Resumé

SUMMARY: Serveral recent results in general equilibrium theory have their roots in a modern counterpart of the traditional marginal analysis, using a notion of generalized tangent directions which can be defined also for non-smooth functions. In the paper we consider examples taken from the theory of voluntary allocations, implementation of fair net trades, and the core of a large economy.

1. Indledning

Den klassiske velfærdsteori beskæftiger sig med sammenhængen mellem optimalitet
og ligevægte. Med en aktuel sprogbrug behandler den markedsmekanismens optimalitetsegenskaber.

Teorien er gammel og veletableret som lærebogsstof. Ikke desto mindre er der liv i
den; dens hovedbudskaber kan stadig bruges til at give ny indsigt, endda af og til om
forhold, der - omend formuleret lidt anderledes - er oppe i den almindelige debat.

I de følgende afsnit ser vi lidt nærmere på et udvalg af nyere resultater, som alle er
mere eller mindre direkte afledt af velfærdsteoriens "gode, gamle" hovedsætninger.

2. Det grundlæggende begrebsappparat

Vi betragter en økonomi % med / varer, m forbrugere og n producenter. Forbruger i karakteriseres ved sit forbrugsmulighedsområde X, C R+ og sine præferencer, givet ved en korrespondance P_t: X-_t —» X_h som til hvert bundt x_t EXt angiver en delmængde Pi (Xj ) afXj fortolket som bundterne foretrukket for x,. Denne beskrivelse af forbrugernes (indført af Gale og Mas-Colell (1975)), Shafer og Sonnenschein (1975) er lidt mere generel end lærebogsversionen, og den er bekvem i mange anvendelser. er der for hver forbruger en initialbeholdning tv, ER¹, som antages at tilhøre X_h

Producenterne y = 1,..., n er givet ved produktionsmulighedsområder yj-CR'.

Vi skal gøre følgende antagelser:

• for hver forbruger /er mængdenXt afsluttet, konveks og opfylderX(+ R'+CXj,
• for hver forbruger / og hvert bundt xt EXt er Pt{xi) konveks, xt E clPt (xt )\Pt (xt),

og />fxJ + [Rl\{o}] C/>(*,;•
• for hvert y er Yj afsluttet og konveks.

Disse antagelser er ret særvanlige; for en nærmere kommentar kan der henvises til
lærebøgerne (f. eks. Blad og Keiding (1990)). En allokation i økonomien <£ er et par

hvor Xj E Xj, i= \,...,m,yj E Yj,j= 1,...,n. Allokationen (x, y) er opnåelig hvis

Et prissystem er en vektor pE RRl+,p 0. Et trippel (x,y,p), hvor (x,y) er en alloka
tion og p et prissystem, er en markeds-quasiligevægt, hvis

(i) (x,y) er opnåelig,

(ii) for hver forbruger / gælder, at xt minimerer linearformen/? •xpå c\Pj (xt),
(iii) for hver producent y gælder, at _yy- maksimerer linearformen p -y på Yj.

Det besværlige "quasi" i navnet hentyder til, at den enkelte forbrugers bundt er udgiftsminimerende de mindst-lige-så-gode snarere end bedst blandt de højest-lige-så-dyre. lidt svagere begreb er nok til vort formål; ønsker man "rigtige" markedsligevægte, der suppleres med antagelser om at forbrugeren ikke rammer sin fattigdomsgrænse (såkaldte minimum-wealth betingelser).

En allokation (x,y) er Pareto-optimal hvis den er opnåelig, og der findes ikke Pareto-forbedring
(x,y), dvs. en opnåelig allokation (x\ y') med x[ E clP^Xj) for alle i
ogx'i EPt (x-J for nogle /.

