Resumé

SUMMARY: The paper shows that there is evidence af non-linear dynamic components in a number of daily returns series for Danish stocks and exchange rates, although nothing shows that the non-linearities are of a chaotic nature. Based on a nonparametric neighbour algorithm which is applicable in the presence of stochastic well as deterministic non-linearities we show that it is possible to predict a statistically proportion of the variation in daily returns. The predicted values can be used to form a portfolio which mean-variance dominates a buy-and-hold strategy in the Copenhagen Stock Index provided that transaction costs are very low.

1. Indledning

Udviklingen af nye metoder til at analysere ikke-lineære systemer hvor dynamikken er deterministisk ("kaos") har vakt megen opmærksomhed inden for en række discipliner biologi, fysik, økonomi¹ og finansiering. Ikke overraskende har flere empiriske (Hsieh (1992)), Scheinkman og Leßaron (1989) søgt at anvende lange tidsserier til at identificere en kaos-komponent i finansielle markeder. Disse studier har primært fokuseret på det amerikanske aktiemarked. Formålet med denne artikel er at analysere den statistiske og økonomiske betydning af identificerbare ikke-lineære komponenter en række danske tidsserier og diskutere om disse komponenter er kaotiske.

Ikke-lineære stokastiske modeller er vidt udbredte indenfor økonomi, og den mest kendte model er nok Engle's ARCH model (Engle (1982)). Kaos kan defineres som deterministisk ikke-lineær dynamik, og udgør blot en delmængde af ikke-lineære dynamiskesystemer. er således et langt skridt fra at finde, at en tidsserie er ikkelineærtil konkludere, at serien er kaotisk. "Kaos" er en uheldig betegnelse for deterministiskikke-lineær idet en "kaotisk" model kan være særdeles simpel og fuldt ud forstået af forskere. Derfor er det mere dækkende at bruge betegnelsen kompleksitet, idet dette begreb bedre beskriver det vigtige princip bag ikke-lineære deterministiske systemer, nemlig deres evne til at genere komplekse tidsserier. Fra et heuristisk synspunkt har kaos en speciel interesse, siden viden om deterministiske

---

Jeg er taknemmelig for kommentarer fra en anonym referee samt fra Erik Reimer Larsen. 1. For en oversigt omkring kaos-modellers anvendelse inden for økonomi se Baumol og Benhabib (1989).

komponenter i en økonomisk serie kan lede til en bedre forståelse af det underliggendesystem
tillige kan anvendes til forudsigelse og kontrol af systemet.

Det er væsentligt at gøre sig den økonomiske betydning af ikke-lineariteter på de finansielle klar. Standard teori for finansielle markeder definerer et efficient marked som et marked, hvor al offentlig tilgængelig information til enhver tid er reflekteret kurserne. Hvis denne betingelse er opfyldt, vil nutidig information ikke kunne til at forudsige fremtidige kursændringer. Det er imidlertid ikke en konsekvens den efficiente markedshypotese, at aktiekurserne følger en lineær process, og den oftest anvendte model for prisdannelsen på de finansielle markeder, Lucas (1978), indebærer ikke at aktiekurserne er lineære. For det andet er mange anvendte modeller - specielt de såkaldte tekniske eller "chartist" - af natur ikke-lineære. Ikke-lineær dynamik også skyldes agenters læreprocesser, idet agenterne ikke kan antages at kende den "sande" underliggende model for økonomien og gennem deres læreproces inuouu^i^i ikk^ li;"K,xi'C menetre i c^^^'ske variable fTimmermann (1993 b)).

Tekniske metoder til analyse af kaos-komponenter i tidsserier er primært udviklede for systemer bestående af et meget stort antal observationer for en enkelt variabel. Vores vil således fokusere på daglige aktiekurser og to kronekurser. Denne begrænsning ikke tolkes som en tro på, at andre makroøkonomiske og fundamentals' ikke spiller en rolle for de finansielle markeder. For længere tidshorisonter den vi vil anvende i vores papir, har Fama & French (1989), Campbell (1987) og Timmermann (1993a) vist, at forskellige makroøkonomiske indikatorer såsom renter, inflationsrater og udbytterater kan anvendes til at forudsige konjunkturelle i aktiekurserne. Derfor skal de ikke-lineære analysemetoder kun anvendes til høj-frekvens data og ikke til at teste og forudsige månedlige data eller data målt for endnu længere tidshorisonter.

