været positivtkorreleret prisudviklingen. Disse afkast sammensættes med covarians-varians

matricen, hvorved minimum-varians og den logaritmiske porteføljeandel findes som angiveti

Minimum-varians porteføljeandelen domineres af negative porteføljeandele for pengemarkederne, skyldes den generelt negative korrelation med prisudviklingen. Det betydeligste fald i renten for hovedparten af pengemarkederne skete således frem til 1983, mens inflationsraten har fortsat sit fald frem til 1987, hvilket giver en negativ korrelation perioden efter 1986. Den negative korrelation kan skyldes, at den forventede inflation, der indgår i rentedannelsen, var tilknyttet historisk højere inflationsrater. Det bemærkes dog, at det japanske pengemarked indgår med negativ vækst i porteføljen på trods af en positiv korrelation, hvilket skyldes kompleksiteten i covarians-varians matricen. aktiemarkederne indgår kun det danske aktiemarked med en positiv vægt. Den betydelige vægt for det danske marked skyldes en lavere variabilitet for det danske indeks. Denne lavere variabilitet kan som nævnt delvist tillægges en relativ illikviditet på det danske marked.

I den logaritmiske porteføljeandel indgår hovedparten af aktiemarkeder positivt, eftersomafkastet
forhold til den indenlandsk »risikofri« rente har været positiv, også korrigeretfor

rigeretforvalutakursudviklingen. Bortset fra USD gør det sig også gældende for pengemarkederne,hvorfor indenlandske pengemarked indgår med en betydelig negativ andel. Det bemærkes, at der er tale om en betydelig gearing. Forudsætningen om, at investorkan i det omfang, hun ønsker, er således væsentlig.

Afkast og variabilitet for en portefølje sammensat efter de fundne vægte kan sammenlignes resultater på de enkelte markeder samt med »naivt« specificerede porteføljer, sidstnævnte er defineret som porteføljer med lige vægt på de enkelte markeder. den kun månedlige offentliggørelse af prisdata er denne primitive performancemåling for de nominelle afkast, selvom vi jo faktisk har maksimeret det reale afkast.

Det viser sig, at de logaritmiske porteføljeandele har været i stand til at generere et langt højere afkast end de øvrige porteføljesammensætninger og de enkelte aktiver, hvilket gengæld er forbundet med en vis højere variabilitet. Afkastet for minimum-varians porteføljen har været negativt over den betragtede periode.

Resultaterne dækker perioden 1. januar 1986 til 31. juli 1991.

4. Empiri vedrørende prisdannelsen på finansmarkederne

Vi vil i det efterfølgende forsøge at vurdere, hvorvidt modellens forudsætninger om prisdannelsen på markederne kan siges at være opfyldt. Dernæst vil vi søge at forbedre beskrivelsen af prisudviklingen for at benytte denne beskrivelse til forudsigelser. For at investor kan realisere de potentielle diversifikationsgevinster, må hun være i stand til at forudsige markedernes prisudvikling og derved danne ex ante porteføljer. Prisudviklingens fra modelantagelsen er således essentiel.

Optegnes den inverse standardiserede fordelingsfunktion mod logaritmen til de respektive vil punkterne følge en ret linie, dersom de stokastiske variable er logaritmisk Bortset fra nettoprisindekset synes dette rimeligvist at være opfyldt, med afvigelser i fordelingernes hale. Med det store antal observationer må denne afvigelse tillægges større betydning.⁴1 det følgende antages dog, at de stokastiske variable er approksimativt normalfordelte.