Under visse omstændigheder vil vi have brug for at specificere, hvorledes producenternes
fordeles blandt forbrugerne. Da fordelingsmetoden ikke vil spille nogen
særlig rolle, kan vi antage, at det sker ved en indkomstfordelingsfunktion y = (y\,...,
ym) :Rj—>Rm som opfylder betingelsen

for alle p (funktionen er ikke defineret, hvis nogle priser er 0, men det problem er uvæsentligti
sammenhæng). En Walras quasiligevægt (hvor præfixet "quasi" som tidligerehentyder

gerehentydertil den svage ulighed i forbrugernes budgetbetingelse), er en markedsquasiligevægt(x.y.p)
• jc,=p • a>, + yt(p) for alle /.

Vi skal i det følgende gentagne gange bruge en antagelse om glathed på randen af mængden af foretrukne bundter eller af produktionsmulighedsområdet. En sådan antagelse formuleres ved at antage præferencer og produktionsmulighedsområder beskrevet ved differentiable funktioner, og sådan gøres det da også som oftest. Der er imidlertid vundet en del ved en mere generel formulering. Vi vil tage udgangspunkt i Clarke (1983):

Lad C være en afsluttet delmængde af R', og lad jc EC.En vektor v E R', er en tangent C i x hvis der for enhver følge £c,/%i, i C, som konvergerer til jc, (i det følgende vi kort jc, —» x for denne følge; tilsvarende for andre følger) og enhver talfølge _t) fra R₊, som aftager til 0 (kort ?, J, 0), findes en følge v, —» v, så jc, +/,v, 6C for alle /. Mængden af tangenter til Cijc betegnes med T_c (x) og er en afsluttet, konveks kegle.

Hvis Cer konveks, og jc ligger på randen af C, findes der som bekendt pER',p 0,
således at p ¦x' >p •x (hvor p •xer det indre produkt af/? og jc ) for alle x'E C. Det er
oplagt, at der må gælde p • v > 0 for alle v ETC (x).

Disse observationer kan vi bruge til en omformulering af velfærdsteoriens anden
hovedsætning ("alle Pareto-optimale allokeringer kan fas frem via markedet"):

Sætning 1. Lad (x, y) være en Pareto-optimal allokation i %. Der findes et prissystem
E R+, så at

(i) (x, y ,p) er en markeds quasi-ligevægt,
(ii) hvis v, ETP. (xj} (x(), da er/? •v,>o,
(iii) hvis w; ETYj ty), da er/? • wf <0.

Bevis: Direkte konsekvens af velfærdsteoriens anden hovedsætning og definitionerne.

Selvom der egentlig ikke er sket andet end at et velkendt resultat har faet en ny formulering,
vi åbnet op for en del nye anvendelsesmuligheder. Det ser vi på i følgende

3. Frivillige allokationer

Lad / > 2, og lad /? være et prissystem. Vi siger at en allokation (x, y) er frivillig ved
p hvis

(i) (jc, y) er opnåelig,

(ii) for hver forbruger / gælder, at p• (xt- cjj) = yjp). og jc; er maksimal for Pt i
mængden

min{o, xih - <oih }< x(h - æih < max{o, xih -<aih}, h# €),
(iii) for hver producent y er^- maksimal for/? •y i mængden

Det grundlæggende resultat om frivillige allokeringer skyldes Silvestre (1985). Vi
kan fa dette resultat ved brug afsætning 1 ovenfor.

Sætning 2. Lad (x, y) være en allokation, som er Pareto-optimal og frivillig ved p. Antag at følgende glathedsbetingelse er opfyldt: For hver forbruger i er T_Pj(xi)(Xj) et halvrum, og for hver producent j med yj #oer T_Y(yj) et halvrum. Da findes der p'så (x, y, p') er en Walras quasiligevægt.

Bevis: Da (x, y) er Pareto-optimal, findes der ifølge sætning let prissystem p', så at (x, y, p') er en markeds-quasiligevægt, ikke blot i % men også i den økonomi %', der fremkommer ved at erstatte P_{ (x_t) med {x, }+ T_Pj (xj) (x_t), alle i, og Yj med {y,} + TYT_Y (yj). Vi har endvidere, at (x, y) er frivillig ved/? også i økonomien %'\ det følger at

For alle h med xih - o)ih #0 for et vist /, ellery =£ 0 for et vist j, alle h, får vi dermed,
h/Pih/Pi- Det er nu ligetil, at (x, y p) er en Walras-quasiligevægt. ?

