Niels chr. knudsen: Production and cost models of a multi-product firm. A mathematical approach. Odense University in History and Social Sciences, Vol. 13. Odense: Odense University 1973. 300 pp. Kr. 57,50.

1. Niels Ghr. Knudsens doktorafhandling kan karakteriseres som en monografi, der behandler produktionsteorien for den enkelte - den teknologiske produktionsstruktur som virksomhedens optimeringsproblemer - med særligt henblik flervareproduktion inden for et givet fast anlæg med kapacitetsbegrænsninger. Produktionsteorien er et felt, der altid har været dyrket særlig intensivt i Skandinavien kan vi i denne forbindelse for en af vore egne), og forfatteren på smukkeste måde fortsat denne tradition.

I et indledende kapitel lægger forfatteren som andre før ham - ud med at karakterisere som omhandlende optimal af knappe ressourcer. De problemer, han behandler i bogen, kan alle beskrives som matematiske programmeringsproblemer. er derfor naturligt, at han i kapitel 2 giver en matematisk fremstilling teorien for matematisk programmering det væsentlige begrænset til konveks fremstillingen er i hovedsagen et resumé af den nu klassiske Kuhn-Tucker teori og Fenchel-Rockafellar's

2. I kapitel 3 går forfatteren i gang med at formulere en generel produktions- og omkostningsmodel for en virksomhed, der driver flervareproduktion - med rette fremhævetsom praktisk mest relevante tilfælde.Den behandling afviser han med den begrundelse, at en (enkelt) produktionsfunktion med samtlige inputs og outputs som variable ikke altid vil eksistereog, om den eksisterer, normalt ikke kendes af virksomheden. Dette er utvivlsomt korrekt. En mere dækkende - og operationelt anvendelig - beskrivelse af produktionsstrukturen kunne man få ved at undersøge en række forskellige modeltyper(lineære kontinuert faktor og/eller produktsubstitution, etc.) og behandle dem hver for sig, således som det er gjort i en del af litteraturen. Forfatteren sigter imidlertid mod en helt generel fremstilling.Til ene ende vælger han da at udtrykke teknologien i virksomheden ved en produktionskorrespondance (eller produktionsrelation),P, giver mængden af mulige outputs for enhver given inputvektor.Den heraf, P"¹, giver mængdenaf

---

Artiklen bygger på uddrag af forfatterens indlæg anden officielle opponent ved det mundtlige på Aarhus Universitet den 7. september

denafinputvektorer, der kan frembringe en given outputvektor. For tilfældet med forenet produktion defineres tillige en »product attainability correspondence«, der tillader destruktion af en del af produktmængden.

Ved således at benytte korrespondancen i stedet for en produktionsfunktion lykkes det ham at formulere produktionsteoriens på en enkel (og original) måde, der til forveksling ligner traditionel produktionsteori - begreber som homogenitet, efficiens, faktor- og produktisokvanter kapacitetsflade kan således og benyttes i tilknytning til produktionskorrespondancen - men som er fuldstændigt generel. Til gengæld fører den kun i begrænset omfang til nye resultater. bliver i stand til at vise helt generelt, at skyggeprisen på en fast faktor kun kan være positiv, hvis faktoren er fuldt udnyttet; men nærmere slutninger om f.eks. omkostningsfunktionens form kan i almindelighed ikke drages ud fra en så generel struktur, og modellen synes ganske uoperationel. Det bør heller ikke undre; korrespondancen P er vel i hovedsagen en formel præcisering af, at der eksisterer et - i øvrigt ganske uspecificeret - produktionsmulighedsområde, inden for hvilket omkostningerne skal minimeres for enhver mulig outputvektor.

Forfatteren er ganske klar over, at nærmere er påkrævet. Det er da også, hvad han skrider til i de næste to kapitler.

