Resumé

summary: An earlier investigation found that the random walk hypothesis is a poor description of price formation in the Danish stock market. Using the same data as the earlier investigation, this paper investigates whether these deviations from randomness can be exploited to earn extraordinary profits by means of mechanical trading rules. These rules are of the so-called filter type. Various filter rides, a buy-and-hold strategy and a bank account strategy are evaluated by means of simulations with historical price data. The results indicate that profitable mechanical trading rules exist both for institutional and private investors.

1. Indledning

I en tidligere artikel i dette tidsskrift undersøgte Jennergren og Toft-Nielsen (1977) den såkaldte random walk hypotese på det danske aktiemarked. Deres datamateriale bestod af de sidste ornsætningskurscr fra 1973-75 for 15 aktier, der noteres på Københavns Fondsbørs. Ved hjælp af runtests og spektralanalyse fandt de, at random walk hypotesen ikke giver en god beskrivelse af de undersøgte aktiers kursadfærd. Denne artikel er en fortsættelse af Jennergren og Toft-Nielsens arbejde.

Ifølge random walk hypotesen er successive aktiekursændringer identisk fordelte og uafhængige stokastiske variable. Dette medfører, at tidligere kursændringer ingen information indeholder, der kan anvendes til at vurdere fremtidige kursændringer. En forkastelse af random walk hypotesen betyder, at der kan eksistere profitable mekaniske handelsregler, der udnytter afhængigheden i kursændringerne. I det følgende vil der blive foretaget en simulationstest af denne formodning med det samme datamateriale som i ovennævnte undersøgelse.¹

Den handelsregel, der implementeres i denne undersøgelse, er af den såkaldte filter
type, der er en af de simpleste af alle handelsregler. Den omfatter kun én aktie ad
gangen, så det er ikke en porteføljestrategi. En version af filterreglen har været testet

---

Forfatteren er L. P. Jennergren taknemmelig for kommentarer og forslag.

1. For en detaljeret diskussion af datamaterialet henvises til Jennergren og Toft-Nielsen (1977).

på det amerikanske og engelske aktiemarked (se Fama og Blume (1966) og Dryden (1970)). Forholdene på disse markeder er imidlertid forskellige fra forholdene på de små markeder. Jennergren (1975) har tilpasset filterreglen til små kapitalmarkeder. Nærværende undersøgelse er baseret på Jennergrens filterregel.

I de følgende afsnit gives der først en beskrivelse af de anvendte handelsregler, og
derefter præsenteres simulationsresultaterne.

2. Konstruktion af handelsregler

I det følgende antages det, at en hypotetisk investor er i besiddelse af 100.000 kr. og
har tre alternative måder at investere dette beløb på

1. Indsætte pengene pa en bankkonto.

2. Købe og beholde aktier i et givet selskab.

3. Købe og sælge aktier i et givet selskab i henhold til et x procent filter.

For hver af de 15 aktier i datasættet simuleres et antal filtre (dvs. forskellige værdier
af x), og resultaterne sammenlignes med købe- og -bcholdestrategicn og bankkontostrategien.
tre alternative strategier konstrueres som følger:

(1) Bankkontostrategien

Investor indsætter sine penge på en bankkonto den første ugedag i den undersøgte periode (2. januar 1973). Pengene hæves igen den sidste dag i perioden (31. december 1975). I den mellemliggende periode tilskrives renter til kontoen den sidste dag i hvert år. Indlånsrenten varierer i de tre år mellem 4% og 7%.

(2) Kob-og-beholdstrategien

Den første ugedag i den undersøgte periode køber investor så mange hele aktier som muligt i et givet selskab til den sidste omsætningskurs den pågældende dag. Når aktier handles må såvel køber som sælger betale transaktionsomkostninger. I Danmark består de af 0.5% kurtage og 0.25% stempel af kursværdien, såfremt kursen er over 100 ellers af pålydende. Det resterende beløb indsættes på en bankkonto. Alle udbyttebetalinger i den undersøgte periode indsættes på bankkontoen, og renter af det indestående beløb tilskrives pa samme made som under bankkontostrategien.