Fokuseringen på individuelle tidsserier kan forsvares fra tre synspunkter. For det første fordi vi betragter daglige kurser, og variationen i 'fundamentals' for denne tidshorisont er så væsentlig som for længere perioder. For det andet fordi data for BNP, inflationsraten etc kun er tilgængelige på måneds- eller kvartalsbasis. Endelig er det i sig selv interessant at se i hvilken udstrækning, vi kan forklare dynamikken i en række aktiekurser uden at referere til eksogene faktorer. En mulig tolkning af den interne i de finansielle markeder er således, at den repræsenterer investorernes reaktionsmønstre. Vi understreger dog, at vores approach er ateoretisk, formålet med denne artikel er at undersøge den empiriske betydning af ikke-lineariteter nogle finansielle markeder i Danmark. Det er op til efterfølgende studier forklare ikke-lineariteter fra et teoretisk perspektiv.

I den resterende del af dette papir vil vi analysere tre punkter, der er vigtige i en
analyse af den økonomiske betydning af ikke-lineariteter i de finansielle markeder.
Først vil vi diskutere, hvordan vi kan teste for eksistensen af ikke-lineariteter i tidsserier.Dette

rier.Dettefølges op af en analyse af hvorledes vi kan forudsige data gennem anvendelseaf algoritme, der kan opfange ikke-lineære mønstre. Endelig vil vi analysere den økonomiske størrelse af afkastet fra en investeringsstrategi baseret på disse forudsigelser.

2. Hvad er kaos?

Vi vil indlede vores analyse med en intuitiv definition af kaos, som vi vil anvende i vores undersøgelse af finansielle tidsserier. Populært sagt er kaos en deterministisk serie, der ser "tilfældig ud". Mere præcist siges en tidsserie at være kaotisk, hvis den udviser

1. Følsomhed over for begyndelsesbetingelser.

2. Stationaritet.

3. Ingen cyklisk gentagende perioder.

Den første betingelse indebærer, at små ændringer i kursen i dag kan have en utrolig betydning for fremtidige kurser. Dette er i modstrid med standard lineære modeller, er betydeligt mere stabile, og hvor små ændringer i dag typisk ikke har nogen effekt på kurserne i fremtiden. Den anden betingelse udelukker dataserier perioder, hvor der har været institutionelle og/eller makroøkonomiske regimeskift betydning for de finansielle markeder. Endelig udelukker den tredje betingelse sinus- og andre trigonometriske funktioner og den udelukker også historiske episoder, der gentages præcist i fremtiden.

I praksis vil vi ikke forvente, at tidsserier er "rene" kaos serier eller "rene" stokastiske Men selv i en ideel situation hvor den studerede serie er deterministisk, kan det være svært at bestemme, om serien er kaotisk eller stokastisk. Man skal især gøre sig to punkter klart, når man søger at anvende principperne bag kaos i den praktiske analyse af data. For det første kan tidsserier genereret af kaos nogle gange udvise skarpe spring som nemt kan forveksles med choks i en stokastisk serie. Derfor kan standard tests for deterministiske elementer ofte heller ikke skelne mellem kaotiske og mange ikke-lineære stokastiske processer.

For det andet kan kaotiske tidsserier være ekstremt følsomme over for mikroskopiske i parameterværdier for den underliggende proces. Dette punkt gør det svært at estimere modeller med kaos, og gør det også vanskeligt at forudsige fremtidige for serier med kaos. Tænk bare på den såkaldte logistiske difFerensligning x, = ax_{t _i} (1-Xm).

