Stokastisk efterspørgsel og monopol: En grafisk analyse

summary :

This paper contains a graphic illustration of optimum in a simple model of monopoly with random demand. The model may be seen as a version of the Arrow, Harris, Marschack-model of optimal inventory under uncertainty, generalized to pricefixing. Two cases are distinguished, additive and multiplicative introduction of the randomness. Comparisons with the deterministic counterpart is carried out, revealing systematic deviations in the optimal price-setting.

Indledning

i. Der har ide senere år været en voksende interesse for at opstille økonomiske beslutningsmodeller, som explicit indeholder usikkerhed i beslutningsgrundlaget, i modsætning til traditionel deterministisk teori. Denne interesse er berettiget af to grunde: For det første kan der nævnes eksempler på individuel adfærd, som kun kan forklares i en ikke-deterministisk model. Det gælder således tegning af forsikring, valutakøb på terminsmarkedet, lagerkontrol og informationsindsamling. For det andet vil løsningen af en deterministisk model ofte adskille sig - kvantitativt såvel som kvalitativt - fra resultaterne i en ikke-deterministisk model. Et eksempel herpå behandles nedenfor.

2. Indførelsen af usikkerhed i beslutningsgrundlaget er i vidt omfang sket ved at formulere modellerne stokastisk, idet værdierne af beslutningsproblemets data tillægges en (subjektiv) sandsynlighed¹. Herved knyttes en forbindelse mellem sandsynlighedsregning og økonomisk teori, som kan sammenlignes med den statistiske estimations- og hypoteseprøvningsteoris betydning i økonometrie n².

1. En oversigt over udviklingen i stokastisk mikroteori kan findes hos McCall (1971), som alene omhandler modeller, hvor usikkerheden og dermed den stokastiske beskrivelse vedrører »naturens tilstand«. Væsentlige spil-teoretiske problemstillinger og modeller med stokastiske præferencer er således ikke omtalt.

2. Det stokastiske elements rolle i de to forbindelser må dog siges at være væsentlig forskellig. Se McCall (1₉₇1) og Nørregaard Rasmussen (1963).

Side 410

En stokastisk monopolmodel

3. Et af de første eksempler på en stokastisk formulering af en traditionel, deterministisk model findes hos Mills (1959; 1962), der betragter en monopolist, hvis afsætning er usikker, idet efterspørgslen er stokastisk varierende. Der er tale om en generalisering af Arrow, Harris og Marschacks model for optimal lagerpolitik under usikkerhed³ til også at omfatte prisfastsættelse. Dette kommer tydeligere til udtryk hos Lykke Jensen (1963; 1967) og Karlin og Garr (1962).

4. I den klassiske model for prisfastsættelse under monopol er den optimale
pris, p*di den værdi af p, der maximerer profitten Gi den betragtede periode.
Idet

hvor m(p) er monopolistens afsætningsfunktion (markedets efterspørgselsfunktion)
og C(m) er omkostningerne ved udbudet m, må en indre løsning o <
p% < 00, tilfredsstille ligningen G' (p*d) =o, dvs.

(2)

som er den velkendte Amoroso-Robinson relation. Det optimale udbud er
givet ved m*d = m(p*d). Bemærk, at i denne model vil enten prisen eller udbudet
kunne opfattes som handlingsparameter4.

5. Det væsentligste træk ved den stokastiske monopolmodel er, at den efterspurgte
mængde i perioden, X, opfattes som en (kontinuert) stokastisk variabel,
med kendt fordelingsfunktion F(x; p)5, som afhænger af den fastsatte pris.

3. Se Arrow, Karlin og Scarf (1958).

4. Traditionelt har man - lidt unaturligt - valgt den uuuudie mængde som besiutningsvariabel, hvilket kan forklares ved ønsket om at kunne sammenligne med et fuldkomment konkurrencemarked. For givet udbud følger prisen, på markedet direkte, når der antages at eksistere en clearingsmekanisme, således at konsumenterne byder prisen op (ned), indtil efterspørgsel og udbud er lige store. Denne tilpasning, som har karakter af en dynamisk proces, antages i de sædvanligvis statiske betragtninger i neoklassisk teori, at ske øjeblikkeligt.