Dersom en tidsrække følger en Random Walk proces, Xt-XtA=et, vil variationen for
differenserne være lineær med tidsintervallets længde;

successiv substitution ved et givet Xt til Xo fas:

4.1

Antag Xo =0. Herved følger resultatet om en tidsinvariant middelværdi (på 0), men en
tidsafhængig varians;

---

4. Empiri indikerer, at der kan opnås en bedre tilnærmelse til normalfordelingen ved at anvende ugentlige data.

4.2

4.3

(eftersom E[el¦ Ej] =o,i #j)
eller;

4.4

Her angiver dW(t) Wienerdifferentialet, og det fremgår, at Random Walk er en diskret tidsversion af Wienerprocessen. Den drift, der medtages i modellerne, angiver en afvigelse Random Walk modellen, idet både middelværdi og varians øges proportionalt med tiden for geometriske Brownske processer med drift. Imidlertid kan Brownske processer drift opfattes som grænsen for en Random Walk med drift:

heraf;

Modellernes forudsætning om prisfordelingen kan derfor accepteres, dersom fordelingerne bskrives ved Random Walk (med drift). Informationsmæssigt (svagt) efficiente er konsistente med, at prisudviklingen følger en Random Walk proces, hvorfor forudsætningen forekommer rimelig. Imidlertid kan afvigelser fra Random Walk modellen for aktiemarkederne bl.a. tilskrives, at totalindekset som nævnt inkluderer del illikvide aktier, hvorved prisudviklingen er mere springende og derfor eventuelt kan beskrives ved en Poisson Proces. Tilsvarende vil valutakurser under intervention kunne variere frit. Endvidere har andre faktorer end egenprisudviklingen betydning.

For aktiemarkederne kan man for det danske, tyske og amerikanske marked ikke afvise Walk med drift modellen. For valutakurserne kan DKK/DEM og DKK/GBP ikke beskrives ved Random Walk, mens Random Walk kun er signifikant for det tyske og engelske pengemarked

Beskrivelsen af prisudviklingen forbedres, dersom støjprocessen beskrives ved ARIMA-modeller;men
bliver generelt kun signifikant bedre,5 dersom der desuden
»renses« for større eksogene begivenheder i forhold til den generelle prisudvikling.

---

5. Modelforbedringen måles ved et kvotienttest.

Sådanne isolerede begivenheder beskrives via interventionsmodeller. For aktiemarkedernemå således oplagt tages hensyn til kursskredet i oktober 1987. Jeg vælger at antage, at begivenheden har en midlertidig, og ikke permanent, effekt på markederne. For valutakurserne opstilles interventionskomponenter for større valutakursinterventionervia interventionsfunktioner. Endelig kan transferfunktionsmodeller illustrere,hvorledes danske markeder influeres af udviklingen på de udenlandske markeder.Den modeludbygning kan ses hos Dyrlev 1992. Her illustreres kun den endeligemodelbeskrivelse udviklingen på det danske aktiemarked, hvor samtlige markederindgår beskrivelsen af det danske marked. Den logaritmiske førstedifferens for det danske totalindeks til tiden t benævnes X_t, og t-værdierne for de enkelte parametre angives i parentes;

OKT angiver interventionskomponenten for kursskredet, der herved indikerer en førstedagseffekt et 2,4% fald i indekset mod et observeret fald på 7,5%. Denne åbenbare afvigelse at en væsentlig del af det observerede fald tillægges en reaktion på udviklingen især det amerikanske marked. Den negative tilpasningsparameter, estimeret til -0,452, angiver, at den efterfølgende reaktion kan karakteriseres ved gradvist aftagende

Det amerikanske marked er særegent ved, at påvirkningen af det danske marked lagget en dag er stærkere end den simultane. Den empiriske krydskorrelation med den laggede udvikling er således estimeret til 0,35 mod 0,13 med den simultane, hvilket skyldes den desynkrone handel. Hvis man anvender en model, hvor det ikke er muligt at inddrage både den simultane og laggede udvikling, vil det derfor være mest naturligt at lagge de amerikanske data. Det engelske markeds påvirkning af det danske er ikke signifikant denne simultane model, hvilket skyldes en forholdsvis betydelig korrelation mellem det engelske og amerikanske marked.

Støjprocessen y beskrives ved en autoregressiv model af anden orden, hvor den deterministiskekomponent
er signifikant, men forbedrer modelbeskrivelsen, ligesom
det er rimeligt at antage et vist løbende afkast, selvom dividender er fratrukket indeksudviklingen

viklingen.6 Restleddet kan med 18,3% signifikanssandsynlighed ved lag 36 beskrives
ved hvid støj,7 hvilket må betegnes som tilfredsstillende, når antallet af observationer i
hver tidsserie for aktiemarkedet er over 1400.

