Resumé

summary: In this article the income elasticity of the marginal utility of money, the socalled flexibility, is estimated for Denmark using observations from the national accounts covering the period 1966-1976. The flexibility is estimated for each of the eleven commodity groups, which are assumed preference independent, by two different demand models, and a common estimate is obtained for each model as a weighted average with budget shares as weights. These estimates are —1.38 and —1.23 respectively.

1. Indledning

I moderne efterspørgselsanalyser indtager indkomstelasticiteten i pengenes grænsenyttefunktion kaldet pengenes grænsenyttefleksibilitet en central placering, idet kendskab til denne samt udgiftselasticiteterne (Engel-elasticiteterne) og budgetandelene i tilfælde af behovsuafhængighed mellem de betragtede varegrupper muliggør beregning af de direkte og indirekte priselasticiteter i henholdsvis den nominaludgiftskonstante (Cournot-elasticiteter) og realudgiftskonstante efterspørgselskurve

Beregningsmetoden er etableret af Frisch (1959), og der er siden foretaget en række forsøg på at estimere pengenes grænsenyttefleksibilitet i forskellige lande, men os bekendt er dette ikke forekommet i Danmark. Formålet med denne artikel er derfor at give danske estimater for størrelsen til brug ved eventuelle beregninger af priselasticiteter for forskellige varegrupper på basis af de senere års forbrugsundersøgelser.

Den anvendte estimeringsmetode er traditionel, idet estimationen foregår indirekte via anvendelse af Cournot- og Engel-elasticiteter estimeret for en række varegrupper ved hjælp af to traditionelle typer af efterspørgselsmodeller. Denne metode anvendes oprindeligt i Frisch (1959) og er anvendt her for at se variationen over de forskellige varegrupper. Senere er andre forslag fremkommet; se eksempelvis Bjørn (1974) dg Theil and Brooks (1971).

Foruden en kortfattet teoretisk gennemgang omhandler artiklen en oversigt over

skøn og estimator for pengenes grænsenyttefleksibilitet fra forskellige kilder samt implicitte anslag fra et dansk arbejde. Desuden gennemføres en diskussion af de anvendte efterspørgselsmodeller og de estimeringsmæssige problemer, hvorefter resultaterne af analysen præsenteres og vurderes.

2. Det teoretiske fundament

Udgangspunktet for analysen er eksistensen af en repræsentativ konsument med
nyttefunktionen u(xl .v„) og budgettet Y=p'x, hvor p og x er henholdsvis pris- og
kvantumsvektoren. begge med ikkc-negativc elementer, og Y er totaludgiftsbeløbet.

Maksimering af nyttefunktionen med budgettet som bibetingelse fører til Gossenbetingelserne:
i/pi — Uj/pj —a)= du(x1,...,xn)/SY, i=1,...,n, hvor co er pengenes
grænsenytte, og i/; = <$i/(.\j,. . ?x„)/

Som anført indledningsvis, defineres pengenes grænsenyttefleksibilitet som
elasticiteten af to med hensyn til indkomsten:

(1)

Størrelsen introduceres indirekte af Pigou (1910) og adopteres af Frisch (1932) med det formål at simplificere beregningen af Cournot-elasticiteter (Pigou 1910 og Frisch 1959). Dette muliggøres, da pengenes grænsenyttefleksibilitet indgår i den prisafledede af efterspørgselsfunktionen og dermed i elasticiteten, hvilket fremgår af følgende generelle fremstilling af Cournot-elasticiteten:

(2)

hvor etj er Cournot-elasticiteten, uIJulJ er det ij'te element i den inverse til
nyttefunktionens Hessematrix og otj er budgetandelen for den/te vare. (Se Kristensen,
1978).

Af (2) fremgår, som det først påpeges af Frisch (1959), at hvis vare / og j er
behovsuafhængige, dvs. uij =o,da vil eu kunne beregnes udelukkende med kendskab
til pengenes grænsenyttefleksibilitet og Engel-elasticiteterne:

(3)

hvor å_u=l for i=j og 0 ellers.¹ Da £, kan beregnes på grundlag af løbende forbrugsundersøgelser, fremgår det, at såvel de direkte som indirekte Cournotelasticiteter behovsuafhængige varegrupper normalt vil kunne bestemmes, hvis der tilvejebringes et skøn over pengenes grænsenyttefleksibilitet.