5. Der skelnes undertiden mellem beslutning under risiko, hvor fordelingen af de stokastiske variable er kendt i objektiv forstand og beslutning under usikkerhed, hvor et sådant kendskab ikke er tilstede. Sondringen kan føres tilbage til Frank Knight (1921). Muligheden af, at fortolke fordelingen som subjektiv har imidlertid i et vist omfang overflødiggjort denne sondring, som derfor ikke vil blive anvendt her.

Side 411

Heraf følger en række interessante kendetegn ved modellen: For det første eksisterer efterspørgselsfunktionen i sædvanlig forstand ikke længere. Den efterspurgte mængde X er ikke en funktion af prisen p. Hvis det skal være muligt at sammenligne den deterministiske og den stokastiske model må der derfor etableres en forbindelse mellem efterspørgselsfunktionen m(p) og fordelingerne F(x; p). En nærliggende mulighed er at opfatte m(p) som regressionen af X på p, således at E[X; p\ = m(p), hvor E[.; p] er middelværdioperatoren.

For det andet er det nødvendigt i den stokastiske model at sondre mellem begreberne afsat, efterspurgt og udbudt mængde. I lagerteorien, der som nævnt danner grundlag for den betragtede model, skal udbudet (startlageret) q til dækning af periodens efterspørgsel fastsættes ved begyndelsen af perioden uden mulighed for senere ændring. Ved slutningen af perioden, når efterspørgslen er kendt, dvs. når X har antaget en værdi x, vil efterspurgt og udbudt mængde typisk (med sandsynligheden 1, når x som her antages kontinuert) være forskellige, x 7^ q. Hvis x < q er der tale om underskudsefterspørgsel (restlager). Er x > q foreligger der overskudsefterspørgsel (mangel). Den afsatte mængde i perioden, T, er begrænset både af den efterspurgte mængde X (der kan ikke afsættes mere end der efterspørges) og den udbudte mængde q (der kan heller ikke afsættes mere end der udbydes), dvs. T = min(X, q), og T er dermed en stokastisk variabel. Monopolisten skal imidlertid ikke blot fastsætte udbudet q, men også prisen p. Både pris og udbudt mængde er altså handlingsparametre i den stokastiske model⁶.

Endelig skal for det tredie nævnes, at da afsætningen T og dermed omsætningen
p'T er stokastisk varierende, er profitten i perioden n også en stokastisk
variabel7:

6. Her forudsættes den i fodnote 4 omtalte clearingsmekanisme altså ikke at virke. Når pris og udbud er fastsat, overlades det til konsumenterne at aftage så meget, de vil og kan. Hvor meget, de vil aftage, antages som i klassisk teori bestemt af individuelle præferancer, indkomst og alle priser; hvor meget, de kan aftage, bestemmes af den udbudte mængde, som sætter en grænse for den samlede efterspørgsel, der kan tilfredsstilles. Køberne er altså ikke stillet over for en option, som i den klassiske model, når både pris og mængde fastsættes af udbyderen. Der er ikke tale om et »alt eller intet«-valg til den givne pris.

7. Arrow, Harris og Marschacks lagermodel indeholder tillige omkostninger som knytter sig specielt til situationen med overskuds- resp. underskudsefterspørgsel, dvs. mangel- og restlageromkostninger. Da vi her primært er interesseret i modellens udvidelse til prisfastsættelse og en sammenligning med den traditionelle model, hvor mangel og restlager ikke forekommer, ses der bort fra disse omkostningstyper. Desuden forudsættes initiallageret at være nul, dvs. produktionen (indkøbet) er identisk med udbuddet, ligesom et evt. restlager ved periodens slutning betragtes som værdiløst.

Side 412

hvor C(.) som hidtil er omkostningsfunktionen, som forudsættes kendt med sikkerhed. Målsætningen om maximering af profitten har derfor ingen mening i den stokastiske model. I stedet antages det, at monopolisten søger at maximere den forventede profit⁸:

Den forventede afsætning, E[T] afhænger af q og - via F (x; p) - af p. Denne
funktion vil vi skrive s (p, q). For fastholdt p og q fremkommer den forventede
afsætning ved middelværdidannelse over min (X, q):

(3)

Idet s (p, q) -> E[X; p] = m (p) for q -> oo kan (3) skrives

(4)

(3) og (4) fremgår det, at

(5)

dvs. den forventede afsætning kan aldrig overstige den forventede efterspørgsel
eller den udbudte mængde. Lighedstegnet i (5) vil kun kunne gælde for
q < 00, hvis variationsområdet for X er endeligt.