Figur 1 viser ep tidsserie for den logistiske differensligning for a = 3,9, dvs. x_t = 3.9 jc_m (1-jc^i). De kvalitative ændringer og store fluktuationer i denne deterministiske tidsserie fremgår tydeligt. Lineære stokastiske modeller kan kun generere fire typer af dynamiske mønstre: (i) stabile svingninger, (ii) ustabile svingninger, (iii) stabile uden svingninger og (iv) eksplosive uden svingninger. I modsætning til dette kan modeller med kaos generere langt mere komplekse tidsserier, der fuldt ud matcher den dynamiske som vi finder i finansielle data.

3. En test for eksistensen af kaos i tidsserier

Det er generelt meget svært at påvise eksistensen af kaos i en tidsserie. En række betingelser skal være opfyldt for, at vi kan gøre os håb om at teste eksistensen af kaos for et økonomisk system. For det første, at det betragtede økonomiske system er af "lav kompleksitet" - dvs. kan indlejres i et system, der har lav dimension. Hvis det økonomiske system er meget komplekst, er det i praksis umuligt at "rekonstruere" den underliggende model, og systemet kan lige så godt betragtes som værende stokastisk.

For det andet skal måleunøjagtigheder i data samt stokastiske støjkilder være af relativ betydning i forhold til den deterministiske komponent i data. Det er i forvejen nok at skelne mellem kaotisk og stokastisk dynamik. Hvis derfor det underliggende er en blanding af disse to kilder, vil det i praksis være umuligt at redegøre kaoskomponenten (Granger (1991)).

Antag at vores økonomiske system afhænger af n faktorer (observerbare såvel som
ikke-observerbare) sammenfattet i en n-dimensional vektor xt. Den deterministiske
lov ("law of motion") for systemet vil vi repræsentere i form af en funktion,/-

(1)

hvor t er det betragtede tidspunkt, og t+\ er punktet for en periode frem i tiden. Det sædvanlige problem, som vi står overfor, er, at vi ikke kender det "sande" økonomiske system og derfor hverken kender n - antallet af relevante komponenter i x, - eller hvilke x, består af. Den bedste alternativ i denne situation er at betragte en vektor bestående af N observerbare økonomiske variable, m_t, som afhænger af det økonomiske gennem en funktion, som vi vil kalde g:

(2)

N er den såkaldte indlejringsdimension. Princippet er, at vi kan lære om det underliggende system, jc_m gennem de observerbare variable i m,. For enhver værdi af indlejringsdimensionen N (antallet af elementer i m_t) kan vi definere en historie af systemet af længde Af:

(3)

&N&_N er en funktion fra R" —> R^N. Undersøgelsen af kaos bygger på et resultat, der er kendt som Takens Embedding Theorem (Takens 1981)). Dette teorem siger løseligt, at under nærmere definerede tekniske betingelser for funktionen g, kan al relevant information x_t udledes fra m, såfremt N >2n+\. Med andre ord: prisen for ikke at kende identiteten af de underliggende økonomiske faktorer er, at vi skal inkludere lidt over dobbelt så mange variable i vores system (2«+l), som det havde været nødvendigt, vi kendte identiteten af det "sande" økonomiske system (/?). Dette er en lav pris at betale, såfremt n er lille. Vi betaler for vores uvidenhed om det sande økonomiske gennem anvendelsen af flere datapunkter.

3.1. Ikke-lineariteter i data

Mange statistiske tests for nulhypotesen om, at data er uafhængigt og identisk stokastisk opfanger blot skift i den datagenererende mekanisme (såkaldt ikkestationaritet). at håndtere dette problem anvender vi specielle tests, der er designede at opfange ikke-lineariteter. Lad X_u X2X₂ , ...., XTX_T være en tidsserie af længde T. For hver værdi af indlejringsdimensionen N kan vi konstruere jV-dimensionale vektorer _t = (X_t, ...., X,_+N_J (i = 1,..., T-N+l). Korrelationsintegralet C_T(y, N) er defineret som andelen af par (Y_h Yj), som ligger inden for en afstand yaf hinanden. Vi vil anvende definition

(4)

hvor HU er det absolutte afstandsmål. Korrelationsintegralet er nu defineret som følger

(5)

