Resumé

summary: A well-known problem from many industrial processes is the machine-interference problem. Trie idea of this article is to show how the efjiciences oj this problem, the operative efficiency and the machine-availability, are derived by different distributions of running-and-clearing-time for the machines, primarily by showing an analogy between this problem and the well-known Erlangian loss-system for telephone-traffic. Secondly the ejficiencies are determined by suggestion an approximation-formulae, given that the running-and-clearing-time of the machines is Erlang-distributed. Finally a few practical examples of using the analysis is reviewed.

1. Problemstilling

I studiet af mange industrielle produktionsprocesser forekommer ofte følgende statistiske problem; En del af produktionen er baseret på hel- eller halvautomatiske maskiner, som stopper fra tid til anden på grund af maskinelle defekter, defekte råvarer, mm. For at igangsætte en standset maskine må en operatør (betjener af maskinen) gøre et vist stykke arbejde. På visse tidspunkter af produktionsprocessen kan det hænde, at antallet af standsede maskiner overstiger antallet af operatører. Produktionstabet, forårsaget af at maskiner må vente på betjening, benævnes maskininterferens. Mængden af interferens vil selvfølgelig øges ved et øget antal maskiner pr. operatør, mens et formindsket antal maskiner pr. operatør vil medføre, at operatøren vil være uproduktiv (= ledig) en større del af produktionsperioden. Da virksomheder normalt vil søge størst mulig udnyttelse af både produktionsapparat (maskintid) og arbejdskraften (operatørtid), må der søges en økonomisk optimal allokation af antal maskiner pr. operatør, der tilgodeser de to modstridende hensyn, når omkostningsforholdene for maskiner og operatører kendes. Der er således et behov for en model ud fra hvilken, man kan estimere effekten af interferens på produktionen givet (1) den intensitet, hvormed maskiner standser, (2) tiden, det tager at igangsætte en standset maskine og (3) antallet af maskiner pr. operatør.

---

Artiklen er belønnet med Zeuthenprisen. Bedømmelsesudvalget har bestået af Bodil Nyboe Andersen, Niels Erik Jensen, Peter Erling Nielsen og Thorkild Davidsen.

2. Forudsætninger for etablering af en model

Etableringen af en model for maskininterferensproblemet kan baseres på anvendelsen af køteori, idet ovennævnte problemstilling kan betragtes som et køsystem, hvor efterspørgslen efter betjening kommer fra den endelige population af maskiner¹.

I det følgende antages, at (1) der er kun 1 operatør, (2) operatøren overvåger til stadighed maskinerne, og betjeningstiden indeholder operatørens gang til maskinen, (3) alle maskiner er ens med hensyn til forventede antal standsninger og behov for betjening, (4) tiden mellem successive maskinstop for en vilkårlig maskine (maskinens funktionstid) og betjeningstiden af samme er stokastisk uafhængige variable og (5) systemet er i statistisk ligevægt.

Indholdet af forudsætning (5) er et almindeligt begreb i køteorien og i litteraturen for stokastiske processer. For en nærmere redegørelse henvises til Feller (1957). Hvis man antager, at den intensitet, hvormed maskinerne standser og igangsættes igen, er uafhængig af tidspunktet t (konstant over tiden), vil ovennævnte system kunne beskrives ved en stationær og irreducibel markovproces, der er fuldstændig ergodisk. For sådanne systemer vil der, hvis man betragter en tilstrækkelig lang tidsperiode (t —> oo) eksistere en statistisk ligevægt for systemet. Den statistiske ligevægt er karakteriseret ved, at sandsynligheden for at processen er ien eller anden tilstand,² er uafhængig af tidspunktet t og af initialtilstanden.

Hvis systemet har s mulige tilstande, indebærer statistisk ligevægt, at man for at finde sandsynligheden for at processen er i en af de s tilstande, kan nøjes med at løse (entydigt) s ligninger med s übekendte, hvor en af ligningerne udtrykker, at summen af de 5 tilstandssandsynligheder er lig 1.