Kriteriefunktionen E\n\ kan nu skrives:

(6)

Monopolisten søger da de optimale værdier af/? og q, (p*, q*), som maximerer
kritiefunktionen (6) under restriktionerne p oogq o.

8. Hvis der eksisterer en von Neumann-Morgenstern nyttefunktion U(jt) for beslutningstageren, vil han rationelt søge at maximere den forventede nytte E[U(ti)]. Som hovedregel er dette kriterium ikke ækvivalent med maximering af forventet profit. Der er dog to tilfælde, hvor dette gælder. Det ene optræder, når beslutningstageren er risikoneutral, det andet opstår, når beslutningstageren gentagne gange stilles i den samme valgsituation, således at de store tals lov finder anvendelse.

Side 413

De nødvendige betingelser for optimum

6. For fastholdt værdi af p, p =p, må en indre løsning i g, q°, tilfredsstille
den nødvendige første ordens betingelse

(7)

q" eksisterer og er entydig, såfremtp > MC(o) og MC' (q) 09.o9.
Optimumsbetingelsen (7) og dens fortolkning er velkendt fra lagerteorien10.

7. For fastholdt værdi af q, q = q, må en indre løsning ipy p°, tilfredsstille
den nødvendige første ordensbetingelse:

(8)

anvendelse af (4) kan denne betingelse skrives:

I optimum (p*, g*), hvor både (7) og (8) må være opfyldt, må det gælde,
at11

(9)

8. Ligningen (9) er analog til Amoroso-Robinson relationen i den deterministiskemodel. Den giver en karakteristik af optimalsituationen, der dels udtrykker,hvilke faktorer, der er relevante for optimeringsproblemet, og dels, hvorledes disse må forholde sig i optimum. Af (7) ser vi, 3.tp*>MC(q*), dvs.

9. Anden ordens betingelsen er 8²E[jz]l8q² < o, dvs. -p •/ (q°;p) -MC' (q°) < o, hvor/ (.;p) er tæthedsfunktionen. Denne er altid opfyldt for MC' (q) 2i o.

10. Se f. eks. Lykke Jensen (1963).

11. (9) udledes ved at anvende delt integration på J (\-F(x; p°)) dx og dernæst indsætte (7).

Side 414

ligesom i deterministisk monopolteori er optimalprisen større end grænseomkostningerneved det optimale produktionsniveau. Af (8) kan vi slutte, at hvis der skal findes en løsning i p, må andet led være negativt. En tilstrækkeligbetingelse herfor er tydeligvis, at dF(x;p)jdp > o for alle p og x, hvilket kan fortolkes som den stokastiske udgave af den faldende efterspørgselskurve.

Sammenligning af optimum i de to modeltyper

9. Udover disse formelle betragtninger er det begrænset, hvad der kan udledes af egenskaber ved den stokastiske løsning (p*, q*). Et centralt spørgsmål er, hvorledes (p*, g*) forholder sig til den deterministiske løsning (p*d, m(P*d))> som tilfredsstiller (2). En besvarelse heraf er ikke mulig. Hertil er den stokastiske model formuleret for generelt. Vi må foretage en mere eksplicit parametrisering af F(x;p) i p. Sædvanligvis antages usikkerheden at indgå enten additivt¹², X= m(p) +U, hvor E[U] =oog fordelingen af Uer uafhængig af p, eller multiplikativt^lz, X=Z' m(P)? nvor EfZJ =J°g fordelingen af Zer uafhængig af/?¹⁴.

Forudsættes nu tillige, at grænseomkostningerne er konstante, MC = c, kan der påvises systematiske afvigelser mellem optimalpriserne i den stokastiske og den deterministiske model¹⁵. Hvis usikkerheden indgår additivt, fås p*_a<P*d, mens den multiplikative indførelse giver p*_m >p*d- Det er derimod ikke muligt at afgøre relationen mellem de udbudte mængder.

Efter denne oversigt over problemstillingen og de vigtigste resultater af
analysen kan vi nu gå over til det egentlige indhold i denne artikel: En grafisk
illustration af optimeringen i den stokastiske model.

