1. Teorierne om porteføljevalg (portfolio selection) drejer sig om sammensætning af aktiver og passiver på et bestemt tidspunkt. Med en så generel problemstilling er det ikke overraskende, at mange områder af den økonomiske teori indeholder elementer af interesse for dette i de senere år stærkt ekspanderende teoriområde. I de fleste bidrag indskrænkes dog teoriernes synsfelt til valg mellem forskellige kombinationer af finansielle aktiver og passiver under usikre fremtidsforventninger. kan endvidere sige, at de fleste bidrag er udpræget mikroøkonomisk orienterede, idet det i første række er valgsituationen for en enkelt beslutningstager, står over for udefra givne værdipapirkurser og rentesatser, som underkastes Det forudsættes altså i reglen, at der er fuldkommen konkurrence på kapitalmarkedet.

2. Johnson har for nogle år siden udarbejdet en oversigtsartikel over væsentlige efterkrigsbidrag til pengeteorien [53]. Teorierne om porteføljevalg optræder hos Johnson som en speciel gren af de nyere bidrag til likviditetspræferenceteorien [53, p. 12]. Således kan porteføljeteorierne altså indpasses i en nationaløkonomisk sammenhæng.

Der er imidlertid også en lang række driftsøkonomiske forfattere, der har
beskæftiget sig med denne problemkreds. For dem er porteføljevalget et led i
virksomhedens finansierings- og kapitalbudgetteringsproblem.1

3. Der vil altid være en vis grad af vilkårlighed iet oversigtsværk. Der publiceres i disse år artikler og bøger i et sådant omfang, at det er umuligt at få alle væsenlige bidrag med i en systematisk oversigt. Hertil kommer, at det billede af sammenhængen mellem bidragene, der efterhånden danner sig hos forfatteren, og som viderebringes til læserne i oversigtsartiklen, uundgåeligt bliver påvirket af hans specielle uddannelseserfaringer og af den rækkefølge, hvori han har mødt de behandlede økonomers arbejder. Et er i hvert fald givet: Et eventuelt tilsvarende fra en anden forfatters side ville resultere i en anden systematik end den, der her er benyttet.

4. En klassifikation af økonomiske modeller kan for det første ske på grundlag af modelforudsætningerne. Den første sortering i det følgende af bidragene til porteføljeteorien bygger således på forfatternes varierende antagelser om præferencefunktionernes og på det dermed forbundne spørgsmål om formulering et relevant risikomål.

Der forsøges dernæst en klassifikation efter nogle få centrale anvendelsesområder porteføljeteorierne. Det siger sig selv, at disse to klassifikationskriterier uafhængige, og at de derfor formentlig med fordel kan fremstilles hver for sig. På den anden side er det en følge af denne systematik, at bidragene principielt må omtales to steder, nemlig både der, hvor de hører hjemme i kraft af deres forudsætninger, og på det sted, hvor beslægtede anvendelser af modeller med andre forudsætninger behandles.

Teorihistorisk grundlag.

5. Udgangspunktet for de forskellige teorier om porteføljevalg under usikkerhed
er, at det må anses for utilfredsstillende alene at arbejde med maksimering af

---

1. Se f.eks. artikeludvalget i de to samlinger [1] og [111].

det forventede afkast. Skal teorien være realistisk, må beslutningstageren antages både at interessere sig for afkast og risiko. Teorihistorisk går dette synspunkt helt tilbage til det beromte St. Petersborg Paradoks i Daniel Bernoullis artikel på latin fra 1738, som i engelsk oversættelse findes optrykt i Econometrica 1954 [12]. Bernoulli konstaterede, at en person, der spiller i et spilleeasino, typisk ikke er parat til at præstere en vilkårlig boj indsats, selv om spillereglerne tilrettelæggessåledes, den matematiske værdi af det ventede afkast er uendelig stor. Han begrundede dette med, at beslutningstagere funderer deres valg på den nytte, de venter at få af de mulige udfald, og ikke på de matematiske middelafkast beregnet som almindelige med sandsynligheder vejede gennemsnit af pengebeløb. Sker der i overensstemmelse med disse synspunkter en sammenvejning af chancernegennem kommer den store gevinst med den ringe sandsynlighedtil indgå med mindre vægt, hvilket netop er udtryk for, at tabsrisikoenholder tilbage. Også andre valgsituationer med usikre udfald må derfor i henhold til denne tankegang formuleres ved hjælp af præferencefunktioner,der én gang tager hensyn til afkastforventninger og risiko.

Afkastmaksimering som eneste målsætning ville i øvrigt også være forbundet
med den urealistiske følgevirkning, at beslutningstageren kun ville interessere sig
for én placeringsmulighed, nemlig den der forventedes at give det højeste afkast.1

6. Edgeworth og Fischer publicerede i tiden omkring sidste århundredeskifte bidrag, som har spillet en væsentlig rolle for porteføljeteoriens senere udvikling. [34] og [37]. Edgeworth analyserede virkningerne på bankernes likviditetsdispositioner stokastiske indlånsvariationer, og Fischer bragte en udførlig diskussion hvilke overvejelser en beslutningstager måtte antages at gøre sig over for risikoproblemet.² Fischer antog, at valget mellem forskellige placeringsmuligheder på kapitalmarkedet træffes på grundlag af folks præferencer med hensyn til sandsynlighedsfordelinger afkastet, og han tænkte sig videre, at en værdipapirkøber interesserer sig for middelværdien og standardafvigelsen på disse fordelinger [37, p. 406 ff.]. Fischers fremstilling lader formode, at han forudsætter afkastfordelingerne idet et kendskab til de to parametre middelværdi og standardafvigelse i så fald er tilstrækkeligt til at karakterisere hele fordelingsfunktionen.

I sig selv er det naturligvis alligevel en forenkling at forudsætte, at kun nogle få parametre og ikke hele sandsynlighedsfordelingen optræder som argumenter i præferencefunktionen, men denne tanke er senere blevet taget op af mange forfattere. I begyndelsen af 1930'erne arbejdede Hicks således f.eks. videre med et to-parameter oplæg [49] og [47], og tilsvarende forudsætninger blev noget senere benyttet af Makower og Marschak [68] og Marschak [72] og [73],

7. Problemet ved sandsynlighedsfordelingsoplæggene er naturligvis at få bestemt
størrelsen af de parametre, der tænkes at indgå i præferencefunktionen. Da det

---

1. Se nærmere herom hos Hicks [48, kap. 6].

2. Der har senere efter udgivelsen af F. H. Knights hog i 1921 [57] udviklet sig en tradition i angelsaksisk litteratur for at sondre mellem risk og uncertainty [29, p. 396], [68, p. 271] og [58, p. 46]). Risk er herefter en egenskab ved en kendt sandsynlighedsfordeling, uncertainty refererer til prognoser, hvor fordelingsfunktionen er kendt. Det er forfatterens fornemmelse, at udtrykket »valg under usikkerhed« er hyppigere anvendt i dansk terminologi end »valg under risiko«. Begge udtryk vil dog blive benyttet i de to hovedafsnit nedenfor og i modsætning til engelsk sprogbrug som synomymer. Fordelingsfunktionen antages som regel at være bekendt.

drejer sig om afkastforventninger, har beslutningstageren ikke umiddelbart glæde af eventuelle data for placeringernes tidligere rentabilitet, selv om de naturligvis spiller en rolle for forventningsdannelsen. Fischer var helt klar over dette problem, og han opererede derfor eksplicit med subjektive sandsynlighedsfordelinger.