---

1. Man bemærker, at når en post betyder relativt lidt på budgettet, vil approksimationen e_u = E_i:o)* kunne benyttes. Formlen er generelt valid, hvis pengenes grænsenytte holdes konstant (se Pigou, 1910, p. 638).

Fra teoretisk hold er det muligt at give visse begrænsninger for co*'s variationsområde afhængig af de bånd, som nyttefunktionen pålægges. Normalt antages det som en følge af anden ordens betingelserne for et maksimum, at nyttefunktionens Hessematrix er negativ definit, således at funktionen bliver strengt konkav. Dette indebærer, at pengenes grænsenyttefleksibilitet overalt bliver negativ.

3. Frisens skøn og empirisk verifikation

Foruden de beregningsmæssige formler anførte Frisch i sin 1959-artikel et skøn
over størrelsesordenen af pengenes grænsenyttefleksibilitet, der i citat lyder (Frisch,
1959, p. 169):

We may, perhaps, assume that in most cases the money flexibility has values of the order of
magnitude given below.

a* — —10 for an extremely poor and apathetic part of the population.

oj* =-4 for the slightly better off but still poor part of the population with a farily
pronounced desire to become better off.

co* ——2 for the middle income bracket, "the median part" of the population.
co* = —0.7 for the better off part of the population.

c-j* = —0.1 for the rich part of the population with ambitions towards "conspicuous
consumption."

På basis heraf synes det rimeligt at antage, at Frisch er af den opfattelse, at pengenes grænsenyttefleksibilitet for den repræsentative konsument afhænger af populationens indkomstniveau og indkomstfordeling. Betragter man således en population med lavt indkomstniveau og skæv indkomstfordeling, tenderer pengenes grænsenyttefleksibilitet den repræsentative konsument mod —10, medens det omvendte forhold kan føre til skøn væsentlig over —2.

I Brown and Deaton (1972) er der gengivet en række estimater for pengenes
grænsenyttefleksibilitet, som vi har samlet i tabel 1.

Det frengår af tabellen, at de empiriske resultater med visse forbehold er i overensstemmelse med Frischs konjektur. Der synes således at være en tendens til, at de numerisk laveste værdier for grænsenyttefleksibiliteten skal findes hos lande med et højt realindkomstniveau. Afvigelserne i tabellen findes specielt, hvor der er tale om regionale data, hvilket udover den normale statistiske usikkerhed kan skyldes regionale variationer i realindkomsten.

Som fremført indledningsvis, synes danske estimater på pengenes grænsenyttefleksibilitet mangle. Imidlertid har Andersen (1975, p. 86 og 103) beregnet Cournotog for en række forbrugsgrupper, mellem hvilke det ikke synes urimeligt at antage behovsuafhængighed. Anvendes disse resultater som grundlag for en beregning af grænsenyttefleksibiliteten, fremkommer tabel 2.

Resultaterne i tabellen synes ret diffuse med en unormal variation i fleksibiliteten over de forskellige varegrupper og over tiden. Man bemærker i øvrigt, at korttidselasticiteterne for fødevarer er inkonsistente, idet resultaterne betyder et mod origo konkavt indifferenskort. Hertil bør dog bemærkes, at Andersen selv har ringe tiltro til sin fødevarerelation, og at der (jf. praksis) ikke er estimeret under de valghandlingsteoretiske bibetingelser (op. cit. p. 84 og 73). Endvidere kan resultatet skyldes, at forudsætningen om den repræsentative konsument (Frisch 1959, p. 177) ikke er opfyldt. Dixon (1975, p. 60) anfører således, at opfyldelsen af de valghandlingsteoretiske restriktioner hos den enkelte konsument ikke er en tilstrækkelig betingelse for restriktionernes validitet i studiet af aggregeret konsumentadfærd. Under visse forudsætninger er det dog muligt direkte at overføre

mikroadfærden til den aggregerede konsumentadfærd. Dette er således tilfældet, hvis det forudsættes, at den aggregerede nyttefunktion er et vejet gennemsnit af de individuelle nyttefunktioner med den reciprokke værdi af de individuelle w'er som vægte.