I kapitel 4 behandles en neoklassisk model fælles produktion, hvor produkterne er teknisk uafhængige af hinanden, idet de har hver sin produktionsfunktion (udledt ved en dekomposition af P). Forfatteren formulerer det parametriske programmeringsproblem, implicit definerer omkostningsfunktionen; vises at være konveks, hvis minimeringsproblemet er et konvekst programmeringsproblem. Analysen smukt og konsekvent gennemført inden for en Kuhn-Tucker model. Det samme gælder behandlingen af gevinstmaksimeringsproblemet. viser her, at Kuhn-Tucker betingelserne fremkommer meget simpel måde ud fra en markedsligevægtsbetragtning. Indkøbs-, fabrikations og salgsafdelingen tænkes at handle indbyrdes med inputs og outputs, og hvis de hver for sig driver gevinstmaksimering, der på de interne faktor- og varemarkeder indstille sig en markedsligevægt, tilsammen svarer til totaloptimum. resultat peger hen imod dekompositions og decentraliseringsmodeller, da også tages op senere i kapitel 8.

3. I kapitel 5- bogens længste og vægtigste går forfatteren over til at behandle produktionsteoriens hovedproblemer i aktivitetsanalytisketermer. på Koopmanshævder at denne type produktionsmodellerer operationelle end mere traditionelle modeller, fordi de bedre modsvarer den form, hvori den teknologiskeinformation for ledelsen. Dette er muligvis rigtigt, men er dog lidt af et postulat, så længe der ikke foreligger et mere omfattende empirisk materiale. Mere hold turde der være i forfatterens fremhæven af, at den aktivitetsanalytiske formulering - og da navnlig når man som forfatteren udvider den til at omfatte ikkelineæremodeller er yderst fleksibel m.h.t., hvilke produktionsstrukturer den kan indeholde.I vender han i kapitel

5 tilbage til et forsøg på en helt generel - og nu også operationel - behandling af flervareproduktion.Han en forbilledligt klar formulering af en aktivitetsmodel, hvor input- og outputfunktionerne ikke begrænsestil lineære tilfælde. Den ikkelineæreaktivitetsmodel vistnok først formuleret af A. G. Williams, men forfatterensmodel betydeligt mere specificeret. Han giver, hvad man ellers ikke er forvæntmed, række mulige konkrete tolkningeraf og aktivitetsniveauerne,og diskuterer, hvad man kan slutte sig til m.h.t. produktionskorrespondancenskonveksitetsegenskaber. gennemgår såvel fælles som forenet produktioni formulering, og det vises, hvordan »destruktionsproblemet«ved produktion klares uden besvær. Herefter behandles det lineære specialtilfælde (LP-modeller) og lineariseringaf med ikke-lineær præferencefunktion;det sig her mest om en lærebogsmæssig fremstilling af velkendte sager, men fremstillingsformen er særdeles klar og velgørende præcis. Kapitlet afsluttesmed interessant og original, omend noget skitsepræget generalisering af aktivitetsmodellen,hvor for den enkelte aktivitet nu er en vektor, og anvender med elegance denne idé på problemetom dimensioner,udtrykt produktionsintensitetenog

4. Efter hermed at have afsluttet behandlingen selve produktionsstrukturen tager forfatteren endnu et par emner, der har forbindelse med optimeringsproblemerne, op til behandling.

Helt fundamentalt er således spørgsmålet letom virksomhedens målsætning. Den formuleres generelt i kapitel 6 som maksimering en foreløbig uspecificeret nyttefunktion produktionsmuligheds området, specificeres derefter nærmere som en regulær funktion af et antal funktioner af produktionsplanen, hver repræsenterende delmålsætning. Ved at tildele delmålene sæt vægte kan man nu principielt generere et antal nytteefficiente hvorved virksomheden et bedre beslutningsgrundlag. om forfatteren her - som han også lader forstå - er tydeligt inspireret af Kornai og Inge Thygesen, repræsenterer dette kapitel en selvstændig og værdifuld indsats fra hans hånd. Man må også fremhæve interessante anvendelse af disse tanker på Baumol's hypotese om omsætningsmaksimering en profitundergrænse bibetingelse.

I det næste kapitel (7) viser forfatteren, hvordan man kan udlede en udbudskorrespondance virksomhedens produkter - et mere generelt begreb end udbudsfunktionen, der kan være flere løsninger for et givet sæt priser. Udledningen sker ved en parametrisk programmeringsanalyse en vilkårlig given nyttefunktion. En tilsvarende analyse given efterspørgselskorrespondancen virksomhedens inputs. er interessante, omend ikke overraskende.