I begyndelsen af 1920'erne synes Keynes i nogen grad at hælde til den samme opfattelse som Fischer med hensyn til apriori-sandsynlighedsfordelingernes brugbarhed denne forbindelse [56, kap. 6]. Han finder dog oplægget ufuldstændigt og er inde på, at en beslutningstager tillige må tage kvaliteten af de talmæssige oplysninger, forventningerne fumleres på. i betragtning. Jo mere pålideligt et talmateriale, der el til rådighed ved bedoii.me^cn af en placerings rentabilitet, med jo større vægt bor denne placeringsmulighed indgå i porteføljen. Spredningen på den subjektive sandsynlighedsfordeling og kvaliteten af de talmæssige oplysninger altså valgsituationen under usikkerhed to dimensioner ved siden af afkastforventningerne.1

8. I løbet af 1940'erne udvikledes teorien om rationelle beslutninger under risiko stærkt. Resultaterne af denne analyse er i vidt omfang blevet udnyttet af porteføljeteorierne. Neumanns og Morgensterns bog, hvis førsteudgave udkom i 1944, er uden tvivl det berømteste værk inden for dette teoriområde [84].² De to forfattere udvikler en teori for rationelle valg blandt alternative handlinger med usikre udfald. Såfremt det skal tilsikres, at forsøgspersonen handler konsekvent, må hans præferencer respektere en række aksiomer. Såfremt præferencerne er i overensstemmelse med disse aksiomer, kan en kardinal nyttefunktion for forsøgspersonen Der åbner sig herefter muligheder for at knytte kardinale nytteenheder til alle mulige udfald af enhver handling, dvs. i denne sammenhæng enhver porteføljebeslutning. Ved at benytte funktionen er det muligt at beregne middelværdien af nytten af enhver handling. Beregningsresultatet fremkommer som summen af nytten af hvert af de tænkelige udfald ganget med deres sandsynligheder, der frembringes derved en skala, hvormed en handlings ønskelighed kan måles. Rationel handlemåde svarer herefter til, at beslutningstageren vælger den handling, som maksimerer den ventede nytte.

Von Neumanns og Morgensterns begrebsapparat kan udnyttes i teorierne om porteføljevalg ved at der knyttes sandsynligheder til afkastet af hele porteføljer med varierende sammensætning. Hver porteføljesammensætning har sin sandsynlighedsfordeling afkastet, som bestemmes af de vægte, hvormed de enkelte placeringer indgår, og beregningen af den ventede nytte af hver portefølje sætter beslutningstageren i stand til at vælge den optimale porteføljesammensætning. Der har været en del diskussion om princippet om maksimering af den forventede nytte, og det er langt fra alle oplæg, der betjener sig af ekplicite kardinale nyttefunktioner ³

9. Præferencefunktionernes form spiller en væsentlig rolle for mulighederne for
at nå en entydig bestemmelse af en optimal porteføljesammensætning. Dette problemer

---

1. Marschak er inde på en lignende tankegang, hvor han analyserer pengeefterspørgselen under alternative antagelser om arten af beslutningstagerens informationer [74].

2. Arrow har udarbejdet to meget læseværdige oversigtsartikler over teorien om valg under usikkerhed [3] og [6]. Han fremhæver i sin første artikel p. 412 et lidt ældre bidrag fra Tintner [116] som teorihistorisk væsentligt. Se også i denne forbindelse [4].

3. En god oversigt over argumenterne pro et contra maksimering af den forventede nytte findes hos Dorfman, Samuelson og Solow [30, p. 465 ff.].

blemerbl.a. blevet behandlet af Friedman og Savage [38], Markowitz [71],
Archibald [2], Luce og Raiffa [66] og Pratt [94].

Friedman og Savage forsøger bl.a. at løse de klassiske vanskeligheder med ud fra nytteteorien at forklare, hvorledes den samme person på én gang kan tænkes ;it deltage i spil og at forsikre sig. De fremholder, at det udmærket kan tænkes, at grænsenytten af indkomsten (eller porteføljeafkastet) er stigende i visse intervaller og faldende i andre. At der således optræder vendetangent implicerer en nyttefunktion, der matematisk beskrives ved et polynomium af 3. eller højere grad. Sådanne antagelser giver imidlertid anledning til hovedbrud i porteføljeteorien, det der er bekvemt at regne med monotont faldende nytte, når risikoen stiger. Den fremherskende forudsætning er, at beslutningstageren har risikoaversion.

Hvis spredningen på afkastfordelingen benyttes som risikomål, vil der ved nyttefunktioner af 3. grad kunne eksistere et afkastinterval til højre for vendetangentpunktet, beslutningstagerens nytte stiger med risikoen. Heri findes forklaringen på, at en antagelse om, at nyttefunktionen er et 2. grads polynomium, er ganske udbredt i porteføljeteorien, selv om denne funktion har den lidet plausible egenskab, at grænsenytten ved stigninger udover en vis indkomst bliver negativ.

En logaritmisk nyttefunktion har ud fra en porteføljeteoretisk synsvinkel nogenlunde samme hensigtsmæssige egenskaber som den kvadratiske nyttefunktion, og herudover knytter der sig til denne funktionstype den fordel, at dens differentialkvotient bliver nul eller negativ. På den anden side er den logaritmiske funktion divergent, således at nytten går mod uendelig, når afkastet går mod uendelig. Man kan imidlertid nok diskutere, om dette kan betragtes som en særlig uheldig egenskab ved en nyttefunktion.l

Markowitz er inde på, at nyttefunktionerne kan tænkes at blive påvirket af formueændringer, hvorved beslutningsproblemerne naturligvis kompliceres stærkt [71]. Der foreligger her en påvirkning fra den stokastiske konsumptionsteori, hvor ikke blot markedets muligheder, men også præferencefunktionerne formuleres stokastisk [66].

10. En speciel gren af porteføljeteorien har foretrukket at formulere risikoproblemet en noget anden måde end Fischer. Der arbejdes med en kritisk værdi eller sikkerhedsgrænse for afkastet, og beslutningstagerens valg tænkes truffet på grundlag af sandsynligheden for at porteføljeafkastet falder under dette kritiske niveau. Jo højere denne sandsynlighed er, jo mindre ønske har en beslutningstager risikoaversion om at erhverve porteføljen. Denne tanke formuleredes 1930 af Cramér [26].

Klassifikation efter mål for risiko.

11. Som ovenfor omtalt forudsættes porteføljevalg at bygge både på afkastforventningerog Størrelsen af det forventede afkast optræder i alt væsentligt på samme måde hos de forskellige forfattere. Der kan være lidt uenighed om den nærmere afgrænsning af afkastbegrebet; nogle foretrækker absolutte beløb f.eks. for løbende dividende- eller renteindtægter plus kursstigning eller minus kurstab i perioden, andre arbejder med det relative afkast, men fælles for alle forfattere er, af de tænker sig præferencefunktioner, som karakteriseres af, at et stort afkast

---

1. Se herom Pratt [94] og Arrow [4], der stiller sig skeptiske over for logaritmiske nyttefunktioner.

foretrækkes frem for et mindre afkast. Markedets muligheder formuleres stokastisk,og er derfor middelværdien i den subjektive fordeling af porteføljeafkastet,som afkastet i beslutningssituationen. Behandlingen af afkastet egner sig altså ikke som klassifikationsgrundlag. Forfatternes varierende mål for risikoen ved porteføljevalg synes derimod at være et brugbart sorteringskriterium.