3. Indhold

I det følgende defineres nogle effektivitetsmål (operatør- og maskineffektiviteten) for systemer som maskininterferensproblemet. Dernæst skitseres, hvorledes disse effektivitetsmål kan beregnes, når man antager forskellige statistiske fordelinger for (1) tidsafstanden mellem en maskines successive standsninger og (2) betjeningstiden

---

1. Køproblemer med en endelig population adskiller sig fra normale køsystemer ved, at sandsynligheden for en kundeankomst er proportional med antallet af kunder, der er uden for betjeningssystemet, dvs. kunder der hverken venter i kø eller er under betjening.

2. I en proces med N maskiner kan en tilstand fx være defineret som: x maskiner fungerer, N-x-\ maskiner afventer betjening, og 1 maskine er under betjening.

for den pågældende maskine. Beregningerne og tabellerne over effektivitetsmålene
baseres på

1. en påvisning af en analogi mellem maskininterferensproblemet for tilfældet med
1 operatør og det velkendte erlangske afvisningssystem for telefontrafik mm.,

2. en approximation af effektivitetsmålene i tilfældet, hvor det antages, at såvel
en maskines funktionstid som dens betjeningstid er erlangfordelt.

Endelig påpeges nogle praktiske situationer, hvor ovennævnte problemstilling kan
anvendes for analyseformål. For at give en afrundet fremstilling af ovennævnte
punkter skal køsystemet A\B\c kort introduceres i næste afsnit.

4. Køsystemet A\B\c

Da køsystemer er karakteriseret ved en ankomstproces, en betjeningsproces og et betjeningssystem, anvendes notationen A\B\c, hvor A og B er forkortelser for statistiske fordelinger for henholdsvis ankomst- og betjeningsprocessen. Betjeningssystemet bestemt ved antal betjenere, c, og den aktuelle kødisciplin (normalt FIFO - First In, First Out).

Hvis ingen specielle forudsætninger gøres om de statistiske fordelinger for
henholdsvis ankomst- og betjeningsprocessen, anvendes bogstavet G for en generel
fordeling.

De fordelinger, der forbindes med køteorien, er den negative exponentialfordeling (= M), den deterministiske fordeling (=D)og erlangfordelingen (= E_k)³. Da de to første fordelinger er specialtilfælde af erlangfordelingen, resumeres kort nogle karakteristiska for denne:

7er erlangfordelt med parametre (k,k), når sandsynlighedstætheden for Yer givet
ved

(10)

hvor E{Y), V{Y) og CV{Y) er henholdsvis middelværdi, varians og variationskoefficient
Y.

For k—> og, mens E(Y) = k/Å holdes konstant lig \i, fås det deterministiske tilfælde

---

3. Erlangfordelingen er et specialtilfælde af gammafordelingen, hvor den ene af gammafordelingens to parametre, formparameteren, er heltallig.

For k= 1 fås exponentialfordelingen

For tilfælde med meget variable funktions- og/eller betjeningstider (100 %'s variation i forhold til forventet værdi) vil exponentialfordelingen være velegnet, mens det deterministiske tilfælde repræsenterer modpolen til exponentialfordelingen (maskinens funktions- og/eller betjeningstid er lig en konstant værdi). For variationsforhold i maskinernes funktions- og/eller betjeningstider, der ligger mellem 0-100%, kan erlangfordelingen anvendes ved passende valg af k.

Ifl. additionssætningen for gammafordelte variable er erlangfordelingen med parametre (A, k) fordelingen af summen k uafhængige og ens exponentialtfordelte variable. Dvs., hvis igangsætningen af en maskine foregår i k faser (fx k punkter i en systematisk arbejdsplan for reparation af standsede maskiner), og betjeningstiden i hver af de k faser er exponentialtfordelt med middelværdi l/A, vil den samlede betjeningstid være erlangfordelt med parametre (A, /c).

5. Definition af operatør- og maskineffektiviteten

De centrale effektivitetsmål for maskininterferensproblemet er operatør- og maskineffektiviteten, jf. Benson og Cox (1951). Da vi beskæftiger os med stokastiske modeller, defineres effektiviteterne ved sandsynlighedsfordelingen for antal fungerende P{X =x)= P_x; (x = 0,1, ...,N fungerende maskiner).