4. Nogle estimater for Danmark 1966-1976

Tilvejebringelse af estimater for pengenes grænsenyttefleksibilitet vil i nærværende arbejde finde sted på basis af data over det private konsum fra nationalregnskabsstatistikken Sammen med to fra en valghandlingsteoretisk synsvinkel forskellige efterspørgselsmodeller, hvori indkomst og priser forudsættes eksogene, anvendes dette materiale til estimation af Cournot- og Engel-elasticiteterne for en række aggregerede varegrupper, som uden dokumentation påstås at være behovsuafhængige. Anslagene over den direkte Cournot-elasticitet og Engelelasticiteten herefter i forbindelse med beregningsformlen for Cournotelasticiteter behovsuafhængighed (3) til beregning af gruppebaserede skøn over grænsenyttefleksibiliteten, som til slut indgår i en sammenvejning via budgetandelene til det endelige skøn over pengenes grænsenyttefleksibilitet.

4.1 Datamaterialet

Analysens datamateriale hentes fra nationalregnskabsoplysningerne i Statistisk Tiårsoversigt 1978. Heri findes registreringer over det private konsum fordelt på 11 hovedgrupper i såvel løbende som faste priser samt hovedgruppernes procentvise fordeling. Registreringerne dækker perioden 1966-1976 og omfatter følgende grupper: »Fødevarer«, »Drikkevarer og tobak«, »Fodtøj, tekstil og beklædning«, »Husleje«, »Brændsel, el, gas og varme«, »Varige forbrugsgoder til hjemmet og til personlig brug«, »Anskaffelse og vedligeholdelse af egne transportmidler«, »Andre forbrugsvarer«, »Kollektiv transport og kommunikation«, »Andre tjenesteydelser«, »Udgifter i udlandet«.

En overførsel af registreringerne til den sædvanlige valghandlingsteoretisk
terminologi giver anledning til følgende definitioner:

x,: Forbrug per capita i faste priser af den fte varegruppe, i=\,. . ?11.
P(: Prisindex for den fte varegruppe beregnet som forholdet mellem forbruge
løbende priser og forbruget i faste priser, i= 1,. .., 11.

---

2. Omfatter bl.a. praktiserende læger, tandlæger, dyrlæger, advokat- og revisionsvirksorr private skoler, private hospitaler og plejehjem samt medhjælp ved husgerning.

77: Prisindex omhandlende alle andre varegrupper end den fte beregnet som

forholdet mellem forbruget i løbende og forbruget i faste priser, i= 1,. . „ 11
Y: Totaludgiften (»indkomsten«) per capita i løbende priser.

Som ovenfor anført defineres forbrug og totaludgift (i det følgende kaldet indkomst) per capita. Omregningen af nationalregnskabstallene hertil er foretaget på grundlag af befolkningsoplysningerne i samme tiårs-oversigt, som er kilde til det øvrige datamateriale.

4.2 De anvendte efterspørgselsmodeller

To traditionelle efterspørgselsmodeller danner grundlag for estimering af de direkte Cournot-elasticiteter og Engel-elasticiteterne og dermed for pengenes grænsenyttefleksibilitet. Den ene model baseres på en direkte specifikation af efterspørgselsfunktionen og benævnes i.h.t. Brown and Deaton (1972) den pragmatiske model, medens den anden kan betragtes som en lineær approksimation via Taylor's formel af den generelle efterspørgselsfunktion udtrykt på elasticitetsform.

