summary:

In a perfect capital market, the ordering of [real] investment alternatives established by the net present value criterion is consistent with the investor's time preferences for income as represented by an intertemporal utility function. It is shown that this also holds in the case of a proportional income tax and a constant rate of inflation, provided that both the cash flows and the rate of interest applied in the net present value function are adjusted accordingly.

Problemstilling og forudsætninger

i. Den klassiske investerings teori er som bekendt forankret ien forudsætning om, at kapitalmarkedet er perfekt, dvs. at investor uden begrænsninger kan låne og udlåne til en og samme markedsrente, i. Under denne forudsætning kan realinvesteringsalternativer rangordnes ved hjælp af kapitalværdikriteriet med i som kalkulationsrentefod. Den reale investeringsplan, der bestemmes ved maksimering af kapitalværdien over mængden af mulige alternativer, viser sig nemlig at være konsistent med den totale plan (reale plus finansielle investeringer) , der bestemmes ved maksimering af investors intertemporale nyttefunktion. Den optimale realinvestering kan således findes uden kendskab til nyttefunktionens form; det er tilstrækkeligt at kende markedsrenten.¹

Den klassiske teori siger imidlertid ikke noget om, hvordan man kan tage hensyn til skatter og inflation i en investeringskalkule. Når den serie af forventedenettoindbetalinger, der repræsenterer det enkelte investeringsalternativ, bliver reduceret ved skattebetalinger og realværdien beskæres af prisstigninger, er det ikke på forhånd indlysende, hvilket kapitalværdibegreb man skal benytte.Er det nutidsværdien af de nominelle betalinger før skat, eller skal man regne i faste priser efter skat? Og skal man stadig benytte markedsrenten som

---

Forf. takker lektor A. Geel Andersen og professor J. Vibe-Pedersen for gennemlæsning og kritik.

1. En fremstilling af disse ting findes f.eks. hos Inge Thygesen (1971, kap. 11).

kalkulationsrentefod, eller skal den korrigeres for skat og inflation og da hvordan?

Man kan næppe sige, at problemet er fuldt afklaret i litteraturen, i hvert fald ikke hvad beskatningens rolle angår.² Man ser da også, at mange - omend ikke alle - fremstillinger af investeringsteorien går uden om disse spørgsmål som katten om den varme grød. Imidlertid kommer man ikke uden om at tage stilling til dem, hvis man skal kunne opstille en investeringskalkule, der på forsvarlig måde tager hensyn til så håndfaste realiteter som skatter og prisstigninger.

I det følgende skal vi derfor skitsere, hvordan man kan generalisere den klassiske investeringsteori i denne retning, men uden i øvrigt at indføre mere komplicerede forudsætninger. Vi forudsætter altså fremdeles et perfekt kapitalmarked - vel vidende, at det i bedste fald kun er rimeligt som en approksimation - og markedets nominelle rentefod i antages konstant over tiden. Beskatningen af overskuddet antages at være en proportionalskat med skattesatsen s, og inflationsraten g forudsættes konstant over tiden.

Kapitalværdikriteriet uden skat og inflation

2. Som baggrund for det efterfølgende skal vi kort demonstrere den klassiske
investeringsteoris begrundelse for kapitalværdikriteriet, altså under forudsætningen
s=o, g—o.

Lad investors intertemporale nyttefunktion (V) være defineret på hans indkomster
(forbrugsmuligheder), p%. Indkomsterne refererer til periode 1, 2, 3,. ..,
men tænkes koncentreret i begyndelsen af de respektive perioder, dvs. i tidspunkterne
o, 1,2, ... , så vi har

(O

Investor forventer nu, før han investerer, at råde over indkomsterne pt
(t = o, 1, 2, . . .) i de respektive perioder. Denne initiale indkomstsituation
kan ændres dels ved realinvesteringer, der giver anledning til nettoindbetalingerneat
- hvoraf nogle selvsagt vil være negative - og dels ved finansielle transaktionermed

