1. Nødvendigheden af at relationer er generelle. Om det lykkes at løse en konkret opgave, hvori der indgår samspil mellem økonomiske, demografiske, sociologiske og/eller andre variable, afhænger selvsagt af om de relationer, man mener at kunne disponere efter, nu også passer og er fyldestgørende under de forhold opgaven angiver.

Relationerne kan være udledt gennem rent teoretiske ræsonnementer eller
helt eller delvist være fastlagt på grundlag af empiriske data. Men skal man
frit kunne anvende dem, må man sikre sig, at de gælder tilstrækkelig generelt.

Der er visselig grund til at beundre f. eks. opsendelsen af raketter til månen, baggrunden for at det lykkes er, at projekterne gennemtænkes og -arbejdes uhyre nøje i alle detaljer under udnyttelse af en række fysiske love i statiken, dynamiken, elektroniken, etc.: Konstruktørerne forlader sig på, at de basale love gælder hvor som helst og når som helst indenfor deres arbejdsområde, kunne de ikke bygge eller konstruere noget som helst uden at risikere det værste.

Og skulle det værste alligevel ske - og ske gør det jo af og til - så taler man om, at »der er begået en teknisk fejl«, hvilket vil sige, at man ikke fuldt ud har respekteret de fysiske love, konstruktionen skulle baseres på, hvad enten det skyldes uforsigtighed eller manglende viden, eventuelt langt tilbage i et hjørne af fysiken, der ikke var helt tilstrækkeligt udforsket.

Hvis ligefrem foreliggende iagttagelser skal kunne anvendes, det være sig til indbygning i teoriens videreudvikling eller direkte i praksis, så er det altså ikke tilstrækkeligt, at de relationer, der uddrages af dem, giver en ad hoc beskrivelse, hvor god den så end er, af netop det foreliggende materiale — at den kun kan garanteres at gælde »her og nu« — de udledte relationer må være generelle.

2. Begrundelse af en fysisk lov: Ufuldstændig induktion og cirkelslutning'}
Men kan noget sådant overhovedet lade sig gøre?! Man kan jo aldrig råde

---

* Professor ved Københavns Universitet. Afskedsforelæsning den 9. marts 1972.

over mere end et endeligt antal observationer, og her forlanges, at der deraf
skulle kunne udledes noget alment!

Nej, selvfølgelig kan det ikke lade sig gøre - det ville være et rent formelt idealkrav. Men lad os se, hvor langt man kan komme, idet vi til den ende underkaster en af de simpleste fysiske love en omhyggelig analyse for at afdække, hvorledes den principielt set kunne begrundes.

Opstillingen af ligningerne for hvordan faste legemer bevæger sig beror bl.a. på følgende lov (Newtons anden lov): Den kraft F (= force) der giver et fast legeme en hastighedsforøgelse på A (= acceleration) er proportional med produktet af accelerationen og legemets masse M:

0)

hvor værdien af proportionalitetskonstanten G afhænger af de enheder F,
M og A er udtrykt i.

At kontrollere rigtigheden af en sådan relation skulle synes ret enkelt, i hvert fald indenfor visse grænser: Tag en samling (m) af faste legemer med vidt forskellige masser, der bevæger sig i samme retning i forhold til Jorden og udsæt hver af dem for en række (n) mekaniske instrumenter, der skubber dem i deres bevægelsesretning, men med vidt forskellige kræfter. I hvert af de m - n forsøg måles accelerationen, og man regner efter, om relationen passer — i hvert fald for de legemer og de instrumenter.

Ja, gid det var så nemt, men det er det ikke, og det ligger først og fremmest
i, at i de beskrevne forsøg skulle man i forvejen kende den kraft, hvert instrument
foruden den masse hvert af legemerne besidder.

Og her er vi ved et af de kontroversielle emner i den klassiske fysik: Hvad
er masse? Og hvad er kraft? Eller, hvis man ikke kan få at vide hvad det ene
og det andet er, hvordan kan man måle dem?

Det er spørgsmål, der stadig skrives tykke bøger om1. Og de synes at
munde ud i, at hvis man vidste, hvad masse var, så kunne man sige, hvad
kraft er - og omvendt!

3. Datastruktur og simultan indførelse af masse og kraft. Det kunne lyde som om man ikke kunne komme videre, men det betyder i virkeligheden blot, at forsøget måtte baseres på, at man til at begynde med hverken kender legemersmasse instrumenters kraft - eller endnu mere agnostisk: At man end ikke ved, om der er noget som helst, der kan betegnes som masse og kraft, og at man derfor heller ikke har en relation, som den anførte at efterprøve.At eneste man virkelig ved, er det man observerer, nemlig at når et

---

1. F.eks. Jammer, Max (1957) og (1961).

fast legeme Li bevæger sig med en vis (temporært) jævn hastighed Vt i forholdtil eks. Jorden og modtager et stød i bevægelsens retning af et dertil egnet instrument Ij, så ændres legemets hastighed med en acceleration Aij, som kan måles (at dette kan gøres er altså forudsat).

Det ovenfor skitserede forsøg resulterer da i m • n observationer Aij, der
kan arrangeres i et rektangulært skema:

(2)

Om disse resultater forsikrer fysikerne mig, at hvis man virkelig udførte et sådant forsøg - hvilket i øvrigt ikke kunne falde dem ind, da udfaldet gennem andre erfaringer ville være kendt på forhånd - så ville accelerationerne et nydeligt multiplikativt system: Hver række ville være proportional enhver anden række og hver søjle med enhver anden søjle, så at enhver acceleration Au, på nær en proportionalitetskonstant G, kan spaltes i et produkt af en rækkefaktor Pi og en søjlefaktor Qy.

(3)

Den kan altså, på nær konstanten, beskrives som produktet af en parameter for legemet L% og en parameter Qj for instrumentet Ij. Og dermed ville vi ad empirisk vej have fundet en relation af den anførte form (1), hvori man da skulle have

(4)

Men just denne måde at skrive parametrene på - altså som Qj selv, men den reciprokke værdi af Pi - kræver en begrundelse udover (3) og dens formelle til (1). Denne gives i to supplerende forsøg - atter »tankeeksperimenter«. det ene fremgår, at hvis man lader to instrumenter /_/ og I/c virke umiddelbart efter hinanden på samme legeme Li, så er virkningen den samme, som var det ét instrument med parameteren

(5)

eller i henhold til (4)

(sa)

Det andet forsøg viser, at hæfter man to legemer Lji og Li solidt sammen, så
fungerer de som ét legeme, når de påvirkes af et instrument Ij, men at
parameteren P(hi) for det sammensatte legeme tilfredsstiller relationen

(6)

altså med betegnelsen (4)

(6a)

Herved indses forst og fremmest, at de parametre, der indgår som »masse« og »kraft« i lovmæssigheden (1) ikke behøver at defineres hver for sig, ej heller ved hinanden, de kan indføres simultant gennem det, der kan bestemmes, strukturen af accelerationerne i tankeeksperimentet (2), hvori der er indbygget sammensatte legemer og instrumenter, der virker i serie.

Hertil kan for øvrigt føjes, at i additiviteterne (5) og (6) for de parametre, der indgår i (3) ligger en motivering for at hæfte betegnelserne »masse« og »kraft« på henholdsvis Pi"¹ og Qj. I den intuitive opfattelse af fænomenet »kraft« ligger nemlig ikke blot, at virkningen stiger med stigende »kraftudfoldelse«, også at dette sker »kvantitativt«, dvs. at f. eks. anvendelsen af samme kraft to gange lige efter hinanden på samme genstand har samme effekt som den »dobbelte kraftudfoldelse«. Ligeledes ligger det i den intuitive af fænomenet » masse«, at f. eks. to ens legemer der er bundet fast sammen har »samme træghed« - er lige så svær at flytte - som ét legeme med den »dobbelte masse«.