Lad korrelationskoefficienten, C(y), være lig grænseværdien (lim) lim_rr ^— _> oo C_r (y, N). I denne definition antages det, at uendeligt mange observationer (T) er tilgængelige, er et filter i følgende forstand: Alle afstande mindre end y tolkes som naboer bidrager til korrelationsintegralet, mens afstande større end y ignoreres. Korrelationsintegralet således baseret på et mål for "tæthed" mellem datapunkterne. I vores test anvender vi de observerbare punkter m_t. For at få en ide om hvor mange beregninger skal foretages, kan det nævnes, at hvis vi blot har 1000 data punkter, skal der oeiegnc» 500.000 afstande, idet aHe mulige afstande mellem disse punkter skal beregnes og sammenlignes med y.

Ideen bag vores test har en simpel grafisk forklaring. Hvis eksempelvis x består af to variable (x_hx₂), der er relaterede gennem en funktionel regel x2x₂ = f(xj), vil alle (x_hx₂) punkter ligge omkring en graf i et todimensionalt diagram, der plotter x2x₂ mod X;. Når indlejringsdimensionen vokser, vil antallet af naboer således ikke vokse proportionalt N, idet hele det N-dimensionale rum ikke er fyldt ud. Dette skal ses i kontrast til en situation hvor x; og x2x₂ er uafhængigt fordelte, og hvor (xj,x₂) punkterne hele diagrammet ud. I denne situation har x_} naboer til alle fire sider (og ikke blot langs en linie), således at korrelationsintegralet bliver fordoblet, når vi går fra et endimensionalt til et todimensionalt billede. Denne logik holder også for større værdier Hvis data er genereret af stokastisk støj, vil korrelationsintegralet være lig indlejringsdimensionen, N, idet et plot af (x_}, x₂, ...., x_N) fylder hele det A/-dimensionale ud. Hvis data er genereret af kaos, vil korrelationsintegralet derimod ikke vokse som funktion af indlejringsdimensionen for N > 2n+l. Opgaven er således at finde en tilstrækkelig stor værdi for indlejringsdimensionen, således at datapunkterne ikke fylder hele det A/-dimensionale rum ud. Bemærk at korrelationsdimensionen ikke behøver at være et naturligt tal, og at den ikke repræsenterer antallet af økonomiske faktorer, der driver systemet (n). Korrelationsdimensionen er defineret som den værdi af A/, for hvilke korrelationskoefficienten når sit maksimum.

Der er to metoder til at beregne korrelationsintegralet, Grassberger-Procaccias metode Takens metode. Begge metoder er baseret på de observerbare punkter m_t frem for de ukendte faktorer, x_t. Vi anvendte Taken's metode i vores beregninger og har beskrevet beregningsteknik i det tekniske appendiks. For begge metoder går testen for kaos ud på at plotte en graf for det beregnede korrelationsintegral (^-aksen) som funktion af indlejringsdimensionen (x-aksen). Vi har følgende tilfælde:

(i) Data er stokastisk; Grafen vil være en ret linje

(II) Det økonomiske system indeholder uendeligt mange faktorer (dvs. Ncr meget
stor); Grafen vil være en ret linje.

(III) Kaos med en lav indlejringsdimension; Grafen vil stige i begyndelsen, men
herefter flade ud og tilnærmelsesvist være konstant.

3.2. Empiriske resultater for danske data

Vi analyserede en række finansielle tidsserier for Danmark over perioden 1980-1990. blev anvendt som kilde. Den præcise måleperiode afviger fra aktiv til aktiv afhængigt af, hvornår DataStream begyndte at have daglige observationer. Data blev renset for punkter, hvor kurserne var præcis den samme to dage i træk for at udelukke episoder, hvor en aktie ikke blev handlet, eller markedet var lukket. De analyserede og det anvendte antal observationer var som følger: Københavns Fondsbørsindex(l777), Carlsberg B (1540), DS 1912 A (1507), Danske Bank (1664), DFDS (1622), Jyske Bank (1522), Dollar/DKK (1187) og ECU/DKK (2853). Figur 2 viser de daglige afkast for Københavns Fondsbørsindeks for de sidste 1271 dage i undersøgelsen Figur 3 viser autokorrellogrammet for denne tidsserie. Tidsserien ligner "hvid støj".