---

2. Se f. eks. Johansson (1961), kap. 4. Johansson opererer selv med en kalkulerentefod efter skat på (i-j)t', men kun som en »standardantagelse« i mangel af empiriske data (p. 84); han afstår udtrykkeligt fra en deduktiv begrundelse å la en generaliseret klassisk teori som den, vi vil operere med i det følgende (p. 83, n. 42). - Schneider (1967, pp. 339-40) polemiserer med udgangspunkt i Johansson's betragtninger mod den tanke, at skattesatsen overhovedet skulle have nogen indflydelse på kalkulationsrentefoden.

aktionermednettoindbetalingerne dt; her kan være tale om såvel lån til finansieringaf
realinvesteringerne som pengeanbringelser, i begge tilfælde til rentefodeni.
Nettoresultatet bliver da indkomsterne

(2)

eller på vektorform

Nutidsværdien af de finansielle investeringer i et perfekt kapitalmarked
bliver nul, når markedsrenten i benyttes som kalkulationsrente fod:

(3)

det indses måske lettest ved at opløse nettoindbetalingerne i etårige transaktioner
- lån eller udlån - med hovedstol A*:

(Ved en endelig horisont T fås ligeledes K(d, i) = o, idet A t sættes = o, hvormed
det hele er afviklet til t = T).

(3), der kan tages som en definition af et perfekt kapitalmarked, kan ved
hjælp af (2) omformes til

(4)

eller splittet op i tre kapitalværdier med samme rentefod i:

(5)

Betragt nu en vilkårlig given realinvestering, a. Den ændrer indkomstvektorenfra
p ti\ p+a. Hvis investor ikke er tilfreds med denne fordeling af indkomstenover

komstenovertiden, står det ham frit for at justere den yderligere ved finansielletransaktioner (f.eks. lån til dækning af realinvesteringens anskaffelsessum, så han ikke dør af sult i anskaffelsesåret). Han kan her vælge frit mellem alle sådanne finansielle investeringer d, der tilfredsstiller (3); det er det samme som at sige, at han kan realisere enhver indkomstsituation p, der opfylder (4) og dermed (5). Han vil vælge p således, at nyttefunktionen (1) har maksimum under bibetingelsen (5) for det givne a.

3. Lad nu investor være i den situation, at han skal vælge mellem 2 reale investeringsalternativer, defineret ved vektorerne a¹ og a². (Det kan være to forskellige enkeltinvesteringer eller to alternative investeringskæder, eller det kan være den »samme« investering med forskellig levetid; det spiller ingen rolle, blot det er alternativer). Vælger han al,a¹, og optimerer han sine finansielle transaktioner som beskrevet ovenfor, vil han realisere indkomstvektoren p1;p¹; tilsvarende vil a2a² føre ham til situationen p2. Vi har nu, jfr. (5),

(6)

(7)

Antag nu, at det første realinvesteringsalternativ har den største kapitalværdi,

(8)

heraf følger med benyttelse af (6)-(7), at

(9)

Hvis vi nu kan vise, at (9) implicerer, at p¹ giver en større værdi af nyttefunktionen end p₂, er det dermed bevist, at kapitalværdikriteriet rangordner de to reale alternativer i smuk overensstemmelse med den rangordning af de tilsvarende fofø/planer, der etableres af nyttefunktionen V.

At det netop er tilfældet, indses således. Når (9) gælder, kan vi bestemme
en indkomstvektor p', der har samme kapitalværdi som p1 og altså kan realiseres
ud fra al,a1, og som dominerer p2 (dvs. pt >pt2 for alle £)3;)3; en sådan er f.eks.

Vi kan derfor trygt antage, at V(p') > V(p2); det forudsætter ikke andre egenskaberved
nyttefunktionen V, end at »mere er bedre«. Idet p1 er defineret

---

3. Jfr. Inge Thygescn (1971), p. 27.

som det i henseende til nytte bedste af de punkter, der kan realiseres ved finansielletransaktioner
ud fra al,a1, og p' er et af disse punkter, har vi

Med andre ord, når det reale alternativ a¹ har den største kapitalværdi, vil den dertil svarende totalplan/?¹ - der netop indeholder a^l som sin reale bestanddel - være den foretrukne ud fra nyttefunktionen. Kapitalværdikriteriet med markedsrenten som kalkulationsrente kan derfor anvendes som surrogat for den ukendte nyttefunktion, vel at mærke dog kun på de reale investeringsalternativer.