4. Hypoteseprøvning ctr. ufuldstændig induktion. Selv om vi hermed har fået placeret begreberne i (F, M, A)-konstellationen har vi endnu ikke fået klarlagt begrundelsen for (1) som en generel lov. Thi forsøg med 20 eller 200 legemer, hvad enten de udsættes for 7 eller 7000 instrumenter, kan stadig kun frembringe et endeligt antal observationer - og selvom fysikerne påberåber alskens erfaringer som begrundelse for tankeeksperimentets udfald, så er deres omfang, omend kolossalt omfattende, dog stadig begrænset. Selv et nok så stort forsøg og/eller et nok så velfunderet tankeeksperiment begrunder i princippet ikke relationen som generelt gyldig. Som antydet i afsn. 2: Generel gyldighed kan simpelthen ikke opnås ad empirisk vej. Uanset erfaringens omfang forbliver dokumentationen en ufuldstændig induktion.

Ikke desto mindre danner (1) et af de faste fundamenter for hele den klassiske
og dens tekniske anvendelser. Hvorledes kan den da begrundes?

Love som (1) sammen med (sa) og (6a) kan tænkes udledt deduktivt ud

fra i forvejen accepteret teori, men det flytter for så vidt blot problemet et skridt længere tilbage, med mindre man netop vil bruge nævnte lov som en prøvesten for deres præmisser. Under alle omstændigheder havner man i, at et empirisk materiale af større eller mindre omfang kan føre til den formodning,at gælder en eller anden lovmæssighed. In casu, at hvert legeme Li kan tilforordnes en parameter Mi, og at hvert mekanisk flytningsinstrumentIj tilforordnes en parameter Fj, der tilsammen tilfredsstiller både den multiplikative accelerationsrelation (1) og de to additive relationer (sa) og (6a).

Tentativt kan denne formodning ophøjes til en generel hypotese, som man derpå benytter enhver lejlighed til at afprøve for mange slags faste legemer og mange slags mekaniske flytningsinstrumenter - dels direkte, dels indirekte gennem konsekvenser af dem, f. eks. ved at man vitterligt kan opsende og styre raketter planmæssigt.

Altså: man beviser ikke en lovmæssighed som (1) eller dens parametriserede form (3) - med eller uden de additive love (sa) og (6a) - iagttagelser inspirerer at opstille den som en hypotese, der derefter testes på et meget bredt grundlag.

Dermed har vi svaret på det i afsn. 2 stillede spørgsmål om den principielle
begrundelse af en lov som (1).

5. Afgrænsning af gyldighedsområdet. Medens mange slags afprøvninger til visse har styrket tilliden til den fremsatte hypotese, så har de også tjent til at afgrænse dens gyldighedsområde: den gælder indenfor en bestemt referenceramme, legemerne er faste, hvori instrumenterne udelukkende virker mekanisk og hvori reaktionerne er accelerationer af legemerne.

Udvider man referencerammen, behøver hypotesen ikke mere at gælde. Sparker man f. eks. til 1 kg smør ved 20 °C bliver det hængende på skoen, og virker et instrument ikke blot mekanisk, men også kraftigt magnetisk, så vil genstande af sten og jern reagere ganske forskelligt. Og tages noget andet end accelerationer som reaktioner — f. eks. hastigheder eller positioner, for slet ikke at tale om legemernes farve eller tilbagekastning af lys - så holder (1) selvfølgelig helt op med at gælde.

Hovedsagen er, at man efter en god start med velvalgte legemer, instrumenter reaktioner - udvalgt efter dagligdags kriterier - kan forsøge at udvide i forskellige retninger og afgrænse den klasse af legemer, instrumenter, for hvilken den afprøvede hypotese gælder og til syvende og sidst finde ud af, hvilke fysiske egenskaber, de må have, i modsætning dem for hvilke loven ikke gælder.

Derved kan man efterhånden nå frem til en præcisering af lovens gyldighedsområde.

6. Sammenligninger indenfor referencerammen. Lad os dernæst se nærmere
på indholdet af loven (3).

Først tænkte vi os, at der forelå m faste legemer L_lt. .., L_m, men blev klar over, at generaliteten krævede, at mange flere måtte inddrages i undersøgelsen. ville man ikke kunne sige stop efter noget som helst angivet antal: mængden af legemer potentielt på prøve er übegrænset eller, for at sige det rent ud, den generelle lov kan kun formuleres for en mængde legemer, der er uendelig. Vi betegner en sådan mængde med i£.

For instrumenterne forholder det sig på samme måde: loven kan kun formuleres
en uendelig mængde <^.

Hvad endelig accelerationerne angår danner de mulige værdier en mængde
c 4, der også må opfattes som uendelig, da ethvert endeligt, positivt reelt tal er
muligt.

Referencerammen for den diskuterede lov er da sættet af de tre mængder

(7)

og selve loven er (3), hvori i og j er indices, der nu ikke forudsættes numerable,
om de i det følgende formelt optræder som numre; men herved
tænkes der på et konkret — og derfor endeligt - sæt af data.

Af (3) som gyldig for i= 1,.. ? m, j = 1,...,« kan de tilsvarende parametre og Qj bestemmes ud fra A'erne, dog kun på nær proportionalitetsfaktoren der kan fastlægges ved, at man vælger enhederne for P og Q således at f.eks.

(8)

hvorved vi får

(8a)

Pointen i denne banale bemærkning er, at Pi og Qj ikke kan bestemmes
absolut, men kun i forhold til noget andet, her Plt resp. Ql.Q1.

Li kan altså kun vurderes gennem sammenligning med et andet legeme i
i£ og // kun gennem sammenligning med et andet instrument i cl-

Benyttes samme instrument Ij til etablering af sammenligningen mellem
to vilkårlige legemer Lh og Li i i£, så sker det på grundlag af de to accelerationer
og Atj, hvilket i henhold til (3) bringes således til udtryk:

(9)

Resultatet af denne sammenligning har to iøjnefaldende egenskaber:
a. Det er uafhængigt af alle andre legemer ii£, specielt af de øvrige legemer i

en aktuel samling Llt.. ? Lm.

b. Det er uafhængigt af hvilket instrument i£> der benyttes til etablering af

sammenligningen, specielt af de øvrige instrumenter i en aktuel samling

Tilsvarende sammenlignes to hvilke som helst instrumenter Ij og Ijc i 3
gennem de to accelerationer An og Am de fremkalder hos et og samme legeme
Li, idet

(10)

som kun afhænger af de to instrumenter, men hverken af de andre instrumenter
<^ (jf. a) eller af det anvendte legeme (jf. b).

7. Den specifike objektivitet af sammenligninger. Nu er alle de mulige iagttagelsessituationer ved den fastlagte referenceramme [i£,<^,c4]: Legemerne i i£ skal sammenlignes med hensyn til de accelerationer (<=>#) som instrumenter i påfører dem. Og instrumenterne sammenlignes analogt.

Dermed forudsættes implicit, at iagttagelserne foregår indenfor et isoleret system, så at de er upåvirkede af hvad der sker i verden udenfor. Altså både af stjernernes stilling, af forbirullende lastbiler og af storpolitiske problemer. i øvrigt forudsættes også, at observationsarrangementet - den hertil nødvendige manipulation med legemer og instrumenter samt registreringen accelerationerne - ikke griber ind i observationssituationen.