Hvis det pågældende selskab udsteder fondsaktier, anskaffer investor så mange hele aktier som hans aktiepost tillader De resterende rettigheder sælges til deres teoretiske værdi, og provenuet indsættes på bankkontoen. I tilfælde af nyemission sælger investor så mange tegningsrettigheder til deres teoretiske værdi, at han kan kobc flest mulige nye aktier uden at trække på bankkontoen. Ved salg af tegningsretter Aa! Jer og:>j. betales transaktionsomkostninger.

På den sidste dag i den undersøgte periode (31. december 1975) sælger investor
sine aktier til den sidste omsætningskurs den dag, og provenuet udgør sammen med
beløbet på bankkontoen hans formue.

(3) Filterstrategien

Denne strategi opdeles i to versioner. I den første køber investor så mange hele aktier i et givet selskab som muligt på den første dag, hvor aktien handles, til den sidste omsætningskurs den dag. Det resterende beløb indsættes efter fradrag af transaktionsomkostninger på bankkontoen. I den anden version indsætter investor sine penge på en bankkonto den første ugedag. Den sidste omsætningskurs den første dag, hvor aktien handles, udgør i begge tilfælde den første referencekurs.

Hvis investor ejer aktier, afventer han et salgssignal, dvs. om kursen en given dag er faldet mindst x procent i forhold til referencekursen. Fremkomsten af et salgssignal betyder, at aktieposten skal sælges den næste efterfølgende dag, hvor aktien handles. Salgskursen udgør nu den nye referencekurs. Hvis et salgssignal ikke fremkommer den pågældende dag, undersøges det, om omsætningskursen er højere end den nuværende referencekurs. Hvis det er tilfældet bliver den aktuelle kurs den nye referencekurs.

Hvis alle investors penge er indsat på bankkontoen, afventer han et købssignal, dvs. om den aktuelle kurs overstiger referencekursen med mindst x procent. Købet finder sted den næste efterfølgende dag, hvor den pågældende aktie handles. Investor køber så mange hele aktier som muligt til den sidste omsætningskurs den dag, og det resterende beløb forbliver på bankkontoen. Købskursen er den nye referencekurs. Hvis der ikke fremkommer et købssignal, undersøges det, om den nuværende kurs er lavere end referencekursen. Hvis det er tilfældet bliver den aktuelle kurs den nye referencekurs.

Den sidste dag i den undersøgte periode sælger investor sine aktier, hvis han har
nogen, og provenuet efter transaktionsomkostninger udgør sammen med beløbet på
bankkontoen hans formue på dette tidspunkt.

Rentetilskrivninger til bankkontoen foregår på den samme måde som under bankkontostrategien. Udbyttebetalinger, der finder sted, medens investor ejer aktier, indsættes på bankkontoen. Efter en udbyttebetaling må referencekursen justeres som følger:

hvor pr er referencekursen før udbyttebetalingen, p er kursen efter udbytte, og d er
udbytteprocenten.

Fonds- og nyemissioner, der finder sted, medens investor har aktier, behandles på
samme måde som under køb-og-beholdstrategien. Referencekursen justeres her ved

hvor r er den teoretiske kurs for tegningsretten.

Formålet med at simulere de tre ovenstående investeringsstrategier er at teste, om de afvigelser fra random walk hypotesen, der blev konstateret af Jennergren og Toft- Nielsen (1977), kan udnyttes i en handel med aktier. I deres runtest fandt Jennergren og Toft-Nelsen et mindre antal runs for alle 15 aktier, end man skulle forvente, hvis aktiekursændringerne var uafhængige stokastiske variable. I statistiske termer indikerer dette, at der er en positiv autokorrelation i tidsserierne.²

Ved en filtertest undersøges det, om det er muligt at udnytte ikke-uafhængigheden i aktiekursændringerne til at få et ekstraordinært stort afkast ved at handle på aktiemarkedet i henhold til en simpel mekanisk regel. Dette gøres ved at teste den mekaniske handclsregel (dvs. filteret) mod to alternativer (køb-og-bchcld og bankkonto). Hvis kursen på en given aktie stiger kraftigt i hele den undersøgte periode, foretrækker investor at eje aktier i hele perioden fremfor at indsætte pengene på en bankkonto. Dette betyder, at et filter, hvis det har en værdi som en handelsregel, må give bedre resultater end køb-og-beholdstrategien. På den anden side gælder der, at hvis aktiekursen falder kraftigt i en bestemt periode, vil investor foretrække at sætte sine penge i banken fremfor at investere i aktier. I dette tilfælde gælder der, at hvis filteret skal have nogen værdi, skal det give bedre resultater end bankkontostrategien, idet det kan udnytte de perioder, hvor aktiekursen stiger. Filterets opgave er at sikre, at investor ikke ejer aktier, når kursen falder, og at han ejer dem, når kursen stiger. For at et filter er effektivt, må dets afkast altså overstige afkastene fra såvel bankkontostrategien som køb-og-beholdstrategien.

