Resumé

SUMMARY: The paper investigates the long run behaviour of the Danish stock price index. We analyse an index for real Danish stock prices which covers the period 1914-1990. tests show that the null hypothesis that Danish stock prices contain a unit root cannot be rejected. However, variance ratio analysis of the data indicates the existence of a substantial stationary, or mean-reverting, component in the Danish stockprices.

1. Indledning

Denne artikel analyserer langtidsudviklingen i de danske aktiekurser over perioden 1914-1990. Gennem anvendelse af økonometriske tests undersøger artiklen, om de danske følger en random walk¹, eller om kursindekset er stationært omkring en lineær Det analyserede tidsrum spænder over en længere årrække end tidligere undersøgelser har dækket. Estimater indikerer, at en trend-stationær komponent tegner sig for en betydelig andel af variationen i de danske aktiekurser. Imidlertid kan den alternative hypotese, at det danske aktiekursindeks følger en random walk, ikke afvises.

Tidligere tests af random walk hypotesen for danske aktiekurser, såsom Jennergren og Toft-Nielsen (1977), fokuserede på daglige kursændringer over meget korte tidsintervaller. random walk hypotesen har konsekvenser for udviklingen i aktiekurserne meget lang sigt, vil den statistiske styrke af tests være større, jo længere tid data udspænder. Dette motiverer vores fokus på en lang tidsperiode i analysen af de danske aktiekurser.

Historisk har finanslitteraturen sat lighedstegn mellem efficiente aktiemarkeder og random walk modellen for aktiekurserne. Begrundelsen er, at hvis aktiekurserne på et givet tidspunkt fuldt reflekterer al tilgængelig information, vil fremtidige ændringer i kurserne ikke kunne forudsiges. Alle fremtidige kursændringer skyldes nye oplysningerom dvs. virksomhedernes indtjeningsudsigt, investorernes holdningtil samt deres tidspræference. Denne teori er blevet kritiseret af blandt andet Fama og French (1988) og Poterba og Summers (1988). Konklusionen af denne forskninger,

---

Jeg er taknemmelig for kommentarer fra Søren Bo Nielsen samt for hjælp med data fra Martin Salamon.

1. Skønt en random walk er et specialtilfælde af en »unit root« proces, vil vi anvende disse termer synonymt artiklen. Det skyldes, at en random walk er bedst kendt blandt økonomer.

ninger,at såfremt kurserne ikke følger en random walk, indebærer dette ikke nødvendigvisen
af hypotesen om efficiente markeder. En sådan afvigelse kunneskyldes
korrelation i »fundamentals« fx. i investorernes attitude til risiko.

Hvad er den økonomiske relevans af at vide om aktiekurserne følger en random walk, eller om de tenderer til at vende tilbage til en trend? Pointen kan illustreres gennem pensionskasses investeringsstrategi. Pensionskasser har sædvanligvis en meget lang tidshorisont for deres investeringer. Hvis aktiekurserne følger en random walk, vil et negativt kurschok, eksempelvis et børskrak, ikke indebære, at aktier er mere attraktive investeringsobjekt efter chokket. Det skyldes, at den forventede værdi af fremtidige under antagelse af en random walk i kurserne, er lig aktiekursen i dag. Det er et ganske anderledes scenario når aktiekurserne vender tilbage til deres trend efter chok. I dette tilfælde vil effekten af chokket gradvist forsvinde, således at de fremtidige kurser kan forventes at stige efter et negativt chok. Aktier vil være en god investering et børskrak, da de kan forventes at give et højere afkast sammenlignet med situationen før kursfaldet. Generelt vil det være mere attraktivt for en risiko-avers investor med en lang tidshorisont at købe aktier hvis aktiekurserne følger en trend som de vender tilbage til efter et chok. Hvis investoren opererer med en lang horisont, er det muligt at udskyde salg af aktier indtil effekten af et negativt chok er aftaget.

Indholdet af resten af denne artikel er som følger. I afsnit 2 tester vi for eksistensen af en random walk i de danske aktiekurser samt i logaritmen af kursindekset. I afsnit 3 beregner vi den relative størrelse af en trend-stationær komponent og en random walk komponent i kurserne. Det fjerde afsnit konkluderer.