Dette strengt isolerede system er således fuldstændigt karakteriseret ved referencerammen [i£. £1. c 4] med de tilhørende parametre. Indenfor denne ramme er alle mulige A'er potentielt set givne data - i en aktuel observationssituation Aij; i = 1,..., m; j = 1,..., n de faktisk givne data - medens parametrene P og Q er ukendte, men de er det eneste, der er ukendt i [i£,^,o4]. Udsagnene a og b siger da, at med relationen (3) som almengyldigt grundlag indenfor referencerammen kan parametrene for to hvilke som helst legemer sammenlignes ud fra, hvad der er kendt, nemlig observerade accelerationer, og resultatet er upåvirket af alt hvad der er ukendt indenfor referencerammen.

At det analoge gælder for sammenligning af instrumentparametre er en
selvfølge.

I denne præcise forstand kan vi betegne sammenligningerne som objektive. Imidlertid bruges dette udtryk - både i videnskab og i daglig debat - i mangelunde og derfor skærper jeg terminologien ved at betegne sammenligningerne specifikt objektive, nemlig specificerede ved referencerammen.

8. Skatære latent additive relationer. Den analyse af Newtons anden lov
som her er foretaget, har sine paralleler i den elementære klassiske fysiks
12*

basale love hvoraf mange er multiplikative i lighed med (1), og i flere tilfælde de op af analogier til de additive love (sa) og (6a). Men uanset om de sidste forefindes eller ej, kan den specifikt objektive sammenligning etableres gennem (1).

Imidlertid er denne lovmæssighed ikke ene om at frembringe slige sammenligninger. kunne tænke sig andre objekter O end faste legemer, der kom i kontakt med andre agentier A end just flytningsmekanismer, og at der derved fremkom andre reaktioner R end netop accelerationer. Endvidere at O, A og R med henblik på dette samspil karakteriseredes fuldstændigt ved éndimensionale — såkaldt skalære - reelle parametre o, a og r. Idet R tænkes bestemt af oogA, må r være en entydig funktion af o og a:

(11)

I vort foregående eksempel var

(12)

der transformeret logaritmisk kan udtrykkes additivt

(12a)

hvilket anvendt på m objekter, n agentier og m • n reaktioner giver

(13)

eller

(13a)

hvor markeringen med streger her skal indicere den logaritmiske transformation.

I dette additive system - der selvfølgelig er ækvivalent med det multiplikative
(12) - kan o^ og o* sammenlignes ved

(14)

som gælder for ethvert j og derfor er et specifikt objektivt udsagn. Det ana
loge gælder for sammenligning af to a'er.

En händig kontrol på additiviteten, der samtidig bestemmer addenderne
på nær en additiv konstant, får man ved i (13a) at danne gennemsnit over
dels i, dels j:

(15)

som indsat i (13a) giver

(16)

For fastholdt j vil differensen r/y — rj. altså være konstant, så at rtj tegnet op
mod ri,, i= 1,. . ?m skal give punkter, der ligger på en ret linie med hældningen
Analogt for rtj tegnet op mod rj,j— 1,. . ?n.

Det samme ræsonnement gælder imidlertid også, hvis blot r afhænger
således af o og a, at der findes 3 funktioner

(17)

af r, o og a som tilfredsstiller den additive relation

(18)

I så fald betegner vi systemet [o, a, r] som latent additivt, her forudsat
skalært, og ved nu, at et sådant system sikrer muligheden for specifikt objektive
sammenligninger mellem objekter indbyrdes og mellem agentier indbyrdes.

9. Betingelse for latent skalær additivitet. At undersøge om et system af
skalære variable er latent additivt er i princippet ret enkelt, idet man ved at
differentiere den med (18) ækvivalente ligning

(18a)

med hensyn til dels o, dels a får de to relationer

(19)

hvoraf f'(r) elimineres ved division

(20)

Hvilket udsiger, at forholdet mellem de to partielle differentialkvotienter af
reaktionsfunktionen r skal darine et multiplikativt system.

Om det gør det, kan man undersøge ved at tage logaritmerne og ved den gennem formlerne (15) og (16) skitserede teknik undersøge om de da danner et additivt system. Hvis de gør det, får man samtidigt bestemt g\o) og h\a) - på nær en multiplikativ konstant - og kan ved integration g(o) og h(a) - på nær additive konstanter.

Da (20) ikke blot er en nødvendig, men også en tilstrækkelig betingelse for latent skalær
additivitet, må summen g(p) + h(a) nødvendigvis være en funktion af r. Man kan derfor
sluttelig bestemme f(r) af (18a).

Tilstrækkeligheden af (20) ses ved i den modificerede form

(20a)

at opfatte r(o,a) som en funktion r af oog a. For denne fås nemlig

(21)

hvis almindelige løsninger er en vilkårlig (differentiabel) funktion af o + a:

(22)

der, vendt om til

(23)

er identisk med (18a).

10. Specifik objektivitet og latent skalær additwitet. I afsn. 7 blev det påpeget, den gencralitet der ligger i specifik objektivitet indenfor en given referenceramme kan opnås, hvis reaktionssystemet er latent additivt i endimensionale Men om denne betingelse kan det vises, at den også er nødvendig for specifik objektivitet af sammenligninger af objekter, for så vidt som alle Ire sæt parametre o, a og r er skalære.

At en sammenligning mellem to objekter Oh og Oi kan foretages specifikt objektivt betyder først og fremmest, at man af deres reaktioner Rh) og Ru på et vilkårligt agens Aj kan aflede et udsagn U{Rhu Ru) som er uafhængigt af Aj, men afhænger af O*ogO<. Da både objekter, agentier og reaktioner er fuldt karakteriserede ved deres parametre, drejer det sig om eksistensen et udsagn om r*j og nj - hvilket vil sige en funktion af dem - som kun afhænger af Oh og Oi. Objektiviteten fordrer altså, at der eksisterer to funktioner uogv, hver af to variable, for hvilke

(24)

Med den ovenfor anvendte betegnelse (11) kan vi skrive

(25)

og dermed antager (24) formen

(24a)

Begge former kan benyttes efter behov.

Den her opstillede betingelse for specifik objektivitet gælder uanset dimensionaliteten af de tre sæt parametre, men i det følgende skal vi - i fortsættelse af de foregående betragtninger - begrænse os til referencesystemer, hvori parametrene for både objekter, agentier og reaktioner er skalære.

Ydermere vil det for analysen af hvad (24) indebærer være påkrævet i nogen grad at specialisere klasse af sammenligninger, der ønskes dækket. Her begrænser vi denne klasse ved at fordre, at de tre funktioner r(x, y), u(x, y) og v(x, y) i de betragtede områder for o og a har kontinuerte partielle differentialkvotienter af første orden.

Under denne forudsætning kan man differentiere (24) med hensyn til enhver af de tre variable
, Oi og aj.l henhold til kædereglen fås derved

(26)

hvor man ved hjælp af de to øverste ligninger kan eliminere differentialkvotienterne af u i
den nederste ligning:

(27)

Idet denne relation skal gælde for vilkårlige o», Oi og aj kan vi i første instans holde aj kon-
Bv
stant, lad os sige = aO.a0. Koefficienten til f.eks. — kommer derved til kun at afhænge af o*.
Bon

og det står os frit for at betegne den 1: g\on). Anvendt på begge led på venstre side af (27)
viser denne specialisering, at v(on, o<) må tilfredsstille en partiel differentialligning af formen

(28)

og heraf følger, ved samme ræsonnement som i slutningen af afsn. 8, at v må være en funktion
af differensen mellem

(29)

dvs. af formen

(30)

Funktionen v er altså latent subtraktiv.