I 2 dimensioner (t = o,i, dvs. med en horisont på kun én periode) kan
ræsonnementet illustreres grafisk som vist på Jig. i, hvor de linjer, der svarer
til konstant kapitalværdi, har hældningen - (i+z).

4. Lad os dernæst se på en valgsituation med uendeligt mange reale alternativer,
hvor investeringsmulighederne er defineret ved

(10)

- ethvert sæt at, der tilfredsstiller (10), er en mulig real investeringsplan -og
det perfekte kapitalmarked er defineret ved (4).

Den optimale totalplan bestemmes da ved maksimering af nyttefunktionen
(1) under bibetingelserne (10) og (4), dvs. ved maksimering af Lagrangefunktionen

m.h.t. /?'erne og tf'erne; ). og fx er Lagrangemultiplikatorer knyttet til bibetingelserne.
Det fører til optimumsbetingelserne

eller efter elimination af X og

(11)

(12)

der siger, at den marginale tidspræferencerente mellem hver to successive perioder skal være lig markedsrenten, og at det marginale substitutionsforhold mellem 2 successive fl^'er skal være det samme som mellem pi_'erne, nemlig -(1 + i). Disse to sæt af betingelser bestemmer sammen med bibetingelserne (10) og (4) de optimale a_t'er og pt'er.

Man bemærker imidlertid, at a/erne bestemmes for sig ved (10) og (12), uafhængigt af nyttefunktionens form. Den således bestemte optimale realinvestering viser sig at være identisk med den, man får ved at maksimere realinvesteringens kapitalværdi over mængden af mulige løsninger som givet ved (10). Med Lagrangefunktionen L = K{a, i)-\-v • F får vi nemlig

der efter elimination af v netop giver (12).

I 2 dimensioner kan løsningen illustreres grafisk som vist på. jig. 2.*

5. Alt det foregående bygger på den forudsætning, at overskuddet ikke beskattes, og at der ikke er inflation. Disse komplikationer kan imidlertid behandles med ganske det samme analyseapparat; alt hvad der kræves, er i grunden blot, at man erstatter pierne og deres komponenter med de tilsvarende betalinger efter skat ogjeller korrigeret for inflation, og at man omformulerer definitionen af et perfekt kapitalmarked tilsvarende. Nettoindbetalinger efter skat vil blive betegnet med en stjerne (pt* etc.), deflaterede betalinger med en hat (/>), og deflaterede betalinger efter skat med stjerne og hat (/>*).

---

4. Kurven F(a_u a₂) =o kan tolkes som repræsenterende alle tænkelige efficiente kombinationer af de gensidigt uafhængige realinvesteringer, der er mulige for investor, jfr. Rasmussen og Scherfig (1972), pp. 112-13. Den optimale plan kan da omfattes som det optimale investeringsomfang (den optimale skala).

Kapitalværdikriteriet efter skat

6. Når vi skal tage hensyn til beskatningen - her en proportional skat på
overskuddet, s>o - men ser bort fra inflation (dvs. har vi indkomsterne
(nettoindbetalingerne) efter skat

(13)

Det er rimeligt at antage, at nyttefunktionen nu er defineret på indkomsterne
efter skat,

(14)

Idet renteindtægterne (fremdeles til markedsrenten i) af finansielle transaktioner nu beskattes med satsen s - det samme gælder negative renteindtægter, idet renteudgifter fradrages i den skattepligtige indkomst - kan de finansielle betalinger efter skat nu opløses således:

hvor j = i(i-s) er markedsrenten korrigeret for skat. Helt analogt med (3)-(4) får vi nu, at kapitalværdien af de finansielle transaktioner efter skat i et perfekt kapitalmarked er nul, hvis man som kalkulationsrentefod benytter markedsrenten korrigeret for skat, j:

(15)

Ved et valg mellem to reale alternativer a*1 og a*z kan vi nu gå frem helt
efter recepten i afsnit 3 ovenfor. Svarende til (6)-(7) har vi nu -jfr. (15) -

dersom det første realalternativ har den største kapitalværdi ved kalkulationsrentefoden
j, følger heraf