Tabel 1 viser de beregnede værdier af korrelationsintegralet for ovenstående data baseret på Takens beregningsmetode. For de fleste serier er der tegn på ikke-lineariteter,idet estimerede korrelationsintegraler ikke stiger proportionalt med værdien af indlejringsdimensionen. Det kan ikke konkluderes, at der er kaos i serierne, idet visse former for stokastisk ikke-linearitet (f.x. ARCH) kan skabe lignende mønstre i korrelationsintegralerne.Det understreges, at den statistiske usikkerhed ved bestemmelsenaf

melsenafkorrelationsintegralet for en indlejringsdimension højere end 6-7 er meget
stor for vores forholdsvis små datasæt.

Bemærk at løsningen på problemet med for små datasæt ikke nødvendigvis er at indsamle data meget ofte. Grunden er, at data i så fald kan indeholde for megen støj fra bid-ask spreads og lignende. Kunsten er at indsamle data tilstrækkeligt ofte til, at data er indsamlet i et og samme økonomiske regime, uden at data er sløret af for megen idiosynkratisk støj.

Som nævnt i indledningen kan vi imidlertid ikke konkludere fra indikationerne af ikke-lineære komponenter i de finansielle tidsserier, at der er kaos i disse serier. Der er flere faktorer der peger på en naturlig skepsis over for kaos i økonomiske tidsserier. For det første er der ikke nogen naturlig tidsskala i de fleste økonomiske systemer. Selv hvis der er mekanismer, der genererer kaos i markederne, vil vi med al sandsynlighed kunne finde disse kaosmønstre, hvis vi anvender kalendertid i stedet for en tidsskala relateret til begivenhederne der introducerer kaos. Eksempelvis kunne vi lade være vores tidsmåler, hvis vi tror at aktivitet i markederne er relateret til transaktionsniveauet.

For det andet er de fleste økonomiske tidsserier aggregerede (BNP etc.), og aggregering sig selv en lineær transformation) kan fjerne ikke-lineariteter i en tidsserie. Selvom der er kaos på det mikroøkonomiske plan, er det langt fra sikkert, at dette vil kunne påvises gennem anvendelse af makroøkonomiske tidsserier (Granger (1991)). Endelig er der problemet med måleunøjagtigheder og stokastisk støj i mange tidsserier, kan hindre opdagelsen af underliggende ikke-lineære mønstre, hvis systemets signal-til-støj forhold er lavt.

4. Ikke-parametrisk forudsigelse af daglige kursændringer

Hvis en tidsserie indeholder deterministiske komponenter, er det logisk at spørge, om disse komponenter kan anvendes til at forudsige fremtidige værdier gennem anvendelsen historisk information. Det er helt klart ikke nogen nem opgave, vi her bliver siden den deterministiske komponent er kaotisk og typisk er svær at identificere. på at anvende specifikke former for ikke-lineær dynamik vil ofte ikke have succes, idet usikkerhed omkring estimaterne kan påvirke de forudsagte værdier ganske dramatisk (tænk på den logistiske funktion). For at undgå denne skæbne vil vi bruge en ikke-parametrisk metode, der ikke bygger på en speciel antagelse om den underliggende En sådan metode er klart ateoretisk, idet vi ikke søger at estimere en model baseret på teoretiske antagelser. Til gengæld behøver vi ikke at lægge os fast på en bestemt model, som genererer ikke-lineariteterne i tidsserierne. Dette er specielt en fordel i lyset af resultaterne i den foregående sektion, hvor vi udtrykte skepsis over for eksistensen af kaos i de undersøgte tidsserier. Vores ikke-parametriske metode kan anvendes uafhængigt af, om dynamikken er stokastisk og lineær, stokastisk og ikke-lineær kaotisk.

Vi vil anvende følgende såkaldte "nearest neighbour" procedure foreslået af Sugihara
May (1990) og Linden, Satchell og Yoon (1992):

(1) konstruer historiske tidsserier (m,, mtA,... mt .N+\) af observerede data for indlejringsdimensionen
= 2,.., 15.