I anden instans lader vi er* variere frit i (27), men eliminerer differentialkvotienterne af v ved
hjælp af (28). Derved får vi

(31)

Men da venstre side er uafhængig af o* og højre af on, må hver side være uafhængig af det
pågældende o, altså kun afhænge af aj. Vi kan derfor sætte

(32)

der kan ommøbleres til

(33)

og heraf følger at funktionen r er latent additiv, dvs. af formen

(34)

hvori vi foruden (29) har sat

(35)

Idet dette resultat kombineres med slutningen af afsn. 9 har vi vist en af
hovedsætningerne i teorien for specifik objektivitet:

Er parametrene for både objekter, agender og reaktioner reelle tal er det en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for specifikt objektive parvise sammenligninger objekterne, at reaktionsparameteren er en latent additiv funktion af objekt- og agensparameter.

Hertil kan føjes, at definitionen af begrebet sammenligning af to objekter kan udvides umiddelbart til sammenligning mellem flere objekter og at betingelsen dennes specifike objektivitet også er den latente additivitet af reaktionsfunktionen.

Endelig kan det bemærkes, at på grund af at objekter og agentier optræder fuldstændig symmetrisk er den latente additiuitet også nødvendig og tilstrækkelig specifikt objektive sammenligninger mellem agentier. De to slags objektiviteter følges ad.

11. Produktion som bestemt af kapital og arbejde. Da jeg ikke har haft lejlighed at afprøve det følgende på adækvate talmaterialer, skal det - i hvert fald indtil videre — ikke tages særlig højtideligt, kun som en smagsprøve på, hvorledes det kan tage sig ud, når man forsøger at flytte den latente skalære additivitet over i økonomien.

Produktion som funktion af kapital og arbejde

(36)

specialiseres ofte til Cobb-Douglas-typen

(37)

Umiddelbart ser den ikke multiplikativ ud, men man kunne sige, at kendte
man eksponenten a, så havde man med

(38)

udtrykt kapital og arbejde i en ny metrik, hvori P er multiplikativ.

Med terminologien fra de foregående afsnit kunne man også sige, at
systemet (37) er latent additivt og at transformationerne til additivitet er

(39)

Selvfølgelig, har man adækvate data, er det let nok at estimere <x fra dem, hvis modellen ellers passer godt nok, men man kunne måske også lade det spørgsmål stå åbent, hvilken metrik P, K og A skulle måles i for at bringe samspillet mellem K og A til udtryk i additiv form, hvis dette er muligt.

Med denne problemstilling ville man spørge om eksistensen af tre funktioner
g og h for hvilke

(40)

og disse funktioner måtte bestemmes empirisk som angivet i afsn. 9.

Selvfølgelig kan problemstillingen modificeres, f. eks. ved — inspireret af
Cobb-Douglas - at indføre forholdet L = KjA og A selv som de variable,
der bestemmer P, men for selve tankegangen er det en detalje.

En hovedvanskelighed ser jeg i fremskaffelse af adækvate data, for hvilke de to - eller, for den sags skyld, flere — determinerende variable man hæfter sig ved, skulle variere frit i forhold til hinanden, men jo ofte, f. eks. når en enkelt virksomhed iagttages over en årrække, netop følges ad. Men lader den sig overvinde, f. eks. ved at inddrage flere, forskelligt dimensionerede virksomheder, fremstiller det samme produkt, får man, når den latente skalære additivitet er til stede, i tilgift en objektivitet, som skulle kunne udnyttes lighed med fysiske love, (jf. afsn. 1), ifald referencerammen kan gøres tilstrækkelig omfattende.

12. Latent additivitet og sandsynlighedsmodeller. Når der i de foregående afsnit er talt om multiplikative og additive relationer, eksempelvis (3), (5) og (6), samt om differentialligninger, så gælder de strengt taget kun, når de givne data, værdierne af reaktionsfunktionen r(o, a), ikke er mærkbart belastede målefejl eller andre tilfældige variationer.

Det matematiske apparat, der bruges til behandling af slige variationer, er som bekendt sandsynlighedsregningen. Man står da overfor den opgave at indbygge de latent additive strukturer i sandsynlighedsmodeller, hvori det grundlæggende princip, den specifike objektivitet af de sammenligninger, der skal foretages, bliver bevaret.

Afsnit 13 og 14 eksemplificer er hvorledes man til tider kan arbejde sig
frem til en sådan model.

13. Latent additivitet i procenter som er organiseret ien 4-X4-tabel. For ca. 100 år siden benyttede den franske sociolog Durkheim sig i sine berømte studier selvmord af en egenartet teknik ved beskrivelse af tabeller der skulle demonstrere, hvorledes selvmordsfrekvenser varierer med to forskellige faktorer.

Ideen i hans metode kan illustreres gennem tabel 1 som er et uddrag af
materialet i tabel 5.4 hos Bent Bøgh Andersen (1972):

Heri betegner »tidsperspektivet« en gennem et spørgeskema målt holdning
af den enkelte elev til planlægning af egen fremtid.

Det er iøjnefaldende, at procenterne i hver række og hver søjle er monotont så at det traditionelle »/²-test for uafhængighed« er uden interesse. Det kan være fristende med Durkheim at læse tabellens procenter på skrå og stadig finde systematisk gang i tallene. Detaljer i denne måde at anskue tabellen på er beskrevet af rapportens forfatter (p. 63), som har draget den Durkheimske teknik frem af næsten glemsel.

For at komme frem til en klar beskrivelse af tabellens struktur synes en
mere systematisk analyseteknik dog påkrævet. Hvad vi vil gøre, er da at

undersøge om der bagved de systematiske træk kan erkendes en latent
additiv struktur.

Det er klart, at da procenter er låst inde mellem 0 og 100 kan de ikke selv danne et additivt system, men må transformeres således at tallene får i princippet fri bevægelighed mellem —oo og + QO- Det kan man opnå gennem en såkaldt logistisk transformation²

(41)

hvor p betegner en given procent. Ved at anvende den på tabel l's procenter
ptj hvor i står for faders sociale status, j for tidsperspektivet, får man indmaden
= tg pij) af tabel 2.

For at se om vi allerede med denne simple transformation skulle have haft held til at bringe additiviteten frem, kan man bygge på den gennem formlerne (13a), (15) og (16) i afsnit 8 skitserede teknik og her beregne gennemsnittet hver række (/{,) og af hver søjle (/.;) samt det totale gennemsnit Hvis man teoretisk set skulle have relationen

(42)

---

2. Der er også andre muligheder, men denne er i flere henseender den simpleste.

- hvor Si og tj fikseres ved at deres gennemsnit sættes til 0 - måtte vi have

(43)

hvori tegnet angiver at højre side er et skøn over (estimerer) parameteren
på venstre side.

Til kontrol af om - eller hvor godt — modellen passer i det foreliggende tilfælde
man indsætte skønnene (43) i stedet for selve parametrene c, Si
og tj i (42). Derved får vi de »beregnede værdier«

(44)

i tabel 3, at sammenligne med de oprindelige hj i tabel 2, f.eks. gennem et diagram med /$/erne som ordinater mod de tilsvarende fj/er som abscisser. Resultatet ses i fig. 1, hvori punkterne slynger sig tæt om identitetslinjen, som de skulle ligge på i fald /</erne kunne fremstilles præcist ved formel (42).

Til overflod kan man i tabel 4 se, hvor godt de fra Uj tilbageregnede procenter
overens med de observerede procenter pij.

14. Opstilling af en additiv sandsynlighedsmodel. En præcis fremstilling kan der selvfølgelig ikke være tale om. Procenter som hvert pi] må, som velkendt, i allerbedste fald formodes at være underkastet tilfældige variationer i overensstemmelse binomialloven med en eller anden parameter zij. Idet ntj er det antal elever, der er karakteriseret ved kombinationen (i,/) og atj betegner det antal af dem der kom i 1. real, skulle sandsynligheden for netop dette antal da være

Da middelværdien af a\j i denne fordeling er

(46)

ville aij/riij = pa/100 kunne tages som et skøn over Zij. Dermed skulle også
Uj være et skøn over den logistiske transformation af ztj.