I en tilsvarende simultan model for pengemarkedet er påvirkningen fra de udenlandske mindre, og modellen forbedres ikke ved også at inddrage valutakursudviklingen. er i den forbindelse vigtigt at huske det skift i de institutionelle rammer, der er sket i perioden siden 1982, i hvilket modellerne for pengemarkedet er estimeret.

5. Forudsigelser af prisudviklingen

En ex ante dannet portefølje kræver overblik dels over korrelationen mellem markederne, over prisudviklingen på de enkelte markeder og variationen i denne. Mens den daglige korrelation mellem markeder er relativt svingende, er korrelationen over en længere tidshorisont mere stabil. Herved kan historiske korrelationsdata anvendes ved forudsigelser, selvom der dagligt kan forekomme afvigelser.

Valutakursudviklingen kan bedst beskrives ved Random Walk eller ved glidende gennemsitsmodeller
3. orden, hvorved valutakursudviklingen for sidstnævnte modeller
kan forudsiges tre dage frem.

Tilbage står forudsigelsen af afkastet i lokal valuta. Jeg har benyttet de estimerede ARIMA-modeller til at fremskrive udviklingen i det danske Totalindeks i perioden uge 37 i 1991 til uge 4 i 1992, idet modellerne for det danske aktiemarked er estimeret på datatil med uge 36 i 1991. Figur 1 viser dels den fremskrevne udvikling for det danske

---

6. Jeg antager således ikke-transversalitet.

7. Der anvendes et Ljung-Box test.

marked,8 dels den forudsagte værdi fra den endimensionale ARIMA (2,1,0) model, hvor
jeg løbende medtager de sidste historiske observationer.

Det fremgår, hvorledes den faktiske udvikling har afVeget kraftigt fra den forudsagte udvikling ved begyndelsen af fremskrivningsperioden. Denne afvigelse illustrerer den betydelige indflydelse fra andre faktorer end egenprisudviklingen. Når de faktiske observationer medtages, er overensstemmelsen med den faktiske indeksudvikling bedre, men tilknyttet udviklingen de to foregående dage, hvorved forudsigelserne først opfanger skift i indeksudviklingen med op til to dages forsinkelse. Dette ses tydeligt i midten af perioden, hvor aktiemarkedet i efteråret oplevede fald i forbindelse med indenlandske forhold (nedsatte forventninger til indtjeningen i bio-tech og banksektoren). kan kun inddrages ex post.

Det forekommer derfor naturligt at lade det amerikanske marked indgå i de løbende forudsigelser. Eftersom netop den laggede effekt fra det amerikanske marked er stærkest, man kunne udnytte informationen om den amerikanske indeksudvikling til forudsigelse den danske og derved opfange skift tidligere i forløbet. Dette forudsætter dog, at korrelationen med det amerikanske marked er nogenlunde konstant.

Jeg har løbende fremskrevet den danske udvikling, hvor forklaringsbidraget fra den amerikanske indeksudvikling medtages. Som det fremgår af figur 3, er forudsigelserne generelt mere sammenfaldende i forhold til benyttelse af den endimensionale ARIMA model. Det er nu endda muligt at forudsige skift i den danske indeksudvikling. Dette ses specielt i forbindelse med faldet på aktiemarkedet i efteråret.