Den pragmatiske model, der gennem tiden har været meget populær, har den
logaritmiske form af Cobb-Douglas funktionen som udgangspunkt:

(4)

hvor a, er en konstant. Ifølge homogenitetsbetingelsen eksisterer der følgende relation
mellem modellens elasticiteter:

(5)

hvoraf følger, at modellen også kan skrives som:

(6)

hvilket desuden indebærer visse statistiske fordele i retning af større præcision grundet formindsket multicollinearitet. Relation (6) benævnes i det følgende model 1. Som nævnt er denne model meget populær i praktiske efterspørgselsstudier, og man støder derfor ofte på modellen i litteraturen. Der kan således bl.a. henvises til Schultz (1938), Wold and Jureen (1952) og Amundsen (1963).

Den anden af de anvendte modeller baseres på differentialet til logaritmen til den
generelle efterspørgselsfunktion:

(7)

der ved indførelse af homogenitetsbetingelsen kan ændres til

(8)

Idet t betegner tiden, og idet dlnx substitueres af lnxt — /«x,_, =/«(x(/xrr_1), bliver
modellens udformning i de endelige ændringer følgende:

(9)

idet fodtegnet ; af bekvemmelighedshensyn er undertrykt for de variable. Relation (9)
benævnes i det følgende model 2.

Det fremgår af ovenstående, at der er tale om to varianter af den dobbeltlogaritmiske model, hvor de variable i den første model er udtrykt i niveau og i den anden i de årlige ændringer. Fra en estimationssynsvinkel er der således kun tale om én modeltype, bortset fra at model 2 estimeres uden konstantled, medens der fra en efterspørgselsteoretisk synsvinkel som foran anført er tale om to væsensforskellige modeller.

Begge de anvendte modeller lider af en række svagheder, hvoraf den mest iøjnefaldende er antagelsen om, at såvel Cournot- som Engel-elasticiteterne er konstante for alle værdier af de eksogene variable. Ydermere er det kun homogenitetsbetingelsen, som introduceres i modellerne, medens andre velkendte elasticitetsbetingelser, bl.a. symmetribetingelsen, holdes ude. Svaghederne ved modellerne er således markante, og vi påpeger derfor, at de efterfølgende estimationsresultater må tolkes i lyset heraf.

4.3 Empiriske resultater

Estimation af parametrene i model 1 er gengivet i tabel 3, hvoraf det fremgår, at de direkte Cournot-elasticiteter i grupperne 5 og 10 har positivt fortegn. Resultaterne er imidlertid insignifikante og desuden inkonsistente (dvs. i modstrid med valghandlingsteorien). For gruppe 5 fremtræder dette umiddelbart, da gruppeestimatet pengenes grænsenyttefleksibilitet er positivt, medens det for gruppe 10 fremkommer ved beregning af den direkte Slutsky-elasticitet, der i modstrid med teorien antager positivt fortegn. Resultatet er desuden uforeneligt med forudsætningen behovsuafhængighed, idet Engel-elasticiteten er negativ. For de øvrige grupper, hvor estimaterne ikke umiddelbart kan forkastes som inkonsistente, bemærkes, at kun Cournot-elasticiteten for fødevarer og udgifter i udlandet samt Engel-elasticiteten for kollektiv transport ikke er signifikant forskellig fra nul. Endvidere antager estimaterne korrekt fortegn. Problemerne omkring eventuel autokorrelation er søgt belyst gennem testobservatoren DW (Durbin-Watson), hvorved eventuel autokorrelation forudsættes at følge et første ordens autoregressivt skema. Resultaterne indicerer, at autokorrelationsproblemer kun kan indtræffe i brændsels- samt fødevarerelationen.

For model 2 er resultaterne af estimationen gengivet i tabel 4. hvoraf det umiddelbart fremgår, at resultaterne i grupperne 5 og 10 igen er inkonsistente. Bortset herfra giver alle Cournot-elasticiteterne korrekt fortegn, men resultaterne er insignifikante for grupperne 2. 4. 6 og 11. hvoraf sidstnævnte tillige udviser et insignifikant resultat for Engel-elasticitetens vedkommende. Fra et autokorrelationssynspunkt det videre, at grupperne 3. 4 og 6 kan frembringe problemer, hvortil det dog bemærkes, at vi hverken i denne model eller model 1 har fundet det påkrævet med en reestimering af parametrene via GLS.