Hvad analysen i afsnit 13 har vist er da, at der er en god mulighed for at

(47)

Løst med hensyn til zij udsiger denne relation at

(48)

der med betegnelserne

(49)

forenkles til

(50)

Denne model er for så vidt den samme som den, der i de senere år i udstrakt har været anvendt til analyse af enkeltpersoners sekvenser af responser en serie af spørgsmål, hvert med to svarmuligheder (se f. eks. Kap. 12 og 13 i Ulf Christiansen og Jon Stene (1969), herefter citeret som GR's Lærebog), men her er den anvendt til studium af befolkningsgrupper.

Referencerammen fra afsnittene 8 og 10 med objekter, agentier og reaktioner også her: objekterne kan være tidsperspektiverne, der udsættes fædrenes sociale status som agentier og resulterer i bestemte sandsynligheder som 8. års skoleelever at komme i 1. real. Hertil føjes så at i reaktionen, som helt bestemt af objekt- og agensparameter, ligger en forudsætning at alle elever i samme (i, j)-gruppe har samme sandsynlighed Zij for at havne i 1. real. In casu er denne sandsynlighed bestemt af de to parametre og Tj, nemlig gennem formel (50), hvis exponentielle version (48) viser, at denne reaktion er latent skalært additiv.

Idet endelig de tilfældige momenter i elevernes placeringer formodes at være hinanden uvedkommende, hvilket formaliseres som »stokastisk uafhængighed«, binomialfordelingen (45), der med specialiseringen (50) antager formen

' (51)

Denne form for anvendelse af de såkaldte »Målingsmodeller« er behandlet i GR's Lærebog under betegnelsen »Fordelingsanalyse«, hvor modellen (51) dog kun er nævnt en passant, men en vis side af teorien for den er udarbejdet af Poul Chr. Pedersen (1971).

15. Adskillelse af parametre og specifikt objektiv estimation. Beregningerne i afsnit 13 ville have ført til en specifikt objektiv bestemmelse af parametrene c, si og tj, i fald (48) havde været en fremstilling af selve de iagttagne relative hyppigheder. Men da dette ikke er tilfældet, står det spørgsmål tilbage om det er muligt at estimere parametrene med specifik objektivitet. Det skal nu undersøges, idet vi her begrænser os til sammenligningen af to tidsperspektiver og k på grundlag af en vilkårlig status i.

Da grupperne (i, j) og (/, k) består af forskellige elever tør stokastisk uafhængighed mellem
an og ane forudsættes. Ifølge (51) har vi da

(52)

I dette udtryk optræder S< i potensen au+atk og sandsynligheden for en bestemt værdi r af
denne sum finder man ved at skrive sandsynligheden p{cm, er«} ned for hvert eneste muligt
værdipar (cm, a<*) med denne sum og lægge dem sammen. Derved får vi

(53)

hvori polynomiet

(54)

er homogent af graden r i Tj og T*.

Divideres sandsynligheden (53) op ip{an, a<*} givet ved (52), får man den betingede sandsynlighed
netop de to antal an og a<* under forudsætning af at deres sum er r:

(55)

Det vil ses, at ved denne procedure er Si blevet elimineret, så at sandsynligheden (55) ikke
afhænger af andre parametre end forholdet mellem Tj og T*.

Dette forhold kan man altså estimere på grundlag af ethvert i, og under forudsætning af
modellen skal alle disse estimater (in casu 4) være statistisk forligelige.

Om de er det kan man i konkrete tilfælde efterprøve ved at sammenholde de enkelte par
{an, dik) med totalen (a0/, ao*).a0*). men formlen herfor, såvel som et udvidet formelsystem der
inddrager alle (16) par (i, j) på én gang, skal jeg lade ligge ved denne lejlighed.

Her skal omtales hovedresultatet, hvoraf den første del er en generalisation
af (55):

Ethvert sæt af T'er kan estimeres og vurderes uafhængigt af både de øvrige
T'er og alle S'er og omvendt, for såvidt som modellen (51) i forbindelse med
stokastisk uafhængighed af de observerede antal, er rigtig.

Modelhypotesen kan efterprøves uafhængigt af alle parametrene.

For den her omtalte stokastiske model gælder det samme som blev fremhævet de determinerede modeller i afsnit 7, at det eneste ukendte i referencesystemet parametrene, og at sammenligninger mellem objekter såvel som mellem agentier (jf. formel (55)) kan foretages ud fra hvad der er kendt - nemlig de observerede data (aij, givet ntj) - upåvirket af alt hvad der er ukendt indenfor referencesystemet. De herpå beroende statistiske udsagn om parametrene kan derfor betegnes som specifikt objektive.

Det er herefter et oplagt spørgsmål, hvilke modeller der har denne bemærkelsesværdige Matematisk set er mulighederne stærkt begrænsede. Idet vi holder os til den foreliggende situation med kun to mulige udfald i hvert enkelt tilfælde og stokastisk uafhængighed mellem tilfældenes udfald, så er den med (45) og (50) givne sandsynlighedsmodel — på nær trivielle transformationer den eneste der tillader specifikt objektiv adskillelse af objekt- og agensparametre.

For beviset kan henvises til kapitel 13 i G.R.'s Lærebog

16. Orientering mod processer. Den teori for specifik objektivitet og latent skalær additivitet, der er udviklet i afsnittene 1-7 og 8-10 såvel som de to anvendelser afsnittene 11 og 13-15 behandler kun stillestående systemer, hvor alle reaktioner er bestemt af to faste sæt af parametre.

Gennem de to næste eksempler skal vi nærme os problemstillinger der har med ændringer af et system at gøre. På sådanne områder ligger de stokastiske problemer imidlertid adskilligt dybere end i det sociologiske eksempel, så ved denne lejlighed må jeg begrænse mig til antydninger.

I behandlingen af de to talmaterialer skal vi derfor lade disse problemer ligge og nøjes med at påpege »de store træk« - hvorved de i øvrigt bliver eksempler på, hvad jeg ved anden lejlighed har kaldt »numerisk statistik«. Herved fremtræder strukturer, der ved senere studier må søges indarbejdet i de »stokastiske processer« der kan tænkes at have frembragt talmaterialerne.

17. Præliminær analyse af en række lønudviklingskur ver. Fra Arbejdsgiverforeningenspublikation for årene 1953-69 har P. Toft-Nielsen og Steffen Møller ekstraheret timelønnen pr. år i 9 større områder, »industrier«, og stillet materialet til rådighed for mig. Ordnet efter timelønnen i 1969 er det gengivet i tabel 53,5³, som i fig. 2er illustreret med forløbet i4 karakteristisketilfælde.

---

3. Ved et uheld blev J, der er totalen af alle 9 industrier regnet som endnu en industri, men som det vil kunne ses af Og. 3 nedenfor kommer det ikke til at spille nogen praktisk rolle for den følgende analyse.

stisketilfælde.De resterende forløber efter mønstret i de 3 kurver, medens retningen af den fjerde kurve (F) går på tværs af alle de 8 øvrige. Disse 8 kurver forløber i forskelligt niveau og med forskellig stigning, men selv om nogle kan være praktisk taget sammenfaldende skærer de ikke hinanden. Hvad den singulære F angår så skærer den flere af de 8 kurver til gavns, men det typiske forløb - i begyndelsen en svag stigning, som efterhånden afløsesaf stærkere og stærkere stigning, hvilket frembringer et kraftigt krumliniet forløb med hulheden vendende opad - har den fælles med de 8, blot er stigningstakten svagere.