12. Middelværdi-Spredningsoplægget. Det mest udbredte risikomål er variansen eller standardafvigelsen på porteføljeafkastets subjektive sandsynlighedsfordeling. Det benyttes f.eks. af Markowitz i den overvejende del af hans hovedværk [70], endvidere af Tobin [1181, [1221. Chase i 23. kap. Vi. Mu-halet i 701, Bierwag o« drove |_15j, Hester [43j, Cohen and Elton [25^j, Royama and Hamada [103], Hirshleifer LS2J, Morgan LBIJ, Hicks !48, kap. 6], Paine [89], Summers [113] og Roskamp [100].

Alle disse bidrag bygger i realiteten videre på Fischers tankegang, og efter
de to parametre i sandsynlighedsfordelingen kan dette oplæg kaldes middelværdi

spredningsoplæggel.l Risikoaversionen optræder på den måde, at beslutningstageren
to porteføljer med samme afkastforventning foretrækker den, der
har den laveste porteføljespredning.

13. Der skal i det følgende redegøres forholdsvis udførligt for middelværdispredningsoplægget,
selve beslutningsproceduren i de øvrige oplæg, der
minder meget om hinanden, derefter kan behandles mere kortfattet.

Den simpleste teori for porteføljevalg får man, når beslutningsproblemet drejer sig om at sammensætte en portefølje for en enkelt periode. Det antages først, at der ikke knytter sig transaktionsomkostninger til porteføljevalget, og at beslutningstageren periodens begyndelse sammensætter placeringsobjekterne på en bestemt måde, som så må fastholdes til periodens slutning.

For at kunne vælge optimalt må beslutningstageren principielt have kendskab til samtlige markedets placeringsmuligheder, og det må endvidere forudsættes, at han til alle disse muligheder kan knytte middelværdier, varianser og kovarianser for de enkelte afkasts subjektive sandsynlighedsfordelinger. Analysen går herefter ud på at forklare, hvorledes han gennem en sorteringsprocedure når frem til den

---

1. Hos Hicks kaldes det »the two-moment theory« [48, p. 106], hos Hirshleifer »the mean-variability approach« [51, p. 74] og hos Kolm »la méthode Espérance mathematique-Variance« p. 22]. Oplægget forudsætter, at mindst én af følgende to forudsætninger er opfyldt: a) at nyttefunktionen er kvadratisk, b) at den subjektive sandsynlighedsfordeling for afkastet er normal.

for ham optimale porteføljesammensætning. Proceduren kan illustreres med mængdelærensteleteknik
vist i fig. 1, idet sorteringen gradvis indskrænker
synsfeltet til mindre og mindre delmængder.

14. Mængden af brugbare porteføljer defineres som sådanne, der er tilgængelige for beslutningstageren inden for hans økonomiske muligheder og inden for de lovregler eller eventuelle vedtægtsbestemmelser, som afgrænser hans virksomhedsområde. drages grænsen mellem ikke-brugbare og brugbare porteføljer i reglen ved opstilling af bibetingelser.

I de fleste tilfælde indskrænkes analysens synsfelt indledningsvis til rene kreditorpositioner eller rene debitorpositioner. Det sker ved hjælp af bibetingelser, der enten foreskriver, at alle placeringer skal være positive eller nul, eller at alle poster i porteføljen skal være negative eller nul. Når en porteføljemodel forudsætter bort, foreligger der som ovenfor beskrevet et kombineret afkastmaksimerings- og risikominimeringsproblem. Hvis alle finansaktiver forudsættes foreligger der omvendt et finansieringsomkostningsminimerings- og risikominimeringsproblem.

I mere vidtgående bidrag under middelværdi-spredningsoplægget analyseres tillige beslutningssituationen for blandede debitor-kreditor-positioner. Denne udvidelse diskussionen er naturligvis fundamental for alle porteføljemodeller for penge- og kreditinstitutioner.²

Der rejser sig i denne forbindelse også spørgsmålet om korte værdipapirpositioner. fænomen kendes formentlig bedst som et middel til baisse-spekulation på aktiemarkedet, men det har i porteføljeteorien især interesse på grund af de særlige muligheder for risikoformindskelse, kombinationer af lange og korte værdipapirpositioner giver.₃

For at forenkle diskussionen i det nærmest følgende, forudsættes det, at beslutningstageren
sig i en ren kreditorposition.

15. Det samlede porteføljeafkasts middelværdi beregnes for en bestemt porteføljesammensætning enkelt som en vejet sum af de medtagne placeringsmuligheders Beregningen af det samlede porteføljeafkasts varians eller middelfejl er noget mere kompliceret, eftersom der må regnes med en betydelig i reglen positiv korrelation mellem de enkelte placeringsmuligheders afkast.⁴ Graden af korrelation, som udtrykkes af værdierne af de respektive kovarianser, er af betydning for mulighederne for at nedbringe porteføljeafkastets spredning ved at justere porteføljesammensætningen. Var alle placeringsmulighedernes afkast således perfekt positivt korreleret, ville der ikke være risikospredningsfordele knyttet til en differentiering af porteføljesammensætningen. Men eftersom studier af talmateriale viser, at der i fortiden har været tale om overvejende positiv, men samtidig ufuldkommen korrelation imellem de enkelte placeringers afkast, kan det nok betragtes som realistisk at forudsætte, at også korrelationskoefficienterne i beslutningstagernes subjektive sandsynlighedsfordelinger typisk ligger i det åbne interval mellem nul og plus en.

---

1. På et højt abstraktionsniveau indskrænkes det brugbare område i første række for at forenkle analysen.

2. Sharpe opererer med blandede positioner og formulerer markedsligevægtsbetingelser herudfra [109].

3. Dette forhold har Hester underkastet analyse [43].

4. Markowitz analyserer et talmateriale for afkastet af et udvalg af amerikanske værdipapirer finder gennemgående positive kovarianser [70, kap. 4].

16. Den nærmere afgrænsning af mængden af efficiente porteføljer inden for det brugbare område i fig. 1, foretager Markowitz ved hjælp af isomiddelværdimængder isovariansmængder [70, kap. VII og VIII]. Når det nemlig antages, at beslutningstageren blandt to porteføljer med samme middelafkast E foretrækker den, der har den laveste porteføljevarians V, og når det videre antages, at han af to porteføljer med samme varians V foretrækker den, der har det højeste middelafkast er det bekvemt at anvende en analyseform, hvorunder E tænkes fastholdt, medens V minimeres, og hvor V tænkes fastholdt, mens E maksimeres. Markowitz diskuterer i et appendiks anvendelsen af matematiske programmeringsmetoder til denne form for analyse [70, appendiks B].

17. Mængden af efficientt porteføljer repræsenterer herefter de af kapitalmarkedets der kan komme i betragtning for beslutningstageren med risikoaversion. Mængden er karakteriseret ved, at et større V betales med et større E, medens et mindre E kan accepteres af beslutningstageren, såfremt han får det betalt med et mindre V. Alle ikke-brugbare og ikke-efficiente porteføljer er sorteret fra.