(2) lad de foregående 500 observationer udgøre et historisk bibliotek af data.

(3) for alle tidligere observationer i biblioteket find de P nærmeste punkter (P = 10 i vores undersøgelse) og for disse punkter beregn vægte således, at jo længere væk en historisk observation er fra punktet i dag, jo lavere vægt får denne observation i forudsigelsen.

(4) Anvend vægtene fra punkt (3) til at forudsige værdien af kursen et trin frem i tiden.

Vi anvendte geometriske vægte under punkt (3), men andre papirer har anvendt "tricubic" med lignende resultater (Diebold og Nason (1989)). Vores algoritme er baseret på den samme antagelse om "tæthed" mellem observationerne, som korrelationsintegralet på. Bemærk at vi holder størrelsen af biblioteket konstant (500 observationer, svarende til cirka to år for daglige data) for at gardere os mod gradvise skift i den datagenererende proces.

Hvis den anvendte indlejringsdimension (N) er større end den sande værdi, introduceres i systemet og forudsigeligheden af daglige kursændringer kan blive negativt påvirket: støjen fra tidligere punkter, der ligger langt fra hinanden, kan forstyrre vores vægtprocedure under punkt (3). Imidlertid er det bedre at anvende en større indlejringsdimension den sande korrelationsdimension frem for at anvende en for lav indlejringsdimension: med en for lav indlejringsdimension vil systematiske mønstre i en tidsserie ikke kunne forklares.

Fordelen ved den anvendte metode til forudsigelse af daglige kursændringer er, at mens lineære modeller kun kan opfange simple mønstre i aktiekurserne (og i praksis ikke er succesrige i denne henseende), så kan vores metode opfange tilbagevendende ikke-lineære mønstre såsom "heads and shoulders", der er velkendte fra anvendelsen af charts. I denne henseende kan metoden ses som en raffineret udgave af ateoretiske teknikker. er vores resultater robuste over for kritikken af teknisk analyse: hvis ikke der er noget om troen på tilbagevendende mønstre, vil vores metode heller ikke finde sådanne tegn, og i praksis give resultater meget lig resultaterne fra en lineær model. ikke-parametriske procedure har vist sig velegnet til at forudsige en række deterministiske stokastiske ikke-lineære processer (Linden, Satchell og Yoon (1992)).

4.1. Resultater for de danske finansielle markeder

Ovenstående metode anvendtes til at forudsige de daglige kursændringer for de undersøgtefinansielle
Resultatet fremgår af Tabel 2, og Figur 4 viser de faktiskeog
værdier for 100 daglige ændringer i Københavns Fondsbørs Indeks

i slutningen af 1990. Tabel 2 viser korrelationen mellem de forudsagte procentvise ændringer en dag frem i tiden og den faktiske procentvise ændring, desuden giver tabellen/-værdier den statistiske signifikans af sammenhængen mellem de forudsagteog faktiske daglige kursændringer. T-værdier større end 2 viser, at der med 95 procent sandsynlighed er en signifikant positiv sammenhæng mellem forudsagte og faktiske værdier. For sådanne ?-værdier tilbageviser vi nul-hypotesen om, at sammenhængenmellem to tidsserier er ren tilfældighed.

Det fremgår af Tabel 2, at vores forudsigelser af daglige kursændringer er statistisk signifikante for Københavns Fondsbørindeks, Carlsberg B, Den Danske Bank, DFDS, Jyske Bank og Ecu'en, hvorimod der ikke er tegn på forudsigelige mønstre i kursændringerne DS 1912 Aog Dollarkursen. Det er interessant at bemærke, hvor succesfulde er i at forudsige Københavns Fondsbørsindeks, hvor vi for en relativ lav indlejringsdimension 2 opnår en meget høj værdi af korrelationen mellem faktiske og forudc.ⁿgf" (0 1 £>). hvilket giver sig udslag i en f-værdi på 6.99. Ligeledes skal det bemærkes, at der ikke synes at være noget systematisk mønster i for hvilke værdier af indlejringsdimensionen den højeste korrelation mellem forudsagte og faktiske kursændringer For nogle tidsserier synes den bedste indlejringsdimension at være ganske lav (Københavns Fondsbørindeks, Danske Bank, D^DS), mens det for andre tidsserier synes at være en høj værdi af indlejringsdimensionen (Jyske Bank, Carlsberg ECU/DKK).