Hermed synes der at være grund til at søge efter en fælles struktur for alle 9 industrier, eventuelt en latent skalær additivitet. Denne mulighed er - i virkeligheden dog kun for fuldstændigheds skyld - efterprøvet under anvendelse den i afsnit 9 anførte metode med et resultat, som - hvad dog ikke skal demonstreres her - var komplet negativt.

Men det var netop hvad der måtte forventes, da lønningerne i de successive år jo ikke er et fikseret system hvor hvert års timeløn bestemmes uden hensyn til niveauet i de foregående år. Det er netop et system i bevægelse: hvert års timeløn i en industri fremgår - gennem overenskomstforhandlinger og lønglidninger af det (eller de) foregående års timeløn.

Som en første, muligvis anvendelig, approksimation skal vi undersøge om lønstigningen mellem to tidspunkter t_x og t2t₂ for den enkelte industri (nr. i) kan formaliseres som en kontinuert forløbende proces, hvis retning på hvert mellemliggende tidspunkt t er betinget af 3 faktorer: industriens timeløn på dette tidspunkt, de for alle industrierne fælles øjeblikkelige generelle økonomiske og de særlige forhold der gælder for den betragtede industri og som tænkes konstant over hele åremålet.

Idet industriens timeløn på tidspunktet t betegnes Xi(t), vil stigningens
hastighed x<'(o da afhænge af xi(t) selv, af en »generel økonomisk udvik-

for 9 industrier i årene 1953-69.

lingsfunktion« f'(t) for alle industrierne, og af en konstant parameter bi der
er speciel for den pågældende industri.

Hvis der i dette system skulle herske en latent skalær additivitet eller, in

13

casu mere bekvemt, en latent skalær multiplikativitet, måtte der eksistere to sådanne funktioner den ene, f, af reaktionen x/(f) og den anden, h, af det ene agens xi(t) - medens der ikke er grund til at transformere bi og g'(t) - for hvilke det gælder at

(56)

At bestemme de übekendte - funktionerne f, g, h og konstanterne bi - direkte udfra Xi\t) og xt(t) som eksakt givne, ville måske nok være teoretisk muligt, men da vi i så fald skulle op til differentialkvotienter af både 3. og 4. orden, vil det i hvert fald være uigennemførligt når de pågældende data er belastet med, hvad der må anses for målefejl og andre tilfældige variationer.

For nærværende skal vi i stedet forsøge den ganske simple antagelse

(57)

altså gå ud fra ligningen

(58)

der integreres til

(59)

hvori at er en integrationskonstant.

En afprøvning af denne model samtidig med en empirisk bestemmelse af
funktionen g(t) og de to sæt konstanter a* og bi er en relativt let sag: Beregnes
gennemsnittet af

(60)

over industrierne fås

Hvis der eksisterer et g(t) kan vi som et sådant simpelthen tage y.(t) (eller
en lineær transformation af det), hvilket indsat i (59) giver

(62)

Denne ligning udsiger at, hvis modellen (59) holder og vi for hver industri
tegner et diagram med de successive værdier af yt(t) for t = 1953,. .., 1969
som ordinater mod de tilsvarende værdier af y.(t) som abscisser, så skal
punkterne ligge på en ret linie hvis hældning er bi'. Som position kan vi
vælge f.eks. den ordinat på linien hvis abscisse er y. = gennemsnittet af
y.(O over /. Vi sætter altså

(63)

I praksis får vi selvfølgelig kun en slags skøn over a/er, bi er og g(t), og
kontrollen kan i bedste fald kun give punkter der ligger mere eller mindre tæt
omkring rette linier.

I tabel 6 findes logaritmerne til timelønningerne samt deres gennemsnit
over i, og fig. 3 viser kontroldiagrammerne med ordinatnulpunkterne for de
forskellige industrier parallelforskudt i forhold til hinanden.

Det ses at punkterne smyger sig temmelig tæt omkring de respektive rette
linier så at modellen (59) og dermed (58) må siges at give en tilfredsstillende
fremstilling af de foreliggende data.

Det bemærkes at hældningen for industrien F, som det måtte ventes, er
en del mindre end for de øvrige otte, men også at forskelle af en vis betydning
disse hældninger kan erkendes4.

---

4. Under supplerende forudsætninger om de tilfældige variationer kan man selvfølgelig gennemføre regulær statistisk analyse, som jeg til det foreliggende formål har afstået fra. Et muligt middel hertil er givet af C. R. Rao (1958).

Estimatet af funktionen g(t) er anført som nederste linie i tabel 6, hvori
også skønnene over positioner ai og hældninger bi findes som de to yderste
søjler til højre.

For fuldstændigheds skyld er den fundne funktion tegnet op i fig. 4, hvoraf man kan aflæse at i de første 5 år svarer forløbet af g(t) til en årlig lønstigning omkring 5%, medens den i de sidste 5 år har ligget på omkring 11%, for F noget lavere og for A lidt højere.

18. Objektiv vurdering af procesparametre. Med de fundne resultater er det, også teknisk set, helt klart hvorfor den første afprøvning brød fuldstændig sammen: xi(t) som bestemt af tidspunkt og industri indeholder en skalær parameter g(t) pr. tidspunkt, men en todimensional parameter (at, bi) pr. industri, medens teorien i afsnittene 1-10 forudsætter, at der kun foreligger éndimensionale parametre.

Under betragtningen af lønudviklingen som en proces får vi derimod,
som det ses af (58) omskrevet til

(64)

multiplikativiteten frem, når vi opfatter log xi(f), og ikke Xi(t) selv, som det
der ændrer sig.

Under dette processynspunkt er vi således kommet frem til den latente skalære additivitet af to sæt parametre, industriparameteren bi og den generelle g\t), som dermed kan vurderes specifikt objektivt. Derimod falder bestemmelsen af a< udenfor den udviklede objektivitetsteori.

For øvrigt svarer formuleringen (64) til, at man under lønforhandlinger
og -glidninger måske nok taler om kroner og ører, men i virkeligheden tænker
i relative lønforbedringer (jf. slutbemærkningen i afsnit 17).

19. En struktur iet dødelighedsmateriale. Det tredje eksempel, som er hentet fra demografien, handler orn variationen af dødsintensiteten med alderen for mænd i Danmark i årene 1906-1955, alderen x (5-75 år) for hvert 5. år og kalenderåret / grupperet i intervaller på 5 år. Ved dødsintensiteten forstås - i princippet - den andel, beregnet pr. 100 000, blandt dem der i tidsrummet (t, t-\-5) fyldte x år, som døde før deres næste fødselsdag.

Grundmaterialet i tabel 7 udviser selvsagt meget store variationer med alderen, hvilket vanskeliggør umiddelbare sammenligninger mellem alderstrinnene.Som forsøg på at bøde herpå tages logaritmerne som ses i tabel 8, og virkningen heraf er illustreret i fig. 5 som for hvert alderstrin viser, hvorledeslog _{x t} har ændret sig i løbet af 50 år. Forløbene er ret jævne - for aldrene op til 40 år dog afbrudt af kraftige knæk opad for / = 1916, dvs. for femåret

1916-20 med de to store epidemier af »den spanske syge«. Men udenfor denne periode - og tilsyneladende uden større varige virkninger af den - iagttages et jævnt fald gennem årene, kraftigst for børn og unge, stadig anseligt fra 40 til ca. 60 år, men fladende ud mere og mere for de ældre.

Denne iagttagelse frister til at søge en struktur, men belært af erfaringen med timelønningerne søger vi ikke direkte en latent additiv struktur, men vi skal, uanset manglen på et holdepunkt som (58), spørge rent geometrisk om kurverne i fig. 5 - i lighed med de 9 industriers logaritmiske lønninger - kan transformeres lineært over i hinanden.