Det er imidlertid kun én af de mange mulige efficiente porteføljekombinationer, som er optimal, og som derfor ønskes realiseret. Bestemmelsen af den optimale portefølje sker ved at sammenholde mængden af efficiente porteføljer med præferencefunktionen. første omgang undersøges et to-dimensionalt porteføljesprednings porteføljemiddelværdi-diagram som fig. 2, hvor indifferenskurvernes form og positive hældning udtrykker graden af beslutningstagerens risikoaversion, medens mængden af efficiente porteføljer illustreres ved kurven AA.¹

Tobin har en udførlig diskussion af funktionsformen for mængden af efficiente
porteføljer i et S-E-diagram, som det vil føre for vidt at referere her [122,

---

1. Tobin viser, hvorledes den viste indifferenskurveform kan udledes af en kvadratisk nyttefunktion [118, p. 76 ff.]. Bierwag og Grove diskuterer forbindelsen mellem indifferenskurvernes egenskaber i hhv. porteføljeteorien og valghandlingsteorien [14, p. 337 ff.].

p. 26 ff.]. Det er tilstrækkeligt her at vide, at under de af Tobin og Markowitz benyttede forudsætninger, bliver mængden af efficiente porteføljer en entydig, nedefra konkav og voksende sammenhæng mellem S og E. Dette gælder også, når porteføljen sammensættes af tre eller flere placeringsobjekter, idet kurven for de efficiente porteføljekombinationer AA så blot må tænkes frembragt som en indhylningskurve.

Optimalporteføljens middelafkast og middelfejlen på afkastfordelingen bestemmes
koordinaterne til tangentpunktet P mellem kurven for de efficiente
porteføljer og den højest opnåelige indifferenskurve.

Med kendskab til de hermed bestemte E- og V-værdier, kan man herefter fastlægge optimale fordeling af porteføljen på de enkelte placeringsobjekter, idet man udnytter de til de pågældende E- og V-værdier hørende isomiddelværdimængder isovariansmængder.

Resultatet af porteføljeanalysen for en enkelt periode er således en optimal
porteføljesammensætning, der som sagt må tænkes fastholdt fra periodens begyndelse
dens slutning.

18. Sammenhængen mellem efterspørgselen efter de enkelte typer af placeringsmuligheder kapitalmarkedet kan under enperiode-forudsætningerne analyseres på samme måde som i valghandlingsteorien [103] og [14]. Royama og Hamada definerer således to værdipapirer som værende substitutter, når et større forventet afkast for det ene papir medfører mindre efterspøgsel efter det andet. Omvendt siges to papirer at være komplementære, når større forventet afkast for det ene giver anledning til større efterspørgsel efter det andet papir [103, p. 33].

19. Middelværdi-sprednings-oplægget er også blevet udnyttet til analyse af porteføljevalg en række på hinanden følgende perioder, hvor det almindeligvis forudsættes, at porteføljesammensætningen kun kan revideres ved periodeovergangene. således hos Tobin [122, p. 3-12 og p. 37-51], Markowitz [70, kap. Xl], Phelps [91] og Cohen and Elton [25].

Analysens resultat bliver under flerperiodeforudsætninger ikke en enkelt porteføljesammensætning, en porteføljesekvens gennem tiden, og dette indfører en række nye faktorer af betydning for porteføljevalget. Det får således nu selvstændig hvor store omkostninger og hvor megen ulejlighed, der knytter sig til efterfølgende justeringer af porteføljesammensætningen. Er disse transaktionsomkostninger kræves der en vis tærskelværdi af den forventede afkastforøgelse risikoformindskelse ved en porteføljeomlægning, før det kan betale sig at gennemføre den.¹ Omkostninger og besvær giver endvidere anledning til, at to beslutningstagere med identiske præferencer og forventninger og med adgang til de samme placeringsmuligheder på kapitalmarkedet ikke realiserer samme optimalportefølje den enkelte periode, medmindre de så at sige også er startet samtidig og har truffet indentiske beslutninger i alle fortidige perioder.

En anden ny faktor i porteføljevalget over flere perioder er den løbende forventningsdannelse.Efterhånden tiden går, gør beslutningstageren en række erfaringer og får nogle nye oplysninger, som kan tænkes at øve indflydelse på hans subjektive sandsynlighedsfordelinger for porteføljeafkastet.2 Beslutningerne

---

1. Det er i virkeligheden en variant af denne omkostningsskabte inerti i porteføljen, som Baumol og Tobin har udnyttet til at forklare transaktionsefterspørgselen efter penge jfr. senere [9] og [121].

2. Virkningerne af nye informationer diskuteres bl.a. af Marschak [74] og Michalet [76].

om efterfølgende at omlægge porteføljesammensætningen må i første række
opfattes som reaktioner på sådanne ændrede afkastforventninger.

Det antages normalt, at præferencefunktionen ligger fast inden for tidshorisonten. forudsætning kan udmærket forenes med antagelser om nutidspræference, porteføljebeslutningerne så træffes under hensyntagen til, at afkastbeløb, der kommer sent, tillægges mindre vægt end afkastbelob, der kommer tidligt. Tidspræferenceproblemets forbindelse med porteføljevalget er behandlet af Hirshleifer [51], Douglas [31], Markowitz [70, kap. Xl] og Chase [23].^*

Leland kritiserer den måde, nutidspræferenceproblemet indføres på i mange flerperiode-porlefnljeniodellcr [59]. Han betragter det som en alvorlig svagbed, hvis, det foiudsæLles eksplicit ellei implicit, at al opsparing inden fol tidshori- Mmten bestemme* .^liak.s fia slarten. Opsparingsbeslulningei træffi-s ifølge Leland løbende under indtryk af nye erfaringer [59, p. 472].

Beslutningstagerens tidshorisont og afstanden til hans akkuniulationsmål influerer porteføljevalget, som Tobin har forklaret [122, p. 6 ff.]. Douglas har på dette punkt et specielt og tankevækkende oplæg, idet han vælger familien og ikke individet som beslutningstager, hvorved han mener at kunne arbejde med en uendelig tidshorisont [31]. Porteføljen overgives fra generation til generation som en stafet.

Chase polemiserer med den traditionelle tidspræferenceteori og forsvarer det synspunkt, at en realistisk analyse må forudsætte, at beslutningstageren i reglen ønsker at holde aktiver ved den endelige tidshorisonts slutning. Folk efterspørger ikke kun aktiver for at kunne have et større forbrug senere, men også fordi de gerne vil nyde deres alderdom og dø velhavende [23, p. 16 ff.].

Palander satte under en diskussion af Tobins artikel [122] et spørgsmålstegn ved antagelsen om, at folk på forhånd har et præcist kendskab til deres præferencer en fremtidig periode. Han henviste til, at de f.eks. ikke kunne vide noget om deres eget fremtidige helbred, som jo må betragtes som et forhold af grundlæggende for behovsstrukturen. Som ovenfor omtalt benyttede Hirshleifer i en artikel fra 1961 middelværdi - spredningsoplægget [52], men han anser senere, nemlig i 1966 [50], med lignende motiveringer som Palanders middelværdi - spredningsoplægget for utilfredsstillende, og han har i stedet forsøgt at generalisere analyse af tidspræferenceproblemet, som bygger på antagelser om fuld forudseenhed, ved at arbejde med modeller, hvor der knytter sig usikkerhed til beslutningstagerens fremtidige økonomiske situation. For at understrege at nyttefunktionerne i hans modeller beror på tilstandene i det fremtidige økonomiske taler Hirshleifer om »the time-state-preference-approach« [50, p. 252]. Arrow har benyttet et lignende oplæg i [s].