En lidt anden udgave af sætningen ovenfor er følgende:

Korollar. Antag at allokationen (x, y) er frivillig ved prissystemet p, og at glathedsbetingelsen sætning 2 er opfyldt. Hvis der findes en vare h og en forbruger i, så x_jh - o),/ <oogp•Vj<o for en tangent v, G T_Pj(xj) (x, ) med v_ih <o,da findes der for hver e>oen Pareto-forbedring (x',y') medx'_lh < x_jh +e.

Bevis: Erstat P,(xt) med

og brug sætning 2. D

Det kan godt lade sig gøre at komme af med det lidt tekniske <£, men det kræver da et
længere bevis.

Resultatet er hentet fra Schultz og Jacobsen (1991), og det er dette resultat, som der

- noget kryptisk, må man nok indrømme - refereres til i indledningen: Hvis varen h er en form for arbejdskraft, og tangentbetingelsen fortolkes som at i gerne ville yde mere arbejde, men altså er rationeret, så findes der en Pareto-forbedring, hvor / arbejder mere. ekstra indsats har altså ført til større lykke ikke blot for ham selv, men for samfundet.

I et lidt bredere perspektiv må man nok have med, at der lige så vel kunne fas et resultat at mindre arbejde skabte mere lykke (noget der måske taler mere umiddelbart intuitionen, ihvertfald hos økonomer). Blot skulle "frivillighed" så være udtrykt ved, at man altid kunne købe eller sælge mere, men at man kunne være rationeret ned mod 0. En sådan egenskab har dog endnu ikke påkaldt sig opmærksomheden i nogen seriøs sammenhæng.

4. Fair nettohandler og implementering

I dette afsnit vil vi se på en anden situation, hvor kombinationen Pareto-optimalitet
og glathedsantagelser giver som resultat, at allokationen kan fås som Walras-ligevægt.
Vi skal bruge et par nye begreber:

Vi vil i dette og det næste afsnit nøjes med at betragte en økonomi % uden produktion.
allokation x= (xu...., xm) ien sådan økonomi siges at have fair nettohandler,
hvis der for hvert i ogy / gælder, at

dvs. sige at forbruger / ikke ville blive stillet bedre af at gennemføre forbruger y 's markedshandlinger
stedet for sine egne. Fair nettohandler blev indført af Schmeidler og
Vind (1974).

En mekanisme i økonomien % er defineret som

hvor li, i = 1,..., w, er mængder (af såkaldte strategier), og/: 117= i li —> R'er en
afbildning, der sender w-tupler af strategivalg a= (crx,..., am) ind i opnåelige allokationer
%. En Nash-ligevægt i (jT, %) er et sæt strategier a* = (<r*..., cr*) således at

for hvert / og er, (her er (07, er% v ///( ) det sæt af strategier, der fremkommer fra a* ved
at bytte af ud med di).

Sætning 3. Lad der være givet en klasse E af økonomier således at derfor hver økonomi gælder, at forbrugernes præferencer er glatte i den forstand, at T_Pj(xi) (x_t) er halvrum for alle iog x_t. Antag endvidere, at E indeholder alle økonomier med præferencer ved lineære nyttefunktioner.

Hvis Feren mekanisme, som er konveks i den forstand, atf(Xi,cr_N x {t})er konveks for hvert a, og derfor alle % S E gælder, at Nash-ligevægte i (F, %) resulterer i Pareto-optimale som har fair nettohandler, da vil Nash-ligevægtene resultere i Walras-quasiligevægte for alle % £ E.

Bevis: Lad % være en vilkårlig økonomi fra£, og lad jc* = (x*,..., x*m) =f(cr*) være
en allokation fremkommet som Nash-ligevægt \(F,%).