Beregningsresultatct for pengenes grænscnyttefleksibilitet er gengivet i søjlen yderst ti! højre i tabellerne 3 og 4, hvor de individuelle re^ultatei lur de enkeiie varegrupper for modellerne 1 og 2 ligger i intervallerne (— 3,095; —0,288) og (—4,169; —0,456), når der ses bort fra de inkonsistente resultater, som i øvrigt ikke anvendes i de videre beregninger.³

Fællesestimatet for pengenes grænsenyttefleksibilitet er et vejet gennemsnit af de individuelle estimater med det geometriske gennemsnit af budgetandelene som vægte, hvilket er i overensstemmelse med de aggregeringsprincipper, som anvendes for de øvrige af efterspørgselsteoriens elasticiteter. Det opnåede resultat er bemærkelsesværdig med et estimat på — 1,38 for model 1 og — 1,23 for model 2. Dette resultat antyder set i lyset af Frisch-citatet i afsnit 3, at den repræsentative konsument i Danmark tilhører en gruppe, der ligger mellem »The median part« og »The better off part« af befolkningen.

5. Kommentarer og afslutning

Sammenholdes vore to fællesestimater på pengenes grænsenyttefleksibilitet med estimaterne fra afsnit 3, synes resultaterne rimelige. Vore estimater ligger noget nærmere nul end de anførte estimater, et forhold man imidlertid må forvente, da vore estimater tidsmæssigt ligger senere end sammenligningsgrundlaget, således at indkomstniveauet ligger højere med højere estimater til følge.

Anvendes herefter som et rimeligt skøn over pengenes grænsenyttefleksibilitet i Danmark en værdi på —1, 3, kan den praktiske anvendelse heraf til estimation af priselasticiteter illustreres på basis af Forbrugsundersøgelsen 1971. Rasmussen (1978) har tilvejebragt indkomstelasticiteter for en lang række varegrupper ved hjælp af bl.a. den dobbeltlogaritmiske model, hvoraf vi i tabel 5 præsenterer et udsnit

---

3. Den konstaterede variation i pengenes grænsenyttefleksibilitet over de forskellige varegrupper er naturligvis et empirisk fænomen uden teoretisk modstykke. Fænomenet skyldes de imperfektioner, som uundgåeligt optræder, når en enkelt konsuments adfærd søges beskrevet v.h.a. et aggregeret datamateriale. Imidlertid anfører Dixon (1975), der i sit studium fokuserer på den forventede aggregeringsfejl, at variationen næppe er signifikant, når det i afsnit 3 nævnte aggregeringsprincip for nyttefunktioner samt additivitet forudsættes.

sammen med de v.h.a. (3) beregnede direkte priselasticiteter. 1 tabellen er yderligere angivet de direkte priselasticiteter beregnet v.h.a. Pigoifs approksimation. Ved udvælgelsen er der lagt vægt på, at de opnåede resultater kan supplere estimaterne i tabellerne 3 og 4.

Betragter man priselasticiteten for »Fødevarer« beregnet efter Friscrfs metode, finder man en rimelig overensstemmelse med resultaterne i tabellerne 3 og 4. Man finder endvidere, at metoden muliggør en opdeling af gruppen »Drikkevarer og tobak«, der viser, at gruppen består af en aggregering af to i efterspørgselsmæssig henseende forskellige poster. Endelig konstaterer man stor overensstemmelse mellem Frisch's metode og Pigou's approksimation selv for en på budgettet så betydningsfuld post som »Fødevarer«. Konsekvensen heraf er. at man som tommelfingerregel ved beregning af priselasticiteten for en varegruppe kan anvende varegruppens indkomstelastieitet fra eksempelvis jorbrugsundersogelsen divideret med -1,3.