Den grafiske analyse

10. Siden fremkomsten i 1933 af Joan Robinsons og Chamberlins arbejder om monopolistisk prisfastsættelse har der været tradition for at illustrere optimeringeni deterministiske prismodeller grafisk. Pris-mængde diagrammer med de velkendte MR- og MC-kurver er standardrcdskaber ved den teoretiskeanalyse. Det skal dog nævnes, at der sædvanligvis ikke er tale om en

12. Dette var Mills formulering i Mills (1959) og (1962). Se tillige Lykke Jensen (1963) og (1967), Karlin og Carr (1962), Hempenius (1970) og Zabel (1972).

13. Se Lykke Jensen (1967), Karlin og Carr (1962), Hempenius (1970), Nevins (1966), og Zabel (1970) og (1972).

14. Halds specifikation i Nørregaard Rasmussen og Hald (1963) er formelt mere generel, men er identisk med den additiveresp. multiplikative indførelse, når der sammenlignes med den deterministiske model, jfr. Lykke Jensen (1967).

15. Der henvises til de under noterne 12 og 13 anførte arbejder.

Side 415

egentlig geometrisk bestemmelse af optimum. MR- og MC-kurverne er kun skitserede på grundlag af visse kvalitative egenskaber (f.eks. MR-kurven faldende,beliggende under m (p) -kurven, MC-kurven voksende eller U-formet). Specielle forudsætninger om efterspørgsels- og omkostningsforholdene kan imidlertid forenkle bestemmelsen af optimum væsentligt. Hvis således (i) efterspørgselskurvener lineær: p = a " m-\-b (a<o, b~>o) (ii) grænseomkostningerneer konstante: MC (m) = c for alle m>o, fremkommer det specialtilfældeaf Amoroso-Robinsons formel (2), som kaldes J^euthens regel om halv overpris:

(10)

p*a vil her geometrisk kunne findes som midtpunktet af liniestykket mellem m (p) -kurvens og MC-kurvens skæring med /»-aksen. Det optimale udbud m*a — m (p*d) kan dernæst aflæses af m se fig. 1. Cournot-punktet (p*d, m*d) vil alternativt kunne findes som skæringspunktet mellem efterspørgselskurven p=a• m-\-b og linien_p= ^—am-\-c, som vist på fig. il6.i¹⁶. Denne egenskab vil vise sig nyttig ved den grafiske analyse af den additive model.

11. Fordelene ved at kunne supplere de rent algebraiske udledninger med en simpel geometrisk illustration er den øgede indsigt i problemets struktur, overblikket over de relevante funktionssammenhænge og muligheden for en simpel analyse af virkningerne af ændringer i problemets data (komparativ statik). Det var derfor naturligt, at P. Nørregaard Rasmussen som officiel opponent ved forsvaret for Lykke Jensens disputats (1963) efterlyste »en simpel geometrisk bestemmelse af den optimale pris«¹⁷. Forfatterens behandling af dette problem var skitsemæssig og på flere punkter kritisabel¹⁸.

12. Dette er baggrunden for den grafiske analyse af den stokastiske model, som skal gennemføres. På forhånd må det forventes, at en geometrisk bestemmelseaf optimum i den stokastiske model, hvor både pris og udbud er handlingsparametre,er væsentligt mere kompliceret end i den deterministiske model.Dette

16. Cournot-punktet (p*a, m*d) er bestemt ved ligningerne/)*^ = og p*a = a • m*d +b, som kan opfattes som en parameterfremstilling i b af det geometriske sted for mængden af Cournotpunkter, som fremkommer, når efterspørgselskurven parallelforskydes. Eliminering af parameteren b ved substitution giver umiddelbart den anførte linie, som Winding (1957) kalder reaktionskurven.

17. Se Nørregaard Rasmussen og Hald (1963, p. 254).

18. Se Nørregaard Rasmussen og Hald (1963) og Lykke Jensen (1967).

Side 416

Fig. 1.

del.Detteskyldes, at kriteriefunktionen her er udvidet med en dimension og maximum følgelig fremtræder som et maximum maximorum. Vi skal derfor tage udgangspunkt i den simple deterministiske model, hvor forudsætningerne (i) og (ii) er opfyldt, og her angive en (simpel) illustration¹⁹ af det stokastiske optimums bestemmelse i et pris-mængde diagram på grundlag af kvalitative egenskaber i de relevante funktionssammenhænge, når usikkerheden indgår dels additivt og dels multiplikativt.