Operatøreffektiviteten Eo defineres som den forventede andel af totaltiden,
operatøren er beskæftiget med reparation af maskiner. Dvs. Eo må være lig
sandsynligheden for, at mindst én maskine er standset:

(2)

Maskineffektiviteten E_m defineres som den forventede andel af den samlede maskintid (= NT, for JV maskiner i produktionsperioden T), hvor maskinerne fungerer, dvs. som forholdet mellem det forventede antal fungerende maskiner og det totale antal maskiner:

(3)

Når der kun er en operatør, som her, gælder der en simpel relation mellem Eo og Em.

Lad den forventede tidsafstand mellem en maskines successive stop være lig l/A og
den forventede betjeningstid pr. standset maskine være lig \j\i. Man har da

(4)

hvor g er trafikintensiteten defineret som4:

(5)

altså som det forventede antal tidsenheder, operatøren må arbejde for at holde en
enkelt maskine kørende en tidsenhed.

6. En analogi mellem maskininterferensproblemet og Erlangs afvisningssystem for telefontrafik

Et af de ældste bidrag til køteorien er det kendte erlangske afvisningssystem for telefontrafik (Erlangs »tabsformel«), som en del forfattere har beskæftiget sig med i dette århundrede. Foruden A. K. Erlangs arbejder, se Brockmeyer, Halstrøm og Jensen (1948), bør nævnes Palm (1937 og 1943).

Maskininterferensproblemet er et af de problemer, der kan belyses ud fra det
erlangske afvisningssystem, hvilket i det følgende skal vises ved hjælp af et heuristisk
argument.

Betragt en telefoncentral, der har N trådpar (ledninger, forbindelser mm.), og lad TAT_A og TBT_B være stokastisk uafhængige variable, der angiver henholdsvis tiden mellem successive kunders ankomst til systemet og samtaletiden (betjeningstiden) med sandsynlighedstætheder⁵ og forventede værdier givet ved:

(6)

Tilsvarende defineres for maskininterferensproblemet i tilfælde med en operatør og N maskiner - SAS_A og SBS_B som uafhængige stokastisk variable, der angiver henholdsvis maskinens funktions- og betjeningstid med sandsynlighedstætheder⁵ og forventede værdier givet ved:

(7)

Tankegangen i det heuristiske bevis for analogien mellem de to ovennævnte
processer er at vise, at overgangene mellem forskellige tilstande i de to systemer er de
samme.

---

4. q måles i erlang og kaldes ofte for betjeningsfaktoren.

5. Der antages, at typen af sandsynlighedstætheder opfylder de krav, der er for anvendelsen af teorien for markovprocesser, jf. Feller (1957).

Antag fx, at man betragter afvisningssystemet på et tidspunkt, hvor alle N ledninger optaget («er i funktion«)^ Der vil da for hver afledningerne gå en tid givet ved fn{t_B) med middelværdi l/b, før de bliver ledige. Dette svarer til, at alle maskinerne fungerer, og der for hver af maskinerne vil gå en tid givet \eåf_A(s_A) med middelværdi l/A, før de stopper (»bliver ledige for operatøren«). Når en ledning bliver ledig, går der en tid, der er givet vedf_A(t_A) med middelværdi l/a, før ledningen bliver optaget igen, idet kunden, der ankom lige før ledningen blev fri, er blevet afvist. Dette svarer til, at når en maskine er stoppet, går der en tid givet \edf_B(s_B) med middelværdi 1/ju, før den er produktiv igen, osv... .

Ved en fortsættelse af ovennævnte argumentation vil det fremgå, at alle overgange mellem tilstande i de to systemer er sammenfaldende, når man sammenligner »ankomstforhold« i maskininterferensproblemet med »betjeningsforhold« i afvisningssystemet:

Det er hermed klart, at modellen

A\B\l med N maskiner

i maskininterferensproblemet svarer til (et »dualt« problem til) modellen

B\A\N med 0 køpladser

i afvisningssystemet, som jo netop er karakteriseret ved, at der ingen kø opstår.