Den nederste række i tabel 7 giver os gennemsnittet (»uvejet«) over aldrene for hvert tidspunkt, og med disse som abscisser indtegnes i fig. 6 for hvert alderstrin et diagram med værdierne af ll_{x t} = log q_x% som ordinater (x =25 og 35 er udeladt, da de næsten falder sammen med henholdsvis x = 20 og x = 30). Punkterne for 1916 er indrammet af cirkler og ligger som helhed ikke i flugt med de øvrige punkter, der ellers for hvert alderstrin samler sig om en ret linie. Variationerne er iøjnefaldende nok, og det er for så vidt ikke utænkeligt at man gennem nøjere granskning kunne afdække endnu et strukturlag. hovedsagen er, at der i hvert fald er en iøjnefaldende primær struktur der kan udtrykkes som l_xt's lineære relation til l.t for hver aldersgruppe:

(65)

De rette liniers hældninger d_x og positionerne a_x, bestemt som ordinaterne til abscissen for /. = gennemsnittet over t af l.t, er aflæst og indført som de to sidste søjler i tabel 7. Forløbet af tidsfunktionen Lt ses i fig. 7; på nær et hak opefter i det ovenfor omtalte t = 1916 udviser den et jævnt fald. Af fig. 8 ses, at hældningen d_x i store træk aftager monotont med alderen, dog med et plateau fra 20 til 40 år; svingningerne derudover er måske reelle nok, men kan delvist ligge i usikkerheden på den grafiske bestemmelse af hældningerne, den er følsom overfor punkternes variationer om linierne, som jo ikke er helt små. Denne variation påvirker ikke i synderlig grad aflæsningen af positionerne a_x der da også, som det ses af fig. 9, udviser et jævnt monotont forløb på nær faldet fra 5 til 10 år, som imidlertid er ganske reelt og fremgår klart allerede af fig. 5.

20. En kommentar til den fundne struktur. Strukturrelationen (65) er af en nok så ejendommelig form, idet den siger, at i den pågældende periode var dødsrisikoen for mænd stort set kun bestemt af deres alder x og det tidspunkt t de havde den på, medens det der var sket forud i deres levetid - både i hygiejne, teknik, sociale forhold m.v. - i hvert fald kun spillede en sekundær rolle i forhold til den øjeblikkelige tilstand i samfundet på det tidspunkt er om.

Kunne et så mærkværdigt resultat mon ikke tænkes at være et — omend
næsten utroligt - statistisk puds, som disse data netop fra Danmark i just de
50 år havde spillet os?

Hertil er imidlertid at sige, at P. C. Matthiessen for en halv snes år siden foretog en tilsvarende undersøgelse af svenske data og fandt et ganske lignende (upubliceret). Endvidere at blandt de dødelighedsdata fra mange lande, der findes i publikationen United Nations (1955) blev 19, som havde mindst 4 registreringstidspunkter, udvalgt til en præliminær undersøgelse et seminar på Statistisk Institut i foråret 1969 og senere analyseret mere indgående af Peter Allerup i en examensopgave: Overalt fandtes samme struktur.

Den i det danske materiale afslørede struktur synes det derefter at man må affinde sig med — om ikke som andet, så i hvert fald som et første skridt henimod af en for mange steder i Verden fælles struktur i den regel mennesket dør efter med alderen under påvirkning af lokale temporære forhold.

21. Objektivitetsproblemet in casu. Med henblik på objektivitetsproblemet må først bemærkes, at betragtet lokalt har vi i (65) en lignende situation som i (64), nemlig en endimensional parameter l_t pr. tidspunkt, men en todimensional _x, d_x) pr. alderstrin. Den dækkes ikke af den hidtil udviklede teori, men opfordrer til en udvidelse af rammerne så restriktionerne til endimensionalitet parametrene for både objekter, agentier og reaktioner løsnes. En udvidelse til højere dimensioner foreligger ganske vist, men kun under den betingelse at alle 3 slags parametre har samme dimension, og det er dette bånd der kan være grund til at søge ophævet.

Imidlertid kan man, ligesom i løneksemplet, anlægge det synspunkt at det
der observeres, her dødsrisikoen for mænd i given alder, er noget der ændrer
sig med tiden, og for denne ændring i tidsrummet (tv t2) har vi ifølge (65)

(66)

altså latent additivitet og dermed specifik objektivitet

Nu er dødsintensiteterne - om man vil: deres matematiske korrelat - defineret de logaritmiske differentialkvotienter af den andel af befolkningen på et givet tidspunkt - der har overlevet givne aldre. Betegnes denne andel LL_{x t} er altså

(67)

Men hermed er allerede indført et processynspunkt: hvorledes populationen
uddør med alderen. Hvad der føjes til i (66) - eller dens differentielle modstykke

(66a)

er, også at anlægge processynspunktet på tidsforløbet.

Vi kommer da til den konklusion, at erstattes det helt statiske synspunkt, altså populationens fordeling på alder på et givet tidspunkt, med processynspunktet ændringer af dødsrisikoen med både alder og tid, så opnås i det betragtede specifikt objektiv adskillelse af de skalære parametre der herefter tilbage.

22. Specifik objektivitet i processer'! Analyserne af lønudviklingen indenfor industrisektoren i årene 1953-69 og af dødsrisikoens ændringer for mænd i Danmark i årene 1906-55 pegede på muligheden af at opnå specifik objektivitet tilfælde, hvor der sker ændringer indenfor observationsperioden og hvor derfor hver iagttagelse fremstår på grundlag af den eller de foregående.

Specielt pegede de på det vigtige i, som betingelse for at få latent additivitet,
ikke at tage selve lønnen, resp. selve dødsrisikoen, men ændringerne i disse
som reaktion.

Disse to tilfælde må betegnes som kinetiske da talen kun er om ændringer gennem tiden, ikke om de påvirkninger der frembringer dem. Men kinetiske og dynamiske foreteelser kan sammenfattes under begrebet processer, hvis agentier kan være såvel egentlige påvirkninger som tidspunkter og intervaller.

23. Den dynamiske problemstilling. For at få et indblik i den dynamiske problemstilling
vi tilbage til de faste legemer der påvirkes af mekaniske
flytningsinstrumenter, men fører diskussionen lidt videre.

På et vist tidspunkt bevæger et legeme L sig i forhold til Jorden med en
hastighed Vo der ændres til Vx under en påvirkning i bevægelsesretningen af
et instrument I, som meddeler det en acceleration A = Vx — Vo.

I den tidligere diskussion (afsnit 2 og 3) fandt vi, at denne acceleration er
proportional med en parameter for instrumentet, dets »kraft«, og omvendt
proportional med en parameter for legemet, dets »masse«.

Legemet som først befandt sig i en tilstand hvori det havde hastigheden
Vo, bringes ved påvirkningen over i en anden tilstand hvori det har hastigheden

(68)

hvor Fx betegner instrumentets kraft og M legemets masse, jf. afsnit 3, form
lerne (3) og (4).

Men nu kan legemet i sin nye tilstand påvirkes af et andet (eller det samme)
instrument med kraften F2, modtage accelerationen GF2jM og derved bringes
over i en ny tilstand med hastigheden

(69)

jf. formel (sa). Og således videre. Gennem n sådanne påvirkninger ændres
initialhastigheden Vo efterhånden til

(70)

Gennem disse ændringer bevarer legemet sin permanente parameter, massen
medens tilstandsparametren, hastigheden Vj, gennemløber skiftende
værdier.

24. Referencerammen for processer. Vi kan nu opstille en referenceramme
for processer, i fortsættelse af den i afsnit 6 opstillede for statiken.