Idet forholdet mellem venstre og højre side i denne ulighed betegnes k (>i), vil indkomstvektoren p' = k• />*² - der har samme kapitalværdi som p*¹ og altså kan realiseres ud fra realinvesteringen a*¹ - dominere vektoren p*², hvorfor vi har

- hvor den venstre ulighed følger af, at/>*¹ er defineret som det m.h.t. til nytte bedste af de punkter, der kan realiseres ud fra a*¹ (og hvortil k• p*² også hører). Igen ser vi altså, at rangordner vi de reale alternativer efter kapitalværdi, denne nu defineret som K(a*,j), svarer resultatet til en totalplan, der maksimerer nyttefunktionen V*{p*).

Specialtilfælde med etårige investeringer kan illustreres ganske som på
fig. i, blot man sætter stjerner på symbolerne. De linjer, der svarer til konstant
kapitalværdi, har nu hældningen - (i 4-j).

Ræsonnementet i afsnit 4 (med specialtilfældet i fig. 2) kan ligeledes omfortolkes til at gælde betalinger efter skat. Valget mellem de uendeligt mange reale alternativer træffes nu ved maksimering af kapitalværdien K(a*,j) under bibetingelsen

(16)

der nu definerer mængden af reale planer.5

Kapitalværdikriteriet korrigeret for inflation

7. Vi ser nu igen bort fra skatter (s=o), men forudsætter til gengæld en kon
stant inflationsrate q>o.

Det perfekte kapitalmarked kan nu beskrives ved, at man indfører de
deflaterede finansielle nettoindbetalinger

hvilket kombineret med kapitalmarkedsdefinitionen (3) giver

---

5. Vi går her let hen over den komplikation, at skattegrundlaget ikke er at, men at minus tilladte afskrivninger, hvilket gør oversættelsen af mulighedsfunktionen F(a) til en funktion F*(a*) med tilsvarende pæne egenskaber til en tvivlsom affære. Skaden er dog heldigvis begrænset: med et givet skatte- og afskrivningssystem kan ethvert alternativ a transformeres til et veldefineret efterskat alternativ a*, og 2 sådanne kan under vore forudsætninger altid rangordnes indbyrdes efter kapitalværdien, når man bruger rentefoden j = i (1-5).

hvor den inflationskorrigerede markedsrente k er defineret ved

Ved en ny omfortolkning af afsnit 3 og 4 ovenfor, hvor symbolerne får hat på, ser man umiddelbart, at reale investerings alternativer - udtrykt ved deflaterede nettoindbetalinger, dvs. regnet i faste priser - kan rangordnes ved hjælp af et kapitalværdikriterium, hvor kæi~q bruges som kalkulationsrentefod .⁶ Det giver samme resultat, som hvis man maksimerer nyttefunktionen P'(p); det turde være en rimelig antagelse, at nytten i dette tilfælde afhænger af de deflaterede indkomster p_t.

Både skat og inflation

8. Når vi skal tage samtidigt hensyn til beskatning og inflation (s>o, <?>o),
har vi for de finansielle transaktioner

kombinerer vi dette med (15), der gælder for de nominelle betalinger efter
skat {dt*), får vi kapitalmarkedet beskrevet ved

hvor

eller

der er markedsrenten korrigeret for skat og inflation

Analogt med det foregående får vi da, at det kapitalværdikriterium, der skal benyttes til at rangordne realinvesteringsalternativer, anvender rentefoden r på de deflaterede betalinger efter skat, åt*. Derved får man overensstemmelse med maksimering af nyttefunktionen, der i dette tilfælde kan antages defineret på/*.

Her skal man imidlertid passe på. At (i-j-g) er den relevante deflateringsfaktorpr.
år for nettoindbetalingerne før skat (at), medfører ikke nødvendigvis,at

---

6. Her opstår ingen problemer med overgangen fra F{a) til T{å), da vi altid har d_t = atl(i+q)'.

vis,atden også er anvendelig på betalingerne efter skat, for hvis afskrivningerne
er baseret på anskaffelsessummen, deltager de ikke i inflationen. Lad den tilladteafskrivning
i periode t være åt; vi har da7