Den principielle tankegang i flerperiode-porteføljeanalysen adskiller sig iøvrigt ikke væsentligt fra tankegangen i enperiodeanalysen. Fig. 1 kan altså fremdeles illustrere ideen i sorteringsproceduren, idet det nu blot drejer sig om et valg mellem porteføljesekvenser. De matematiske programmeringsproblemer i en dynamisk er noget mere komplicerede, men beregningen af løsninger ligger inden for det teknisk muliges område. Programmering af porteføljevalg over flere perioder er f.eks. omtalt hos Cohen and Elton [25], Chambers and Charnes [21], Näslund [85] og [86] samt Phelps [91].

---

1. Sandmo har med lidt andre forudsætninger gjort et forsøg på at indarbejde porteføljeproblemstillingen risiko i en opsparingsteori [105].

20. Andre oplæg. Der kan måske være grund til at minde om, at det er forfatternes risikomål, som benyttes til inddeling af portefoljemodellerne efter forudsætninger. Middelværdi-spredningsoplæggct er nu færdigbehandlet, og der skal i det folgende gives en væsentligt kortere oversigt over en række andre mål for risikoen ved porteføljevalget.

Ilos mange af fortatterne moder man den betragtning, at analysen kun kan gennemføres ved hjælp af forholdsvis letberegnelige og veldefinerede risikomål. Ingen synes at ville postulere, at det af dem benyttede mål er hævet over diskussion.

21. Puu og Rosett forkaster den kvadratiske nyttefunktion og supplerer middelværdi-sprednings-oplægget en tredje parameter det 3. moment til karakteristik af afkastets subjektive sandsynlighedsfordeling [95] og [99]. Dette oplæg kunne derfor benævnes middelværdi-spredningsS.moment-oplægget. Puu lægger i sin motivering for at foretrække dette oplæg stor vægt på betydningen af at undgå, at risikoaversionen vokser med formuens størrelse.¹

22. Markowitz holder sig i hovedparten af sin fremstilling til middelværdisprednings-oplægget beskrevet ovenfor, men han lægger ikke skjul på sin betænkelighed ved at benytte variansen som risikomål. Han forklarer således det utilfredsstillende ved at behandle positive og negative afkastafvigelser fra middelværdien i risikoberegningerne. Med andre ord: Medens det synes plausibelt at tillægge beslutningstageren aversion mod sandsynligheden for negative udsving fra middelafkastet, vil han tværtimod typisk være tilfreds med positive udsving. Denne betragtningsmåde fører frem til middelværdi-semivarians-oplægget, hvor risikomålet - semivariansen- er konstrueret således, at kun de negative afvigelser fra en bestemt værdi af afkastet indgår [70, kap. IX].

Når Markowitz ikke udnytter dette oplæg i større udstrækning, skyldes det i første række, at en sorteringsprocedure baseret på semivariansen som risikomål vil være mere besværlig at gennemføre og i reglen vil give de samme resultater som analyse ud fra middelværdi-sprednings-oplægget, såfremt alle afkastfordelinger symmetriske eller blot har samme grad af asymmetri.

23. Roy, Baumol, Egerton og Teiser har arbejdet med nogenlunde ensartede modifikationer til middelværdi-sprednings-oplægget [102], [101], [B], [35] og [114]. Såfremt afkastfordelingerne er normalfordelte, vil der kun være en subjektiv på ca. 16 % for at afkastet kommer til at falde under en grænse bestemt som middelafkastet minus standardafvigelsen på afkastfordelingen. Ønskes der en endnu lavere sandsynlighed, kan beslutningstageren fastlægge en konfidensgrænse ved at fratrække den dobbelte eller den tredobbelte standardafvigelse middelafkastet.

Det vedtages herefter at definere en efficient portefølje således, at der ikke eksisterer andre porteføljer, som giver højere middelafkast medmindre de også har en lavere beliggende nedre konfidensgrænse for en given sikkerhedskoefficient. bidrag kan derfor under ét kaldes middelværdi-konfidensgrænseoplægget.

Baumol viser, at mængden af efficiente porteføljer i.h.t. middelværdi-konfidensgrænse-oplægget
en ægte delmængde af mængden af efficiente porteføljer i h.t.
middelværdi-sprednings-oplægget, når konfidenskoefficienten har en endelig

---

1. Hicks har også en kortfattet diskussion af værdien af at medtage 3. moment som »skævhedsmål« i den subjektive sandsynlighedsfordeling [48, p. 118 ff.].

r

værdi [8, p. 178-79]. Dette kan betragtes som en sorteringsmæssig fordel, fordi
beslutningstagerens synsfelt hurtigere indsnævres til et begrænset antal porteføljekombinationer.

En lidt speciel variant af denne tankegang findes hos Lintner [65] og Modigliani og Miller [78]. Disse forfattere angriber porteføljevalget ved at gå ud fra en risikofri rente, som beslutningstageren både kan låne og udlåne til uden begrænsninger. analyseform indebærer, at opportunity costs ved porteføljevalg bliver uafhængige af de trufne beslutninger, og at der ikke længere eksisterer nogen grænse for det brugbare område. Der synes at være en forholdsvis nær analogi mellem Lintners og Modiglianis og Millers risikofri rente og konfidensn'rænsui iniddel\ærdi-konfidi.ⁱnsgru.ⁱns(_-ijplu;ggLt t (!j, p. 081 j.'

24. Domar og Musgrave [29] og Streeten [112] har undersøgt skatlernes betydning portefoljevalgct i modeller, som ligesom middelværdi-sprednings-oplægget arbejder med to mål, det sædvanlige for afkastet og et nyt for risikoen. De benytter det gennemsnitlige tab som mål for risikoen, og deres oplæg kan derfor betegnes middelværdi-gennemsnitstabs-oplægget.

25. Shackle hører hjemme i en systematisk oversigt over bidrag til porteføljeteorien, om han må betragtes som noget af en enspænder i forhold til alle de i det foregående omtalte forfattere [107] og [108]. Han retter en voldsom kritik mod den udnyttelse af subjektive sandsynlighedsbetragtninger, som finder sted i alle de ovennævnte bidrag. Sandsynlighedsteorien tager ifølge Shackle sigte på at beskrive tendenser i et givet univers, når der gennemføres et meget stort antal forsøg. For porteføljeteorien foreligger der aldrig muligheder for at lave mange forsøg; fordelingsfunktionerne for afkastet kan derfor aldrig verificeres og kan følgelig ikke benyttes som et middel til at formulere beslutningstagerens situation [107, p. s].

Schackle udvikler en speciel teori for porteføljebeslutninger, hvori han til ethvert udfald af de trufne beslutninger knytter en grad af »potentiel overraskelse« i positiv (focus gain) eller negativ retning (focus loss). Oplægget kan derfor måske kaldes Potentiel-overraskelses-oplægget. Han når herefter frem til en valgsituation, der ligesom i de fleste af de tidligere omtalte teorier drejer sig om to kriterier, der afbalanceres over for hinanden.