Af ovenstående følger umiddelbart, at fordelingen i statistisk ligevægt for antal fungerende maskiner P_x svarer til P'_x for antal optagede ledninger (x = 0,1,. . ?iV). Endvidere vil »tabet« B, som er sandsynligheden for, at kunder afvises (B = P'_N), for en trafikintensitet på qq_{e =} {l/b)/(l/ = a/b svare til (1 — Eo)E_o) for en trafikintensitet på q= (1/ai)/(1/ = A/ii =l/Q_Et idet

(8)

De meget omfattende tabelværker, fx Jensen (1950), over »tabet« i afvisningssystemet
således også anvendes til at finde Eo (og dermed Em) i maskininterferensproblemet.

---

6. Dette begrænser ikke analysen, da systemet er fuldstændig ergodisk, og dermed uafhængig af en given initialtilstand.

7. Udledning af nogle modeller for maskininterferensproblemet

For at kunne bestemme operatør- og maskineffektiviteten kræves som tidligere omtalt kendskab til fordelingen i statistisk ligevægt af antal fungerende maskiner P_x (x = 0,1,. . ?iV). Ved hjælp af den ovenfor omtalte analogi kan P_x udledes for følgende sæt modeller (forskellige antagelser om de statistiske fordelinger for maskinernes funktions- og betjeningstid).

For de fire første afvisningsmodeller i tabel 1 kan det bevises, jf. Kosten (1948), at fordelingerne i statistisk ligevægt af antal optagede ledninger er sammenfaldende. Dvs. for maskininterferensproblemet påvirkes effektivitetsmålene E_o og E_m ikke af at man antager forskellige statistiske fordelinger for en maskines funktionstid, når betjeningstiden er exponentielt fordelt (dvs. meget variabel). For modellen M\M\\, og dermed modellerne £_fc|M|l, D\M\\ og G\M\\ får P_x følgende udseende:

(9)

hvor q er trafikintensiteten.

Eo (og dermed Em jf. (4)) beregnes derfor som, jf. (2)

(10)

Modellerne M\M\\, M|£m|l og M|D|l er specialtilfælde af modellen M\G\l, som
dermed indeholder alle maskininterferensmodellerne i tabel 1. Udtryk for operatørog
i modellen M\G\\ er angivet i Appendix 1.

---

7. Løsningerne til modellerne kan fx ses hos Palm (1937, 1943).

8. Modellen M\M\\ er løst af Palm (1947), modellen M|£Jl af Joffe (1971) og modellerne M\G\\ og M\D\\ af Ashcroft (1950). Ashcroft's løsning af modellen M\G\\ er i en noget omarbejdet form angivet i Appendix 1.

8. Modellen E_k\E_m\1

En af de mest generelle modeller for maskininterferensproblemet er modellen E_k\E_m\\, i hvilken både funktions- og betjeningstiden for maskinerne antages at følge erlangfordelingen med parametre henholdsvis (/c/.,k) og (m[i,m), og dermed middelværdier henholdsvis l/Å og l/fi.

Denne model indeholder alle de tidligere omtalte (dog undtaget M|G|l) for
passende valg af k og m {Ex =M, EX=D). Det helt deterministiske tilfælde, D|D|l, er
således også indeholdt i denne model (/c, m—K)o).

For at kunne anvende teorien om markovprocesser antages, at både den erlangfordelte funktions- og betjeningstid består af henholdsvis k og m exponentialtfordelte faser med middelværdier henholdsvis \/kk og l/m/i⁹. Begge processer starter i fase »1« og ender henholdsvis i fase »/c«, hvor en maskine stopper, og i fase »m«, hvor en betjening afsluttes. For hændelsesforløbet i et lille tidsinterval (t,t + At) antages desuden, at:

1. sandsynligheden for, at en ankomstfase afsluttes i (t,t + At), når den ikke var afsluttet til tiden t, er lig¹⁰ k/Jt + o(At). Den betingede sandsynlighed for, at en ankomstfase afsluttes i (t,t + At), når der var n maskiner i den pågældende fase til tiden t, er lig nkÅAt + o(At); «=0,1,.. „N

2. sandsynligheden for, at en betjeningsfase afsluttes i (t,t + At), når betjeningsfasen
ikke var afsluttet til tiden t, er lig mfiAt + o{At),

3. sandsynligheden for hændelser, der involverer 2 eller flere af ovennævnte
hændelser i tidsintervallet (t,t + At), er lig o (At).