Betragt økonomien %\ der fremkommer ved at erstatte P( (x_t) med {x, }+ int ty fat) (Xi)ior alle /og x_t. Denne økonomi tilhører E ifølge vore antagelser. Antag først, at o* også er Nash-ligevægt \(F,%), mkf(a*) - x* være en allokation, som har fair nettohandler i %'. Det er nu umiddelbart, at x*, som også er Pareto-optimal i %', må være en Walras-quasiligevægt. Men det betyder, at jc* også er en Walras-quasiligevægt %.

Hvis o~* ikke er Nash-ligevægt i (F, %), findes der /og ær så

På grund af glathedsantagelsen og konveksiteten af F vil der derfor også findes aså

i modstrid med at er* var en Nash-ligevægt. ?

Resultatet (som findes i Keiding og Lindeneg (1988)) er i sig selv ikke særlig chokerende. ligger ret tæt op ad tilsvarende resultater om Nash-implementering: Det grundlæggende arbejde er af Hurwicz 1979), der i stedet for fair nettohandler kræver individuel rationalitet (slutbundt mindst lige så godt som initialbundt); en variation af resultatet, som skyldes Thomson (1979) opererer med fair allokationer snarere end fair nettohandler.

I det lidt større perspektiv er budskabet, at allokeringsmekanismer, der resulterer i allokationer med pæne overordnede egenskaber, typisk vil give Walras-ligevægte. Dettekan igen bruges til at orientere sig indenfor det muliges rammer ved en søgen eftermere eller mere retfærdige allokeringsmetoder. Man kan se dette som en opstramning af den klassiske velfærdsteori: I stedet for blot som tidligere at notere sig,

at Pareto-optimalitet helt abstrakt kan fremkomme som en passende markedsligevægt, har man interesseret sig for mekanismer, der frembringer Pareto-optimale allokationer i ligevægtene. Med små yderligere krav er dette så netop, hvad der kan fremkomme via markedet. Med andre ord, selvom man ikke anser den generelle ligevægtsteori for en realistisk beskrivelse af virkeligheden og heller ikke ønsker at realisere fuldkommen konkurrencemarkeder, er teorien alligevel relevant udfra et normativt synspunkt.

5. Den afledte tangentkegle og et resultat om kernen

Ide foregående afsnit har vi benyttet os af tangentkeglen T_c(x) til en mængde Ciet punkt x. Det ligger lige for at udvide betragtningen til tangentretninger ikke blot for en mængde, men også for en korrespondance, dvs. til en indiceret familie af mængder. Vi skal ikke gå ind på dette i detaljer, men nøjes med et eksempel, der viser anvendeligheden begrebsapparatet.

Vi starter med den økonomiske model, som drejer sig om sammenhængen mellem kerne og ligevægte i store økonomier. Denne sammenhæng er udførligt behandlet i litteraturen efterhånden adskillige år (se f.eks. Debreu og Scarf (1963), Vind (1964), Hildenbrand (1974), Anderson (1978)): Walras-ligevægte tilhører kernen, og allokationer i kernen i økonomier med mange agenter er Walras-ligevægte. Vi skal se på en særlig variant af dette resultat; vi starter med kort at skitsere de nødvendige detaljer.

For at holde det formelle apparat nede på et minimum vil vi arbejde med replicaøkomomier. antager som i afsnit 2, at der er m forskellige slags forbrugere (og som nævnt ingen produktion), men vi vil nu betragte alle de økonomier %r,%_r, som fremkommer, hver af disse typer af forbrugere er repræsenteret r gange. Vi vil i økonomierne _r kun interessere os for allokationer, hvor forbrugere af samme type far samme bundt; dette vil i det følgende være antaget overalt.

Da vi vil se på massefænomener, er det ikke væsentligt, hvor mange forbrugere, der
er, blot der er nok af dem. Vi kan angive en gruppe, eller, som det hedder i litteraturen,
en koalition af forbrugere, ved at specificere m tal /u-i,..., fxm mellem oog 1, hvor (jl,
angiver andelen af forbrugere i den betragtede koalition, som er af type /. For to koalitioner
og S' skriver vi S C 5" hvis jXj < (if for alle /.