2. Følger de danske aktiekurser en random walk?

Vi konstruerede et aktiekursindeks ved hjælp af diverse årgange af Statistiske Efterretninger. årlige gennemsnit af de månedlige nominelle kursindeks deflateredes ved at dividere med et gennemsnit af engrospristallet for at beregne reale aktiekurser. Figur 1 viser det beregnede reale kursindeks for danske aktier over perioden 1914-1990.² Det ganske høje niveau for de danske aktiekurser i 1916 er overraskende.³ Bemærk også den kraftige stigning i kurserne efter 1980.

---

2. Der skal ikke lægges for stor en fortolkning i, at stigningen i det konstruerede aktiekursindeks over perioden 1914-1990 er negativ. Dels er kursstigningen positiv hvis et andet baseår, fx 1919, vælges. Dels er udviklingen i kurserne ganske anderledes efter 1945, hvor data er mere pålidelige og repræsentative. Den negative kursudvikling for perioden 1914-1990 hænger sammen med udviklingen i to perioder, 1916-1920 1936-1951, hvor kursindekset mistede henholdsvis halvdelen og to tredjedele af dets værdi.

3. Vægtene og beregningsmetoderne for det danske aktieindeks blev ændret i 1921, 1937, 1955, 1965, 1972 og 1983. For en detaljeret beskrivelse af disse ændringer se »Indeksberegninger i Danmarks Statistik«. mest vigtige ændringer har været at indekset i 1937 blev korrigeret for effekten af udvidelser af aktiekapitalen og dividendebetalinger, samt at indekset gradvist er blevet udvidet til at inkludere et stigende firmaer på Københavns Fondsbørs.

Figur 1 afslører en nedadgående trend i de reale danske aktiekurser for perioden 1914-1980. Denne trend er kraftigt ændret siden 1980. Det er nødvendigt at bruge formelle tests til at afgøre, om disse trends skyldes deterministiske tids-trends, eller om de er forenelige med en random walk. Vi beregnede først den spektrale tæthedsfunktion aktiekurserne ved hjælp af Bartlett, Tukey og Parzen vinduer.⁴ Tæthedsfunktionen Parzenvinduet fremgår af figur 2. Bemærk den store bredde for konfidensintervallet svarende til 2 standardafvigelser for tæthedsfunktionen ved nulpunktet. spredning indebærer, at nulhypotesen - at tidsserien er stationær og uden en random walk komponent - ikke kan afvises. Den spektrale tæthedsfunktion indikerer, kursindekset kan approksimeres af en første ordens autoregressiv model.

---

4. Den spektrale tæthedsfunktion er defineret som m f(w) = 1-tt{a_{oo c o} +2X h_kc_kcos(wk)\, k=\ hvor A^. er vægten for vinduet, m er afskæringspunktet og c^ er estimatet for den k'te autokorrelation. Vægtene for de tre metoder er som følger: Bartlett: k_k =1-£, Tukey: A* =\ (2+cos(^w±)) , Parzen: k_k = l-6(^)² + 6(^)³, o<k<\ = 2(1 -|))³ _S 4<*<m. I vores analyse satte vi m = 18.

Vi har ikke data for dividender for firmaerne, der er inkluderet i kursindekset. Det er
imidlertid interessant at udlede hvilken dividendeproces, der indebærer en random
walk i aktiekurserne. Såfremt dividenderne (Dt) følger en random walk, har vi

(1)

Den simpleste model for efficiente aktiekurser, Pt, er

(2)

hvor r er det (konstante) forventede afkast og Et angiver investorernes forventninger.
Modellen siger, at aktiekursen er den diskonterede værdi af de forventede afkast.
Under antagelse af rationelle forventninger indebærer (1) og (2)

(3)

således at Pt =PM +—

Hvis dividenderne følger en geometrisk random walk med normalfordelte chok

(4)

kan det fra (2) og (4) udledes, at aktiekursen er

(5)

2 2
hvor vi har antaget, at ((jl +<j2/2) <rogk= exp(\x +-^/ (l+r-expfa + -^)). Det kan
umiddelbart ses, at

(6)

Vi konkluderer, at en random walk i aktiekurserne kan udledes fra antagelsen om efficiente når dividenderne følger en lineær proces, mens logaritmen af kursindekset følge en random walk når dividenderne følger en geometrisk random walk (4).