Opmærksomme læsere kunne indvende, at daglige data i praksis repræsenterer et for kort tidsinterval, og at investorer snarere er interesseret i at ændre deres portefølje på månedsbasis eller sågar en gang hver kvartal. Imidlertid er der mange investorer på de finansielle markeder, der handler på basis af høj-frekvens (daglig) data, og som vil finde de daglige forudsigelser af kurserne nyttige. Fristelsen til at forudsige kurser en måned eller længere frem i tiden på basis af kaos skal man ikke falde for. Pointen ved ikke-lineær dynamik er netop, at forudsigelser langt fremme i tiden er umådeligt følsomme for begyndelsesbetingelser og den estimerede model. Derfor er forudsigelser uge eller længere frem i tiden baseret på en model for daglige kurser ikke bedre end et tilfældigt gæt.

5. Kan de ikke-parametriske forudsigelser udnyttes profitabelt i en investeringsstrategi?

Som det afsluttende punkt i vores analyse anvendte vi de forudsagte kursændringer for Københavns Fondsbørsindeks i en aktiv investeringsstrategi byggende på følgende simple pricip: Hvis kursen forudsiges at gå op næste dag, hold en portefølje svarende til Fondsbørindekset; hvis kursen forudsiges at gå ned næste dag, sælg Fondsbørsindekset hold kontanter.

En sådan strategi er kendt som en "switching strategy", fordi der skiftes mellem to investeringsobjekter (aktier eller kontanter). Resultatet af at anvende denne strategi for Københavns Fondsbørsindeks på basis af 1270 daglige ændringer fremgår af Figur 5. Figuren viser værdien af at investere 100 kr. i henholdsvis Københavns Fondsbørs Aktieindeks i en portefølje baseret på forudsigelserne fra kaos-modellen. Værdien af vores portefølje ved afslutningen af de 1270 dage (cirka 5 år) er cirka den dobbelte af værdien af at holde fondsbørsindekset. Gennemsnitsafkastet per dag af de to porteføljer .03229 procent (Københavns Fondsbørs Indeks) og .07792 procent (porteføljen på de ikke-lineære forudsigelser), så det daglige afkast på vores portefølje mere end dobbelt så stor som afkastet fra en passiv investering i Københavns Fondsbørs Indeks. Eftersom ikke alle aktier i Københavns Fondsbørsindeks handles dagligt, skal disse resultater ikke tolkes som et præcist udtryk for hvad en investor kunne have tjent ved at følge vores forudsigelser. Resultaterne tjener snarere som en illustration af størrelsesordenen af den økonomiske værdi af de ikke-parametriske forudsigelser.

Ovenstående analyse antog, at der ikke var nogen transaktionsomkostninger forbundet at skifte mellem aktier og kontanter. Dette er selvfølgelig ikke tilfældet i praksis, men er en god approksimation for handel i et futures-indeks hvor transaktionsomkostningerne yderst små. For ovenstående analyse fremgår det af Figur 6, at porteføljen baseret på ikke-parametriske forudsigelser giver et højere afkast end fondsbørsindekset, sålænge transaktionsomkostningerne er mindre end 0.1 procent.

Ydermere er volatiliteten af det daglige afkast fra den ikke-parametriske portefølje betydeligt lavere end volatiliteten af de daglige kursændringer for Københavns Fondsbørs Standardafvigelsen på de daglige afkast var .0086 og .0061, henholdsvis KF indekset og porteføljen baseret på ikke-parametriske forudsigelser. Dette giver i sig selv porteføljen baseret på de ikke-lineære forudsigelser en økonomisk idet investorer typisk er villige til at betale for at undgå risiko (de er risiko averse).