Lad P_x{n_x,n₂,.. „n_k\j) betegne ligevægtssandsynligheden for, at der er *(=£>;) fungerende maskiner, hvoraf«, (i= 1,. . „ k) er i ankomstfase »i«, givet at en af de N-x standsede maskiner er i betjeningsfase »7« (j= 1, 2,. . „ m). j=o, når alle maskiner fungerer. For at kunne fremstille ligningssystemet i en enkel form, angives det typiske sæt ligninger gældende for (j = 2,. . „m og x— 3,. . „N —2), hvor P_x{n₁,. . „n_k ^\j) =0 for alle n,<o, idet nedenstående ligningssystem ændrer form for 7 = 1 og x= 0,1,2, N—l og N(a —kk og b= m^i er de forventede intensiteter, hvormed henholdsvis en ankomstfase og betjeningsfase afsluttes).¹¹

---

9. Hermed ikke sagt, at processerne indeholder denne struktur, men fordelingen er blot i stand til at simulere ankomst- og betjeningsprocessen.

10. o(At) samler alle led, der er proportionale med (At)²,(Atf, , og er givet ved o(At)/ -> 0 for At -> 0

11. Eksempler på ligningssystemets udseende og løsning kan ses hos Kristensen (1976).

(11)

I nedenstående opstilling er ligningssystemet fremstillet således, at lodrette pile
indikerer, at en betjeningsfase afsluttes, og vandrette pile indikerer, at en ankomstfase
afsluttes.

Som det fremgår af (11) og tabel 2 vil ligevægtssituationen være karakteriseret
ved, at de »kræfter«, der forsøger at ændre tilstanden Px(nu. . „nk\j), vil være lig de
»kræfter«, der forsøger at opretholde denne tilstand.

Det har ikke været muligt at finde nogen generel løsning for ligningssystemet, defineret som P_x(n₁,. . „n_k\j) udtrykt som en funktion af (x, N, k, m, /., nog n,). Da ligningssystemet har en entydig løsning, vil man altid kunne løse L ligninger med L übekendte (L = antal forskellige tilstande P_x{n^. . „n_k ^\j). Dette bliver dog hurtigt en uoverskuelig opgave, eftersom ligningssystemet hurtigt vokser i størrelse med stigende værdier af N, k og m. Ud fra kombinatoriske argumenter kan det vises, at antallet af ligevægtssandsynligheder P_x{n₁,. . „n_k\j) bliver (antal måder summen x kan fordeles på k pladser, når n,^o, / = !,. . „k):

(12)

idet for x<N er der for hver kombination af {nl,. . „nk) desuden m betjeningsfaser
(jf. Kristensen (1976)).

I næste afsnit foreslås derfor en approximation af effektiviteterne Eo og Em i
modellen £fc|£Jl12.

---

12. Der kan dog etableres en EDB-løsning, hvor første fase består i en generering af hele ligningssystemet ud fra et sæt regler, og næste fase består i løsning af det fremkomne liniære ligningssystem.

9. En approximation af effektiviteterne E_o og E_m i modellen £_k|£Jl.

Det vil være naturligt at forsøge en liniær approximation af effektiviteterne i E_k\EJl ved effektiviterne i denne models grænsetilfælde: D\D\\¹³ (/c,m = oo), M\D\l (k=\, m= oo), D\M\\ (/c = 00, m=l) og M\M\\ {k,m = l), baseret på variationskoefficienterne maskinens funktions- og betjeningstid.