For at fortolke tallene /u-i,..., /a„„ noterer vi os, at hvis (xh..., xm) er en allokation, og
S er koalitionen givet ved (fJi\,..., fJL,„), da vil der i en r replica-økonomi (hvor r er et
stort tal deleligt med alle /u.,-) ialt blive et forbrug r (fi\X^ +...+/imxm) i koalitionen S, og
pr. capita altså '"=i Hi**- Det er derfor naturligt generelt at definere bundtet for koalitionen
på denne måde.

Ser vi dernæst på foretrukne bundter, har hver type / i bundtet x, en mængde P{ fjc,)
af foretrukne forbrug. Ser vi på koalitionen af samtlige forbrugere af type /, far vi, at
alle de gennemsnitlige foretrukne forbrug bliver det konvekse hylster af P-, (x/) (som

naturligvis er P{ (xt) selv, hvis denne mængde er konveks, men det behøver den ikke at
være i dette afsnit). Tilsvarende vil gennemsnitlige foretrukne forbrug for koalitionen S
givet ved (ixx,..., \x„) være givet ved Z7=i fax f med xfE cofP^xJ), i= 1,..., m. Mængdenaf
vektorer (der også er konveks), vil vi skrive som Ps(xs).

Vi kan nu definere kernen som mængden af allokationer, der ikke kan forbedres af
nogen koalition S, idet S kan forbedre x hvis der findes x$ =X 7=i AW*/ med xf E co(Pi(Xi))
at IImi={ (xf - cot) =0.

På dette sted vil vi vende tilbage til det gennemgående tema, nemlig glathed formuleret tangentretninger. Vi er interesserede i tangentretninger til P_s(x_s) i x_s, men ikke en forstand, hvori de har været brugt i det foregående; vi vil nemlig udvide definitionen en tangentretning ved at tillade variation også i S, idet vi definerer tangenter "oppefra" og "nedefra": Antag at der findes en følge (S_t) af koalitioner med SC S,-, der aftager mod S (skrevet som SS_{l <} J, S). Hvis wer sådan, at der for alle følger x^ —> x_s, tj KO, Xsj E cl/5. (x_t) findes w, —> wså x_Si + t_iw_j E P_Si (x_Si), da er wen tangent oppefra P_s(x_s) i (x_s). Vi skriver dette som w ET^P + (x_s). Ved at udskifte SCS, med S; CSogSjIS med S_t f" S ras tilsvarende mængden TT^p _s- (x_s) af tangenter nedefra.

Lemma 4. Lad x være en allokation, S en koalition. Da gælder:

(i) Ts + (xs) og Ts - (xs) er konvekse kegler,
(ii) - (xs-cos) ETPS+ (xs), (xs- æs) E Tp- (xs),
(iii) TPs(ks)(xs) CTps+(xs)nTPs- (xs),
(iv) Der findes en koalition S' med S C S' (S' C S), som kan forbedre jc, hvis og
kun hvis der er en vektor u med uh >0, alle h, så at u- (xs - u)s) E TPs + (xs)
((xs (DS)-uETp- (xs)).

Det meste af lemmaet (nemlig (ii)-(iv)) fas som ret umiddelbare anvendelser af definitionerne.
(i) kræver en del notation, men er iøvrigt ligetil; vi udelader beviset.

Vi kan nu vise følgende resultat som nok et korollar til sætning 1:

Sætning 5. Ladx = (x\,...., x_m) være en allokering, og lad (S_h..., S_k} være en klassedeling N med k > € + 2. Antag at ingen generaliseret koalition indeholdt i en forening € + 1 mængder fra klassedelingen kan forbedre x, da er x en Walras quasiligevægt %r.%^r.