Monopolistens udbudskurve

13. Med forudsætningen (ii) om konstante grænseomkostninger, MC = c,
kan det optimale udbud for given pris p findes af (7):

(")

(i 2)

hvor a° = i-F(q°;p) angiver den optimale mangelsandsynlighed, som er bestemtved
(1(1 -clp) -fraktionen i efterspørgslens fordeling F(x;p). q° er tilsvarendefi-c//>J-fraktilen
i F(x;p). For alle p>c vil q°>o eksistere og være éntydigtbestemt.

19. En metode til egentlig bestemmelse af optimum i den stokastiske model med additiv, resp. multiplikativ, indførelse af usikkerheden, er angivet i Poulsen (1975)-

Side 417

tydigtbestemt.Det er derfor muligt at opfatte q° som en funktion af/?, q° =
q° (p), som kan kaldes udbudsfunktionen for monopolisten. Dens graf kaldes
monopolistens udbudskurve.

En matematisk analyse af udbudsfunktionens egenskaber kan gennemføres på grundlag af (11), som indeholder sammenhængen q° (p) på implicit form. Dette skal vi undlade her²⁰ og blot bemærke, at udbudskurven typisk er først voksende og siden aftagende, når prisen forøges, se fig. 2. Forklaringen herpå er, at det optimale udbud afhænger af to modsat rettede faktorer: En højere pris vil - alt andet lige - tilsige en mindre optimal mangelsandsynlighed a° og dermed et større udbud. Men »alt andet« er ikke »lige«. Når efterspørgslen i stokastisk forstand er en aftagende funktion af prisen, dF(x;p) Idp>o <=> dal dp < 021,o²¹, vil mangelsandsynligheden for et givet udbud falde, når p forøges. Tilbagebøjningen i udbudskurven er udtryk for, at den sidstnævnte tendens er kraftigere end den førstnævnte²².

Når udbudet er fastsat optimalt, kan den forventede afsætning vurderes ved s°(p) = s(p, q°(p)), som er en funktion ?S. p. Ifølge (5) haves s°(p) < min (m(p), q°(p)), idet a° > o for alle p. I pris-mængde diagrammet vil den tilhørende kurve derfor være begrænset både af udbudskurven og af efterspørgselskurven. Dens principielle forløb er vist på fig. 2.

FIG. 2.

20. Der kan henvises til Nørregård Rasmussen og Hald (1963), Hymans (1966) og Poulsen (1975).

21. Denne betingelse er opfyldt i både den additive og den multiplikative model.

22. I Poulsen (1975) anlæggges en udbudskurvebetragtning i den deterministiske model, som kan opfattes som et grænsetilfælde af udbudskurven i den stokastiske model.

Side 418

14. Med kurverne s°(p) og q°(p) har vi bestemt det geometriske sted for mængden af punkter (p, s) resp. (p, q), som er kendetegnet ved, at udbudet og dermed mangelsandsynligheden er optimal for enhver fastholdt værdi af p > c. Vi har således afgrænset punktmængder i pris-mængde diagrammet, hvor den ene af de to nødvendige betingelser for optimum, jfr. (7), er opfyldt. Vi mangler nu blot en tilsvarende karakteristik af den anden optimalbetingelse, jfr. (8).

Den optimale pris for fastholdt mangelsandsynlighed

15. I det foregående afsnit betragtedes prisen som fast og analysen kunne derfor gennemføres generelt, uafhængig af, hvorledes fordelingsfunktionen F (x; p) afhænger afp. I dette afsnit vil p være at opfatte som handlingsparameter, og følgelig må prisens parametrisering af efterspørgslens fordeling være af central betydning. Ved udledningen af den stokastiske udgave af Amoroso-Robinsons formel (9) opfattede vi pris og udbud som beslutningsvariable. Den grafiske analyse af den stokastiske model og den efterfølgende sammenligning med den deterministiske model forenkles imidlertid, hvis vi i stedet for udbudet q vælger mangelsandsynligheden a = i-F (q; p) som beslutningsvariabel. Dette er rent formelt, da a for enhver given værdi af p er en monoton (aftagende) funktion af q. I afsnit 13 bestemtes den optimale værdi af a for given p =p. Her skal vi nu bestemme den optimale værdi af jfr, når a er fast, a — a_} dvs. den værdi, p°, som maximerer den forventede profit

(13)

når monopolisten for alle værdier af/? udbyder mængden q (p; a) svarende til
(i-a) -fraktilen i efterspørgslens fordeling F (x; p). Den forventede afsætning
kan da vurderes ved s (p; a) = s (p, q(p;a)). Den optimale pris vil afhænge
af a, p° =p° (a), og den tilsvarende forventede afsætning er s° (a) =
_ / un /~. \ . ~ \
o {F'{ V.J, UJ.