Skal dette beløb omregnes i faste priser, er det kun det første led, der skal deflateres,
idet skattegodtgørelsen sdt jo er i faste priser (pr. t= o). Vi får da ikke

men

det er disse betalinger, der skal benyttes i kapitalværdien (og som indgår som
komponenter ide indkomster pt*, der optræder som argument i nyttefunktionen

Konklusioner

9. Under de enkle forudsætninger, vi har benyttet - perfekt kapitalmarked med rentefoden i, proportional indtægtsbeskatning med skattesatsen s og konstant inflationsrate q - fører en simpel generalisering af den klassiske investeringsteori altså til følgende resultat:

Alternative realinvesteringer kan rangordnes ved et kapitalværdikriterium, hvor betalingerne er korrigeret for skat og inflation, og hvor kalkulationsrentefoden er den tilsvarende korrigerede markedsrentefod. Herved opnås overensstemmelse med en total investeringsplanlægning baseret på maksimering af investors (i øvrigt ukendte) intertemporale nyttefunktion, der antages at afhænge af de skatteog inflationskorrigerede indtægter.

Kalkulationsrentefoden under hensyn til skat og inflation bliver nærmere

med skatter men uden inflation (s>o, q=o) får vi specielt
r =j = i{i-s),

medens det rene inflationstilfælde (s=o, q>o) giver kalkulationsrentefoden

---

7. Vi kan gå ud fra, at de tilladte skattemæssige afskrivninger udnyttes fuldt ud, da investor ellers lider et rentetab.

io. Hver af disse samhørende korrektioner af nettoindbetalinger og kalkulationsrentefod reducerer såvel tælleren at som nævneren (i-\-iy x hvert enkelt led i kapitalværdifunktionen K(a, i). Det ligger derfor nær at spørge, om det ikke går lige op i den forstand, at man får samme rangordning ved at bruge den ukorrigerede kapitalværdi K(a, i) som ved at benytte det »rigtige«, dvs. korrigerede kapitalværdiudtryk K(a*, r).

Svaret er ja i det rene inflationstilfælde med fravær af skatter. Her har vi
nemlig

hvor

følgelig er K(ä, k) = K(a, i) og rangordningen er identisk.

Desværre er dette tilfælde uden større praktisk interesse. I praksis må man tage skatter i betragtning, og så kan det gå galt med rangordningen, hvis man bruger den ukorrigerede kapitalværdi. Det hænger sammen med, at afskrivninger kan fradrages i den skattepligtige indkomst.

I det specielle tilfælde, at begge alternativer er etårige investeringer, giver
de to kapitalværdikriterier dog samme resultat, hvad der skyldes, at hele anskaffelsessummen
kan fradrages i årets indkomst. Vi har her

hvoraf følger

når kapitalværdierne med og uden skattekorrektion således er proportionale,
giver de samme rangordning.

Det kan man derimod ikke være sikker på, hvis levetiden er længere end i periode (år). For en 2-årig investering har vi, hvis vi forudsætter de simplest mulige afskrivningsregler, nemlig at 50 pct. af anskaffelsessummen (-a₀) kan afskrives hvert år:

Lad der være givet 2 alternativer, I og II

Med en markedsrente på i = 0,10 og en skatteprocent på 20 (dvs. s = 0,2)
fås den skattekorrigerede markedsrente til j = 0,08, og de skattekorrigerede
betalinger bliver

De to kapitalværdikriterier giver da
Ki{at i) = 63,63 < Kn(a, i) = 64,46,

der peger på II som det bedste alternativ, og

som giver modsat resultat. Det sidste er under vore forudsætninger det »korrekte«
: alternativ I er det bedste i den forstand, at det er konsistent med maksimering
af en nyttefunktion, der afhænger af indkomsterne efter skat.

Litteratur

Johansson, Sven-Erik. 1961. Skatt - investering
- värdering. Stockholm.

Schneider, Erich. 1967. Kritisches und Positives
zur Theorie der Investition. Weltwirtschaftliches
Archiv 98: 314-48.

RASMUSSEN, JAN & KJELD SCHERFIG. 1972.
Driftsøkonomi. Hæfte 4. København.

THYGESEN, inge. 1971. Investeringsplanlægning:
Operationsanalytiske metoder til forbedring af
beslutningsgrundlaget. København.