Bevis: Betragt allokationen (x51,..., xSk) ien økonomi %' med k forbrugere, hvor
forbruger / har initialbeholdningen o>s( og har mængden {xj + mtTps. - (xSi) af foretrukne

Vi ønsker at vise, at allokeringen er Pareto-optimal. Hvis ikke, gælder der

Af Caratheodory's sætning har vi, at 0 kan skrives som en konveks kombination af
punkter fra €+ 1 af disse. Men det betyder igen, at der vil være en mængde indeholdt i
foreningsmængden af højest é*+ laf mængderne 5\,....,Sk, som kan forbedre, en modstrid
antagelserne. Vi konkluderer, at (x5v..., xSk) er Pareto-optimal.

Ladp være et prissystem, så at (x5],..., xSk, p) er en markeds-quasiligevægt i %'. Ifølge
3(ii) er/? • (xSj - æSj) >0 for alle i. Det følger, at (Jt51,..., xSk, p) er en Walras-quasiligevægt.

Resultatet ovenfor skyldes Okuda og Shitovitz (1985) (der dog benytter et lidt andet og mere generelt apparat, ligesom de har k > £+\ i formuleringen, noget som iøvrigt også kunne vises i vor model). Resultatet er en beskeden udvidelse af tidligere tilsvarende (Schmeidler (1972), Grodal (1972), Vind (1972), og i vor konkrete sammenhæng er det metoden snarere end resultatet, der kan have interesse, her specielt den rolle, som spilles som tangentretninger. Lidt slagordsagtigt går denne metode ud på, at aggregering medfører glathed: Når der er mange agenter, far man glathedsegenskaber, ikke havde fra starten. Dette er iøvrigt noget, som ikke holder, hvis man opfatter glathed som synonymt med differentiabilitet; vi far det fra det udvidede glathedsbegreb hedsbegrebhentet fra Clarke.

Litteratur

Anderson, R. 1978. An elementary core equivalence
Econometrica 46, 1483-87.

Blad, M. og H. Keiding. 1990. Microeconomics
institutions, equilibrium and optimalitv.

Clarke, F. H. 1983. Optimization and nonsmooth
New York.

Debreu, G. og H. Scarf. 1963. A limit theorem
on the core of an economy. International
Economic Review 4, 235-246.

Gale, D. og A. Mas-Colell. 1975. An equilibrium theorem for a general model ordered preferences. Journal of Mathematical economics 2, 9-17.

Grodal, B. 1972. A second remark on the core
of an atomless economy. Econometrica 40,
581-583.

Hildenbrand, W. 1974. Core and equilibria in

a large economy. Amsterdam.

Hurwicz, L. 1979. On allocations attainable through Nash equilibria, J.-J. Laffont (ed.), Aggregation and revelation of preferences, Amsterdam, 397-419.

Keiding, H. og K. Lindeneg. 1988. Fair and implementable allocations. Memo 2/1988, Forskergruppen vedrørende den offentlige sektor og samfundsøkonomien. København.

Okuda, H. og B. Shitovitz. 1985. Core allocations the dimension of the cone of efficiency price vectors. Journal of economic 35, 166-171.

Schmeidler, D. 1972. A remark on the core of
an atom less economy. Econometrica 40,
579-580.

Schmeidler, D. og K. Vind. 1974. Fair net trades.
40, 637-642.

Schultz, C. og H. J. Jacobsen. 1991. Decreasing increases welfare. Discussion 91-12, Økonomisk Institut, Københavns Universitet.

Shafer, W. og H. Sonnenschein. 1975. Some theorems on the existence of competitive equilibrium. Journal of Economic Theory 11,83-93.

Silvestre, J. 1985. Voluntary and efficient allocations
Walrasian. Econometrica 53,
26-58.

Thomson, W. 1979. Comment on: L. Hurwicz, On allocations attainable through Nashequilibria, J.-J. Laffont (ed.), Aggregation revelation of preferences, 420-431.

Vind, K. 1964. Edgeworth-allocations in an
exchange economy with many traders. International
Review 5, 165-177.

Vind, K. 1972. A third remark on the core of
an atomless economy. Econometrica 40,
585-586.