Endelig behandles i kapitel 8 problemerneomkring planlægning i 2 niveauer inden for en virksomhed beståendeaf antal afdelinger. Forholdet mellemdecentralisering dekompositionsprocedurerdiskuteres. gennemgårde mest kendte dekompositionsal goritmer(Dantzig-Wolfe Kornai-Liptåk) ;

i denne forbindelse kunne han måske med (pædagogisk) fordel have omtalt Inge Thygesensduale ¹ der på mere direkteog måde er dual i forholdtil algoritmen. - Dette kapitel er i hovedsagen af fremstillende, lærebogsagtig karakter og indeholder ikke meget egentligt nyt. Det fortjener dog at fremhæves, at forfatteren foreslår (og i et taleksempel anvender) en procedure, der giver en bedre start i Dantzig-Wolfe algoritmen.Han i denne forbindelse opmærksompå der ofte overses), at det ved løsning af praktiske opgaver er langt vigtigere at finde en god initialløsningat ud fra end at interessere sig for algoritmernes konvergenshastigheder, eftersom man i praksis vil stoppe efter ganskefå (planrevisioner).

5. Afhandlingens styrke ligger i, at den - modsat andre fremstillinger - lægger helt afgørende vægt på flervareproduktion som det mest relevante, og især i, at forfatteren virkelig forsøger sig med et »unified and comprehensive approach«. I stedet for som andre at give et katalog af specialtilfælde det forfatteren magtpåliggende at give en helt generel fremstilling. Det må siges at være lykkedes ham; og hans analyser gennemført med konsekvens og stringens et helt moderne matematisk sprog. Han benytter sig af de nyeste landvindinger for konveks analyse og dualitetsteori, han øjensynligt behersker meget sikkert.

Det er imidlertid - som antydet ovenfor for- et spørgsmål, hvor operationelt anvendelige optimeringsmodeller grunden er, sammenlignet med mere traditionelle formuleringer. Det har i mange tilfælde vist sig muligt at udlede en produktionsfunktion af mere eller mindre traditionel form ud fra de underliggende fysiske eller kemiske love, der styrer produktionsprocessen production Det ville have været interessant se en empirisk belysning af, i hvilken form de tilgængelige data om faktisk processer foreligger i praksis for virksomheden. I så henseende bliver læseren ladt i stikken. Afhandlingen helt blottet for empiri; alle eksempler konstruerede, og der henvises ikke til nogen empiriske undersøgelser eller til noget praktisk observeret produktionsoptimeringsproblem. det må erkendes, forfatteren her er i godt selskab.

Et andet vigtigt - og beslægtet - problem lader han også ligge. Når man som forfatterendirekte på optimeringsproblemer,er naturligvis hele virksomhedenssamlede man må prøve at beskrive. På den anden side vil de tekniske data, man kan skaffe sig fra teknikerne, vel normalt snarere referere til enkelte (del-)processer. Ud fra operationellesynspunkter den rette fremgangsmådederfor at dekomponere virksomheden i delprocesser og beskrive dem, og derefter at udlede virksomhedens produktionsstruktur ved integrering af procesmodellerne.Det lidt forbavsende, at en fremstilling, der netop sigter på operationalitet,lader vigtige problem ligge og derved havner på et noget højere abstraktionsniveau,end kunne ønske. Aktivitetsmodellerne kan undertiden fortolkesderhen,

---

1. Inge Thygesen, Investeringsplanlagning. Operationsanalytiske til forbedring af beslutningsgrundlaget 1971), pp. 261-4.

tolkesderhen,at den enkelte aktivitet repræsentereren
men det er på
ingen måde altid tilfældet.

Med et så generelt og omfattende emne, som forfatteren har valgt, kan det ikke undgås, at dele af fremstillingen bliver af lærebogspræget karakter. Der findes mange og værdifulde - omend ikke altid lige sensationelle - originale forskningsresultater Niels Ghr. Knudsens bog, men med et sådant emne kan man ikke sige noget originalt på hver side. Det må imidlertid at også velkendt stof er fremstillet på en meget selvstændig og personlig De ledende synspunkter i afhandlingen i betydeligt omfang forfatterens og de er gennemført med konsekvens. er som helhed lysende og vidner om overlegen beherskelse af produktionsteorien og af de matematiske og operationsanalytiske hjælpemidler, benytter sig af. Forfatteren har givet os en usædvanligt helstøbt monografi fortjener et internationalt publikum.

Økonomisk Institut, Københavns Universitet