3. Resultater

I dette afsnit skal resultaterne fra simulationerne præsenteres. Formuen ved den undersøgte periodes slutning fra de tre alternativer er beregnet for to grupper af investorer: institutionelle investorer og private investorer. Grunden til denne opdeling er, at skattereglerne er forskellige for de to grupper.

Fn institutionel investor betaler enten ikke skat (offentlig institution), eller alle
indkomster beskattes efter en proportional skala (private virksomheder). Hvis

---

2. En upubliceret autokorrelationstest af samme forfatter med de samme data bekræfter denne

indkomsten beskattes proportionalt, medfører et positivt overskud før skat et positivt overskud efter skat. Så for institutionelle investorer er det tilstrækkeligt at bedømme filterreglernes profitabilitet før skat, uanset hvilken slags institution det drejer sig om (offentlig institution eller privat virksomhed).

Private investorer betaler skat efter to forskellige skalaer, idet indkomsten opdeles i almindelig indkomst og særlig indkomst. Ifølge dansk skattelov klassificeres udbytter, renter og kapitalgevinster fra aktier, der er erhvervet mindre end to år før salget som almindelig indkomst, og beskattes efter en progressiv skala, der ender ved 66^%. Under særlig indkomst hører bl.a. kapitalgevinster fra aktier, der er erhvervet mere end to år før afståelsen, og den særlige indkomstskat beregnes som 50% af den særlige indkomst. Tab ved salg af aktier kan fratrækkes fuldt ud. Hvis den særlige indkomst ikke er tilstrækkelig stor til at bære hele tabet fra salg af aktier, der er erhvervet mere end to år tidligere, kan differencen fratrækkes i den almindelige indkomst. I simulationsberegningerne antages det, at investor har en trækprocent på 66f%, hvilket ikke er ualmindeligt for en privat investor.

Alle nedenstående resultater viser investors formue den 31. december 1975 givet, at
han havde 100.000 kr. den 1. januar 1973.

Filterstrategien er simuleret for filtre fra 1% til 60% med trin på 1% for såvel
institutionelle som private investorer og for de to versioner af filtermetoden, der er
beskrevet ovenfor.

Bankkontostrategien giver før skat en formue på 116.321 kr. ved periodens slutning. Formuerne fra de to andre alternativer afhænger af de enkelte aktiers kursudvikling. I Tabel 1 er resultaterne fra køb-og-behold, 10%, 15% og 20% filterstrategier vist sammen med den gennemsnitlige formue og det gennemsnitlige antal gange filteret er udløst (beregnet som et simpelt gennemsnit over de 15 aktier).

Fra køb-og-behold søjlen ses det, at formuen fra bankkontoen overstiger den gennemsnitlige køb-og-behold formue. Endvidere viser analysen, at de mest profitable filtre findes i intervallet fra 7% til 20% (fremgår ikke af tabellen). Ved helt små filtre bevirker omkostningerne fra det store antal transaktioner 3, at formuen ved periodens slutning er mindre end initialformuen, og vekselererne er de eneste, der tjener på en sådan regel. Antallet af transaktioner for filtre mellem 20% og 60% er relativt lille, og afkastene er moderate. For filtre større end 60% udløses filtrene ikke, og formuen fra første og anden version af filterstrategien er lig med formuerne fra henholdsvis køb-og-beholdstrategien og bankkontostrategien. Generelt giver første version af filtermetoden bedre resultater end anden version, hvilket kan skyldes specielle forhold i begyndelsen af den undersøgte periode.