Lad E(CV_a, CV_h) være henholdsvis operatøreffektiviteten (E = E0)E₀) og maskineffektiviteten =£J i modellen £_k|£Jl, hvor CV_a=l/\/~k og CV_b=\/]/m er variationskoefficienterne for henholdsvis den erlangfordelte funktionstid (med k faser) og erlangfordelte betjeningstid (med m faser). Man har da, at

Som en approximation af effektiviteterne i £k|£Jl kunne derfor benyttes14' 15:

(13)

Men da £(0,1) = £(1,1), jf. afsnit (7), fås:

(14)

Approximationen bygger på, at ved successive reduktioner i variationen af maskinernes funktions- og betjeningstid bliver effektiviteterne højere jo mere betjeningstidens variation reduceres i forhold til en reduktion af variationen i maskinernes funktionstid. En nærmere redegørelse og begrundelse for approximationens kan ses hos Kristensen (1976).

I appendix 2er operatøreffektiviteten £₀ (og dermed £_m) angivet ien række modeller, bl.a. modellerne i approximationen. E_o er anført for trafikintensiteter på q = 0.1 og 0.5, idet den største forskel i effektiviteterne mellem modellen M|M|l og modpolen D|D|l findes for ø-værdier på 0.1-0.5. Størst forskel findes for q = 0.5 og N = 2,3 og 4.

I tabel 3 er et eksempel på anvendelse af approximationen angivet. Vi har valgt at
sætte ø = 0.1 og 0.5 og N= 2,3,4 i modellen E2\E2\l (CVa = CV„ = 0.7l).

---

13. Udtryk for E_o og E_m i modellen £>|D|l er angivet hos Kristensen. (1976).

14. Cox og Smith (1961) har foreslået en approximation af eff. i modellen M|£Jl. Denne approximation er indeholdt i ovennævnte approximation af eff. i £k|£m|l.

15. Det ses, at approximationen holder for alle kombinationer af CV_a, CF_b = 0,1.

Som det fremgår af tabel 3 er approximationen behæftet med fejl selv for 2 decimalers
nøjagtighed. Hertil må bemærkes, at kritiske værdier for ovennævnte approximation
er små N-værdier og /c(hhv. m)-værdier16.

Approximationen vil derfor være tilstrækkelig god med 2 decimalers nøjagtighed
for noget større værdier af iV og k(hhv. m).

10. Nogle praktiske eksempler

Køproblemer med kundeankomster fra en endelig population kan opdeles i de
tilfælde, hvor betjeneren (»operatøren«) er en fast installation og i de tilfælde, hvor
han ikke er det.

Som eksempler på køproblemer med en endelig kundepopulation, hvor betjeneren ikke er en fast installation, kan nævnes (1) maskininterferensproblemet, (2) en praktiserende læge med en fast kundekreds og (3) en leder, der opsøges af medarbejdere for at tage del i en beslutning.

Som eksempler på køproblemer med en endelig kundepopulation, hvor betjeneren er en fast installation, kan nævnes (1) en EDB-maskine, hvor CPU-tiden anvendes af en begrænset kreds (programmører, mm.), (2) en slibemaskine på et autoværksted, som betjener et begrænset antal mekanikere og (3) en fotokopieringsmaskine, som anvendes af et begrænset antal medarbejdere i en virksomhed.

Sidstnævnte eksempel danner grundlag for følgende konstruerede regneeksempel
på anvendelsen af modellerne.

På et kontor, hvor der er N=ls ansatte, har man i mange år lejet en fotokopieringsmaskine ( = »operatør«). Ved genforhandling af lejekontrakten bliver man pludselig stillet over for muligheden af at købe fotokopieringsmaskinen i stedet for at fortsætte lejemålet.

En hurtig beregning viser, at hvis den udnyttes mere end 98 % af arbejdstiden, vil
investeringen være fordelagtig.

---

16. For små /e-værdier reduceres variationskoefficienten meget, hvis k stiger til k + \. Fx giver fe =1.2,3 og 4 variationskoefficienter (= lj/fe) på 1.0, 0.71, 0.58, 0.50, mens lidt større fe-værdier fe =10, 11, 12 og 13 giver følgende variationskoefficienter: 0.32, 0.30, 0.29 og 0.28.