Hans analyse lider imidlertid under den store svaghed, at den ikke kan forklare forekomsten af differentierede porteføljer.2 Shackles antagelser, som imidlertid er lidt vanskelige at gennemskue, synes at indskrænke analysens synsfelt til det specialtilfælde, hvor afkastet af aktiverne er perfekt korreleret, hvilket jo også i middelværdi-sprednings-oplægget fjerner beslutningstagerens tilskyndelse til at differentiere sin portefølje på mange placeringsmuligheder.

Klassifikation efter anvendelsesområde.

26. Pengeefterspørgselen. Tobin har igennem en årrække vist en vedholdende
interesse for porteføljeteoriens evne til at udbygge teorien om pengeefterspørgselen
[118], [119], [120] og [121].

---

1. Se også Bierwag og Groove [14, p. 339] og jævnfør i øvrigt den nærmere omtale af Modiglianis og Millers artikel nedenfor i afsnittet om aktieselskabers finansieringsproblemer.

2. Egerton og Chase har kritiseret Shackles analyse [35, p. 53] og [23, p. 73-74].

I [118] analyserer Tobin en beslutningstagers valg mellem to finansaktiver - kasse og obligationer, medens ban udelukker låntagning. Ved at placere en voksende del af portefoljen i obligationer, opnår beslutningstageren en stigning i det ventede afkast, men samtidig foroges risikoen for at lide tab ved kursfald. Det drejer sig derfor om bestemmelse af optimum i en særlig simpel mængde af efficiente porteføljer i middelværværdi-sprednings-oplæggets forstand. En beslutningstager risikoaversion vil sammensætte en differentieret portefølje, og pengeeftersporgselen fremtræder altså som en side af bans bestræbelser for at maksimere afkastet og minimere kursfaldsrisikoen.

Stiger obligationsrenten, udløses der en ændring i portefoljesanimensætningen [118, p. 78], som normalt tenderer mod, at obligationernes andel af formuen vokser, mens kassens andel går ned. Omfanget af porteføljeomlægningen beror på indifferenskorlels udseende, idet dette udtrykker afvejningen af på den ene side de større afkastmuligheder efter rentestigningen med den forøgede kursrisiko, obligationernes porteføljeandel vokser, over for på den anden side mulighederne for nu at opnå et uændret afkast med en mindre obligationsandel, dvs. med en mindre risiko for kursförändringen Betragtningen er stort set analog til diskussionen af indkomstvirkningen og substitutionsvirkningen af prisændringer valghandlingsteorien. Hvis nyttefunktionen er kvadratisk, er undtagelsestilfældet, altså rentestigning fremkalder større kasseefterspørgsel, praktisk taget udelukket [118, p. 79].

Tobins analyse kaster også nyt lys over virkningerne af henstillinger fra de pengepolitiske myndigheder, idet sådanne må antages at kunne påvirke beslutningstagernes sandsynlighedsfordelinger og dermed porteføljebeslutningerne.

27. Tobins to år ældre artikel [121] og et endnu lidt ældre bidrag fra Baumol [9], falder for så vidt lidt udenfor den her benyttede systematik, fordi disse to arbejder bygger deres hovedforklaring af pengeefterspørgselen på eksistensen af transaktionsomkostninger og besvær ved porteføljeomlægninger og på den hermed forbundne mangel på synskronisering af udbetalinger og indbetalinger, hvorimod beslutningstageren gennemgående antages at kunne forudse alle fremtidige Når disse bidrag alligevel kort skal nævnes, skyldes det dels deres allerede omtalte relevans som supplement ved dynamiske formuleringer af porteføljevalg over flere perioder under virkelighedsnære forudsætninger, hvor der kan foretages omplaceringer efterfølgende, dels deres betydning som idégrundlag nogle nyere løsninger af Edgeworths banklikviditetsproblem jfr. senere.

Hestons og Lydalls oplæg [45] og [67] bygger delvis videre på Tobins og
Baumols analyse.l

28. Joan Robinson og Kahn angriber pengeefterspørgselsproblemerne ved hjælp af afkastforventninger og risiko nogenlunde på linie med forfatterne med middelværdi-spredningsoplægget[97, 23], [98] og [54]. Beslutningstagernes risikoaversionopdeles i modvilje mod indkomstrisiko og kapitalrisiko, en sondring som senere især er blevet anvendt ved analyser af forsikringsselskabers og pensionskassers obligations- og kasseeftersporgsel [125, p. 71-77]. Sondringen

---

1. Hamburger synes at foretrække et nyttemaksimeringsoplæg på linie med porteføljeanalysens pengeefterspørgselsteorien fremfor et lagerteoretisk oplæg som Baumols med den begrundelse, at det giver de bedste muligheder for at forklare forekomsten af forsinkede porteføljereaktioner hos husholdningerne [41, p. 111].

mellem de to former for risiko motiveres bl.a. af, at visse obligationsbesiddende grupper med lang tidshorisont (f.eks. »enker og umyndige«) ikke drömmer om at sælge deres værdipapirer, hvorfor de heller ikke betragter kursfaldsrisikoen, som noget der angår dem. For disse beslutningstageres vedkommende kan man altså ikke, som Tobin gor det i [118], forklare pengeeftersporgselen som en konsekvens af kursrisiko-aversion. Matthews foretager en nærmere undersøgelse af denne problemstilling i [75]. Han konkluderer, at spørgsmålet om risikoaversionensbetydning pengeeftersporgselen må loses på grundlag af den tidsmæssigefordeling beslutningstagerens fremtidige udgifter.

29. Diskussionen hos Juan Robin.Mm i 97. kup. 23 i. i lo af Tobins artikler i lli)i og !_l2nj og ho« Davidson [27J tager sigte pä at klargøre, hvorledes pengeeftersporgselen udvikle sig under en økonomisk vækstproces. Tobins gennemgående tema er, at alle former for akliver finansielle såvel som fysiske konkurrerer om at komme med i beslutningstagernes voksende porteføljer, idet plaeeringsbeslutningerne sig efter de respektive opnåelige afkast. Usikkerhedsproblemerne er imidlertid i realiteten taget ud af analysen tilsyneladende med den hensigt at få formuleret relativt simple betingelser for ligevægtsvækst.

Davidsons artikel, denned etudpræget keynesiansk udgangspunkt polemiserer mod Tobin, udmærker sig især ved en konsekvent adskillelse af motiverne hos de forskellige typer af beslutningstagere på kapitalmarkedet, hvorved markedsligevægtssynspunkter stærkere frem end det sædvanligvis er tilfældet i porteføljeteorien 1

Davidsons analyse af sammenhængen mellem pengeefterspørgselen og obligationsefterspørgselen
iøvrigt også at være inspireret af Turveys lille bog om
forbindelsen mellem kapitalmarkedets forskellige dele [124].

Duesenberry har forsøgt med et porteføljeteoretisk udgangspunkt at afklare den
ret udførlige debat om pengebegrebets afgrænsning [32]. Hans betragtninger synes
at pege i retning af et ganske omfattende pengebegreb.

Lintner behandler bl.a. valgsituationer mellem penge og aktier og betjener sig
her af en analyseteknik, der minder stærkt om Tobins [63].