Vi konkluderer, at det er muligt at basere en simpel investeringsstrategi på de ikkeparametriske af daglige kursændringer, der vil dominere fondsbørsindekset meget små transaktionsomkostninger. Høje transaktionsomkostninger er imidlertid en barriere, som det er svært at overvinde, når vi anvender en investeringsstrategi på ikke-lineære forudsigelser. For at finde ikke-lineære mønstre er det nødvendigt at have lange tidsserier, hvilket i praksis betyder høj-frekvens data for de finansielle markeder (daglige observationer). Derfor vil de ikke-parametriske forudsigelser generere signaler, der let kan indebære en meget stor volumen for køb og salg af finansielle aktiver. Fra dette følger problemet, at selv små transaktionsomkostninger fjerne den økonomiske fordel af at anvende ikke-lineære metoder.

6. Konklusion

Meget tyder på, at de daglige afkast for en række finansielle tidsserier i Danmark
indeholder ikke-lineære komponenter, skønt der ikke er overbevisende tegn på, at der

er kaos i senerne. Sandsynligvis kan ikke-lineariteterne bedre modelleres og forstås som stokastiske ikke-lineariteter, hvilket det vil være en udfordring for fremtidige studierat I vores analyse anvendte vi disse indikationer til at konstruere ikkeparametriskeforudsigelser daglige afkast. Analysen viste, at de forudsagte værdier var signifikant korrelerede med de faktiske værdier af daglige afkast. Endvidere demonstreredevi, disse forudsigelser kunne anvendes i en investeringsstrategi, der gav et større afkast end det gennemsnitlige afkast på Københavns Fondsbørsindeks, når transaktionsomkostningerne er meget lave. Når realistiske transaktionsomkostninger inkluderes, er profitten fra investeringsstrategien baseret på de ikke-parametriske forudsigelserikke økonomisk signifikant.

Litteratur

Baumol, W. og Benhabib, J. 1989. Chaos: significance, and Economic Applications. of Economic Perspectives,

Campbell, J.Y. 1987. Stock Returns and the
Term Structure. Journal of Financial Economics,
8, 373-99.

Diebold, F.X. og Nason, J.A. 1990. Nonparametric
Rate Prediction? Journal
of International Economics, 28, 315-32.

Engle, R.F. 1982. Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity with Estimates of the
Variance of United Kingdom Inflation.

Econometrica, 50,987-1007.

Fama, E.F. og French, K.R. 1989. Business Conditions and Expected Returns on Stocks and Bonds. Journal of Financial Economics, 25, 23-49.

Granger, C.W.J. 1991. Developments in the Nonlinear Analysis of Economic Series. Scandinavian Journal of Economics, 93 (2), 263-76.

Hsieh, D.A. 1991. Chaos and non-linear Dynamics:
to Financial Markets.
Journal ofFinance, 46, 1839-77.

Linden, N., Satchell, S.E. og Yoon, Y. 1991.

Lucas, R.E. 1978. Asset Prices in an Exchange
Econometrica, 46, 1429-45.

Scheinkman, J.A. og Leßaron, B. 1989. Nonlinear
and Stock Returns. Journal
Business, 62, 311-37.

Sugihara, G. og May, R.M. 1990. Non-linear Forecasting as a Way of Distinguishing Chaos from Measurement Error in Time Series. Nature, 344, 734-741.

Takens, F. 1981. Detecting Strange attractors in Turbulence. I D. Rand og L. Young (red.) Dynamical Systems and Turbulence. Springer-Verlag, Berlin.

Takens, F. 1984. On the Numerical Determination the Dimension of an Attractor. I Dynamical Systems and Bifurcations, vol. 1125 af Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag.

Timmermann, A.G. 1993a. Learning, Specification and Market Efficiency. With an Application to the Danish Stock Market. i Scandinavian Journal of Economics, 95(2), 157-73.

Timmermann, A.G. 1993b. How Learning in Financial Markets Generates Excess Volatility Predictability of Stock Returns. Kommende i Quarterly Journal of Economics.