---

8. Idet de logaritmiske førstedifferenser X, kan beskrives ved en autoregressiv proces af anden orden, har jeg løst en anden ordens differensligning til at finde X, som funktion af tiden t. X, kan da udtrykkes som funktion tiden tved:X, = 0,00087(- -0,00368 • 0,279 ' + 0,301 ¦ lO^med*, =/n(372,13/372,48)0gA^r ₀ = /«(372,48/373,43).

jJen amerikanske indeks v cuJi fi«. a«in±i^ vL_to «; imidlertid :l±e obecr/erbrr T 111" benytter jeg derfor den forudsagte amerikanske indeksværdi ud fra den estimerede Random Walk modellen med drift for det amerikanske marked i den simultane vekselvirkning. bliver ikke væsentligt forskellige fra tilfældet, hvor de amerikanske antages kendte. Dette bekræfter Random Walk modellen for det amerikanske

Den kvadrerede residualafvigelsessum fra de tre forudsigelsesfunktioner er hhv. 236,4, 188,4 og 181,2. Generelt forbedres forudsigelserne således ved medtagelse af amerikanske data som forklaringsfaktor. Dette tyder på en rimelig stabilitet i dependensen det amerikanske marked, også med kort tidshorisont.

For investorer med kort tidshorisont vil man derfor med fordel kunne anvende de estimerede til forudsigelse af den umiddelbare indeksudvikling. Ved at benytte ARIMA modellerne for alle markeder til at forudsige indeksudviklingen en dag frem, vil investor dagligt kunne danne sin optimale ex ante portefølje, eftersom man ud fra forudsigelserne vil kunne skønne over den umiddelbare trendudvikling.

Data for prisudviklingen er mere problematisk. For det første findes kun proxyer for prisudviklingen for investors forbrugskurv, og for det andet offentliggøres prisindeks kun månedligt. Dette bevirker, at det er mere vanskeligt at danne ex ante minimumvariansporteføljer det kort sigt. Korrelation med prisudviklingen synes mere stabil i forhold mellem markederne, hvorved man umiddelbart bedre vil kunne danne ex ante minimum-varians porteføljer frem for de logaritmiske. Med frekvensen for offentliggørelse prisudviklingen er det imidlertid kun muligt for den logaritmiske portefølje at danne mere kortvarige ex ante porteføljer. Det må dog også huskes, at hyppige porteføljeomlægninger transaktionsomkostninger, som der ikke er taget hensyn til.

6. Inddragelse af imperfektioner

Ved praktisk anvendelse af porteføljemodellerne er det væsentligt at tage hensyn til eksisterende imperfektioner. Disse kan bl.a. bevirke, at det er nødvendigt at inddrage pengehold i investors portefølje, ligesom det kan være relevant at foretage afdækning på virksomhedsniveau. Endvidere vil ligevægtspriser ikke være fuldt afslørende, dersom signalrummets dimension er større end det observerede antal markedsclearende priser. Herved vil agenter fejlagtigt reagere på transmitterede markedsspecifikke faktorer, hvilket øge sam variationen mellem markeder, ligesom den fundamentale skelnen mellem og usystematisk risiko bliver mindre klar. Transaktionsomkostninger bevirker principielt en vis interti i porteføljeomlægningen; men disse omkostninger er dog minimale på de finansielle markeder.⁹1 det følgende vil vi koncentrere os om konsekvensen skattebetalinger.

I praksis beskattes den enkelte agent, både for udbytter og andet udenlandsk kapitalafkast, den indenlandske skattesats af personlig kapitalindkomst, idet udlandslempelsen efter maksimal credit metoden. Det vil sige, at agenter samlet beskattes med den indenlandske skattesats, sålænge denne overstiger udlandets.

Dette forudsætter imidlertid, at kontrollen med de udenlandske kapitalindtægter er effektiv.
modsat fald vil den endelige beskatning udelukkende være den aconto kuponskat,
opkræves i de respektive lande.

Hvis investor alene beskattes af acontoskatten, modificeres det effektive afkast i
Branson og Hendersons model til:

6.1a

6.1b

hvor / er den indenlandske marginale skattesats og t* den udenlandsk opkrævede acontoskat.
for valutakurs og prisindeks er uændret. Den optimale porteføljeandel
jeg herved til:

6.2

Minimumvariansporteføljen er uændret, idet de direkte afkast forudsættes at være stationære, hvorved skattesatsen er uden betydning for det reale afkasts variabilitet. Til gengæld korrigeres risikopræmien som ovenfor i den logaritmiske portefølje. Dette implicerer,at logaritmiske porteføljeandel ikke kan opfattes som »international investor'srule«, risikopræmien afhænger af landenes skattesatser. Disse indgår, hvad

---

9. Se eventuelt Dyrlev 1992 for inddragelse af de nævnte aspekter.

enten investor opfylder sin oplysningspligt eller ej, hvorved den logaritmiske porteføljeandelaltid
divergere mellem investorer fra lande med forskellige skattesatser.