Fra mange års erfaring ved man, at hver enkelt medarbejder i gennemsnit bruger fotokopieringsmaskinen 10 gange i timen (dvs. 6 min. (= 1//.) i gennemsnit mellem hvert besøg), og det tager i gennemsnit 36 sekunder (= \/fj) at færdigbetjene sig ved maskinen.

Tidsafstanden mellem successive anvendelser af fotokopieringsmaskinen er meget
variabel for de enkelte medarbejdere og kan da antages at være exponentialtfordelt.

Tidsforbruget ved fotokopieringsmaskinen afhænger af, om man skal have
1,2,3,. . . kopier, men i de fleste tilfælde tages kun en kopi og i meget få tilfælde 10
kopier og derover. Tidsforbruget ved maskinen kan således også antages at være
exponentialfordelt17.

En beregning af fotokopieringsmaskinens udnyttelsesgrad (= »operatøreffektiviteten«
o) foretages da ved anvendelse af modellen M\M\\\

l/Å = 6 min. = 360 sekunder i gns. mellem hvert besøg
1/jU = 36 sekunder - gns. betjeningstid.
Q = (l//i)/(l/ = 36/360 = 0.1 erlang

og Eo beregnes til, jf. tabel Al i Appendix 2. (£ = 0.1 og N— i5):

Den ovennævnte investering er dermed ikke fordelagtig

Hvis arbejdsprocessen ændres, således at variationen i tidsforbruget ved fotokopieringsmaskinen bliver reduceret (fx ved at opdele store fotokopieringsopgaver mindre portioner og øgede bestræbelser på at samle små opgaver (fx 1 kopi) i noget større opgaver), kan investeringen blive fordelagtig.

Antag fx variationen i tidsforbruget ved fotokopieringsmaskinen reduceres fra 100% (variationskoefficient for exponentialfordelingen) til 50%, således at tidsforbruget kan beskrives ved en erlangfordeling med samme middelværdi (l/ju = 36 sekunder) og med k=4 (variationskoefficient — l/]/k = 0.5). Maskinens udnyttelsesgrad _o beregnes derfor ud fra modellen M|£₄|l, med N= 15 og @= 0.1, til (jf. tabel Al i Appendix 2):

Dvs. at den ovennævnte ændring af arbejdsprocessen vil gøre investeringen
fordelagtig.

---

17. Samplingeksperimenter har godtgjort, at processer, hvor der er mange »små hændelser« og meget få »store hændelser« approximativt kan beskrives ved exponentialfordelingen.

Litteratur

Ashcroft, H. 1950. The Productivity of
Several Machines under the Care of One
Operator. J. R. Stat. Soc, B, 12.

Benson, F. og Cox, D. R. 1951. The Productivity of Machines Requiring Attention Random Intervals. J. R. Stat. Soc, B, 13.

Brockmeyer, E., Halstrøm, H. L. and Jensen,
A. 1948. The Life and Works of A. K.
Erlang. Acta Polytechnica Scandinavica.

Cox, D. R. and Smith, W. L. 1961. Queues.
London.

Feller, W. 1957. Probability Theory and its
Applications. Vol. I. New York.

Jensen, A. 1950. On Moe's Principle.
København.

Joffe, A. D. 1971. On the Productivity of
Machines Tended by a Single Operator.
Applied Statistics, Vol. 20.

Litteratur

Kosten, L. 1948. On the Validity of the
Erlang and Engset Loss Formulae. Het P.
T. T. Bedrijf, 2.

Kristensen, J. 1976. Maskininterferensproblemet. af operatør- og maskineffektiviteten tilfældet: en operatør og N maskiner. Stor opgave ved polit-studiet.

Palm, C. 1937. Inhomogeneous Telephone

Palm, C. 1943. Intensitatsschwankungen im
Fernsprechverkehr. Ericsson Technics, No.
44.

Palm, C. 1947. Arbejdskraftens fordeling vid
betjåning av automatmaskiner. Industritidningen
Vol. 75.