Vi estimerede første ordens autoregressive modeller for de reale aktiekurser og logaritmen aktiekurserne for perioden 1915-1990. Resultatet fremgår af nedenstående (OLS standardafvigelser og standardafvigelser baseret på Newey-West (1987) kovarians-estimatoren med Bartlett vægte for en vindueslængde på 15 er rapporteret parentes).

(7)

R2R2 = .80, Seriel korrelation: .684 -^(-41), Heteroskedasticitet: 10.52 ~x\ (.001)
Funktionel form: .75 39)' Normalitet: 9.49 -^C 009)C009)-

(8)

R2R2 = .80, Seriel korrelation: .97 -^(.32), Heteroskedasticitet: .14 ~*2j(.71).
Funtionel form: .03 -^(-87), Normalitet: 5.68 ~*2 (.058).

Den statistiske signifikans for diverse diagnostiske tests er rapporteret i parentes. Der er tegn på afvigelse fra normalfordelingen i residualerne fra begge regressioner. Desuden er der heteroskedasticitet i residualerne fra regressionen i niveauet for aktiekurserne

Ovenstående regressioner synes at indikere, at aktiekurserne ikke følger en random walk siden regressionskoefficienterne forP_tA og log(P_{tt _ x}) begge er ca. to standardafvigelser end 1. Imidlertid kan vi ikke drage en sådan konklusion. Dette skyldes naturligvis, at fordelingen af koefficienterne for P_t og log(P_tX) under nul hypotesen at aktiekurserne følger en random walk ikke er standard normalfordelt men har betydeligt mere vægt i »halerne« end normalfordelingen. Vi beregnede en serie af tests udviklet af Phillips og Perron (1988). Sammenlignet med standard Dickey-Fuller eller Augmented tests har disse tests den fordel, at de tillader for heterogene og korrelerede i den underliggende regression. Tabel 1 rapporterer resultater for Bartlett vægte og for en vindueslængde, /, på / = 2, / = 6 og / = 12. Tabellen viser ligeledes 's test baseret på t-værdien for koefficienten a* i regressionen Ay_t =u*+ OL*y_tA +É ø,4>Vi +vr Z(a) og Z(t£) er baseret på en underliggende uden en tidstrend, mens Z(a) og Z(t ~) antager en sådan trend.

Der er ingen statistisk signifikante tegn på afvigelser fra nul-hypotesen om en random-walk de reale aktiekurser. For efterkrigsperioden 1945-1990 kunne random walk nul hypotesen heller ikke afvises. Det bør bemærkes, at Phillips og Perron for en tidsserie 100 obersvationer beregnede den statistiske styrke for deres Z(a) og Z(t£) tests relativt til en alternativ første ordens autoregressiv proces med en parameter, a= 0.85. For processer uden en »moving average« komponent var styrken af deres tests kun omkring 70 procent. Dette er ganske lavt i betragtning af den store forskel i dynamikken en random walk og den analyserede stationære proces.⁵

---

5. Gevinsten i den statistiske styrke som følge af anvendelsen af data der er indsamlet månedligt i stedet for årligt er ganske minimal. I en serie af simuleringer har Shiller og Perron (1985) vist, at den statistiske styrke i random walk tests er mere afhængig af længden af datasættet end af datafrekvensen.

3. Hvor stor er random walk komponenten i de danske aktiekurser?

Vi beregnede størrelsen i en random walk i de danske aktiekurser ved hjælp af variansratemålet af Cochrane (1988). Sammenlignet med ovenstående tests udmærker metode sig ved at fokusere på størrelsen af bidraget fra random walk komponenten i den totale variation. Antag at aktiekursen eller eventuelt logaritmen af aktiekursen er trend-stationær og således har en Wold repræsentation⁶ (hvor ter trenden ee_{t .j} er hvid støj).

(9)

således at (hvor »var« angiver variansen af en variabel)

Lad k-^co. Det følger at ak -> O og var (prptt_k) -> <4[2aJ + 2a\ + ... ]= 2o^ =
en konstant.