---

3. For et \% filter overstiger det gennemsnitlige antal transaktioner 100.

Som det fremgår af Tabel 1 overstiger filter formuerne i de fleste tilfælde såvel bankkonto som køb-og-behold formuerne. Der er betydelige fluktuationer i beløbene, men gennemsnitligt giver filterreglerne gode resultater i forhold til de to andre alternativer. Hvis beløbene fra et 15% filter af første version sammenlignes med de tilsvarende beløb fra køb-og-behold ses det, at filteret giver bedre resultater for 14 ud af 15 aktier. Sammenlignet med formuen fra bankkontoen giver filteret bedre resultater i 12 tilfælde.

Ovenstående resultater viser, at på en før-skat basis er det muligt at få et større
afkast ved at handle i henhold til en filterregel for visse filtre end ved at købe og
beholde aktier eller ved at sætte pengene i banken.

For ;"•" nnvut investor med cti marginal ckntteprocer!t på f\f*^' <iiver
bankkontostrategien en formue på 105.264 kr. Formuerne fra de to andre alternativer
er vist i Tabel 2.

På en efter-skat basis er den gennemsnitlige formue fra køb-og-behold større end den fra bankkontoen. Dette skyldes den skattemæssigt forskellige behandling af almindelig og særlig indkomst. I de fleste tilfælde ovei^tigei beløbene fia filtrene mellem 10% og 20% beløbene fra de to alternativer. For et 15% filter af første version gælder dette f.eks. for 10 ud af 15 aktier. Filtermetodens overlegenhed er dog ikke så markant som før skat. Dette skyldes også skattereglerne. Stort set er resultaterne for en privat investor i overensstemmelse med resultaterne, der blev fundet for en institutionel investor.

For at checke resultaterne skal den omvendte filterregel også testes. Købssignaler
opfattes her som salgssignaler, og salgssignaler opfattes som købssignaler. De
gennemsnitlige formuer er vist i Tabel 3.

Formuen ved periodens slutning er voksende med filteres størrelse. Hvis tallene sammenlignes med de tilsvarende i Tabel 1 og 2 ses det klart, at den omvendte regel giver dårligere resultater, end man skulle forvente. Dette betyder, at den oprindelige regel er af en vis værdi til at bestemme, hvornår man skal gå ud og ind af aktiemarkedet.

4. Afsluttende bemærkninger

Ud fra simulationsresultaterne, der er fundet i denne artikel, synes det klart, at der eksisterer profitable handelsregler for såvel institutionelle som private investorer. Dette tyder på, at historiske kurser indeholder information om fremtidige kurser, hvilket understøtter forkastelsen af random walk hypotesen. Der er dog en vigtig antagelse i hele denne analyse, der kraftigt må understreges: At aktiekurserne ikke påvirkes af de handeler, som filtrene genererer. Om denne antagelse er tilladelig skal ikke afgøres her, men overlades til en anden undersøgelse.

Resultaterne, der er fundet i denne analyse, er i overensstemmelse med de resultater, som Jennergren (1975) fandt for det svenske aktiemarked. Han fandt dog, at bankkonto og køb-og-behold alternativerne var bedre end filterhandel for en privat investor. En nærliggende forklaring herpå er forskelle i skattereglerne.

I Danmark er mekaniske handelsregler for aktier måske bedst kendt fra en bog af Ohman (1974), hvor et antal sådanne regler baseret på et punkt- og symbolsystem er beskrevet. Ingen tests af hans system har været publiceret. Definitionen af de mønstre, der udløser købs- og salgssignalerne synes at være så diffuse, at det er tvivlsomt, om reglerne kan formaliseres i et computer program. I den henseende er nærværende studium bedre end Ohmans, idet resultaterne kommer fra en veldefineret handelsstrategi.

Litteratur

Dryden, M. M. 1970. A Statistical Study of
U. K. Share Prices. Scottish Journal of
Political Economy 17: 369-389.

Fama, E. F., and M. E. Blume. 1966. Filter
Rules and Stock Market Trading. Journal
of Business 38: 226-241.

Jennergren, L. P. 1975. A Note on Filter
Trading on the Stockholm Stock Exchan-

ge. Swedish Journal of Economics 77: 252-259.

Jennergren, L. P., and P. Toft-Nielsen. 1977. An Investigation of Random Walks in the Danish Stock Market. Nationalokonomisk Tidsskrift 115: 254-269.

Ohman, S. M. 1974. T/en flere penge på aktier.
København.