Varieres dernæst a kan vi bestemme sammenhørende værdier af (p° (a), s°(a)), som udgør en parameterfremstilling i a af mængden af punkter (p, s) i pris-mængdediagrammet, hvor prisen er fastsat optimalt for alle a, o < a < /. Den tilhørende kurve kaldes s(p₀)²³.

23. Funktionen s° (a.) = s (p° (o.); a) kan ikke af bildes i et pris-mængdediagram. I stedet betragter vi s(p°), som betegner den forventede afsætning som funktion af prisen, når denne fastsættes optimalt for alternative værdier af a. Bemærk, at den omvendte funktion af s(p°) eksisterer ikke nødvendigvis (jfr. den multiplikative model).

Side 419

Optimum optimorum kan sluttelig findes som skæringspunktet mellem
kurverne s° (p) og s (p°), idet optimalprisen p* vil være bestemt ved s° (p*) =
s(p*J. Det optimale udbud q* kan da findes af udbudskurven q* — q°(p*J.

Denne analyse vil nu blive gennemført særskilt i den additive og den multiplikative

Den additive model

16. Når usikkerheden indgår additivt, X — m(p)-\-U, hvor fordelingen af U,
G(u), er uafhængig af p, kan funktionerne q(p;a) og s(p:a) i (13) skrives
på formen

(14)

(15)

hvor G"¹ (^.J betegner den omvendte funktion af G. (14) og (15) har en simpel geometrisk fortolkning: For fastholdt værdi af a fremkommer q (p; a) - og s (p; a) -kurven af m (p) -kurven ved parallelforskydning²⁴. Kriteriefunktionen (13) kan skrives:

Men her er sidste led uafhængigt af/?, dvs.

Maximeringsproblemet har derfor samme struktur som i den deterministiske
model. Da m(p)-kurven er forudsat lineær, vil s (p; a) også være lineær.
Ifølge Zeuthens regel om halv overpris vil p° (a) derfor være givet ved

24. s(p;a) vil altid ligge til venstre for m(p), mens q (p; a) kan ligge på begge sider af m(p), afhængig af værdien af a og fordelingen G(u).

Side 420

hvor

vil tilhøre linien/?0 (a) = -a "s° (aj+c, som dermed er det søgte geometriske
sted s(p°) for de punkter (p, s), hvor prisen er optimal for fastholdt mangelsandsynlighed.

Optimum optimorum (p*_a, q*a) i den additive model kan nu bestemmes som vist på fig. 3. Her er tillige angivet det deterministiske optimum (p*d, m*a), jfr. fig. 1. Vi ser da umiddelbart, at p*_a < p*d, mens relationen mellem udbudet i de to modeller er übestemt.

FIGUR 3.

Den multiplicative model

17. Når usikkerheden indgår multiplikativt, X = % ' m(p), hvor fordelingen
af Z, G(z), er uafhængig af/?, kan funktionerne q (p; a) og s (p; a) skrives:

(16)

(17)

Geometrisk betyder (16) og (17), at q (p; a)- og s (p; a) -kurverne frem-

Side 421

kommer af m(p)-kurven ved multiplikation25, dvs. begge har samme elasticitet
i p som m(p)-kurven. Skrives kriteriefunktionen her på formen

er kvotienten q(p; a) s(p; a) uafhængig af/?, dvs.

For fastholdt a har maximeringsproblemet derfor igen samme struktur
som i den deterministiske model. Med de anvendte forudsætninger er p°(a)
følgelig givet ved:

Det geometriske sted s(p°) for »Cournot-punkterne« (p°(a), s°fa)) er mere kompliceret end i den additive model. Vi skal derfor nøjes med at skitsere kurven s(p°). Vi ser, at p°(a) p*a = (b-\-c)J2 for alle a, og at p° er en aftagende funktion af a. s°(a) er ligeledes aftagende i a, således at s°(a)-> m(p°(a)) for a->o. Kurven s(p°) vil derfor typisk være voksende og siden aftagende, når p° forøges, jfr. fig. 4.