Dette indebærer at

(10)

Vi kan alternativt antage, at der er en random walk i kurserne eller logaritmen af kursindekset.
dette tilfælde tager kursindekset følgende form:

(11)

---

6. Vi anvender aktiekurser og ikke et indeks for det totale afkast, som inkluderer udbytter, i vores empiriske Denne procedure kan forsvares med henvisning til Poterba og Summer's (1988, Appendiks Tabel 1) resultater, der viste, at varians-raterne fra en lignende analyse ikke var særligt følsomme med hensyn til, om udbytter var inkluderede i det anvendte indeks.

således at

og det følger sluttelig at

(12)

Cochrane (1988) har vist, at enhver første ordens integreret proces kan splittes op i summen af en stationær og en random walk komponent, og at random walk komponentenhar samme varians i alle disse opsplitninger. Vi beregnede varians-raterne for de reale aktiekurser og for logaritmen af de reale aktiekurser. Værdierne af variansratemesamt

temesamtet Bartlett-estimat for deres asymptotiske standardafvigelser fremgår af Tabel 2 og Figur 3. Bredden af kurverne for standardafvigelserne indebærer, at en simpelrandom (dvs. uden nogen stationær komponent) ikke kan forkastes. Imidlertid er det interessant at konstatere, at variansraten er en jævnt aftagende funktion af tidsintervallet.Raten ikke at konvergere mod en stabil grænse som i givet fald ville repræsentere bidraget fra random walk komponenten i den samlede variation i kurserne.Dette eksistensen af en betydelig stationær komponent i de danske aktiekurser.En fortolkning underbygges tillige af værdien af den skalerede variansratepå for k = 20 år (Figur 3).

4. Konklusion

Vi konkluderer, at skønt data ikke indebærer, at vi kan afvise hypotesen, at det danske over perioden 1914-1990 følger en random walk, så indikerer vores analyse eksistensen af en betydelig stationær komponent i kurserne. De anvendte tests har ikke tilstrækkelig statistisk styrke til at afvise enten nul-hypotesen, at aktiekurserne følger en random walk eller hypotesen, at aktiekursindekset er stationært. Dette skyldes, at eksistensen af en random walk komponent er svær at afvise, fordi den i realiteten er et udsagn om en tidsserie over en meget lang horisont. Selv 77 års data kan synes at være en kort periode i denne sammenhæng.

Fra en økonomisk synsvinkel indebærer den lave styrke af de undersøgte statistiske
tests for nulhyppotesen, at kursindekset følger en random walk, at standard arbitrage
argumenter ikke udelukker eksistensen af forudsigelige komponenter i kursindekset.

Selv i en model hvor den undersøgte tidsserie har en betydelig stationær og forudsigeligkomponent afvisning af random walk nulhypotesen et meget langt datasæt. I praksis kan kursindekset derfor have en betydelig stationær komponent, som ikke er fjernet gennem børsmæglernes spekulation (Summers (1986)). Konsekvensen af dette er, at det skulle være muligt for investorer med en lang tidshorisont (pensionskasser) at designe en investeringsstrategi, der giver et højere afkast end en »buy and hold« portefølje,der holder et diversificeret udsnit af aktiemarkedet.

Litteratur

Chatfield, C. 1984. The analysis of Time Series.
Introduction. 3rd Edition. London.

Cochrane, J. 1988. How big is the Random
walk in GNP? Journal of Political Economy,
893-920.

Danmarks Statistik. 1985. Indeksberegninger i
Danmarks Statistik. København.

Fama, E. F. & French, K. R. 1988. Permanent
and temporary components of stock prices.
Journal of Political Economy, 96,246-73.

Jennergren, L. P. & Toft-Nielsen, P. 1977. An investigation of random walks in the Danish market. Nationaløkonomisk Tidsskrift, 254-69.

Newey, W. K. & West, K. D. 1987. A simple,
positive semi-definite heteroskedasticity

and autocorrelation consistent covariance
matrix. Econometrica, 55, 703-08.

Phillips, P. C. B. & Perron, P. 1988. Testing for
a unit root in time series regressions. Biometrica,
335-46.

Poterba, J. M. & Summers, L. H. 1988. Mean reversion in stock prices: evidence and inplications. Journal of financial economics, 27-60.

Shiller, R. J. & Perron, P. 1985. Testing the random walk hypothesis: power versus frequency of observations. Economics Letters,

Summers, L. H. 1986. Does the market rationally
fundamental values? Journal
of Finance, 41,591-601.