Pigou's metode fremkom så tidligt som i 1910 i en perle af en artikel, der dog viste sig at være langt forud for sin tid. Pigou's tanker om konstant pengegrænsenytte og specielt behovsuafhængighed, der kommer til udtryk i artiklen, vandt først indpas mere end fyrre år senere - til gengæld udgør disse tanker i dag helt berettiget en meget vigtig facet af såvel efterspørgselsteorien som den empiriske efterspørgselsanalyse.

Estimationen af pengenes grænsenyttefleksibilitet ovenfor er som anført traditionel, og svagheden ved den er, at den er baseret på en forudsætning om konstante Cournot- og Engel-elasticiteter. Det er vor opfattelse, at estimationsmetoden forbedres væsentligt ved ophævelse af denne forudsætning. Det er dog samtidig vor opfattelse, at forudsætningens ophævelse bør kombineres med den anvendte specifikation af efterspørgselsfunktionens form gennem en teoretisk baseret variation i elasticiteterne.

Litteratur

Amundsen, A. 1963. Konsumelastisiteter og
konsumprognoser bygd på nasjonalregnskapet.
Tidsskrift 77.

Amundsen, R.; Kristensen, K. 1978. Arbejderstandens
1897. Juristen
Økonomen.

Andersen, E. 1975. En model for Danmark.
Kbh.

Barten, A.P. 1964. Consumer Demand Functions
Conditions of Almost Additive
Preferences. Econometrica 32.

Barten, A.P. 1969. Maximum Likelihood Estimation of a Complete System of Demand Equations. European Economic Review 1.

Bjorn, E. 1974. Estimating the Flexibility of the Marginal Utility of Money: An Errors in Variables Approach. European Economic 5.

Brown, A.; Deaton, A. 1972. Surveys in
Applied Economics: Models of Consumer
Behaviour. Economic Journal 82.

Byron, R.P. 1968. Methods for Estimating Demand Equations using Prior Information: Series of Experiments with Australian Data. Australian Economic- Papers 1.

Deaton, A.S. 1972. The Estimation and
Testing of Systems of Demand Equations.
European Economic Review.

Dixon, P.B. 1975. The Theory of Joint
Maximization. Amsterdam.

Frisch, R. 1932. New Methods of Measuring
Marginal Utility. Tubingen.

Frisch, R. 1959. A Complete Scheme for Computing all Direct and Cross Demand Elasticities in a Model with many Sectors. Econometrica 27.

Hoa, T.V. 1969. Inter-regional Elasticities and Aggregation Bias: A Study of Consumer in Australia. Australian Economic Papers 7.

Johansen. L. 1974. A Multi-sectoral Study o)
Economic Growth. Amsterdam.

Kristensen, K. 1978. Elementer af mikroteorien : Brudstykker cif den statiske eftersporgselsteori. Komp. H, 3. Handelshøjskolen Århus.

Lluch, C. 1971. Consumer Demand Functions.
1958-64. European Economic
Review 2.

Pigou. A.C. 1910. A Method of Determining
the Numerical Value of Elasticities ol
Demand. Economic Journal 20.

Powell, A.A. 1965. Postwar Consumption in Canada: A First Look at the Aggregates. Canadian Journal of Economics and Political 31.

Powell, A.A. 1966. A Complete System of Consumer Demand for the Australian Economy fitted by a Model of Additive Preferences. Econometrica 34.

Powell, A.A.; Hoa, T.V.; Wilson, R.H. 1968. A Multisectoral Analysis of Consumer Demand in the Postwar Period. Southern Economic Journal 35.

Rasmussen, K.H. 1978. En økonometrisk analyse af forbrugsmønstret i danske lønmodtagerhusstande. Hovedopgave ved Institut for Statistik og Datalogi, Handelshøjskolen i Århus.

Schultz, H. 1938. The Theory and Measurement
Demand. Chicago.

Theil, H: Brooks, R.B. 1971. How does the Marginal Utility of Income Change when Real Income Changes? European Economic 2.

Theil. H. 1975. Theory and Measurement of
Consumer Demand. Vol. 1 og 2. Amsterdam.

Wold. H.: Jureen. L. 1952. Demand Analysis.
New York.