Optimalprisen p*m i den multiplikative model vil atter være bestemt ved
skæringspunktet mellem kurverne s°(p) og s(p°). Optimum optimorum (p*m,
q*m) kan dernæst findes af udbudskurven q°(p). Vi ser, a,tp*m > p*d<

Konkluderende bemærkninger

18. På baggrund af den granske analyse kan vi nu give en egentlig økonomisk fortolkning af den fundne systematik i optimalpriserne. Additiv indførelse af usikkerheden medfører for fastholdt mangelsandsynlighed en parallelforskydningaf afsætningskurven mod venstre og dermed en forøgelse af priselasticiteten,

25. Multiplikatoren for s (p; a) vil altid være mindre end 1, mens multiplikatoren for q (p; a) kan være større eller mindre end 1, afhængig af værdien af a og fordelingen G(z).

Side 422

mens grænseomkostningerne er uforandrede. Derfor er det optimalt at sætte en lavere pris end i den deterministiske model, hvor afsætnings- og efterspørgselskurvener sammenfaldende. Indgår usikkerheden derimod multiplikatiut, er priselasticiteten i afsætningskurven uændret, men grænseomkostningerne forøges.Derfor er optimalprisen højere.

19. Den grafiske analyse blev gennemført under restriktive forudsætninger, men to observationer af mere principiel karakter skal nævnes: For det første kan den explicitte indførelse af usikkerhed give anledning til modeller, som er strukturelt forskellige fra de deterministiske modstykker. For det andet kan den måde, hvorpå usikkerheden indgår, give anledning til kvantitativt forskellige løsninger af den stokastiske model.

Litteratur

ARROW, K. J., S. KARLIN Og H. SCARF, red. 1958.
Studies in the Mathematical Theory of Inventory
and Production. Stanford, Californien.

hempenius, a. L. 1970. Monopoly With Random
Demand. Rotterdam.

hymans, s. h. 1966. Uncertainty, Utility and
the Supply Function. International Economic
Review, vol. 7, nr. 3.

jensen, e. lykke. 1963. Lager, produktion og
prisfastsættelse fra et stokastisk synspunkt. København.

Jensen, e. lykke. 1967. Extensions of the
Amoroso-Robinson formula. Management
Science, vol. 13 - serie A.

KARLIN, S. Og CHARLES R. CARR. 1962. Prices and Optimal Inventory Policy. I Studies in Applied Probability and Management Science, red. K. J. Arrow, S. Karlin og H. Scharf. Stanford, Californien.

knight, F. H. 1921. Risk, Uncertainty and Profit.
Cambridge.

mccall, j. j. 1971. Probabilistic Microeconomics.
Bell Journal of Economics and Management
Science, vol. 2, nr. 2.

mills, e. s. 1959. Uncertainty and Price Theory.
Quarterly Journal of Economics, vol. 73.

mills, e. s. 1962. Price, Output, and Inventory
Policy. London.

nevins, a. j. 1966. Some Effects of Uncertainty:
Simulation of a Model of Price.
Quarterly Journal of Economics, vol. 80, nr. 1.

Poulsen, c. s. 1973. Stochastic Models of Mo-

nopoly. Statistisk Instituts grå serie, nr. 21.
(Stencileret).

Poulsen, c. s. 1975. Prisfastsættelse fra et stokastisk synspunkt. Besvarelse af Københavns Universitets prisspørgsmål for året 1974. (Stencileret).

RASMUSSEN, P. NØRREGAARD. (1963). Om økonomiens metode. Memorandum nr. 8 fra Københavns Universitets Økonomiske Institut.

RASMUSSEN, P. NØRREGAARD Og A. HALD. 1963. En disputats om lager og prispolitik fra et stokastisk synspunkt. Nationaløkonomisk Tidsskrift 10₁: 246-274.

winding, p. 1957. Some Aspects of the Acceleration
Principle. København.

Zabel, E. 1970. Monopoly and Uncertainty.
Review of Economic Studies 37: 205-219.

zabel, e. 1972. Multiperiod Monopoly under
Uncertainty. Journal of Economic Theory,
vol. 5.

Nationaløkonomisk Tidsskrift, Bind 114 (1976) 3