Vi har atter objekter 0, agentier A og reaktioner R, men hertil kommer, at et objekt kan befinde sig i forskellige tilstande T og at overgangen fra en tilstand til en anden sker ved en transformation, der frembringes af den reaktion R et agens A fremkaldte på objektet i den foregående tilstand. Forløbet skematiseres således:

(71)

hvori O's øvre index er objektets identifikation som bevares under hele
processen, medens O's nedre index markerer de skiftende tilstande.

Formålet med den følgende analyse er at udvikle redskaber til sammenligninger denne referenceramme: Sammenligninger mellem objekter henblik på, hvorledes den betragtede slags processer forløber. Heri ligger at problemstillingen ikke er beskrivelsen af et enkelt forløb, f. eks. en enkelt tidsrække, lad os sige i prisudviklingen for kartofler i Danmark fra 1919 til 1965, men snarere prisudviklingen for mange slags grønsager og andre fødevarer, evt. andre varer. Endvidere sammenligninger mellem tiistande, hvilke objekter de optræder hos. Og endelig sammenligninger mellem agentier, sådan som de virker på hvilkesomhelst tilstande hos hvilkesomhelst

25. Parametrisering og specifik objektivitet for processer. I parametriseringen
indgår agensparametre a. objekternes pprmanente parametre o og deres tilstandsparametret

standsparametretsamt reaktionernes parametre r, som i hver given situationer
bestemt af de 3 andre parametre:

(72)

I lighed med hvad der blev gjort i det statiske tilfælde i afsnit 10 betegner vi her en sammenligning af f. eks. to objekter med parametrene o_x og o2o₂ som specifikt objektiv, hvis den er uafhængig af de øvrige parametre i referencerammen. udsagnet må være baseret på hvad der er kendt, nemlig de observerede reaktioner r, indebærer kravet eksistensen af en funktion u af de to r'er, som kun afhænger af de to o'er, der skal sammenlignes, altså

(73)

jf. formel (24).

Idet vi stadig begrænser os til skalære parametre kan det vises, at stiller
man kravet om specifik objektivitet i alle 3 retninger, så må reaktionen r være
latent additiv i alle 3 variable.

Beviset herfor forløber omtrent parallelt med det, der blev givet i afsnit 10.

Ved skiftevis at differentiere (73) med hensyn til alle 4 variable fås 4 ligninger hvoraf de to
differentialkvotienter af u med hensyn til rx = r(pi, t, d) og r2r2 = r(pt, t, d) kan elimineres,
hvorved man får

(74)

og den analoge med differentiation med hensyn til a. Giver man heri t og a specielle værdier
to og a0 og indfører betegnelsen

(75)

fås

(76)

og den analoge ligning. Heraf følger at disse fire udtryk kun afhænger af / og a, og vi kan derfor
ligningerne i

(77)

For den specifike objektivitet i de to andre retninger fås på samme måde

(78)

og

(79)

Men skal de tre sæt ligninger gælde samtidigt må de kunne reduceres til ét sæt af formen

(80)

der med

(81)

som nye variable og med betegnelsen

(82)

reduceres til

(83)

med en vilkårlig funktion af o + t + a som den fuldstændige løsning

26. Status og perspektiver. Min hensigt med denne afskedsforelæsning har været at give tilhørerne et indblik i de tankebaner, som studier indenfor psykologien i 50'erne og som overtagelsen af lærestolen i Teoretisk Statistik som Redskab indenfor Samfundsvidenskaberne provokerede mig til at tage op på en bred basis.

Teorien er, så vidt den er udformet, allerede ganske omfattende, så ved denne lejlighed var en kraftig beskæring nødvendig. Denne er foretaget i to retninger, dels gennem en begrænsning til tilfælde hvor alle parametre er éndimensionale, hvilket medfører at både resultater og beviser bliver relativt dels ved i indeterminerede tilfælde at nøjes med den situation, hvor kun 2 forskellige responser er mulige.

Endimensionaliteten sikrer at reaktionerne - som i det indeterminerede tilfælde sandsynlighedsfordelingerne af de to mulige responser - bliver latent Og de kun to responser fører over i en så simpel fordelingstype, (50), som vel kan tænkes.

Udvider man dimensionstallet, men fastholder, at de tre slags parametre - for objekter, agentier og reaktioner — skal have samme dimension⁵, så gælder stadig udledelsen af differentialligningen (28), når de anvendte betegnelser tolkes som vektorer og matricer, men heraf følger en flerdimensional latent additivitet kun under stærkt skærpende forudsætninger, som for øvrigt ikke kan siges at være helt kortlagt endnu. Imidlertid er dog en i udstrakt grad anvendelig tilstrækkelig betingelse til rådighed.

Udvides, i den stokastiske problemstilling, antallet af responser udover 2

---

5. Manglende balance mellem dimensionerne er endnu ikke behandlet tilfredsstillende.

fører den omtalte tilstrækkelige betingelse til en matematisk set stærkt begrænset,men for praksis særdeles omfattende klasse af fordelinger, de såkaldte »målingsmodeller«. Disse modeller, der naturligvis omfatter den simple dichotome model (50) som et specielt tilfælde, kan endvidere udvides til tilfælde hvor responserne kan være fordelt over hele den reelle akse, såvel som i planen eller i rummet, og giver os dermed en anselig udvidelse af det klassiske statistiske arsenal.

En udvidelse i en tredje retning, som nok har været forudset, men endnu ikke dyrket intensivt, begynder at trænge sig på. Den går ud på interaktioner mellem flere arter af elementer end objekter og agentier. Udvidelsen er fornylig af H. Scheiblechner (1971) som et væsentligt værktøj indenfor sociologi og socialpsykologi og vil givetvis være helt væsentligt i analyser af økonomiske systemer.

Den art af matematiske problemer denne udvidelse rejser, har allerede sneget sig ind i behandlingen af procesproblemet i afsnit 25, hvor der optræder samspil mellem 3 slags parametre: en for agentier, to for objekter, nemlig en permanent for objekterne som sådanne og en for deres skiftende tilstande.

Dette beskedne glimt ind i teorien for processer åbner vide perspektiver, idet alle de foreliggende resultater fra statikens objektivitet kan føres direkte over på processerne - også sådanne hvor samspillet foregår mellem flere end to slags elementer. Det vil gælde for både de determinerede processer og de stokastiske processer, så at målingsmodellerne føres videre til »målingsprocesser«.

Med alt dette til rådighed vil vi have et instrumentarium, hvormed mange slags problemer i samfundsvidenskaberne kan formuleres og håndteres med de samme typer af matematiske redskaber som fysiken råder over - uden at der bliver tale om overfladiske analogier.

Men hvorfor standse ved samfundsvidenskaberne. Min vision går videre
til alle videnskaber, hvis emner er sammenligninger der skal være objektive.

Litteratur

Andersen, Bent Bøgh. 1972. Aspekter af den »kulturelle« barriere mod uddannelsessøgning.
Studie 21. København.

Christiansen, Ulf og Jon Stene. 1968/69. G. Rasch's lærebog i teoretisk statistik. Vz Bd.
København.

Jammer, Max. 1957. Concepts of force. Cambridge, Mass.

Pedersen, P. C. 1971. Analyse af gymnasiefrekvens for befolkningsgrupper opdelt efter
indkomst og social status. Tillæg II til ERIK JØRGEN HANSEN: Ungdom og Uddannelse.
Publikation 47, København.

Rao, C. R. 1958. Some statistical methods for comparing growth curves. Biometrics ib:
1-17.

Scheiblechner, H. 1971. The separation of individual- and system- influences on behaviour
social contexts. Acta Psychologica 35: 442-60.

United Nations. 1955. Age-sex patterns of mortality. Population Studies, No. 22. New York.