Med opfyldelse af oplysningspligten beskattes både det indenlandske og det udenlandske med skattesatsen 1.1 modsætning til ikke-oplyst udenlandsk afkast vil beskatningen finde sted af det udenlandske afkast benævnt i indenlandsk valuta. Den optimale udenlandske porteføljeandel finder jeg da til;

6.3

Effekten af en øget skattesats er usikker m.h.t. den udenlandske porteføljeandel. På den ene side medfører en større skattesats en reduktion af den nominelle risikopræmie, hvilket mindsker den optimale udenlandske porteføljeandel. Til gengæld implicerer en stigende skattesats en mindre korrelation mellem prisindeks og valutakurs, hvorved udenlandsk placering er mindre egnet som inflationssikring.

IJ^t variabiliteten mindske med kvadratet på i, mens det nominelle rentespænd alene mindskes med t, får rentespændet større betydning relativt til variabiliteten ved stigende skattesats. Beskatningen virker som et »skjold« mod en del af valutakursrisikoen, hvorfor nødvendige afdækning mindskes ved stigende skattesats.

Den logaritmiske porteføljeandel finder jeg til

6.4

Udover domicillandets skattesats indgår nu også det indenlandske prisindeks kovariation
valutakursen, eftersom en del af valutakursgevinsten/tabet udsættes for beskatning.

Idet beskatningen kun har indflydelse på niveauet for variansen på det reale forbrug,
er minimumvariansporteføljen uændret i forhold til tilfældet uden beskatning.

I Dyrlev (1992) er fundet empirisk optimale porteføljeandele, der er dannet ex post
med hensyntagen til skatteindbetalingen.

Konklusion

En agents evne til at drage fordel af muligheden for at sprede sin portefølje internationalt bero på, hvorvidt agenten er i stand til at systematisere den nødvendige information. af en porteføljemodel sikrer, at valget bliver konsistent; men modellen kan umiddelbart virke vel meget matematisk og restriktiv i sine forudsætninger. Det er derfor lovende, at artiklens resultater viser, at modellen synes anvendelig i praksis.

En væsentlig forudsætning for at anvende modellen er kvalificerede estimater over
den fremtidige prisudvikling. Selvom prismodellernes forudsigelsesevne forbedres, når
udenlandske markeder inddrages til beskrivelse af priserne på det danske marked, er det

alligevel ønskeligt at forbedre modellemes forudsigelsesevne. Beskrivelsen af prisudviklingenkan tvivl forbedres ved at kombinere den statistiske model for egenprisudviklingenmed faktorer, der også indgår i den samlede beskrivelse af prisudviklingen.

Modellen angiver ikke, hvorledes afvejningen mellem forventet afkast og risiko bør finde sted. Den relative risikoaversion er noget uhåndterbar; men alternativt må agenten specifisere det maksimale risikoniveau eller angive det afkast, som porteføljen minimum generere. Det sidste aspekt indgår i begrebet »downside risk«, hvor risiko ikke opfattes som symmetrisk, men hvor kun tab tillægges risiko.

Litteratur

Adler, M. & B. Dumas. 1983. International Portfolio Choice and Corporate Finance. A Synthesis. Journal of Finance no. 3, June, 925-976.

Branson, W. H. & D. W. Henderson. 1985. The Specification and Influence of Asset Markets. R. W. Jones & P. K. Kenen, red.: Handbook of International Economics vol. 2, 782-800.

Dyrlev, J. 1992. Aspekter af internationalt Porteføljevalg.
opgave, Københavns
feb. VII 689.

Merton, R. C. 1971. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continous-Time Model. Journal of Economic Theory 3, 373-413.

Milhøj, A. 1986. Tidsrækkeanalyse for Økonomer,