Ingen har dog formentlig ført bestræbelserne for at indarbejde pengeefterspørgselen et integrerende led i en generel efterspørgselsteori for finansielle placeringsobjekter langt som Kolm [58, især kapitel 12 og 17]. Han viser, at Tobins model i [118] er indeholdt som et specialtilfælde i hans egen generelle teori om porteføljevalg med mange placeringsmuligheder ved siden af kasse.

30. Pengeinstitutters adfærd. Porteføljemodeller med blandede debitor-kreditorpositionerkan til analyse af bankers og andre pengeinstitutters adfærd, hvis man kan acceptere forudsætningen om, at sådanne institutter disponerer i h.t. en entydig præferencefunktion. Der synes i hvert fald i et porteføljeoplæg at være muligheder for en mere tilfredsstillende bankteoretisk diskussion, end der er i de traditionelle kreditmultiplikatormodeller. Se Johnson [53, p. 21], Tobin [117], Goldfeld [39], Hester og Zoellner [44] samt Kane og Malkiel [55]. Porteføljeoplæggethar det fortrin fremfor en kreditmultiplikatormodel, at rentevilkår på aktiv- og passivsiden bliver et integrerende led i analysen. Desuden

---

1. Også Levhari og Patinkin har kritiseret Tobins analyse af pengeefterspørgselen i en vækstmodel [61], men med moderne kvantitetsteoretiske forudsætninger, hvor realkasse-argumentationen på antagelser om, at der kun findes outside-money i vækstmodellen.

er det muligt at udbygge en bankporteføljemodel med hensyntagen til præferencer
sideordnede med rentabilitetshensynet og hensynet til at formindske risikoen.

Risikoproblemets formulering afhænger af bankbalancens specifikationsgrad. Undertiden ser man i bankportefoljemodeller flere sideordnede former for risiko, således hos Porter [93, p. 324 ff.] og Besen [13, p. 287 ff], hvor der eksempelvis på én gang opereres med risiko for indlånsnedgang, kursrisiko for værdipapirer og risiko for svigtende betalingsevne hos debitorerne. Bestemmelsen af optimalportefoljen herved en ganske kompliceret sag, og de mere eller mindre implicite antagelser om bankpræferencefunktionens egenskaber kan ikke umiddelbart til en klassifikation i afsnittet ovenfor.

Roskamps oplæg er væsentligt simplere [100], fordi han kun arbejder med to mulige aktiver. Hans analyse sigter især mod at indpasse locking-in-effekten i porteføljeteorien, og bidraget kan placeres under middelværdi-sprednings-oplægget. Roskamps bidrag kaster nyt lys over pengepolitikkens virkemåde og effektivitet, og det samme gør en række artikler af Malkiel og Kane [69], Heston [45], Brainard [18], Tobin og Brainard [123], Okun [87], Pierce [92] og Russell [104],

Chambers og Charnes udnytter porteføljeoplægget til at vurdere virkningerne på bankernes adfærd af de kriterier, hvormed de officielle amerikanske banktilsynsførende bankregnskaberne [21]. Deres bidrag tager form af løsningen af et optimeringsproblem over en tidshorisont på 5 år.

31. Det er en velbekendt doktrin, der går tilbage til Edgeworth [34], at store banker gennemgående kan holde mindre likviditetsreserver end små banker, når sammensætningen af indlånskunderne er ensartet, fordi risikoen for indlånssvingninger i betydning, når mængden af indlån vokser. Baumols og Tobins ovenfor omtalte analyser af transaktionsefterspørgselen kan tages til indtægt for denne opfattelse [9] og [121]. Hester synes imidlertid at nå til det modsatte resultat i en empirisk undersøgelse [42, p. 55 ff.], hvorimod Besens resultater tilsyneladende støtter den traditionelle opfattelse [13, p. 312]. Forklaringen på de modstridende resultater er naturligvis i første række, at teoriens forudsætning om ensartet indlånssammensætning ofte harmonerer dårligt med virkeligheden. Såfremt større indlånsmasse f.eks. skyldes, at de enkelte kunders gennemsnitlige tilgodehavende er større, og ikke at antallet af kunder vokser, holder de lagerteoretiske ikke.

Orr og Mellon, Porter og Thore har arbejdet videre med lagermodeller til analyse
af bankernes likviditetsproblemer [88], [93] og [115]. Deres resultater underbygger
hovedkonklusioner.

32. Hester har udviklet en speciel analyseform, som tillader ham en afgrænsning
af mængden af efficiente bankporteføljer på et ufuldkomment kreditmarked, hvor
lånenes vilkår beror på forhandlinger mellem lånsøgere og bankerne [42, p.3ff.].

33. Carson og Scott prøver empirisk at estimere forretningsbankernes risikoaversion De betjener sig ikke eksplicit af subjektive fordelingsfunktioner som basis for risikoberegningerne, men fortolker i stedet forskellige statusposters andel af bankbalancesummen som indikatorer for styrken af bankernes bestræbelser at minimere forskellige former for risiko.

34. Porteføljevalg og beskatning. Domars og Musgraves artikel fra 1944 [291
betragtes som et klassisk arbejde om porteføljevalg og beskatning. De benytter som
ovenfor omtalt et middelværdi-gennemsnitstabs-oplæg, men betjener sig iøvrigt

af figurer, der minder stærkt om Tobins og Markowitz'. Det er givet, at de to
sidstnævnte forfattere har hentet megen inspiration hos Domar og Musgrave.

35. Beskatningsproblemerne er senere taget op af mange andre forfattere, således f.eks. Richter [96], Bierwag og Grove [15], Malkiel og Kane [69], Modigliani og Miller [77], Lepper [60], Royama og Hamada [103], Roskamp [100], Penner [90], Mossin [82] samt Streeten [112]. Desuden har Musgrave i 1959 givet en ajourført fremstilling i sin store bog om de offentlige finanser [83, kap. 14].

36. Beskatningens indflydelse på porteføljevalget beror for det første på, hvorledes enkelte forfatter formulerer risikoproblemet, og for det andet naturligvis på skattereglernes udformning. Det gennemgående tema i skattediskussionen er, ;tt en indkomstskat på afkastet af risikable placeringer automatisk gor den offentlige til parthaver i risikoen. Denne virkning er stærkere under et progressivt end under et proportionalskattesystem. Endvidere forøges virkningen, når der indføres udvidet adgang for private beslutningstagere til al fradrage underskud i deres skaltema^ssige indkomstopgørelse.

Beskatningen virker altså i h.t. disse bidrag fremmende på de private beslutningstageres
til at påtage sig risiko.

37. Bierwag og Grove [15] diskuterer specielt virkningerne af proportional indkomstskat og lump-sum-skat på risikovilligheden under benyttelse af alternative for risiko. Teknikken i den komparativ-statiske analyse er den, at de enkelte aktivers ligevægtsværdier differentieres partielt m.h.t. skattesatsen. Resultatet er i store træk, at fortegnene på de partielle afledede bliver de samme under varierende risikoforudsætninger, og konklusionerne m.h.t. skatternes indflydelse porteføljevalget er derfor næsten enslydende.

38. Aktieselskabers finansieringsproblemer. Der er i finansieringsteorien en vis tradition for at tillægge ledelsen af et eksisterende aktieselskab den handlemåde, at den stræber efter at maksimere en given aktiekapitals kursværdi.¹ Endvidere opfattes det sædvanligvis som en faktor, der hæmmer gældsstiftelse i et selskab, at gældsforøgelse ville give anledning til større spredning i sandsynlighedsfordelingen nettoafkastet til aktionærerne, fordi ydelsen til kreditorerne er fast, hvorved variationerne i overskuddet alene falder på restbeløbet, der går til udbytte og henlæggelser. Denne forøgede risiko for nettoindkomstvariationer indregnes traditionelt i finansieringsanalysen gennem en forhøjelse af diskonteringsfaktoren med et risikotillæg. En lånefinansiering af investeringer, hvor lånerenten er lavere end investeringernes afkast, indebærer på den anden side en forøgelse af selskabets dermed aktionærernes indkomst. Dette sidstnævnte forhold tenderer mod at hæve kursen på selskabets aktier, fordi den indkomststrøm, der diskonteres, forøges. Efter traditionel finansieringsteori åbner der sig herefter muligheder for at bestemme en optimal gældsprocent for aktieselskabet, når præferencefunktionen en kendetegnet ved risikoaversion. Optimum nås, når den positive kurseffekt af den øgede indkomst ved de lånefinansierede investeringer netop afbalanceres af den negative kurseffekt af stigningen i risikoen og dermed diskonteringsfaktoren. Selv om dette oplæg sædvanligvis bygger på en lidt anden analyseteknik end porteføljeteorierne, peger betragtningerne klart i retning af den ovenfor behandlede med indbyrdes afvejning af afkastforventninger og risiko som basis for bestemmelse af en optimalsituation.

---

1. Se f.cks. henvisningerne til traditionel teori hos Bodenhorn [16] og Morgan [81].

39. Modigliani og Miller fremkom i 1958 med en ganske opsigtsvækkende kritik af den lier groft skitserede traditionelle finansieringsteori [78]. De forudsætter, at aktionærerne har fri adgang til at låne og udlåne til markedsrenten, som også selskabet kan låne til.¹ Sådanne lån til markedsrenten antages ikke at være forbundet nogen risiko. Aktionærernes interesse drejer sig herefter om at maksimere blot værdien af deres aktiepost i selskabet, men hele deres portefølje.

Modigliani og Miller konkluderer for det forste, at med de opstillede forudsætninger gældsforholdene i et aktieselskab være uden betydning for dets samlede markedsva^rdi forstået som summen af aktiernes kursværdi og gælden.² For det andet konkluderer de to forfattere, at også de gennemsnitlige kapitalomkostninger er uafhængige af passivsammensætningen og altid må kunne bestemmes som diskonteringsfaktoren i traditionel forstand for en fuldt selvfinansieret virksomhed ³

40. Disse konklusioner gav anledning til en længere diskussion. I [1] er samlet en række af bidragene til denne debat under overskriften »Striden om kapitalomkostningerne«. således Durand [33], Boness [17], Brewer and Michaelson [19], Modigliani og Miller [77], [79] og [80]. Morgan [81], Baumol og Malkiel [10] og Haim Ben-Shahar [40] har i de sidste par år forsøgt at udrede en del af trådene i striden om kapitalomkostningerne. Morgan benytter sig i modsætning til Modigliani og Miller af den enkelte aktionærs nyttefunktion. Hans bidrag hører klart hjemme under middelværdi-sprednings-oplægget [81, p. 213 ff.]. I de første afsnit accepterer han Modiglianis og Millers forenklede forudsætninger og når stort set blot ad en lidt anden vej til de samme konklusioner. Senere tænkes den enkelte aktionær placeret i en beslutningssituation, hvor aktier i flere selskaber har mulighed for at indgå i hans portefølje. I det generelle tilfælde, hvor afkastet af forskellige aktier er ufuldstændigt korreleret, vil aktionæren sprede sin portefølje flere aktietyper, og hans vurdering af hvor høj en aktiekurs, han vil være villig til at betale, vil normalt blive påvirket af selskabernes gældsforhold [81, p. 248-52].

Såfremt aktionærerne derfor handler i h.t. middelværdi-sprednings-oplægget og interesserer sig for alle aktiemarkedets muligheder, må Modiglianis og Millers forudsætninger og dermed deres konklusioner forkastes. Porteføljeteoretiske ræsonnementer altså i nogen grad motivere en opretholdelse af det traditionelle finansieringssynspunkt, at der i normativ finansieringsteori kan bestemmes en optimal fordeling af et aktieselskabs passiver på gæld og egenkapital.

Også Baumol og Malkiel vender efter en vurdering af Modiglianis og Millers artikel tilbage til et optimal-gælds-synspunkt [10]. Deres bidrag udmærker sig i øvrigt ved hensyntagen til betydningen af transaktionsomkostninger og forskelle på selskabsbeskatning og personlig indkomstbeskatning.

---

1. Med disse forudsætninger ligger de to forfattere på linie med Lintner [65], der også forudsætter übegrænsede lånemuligheder. Finansieringsproblemerne under kreditrationering behandlet af Baumol og Quandt [111.

2. Modigliani og Miller anerkender principielt berettigelsen af et nyttemaksimeringsoplæg med hensyntagen til aktionærernes risikoaversion i den foreliggende problemstilling, men opgiver dette p.gr.a. selskabets utilstrækkelige viden om aktionærernes præferencefunktioner p. 127-128].

3. Forfatterne gør udtrykkeligt opmærksom på, at disse konklusioner naturligvis må modificeres, hvis beskatningsreglerne diskriminerer mellem rente- og dividendebetalinger.

41. Vurdering af placeringsmuligheder på markedet for værdipapirer. Den angelsaksiske om »Investment Decisions« er uhyre omfangsrig, og i mange tilfælde lagt så generelt op, at den kan finde anvendelse på erhvervelse af både fysiske og finansielle aktiver. Der skal her blot forsøges en opregning af nogle enkelte bidrag, som for det første udnytter subjektive sandsynlighedsfordelinger for afkastet som grundlag for beregning af risikomål, og som for det andet i første række synes at sigte på finansielle porteføljer. Det gælder således Hirshleifcr Hester [43], Sharpe [109] og [110], Ayres [7], Näslund [85, kap. s], Feeney and Hester [36], Lintner [03], Paine [89] og Diamond [28].¹

De rent teoretiske bidrag folger gennemgående hovedprincippet i den ovenfor nmtnlte sorteringsprocedure, hvorved plneerin£fsobioktorno sammensættes i finansielle som bestemmes ved de subjektive afkastforventninger og graden af risikoaversion.

En del af bidragene beskæftiger sig med udnyttelse af foreliggende indeks for
den økonomiske aktivitet eller for udviklingen i bredere udsnit af aktiekurser som
støtte for porteføljebeslutninger [301 og [631.

Feeneys og Hesters diskussion tvinger læseren til endnu en gang at overveje relevansen af subjektive sandsynlighedsfordelinger og de parametre, hvormed disse og deres indbyrdes sammenhæng beskrives. Forfatterne studerer udviklingen i 30 forskellige undergrupper af Dow Jones' aktieindeks og tillader sig at betvivle, at almindelige dødelige beslutningstagere kan have forventninger af en så specificeret at det lader sig gøre at beregne over 400 kovarianser mellem aktieafkast [36, p. 126].

42. Schilbred diskuterer alternative amortisationsordninger for obligationer, hvor papirets ejer ikke kan have et præcist kendskab til tidspunktet for afviklingen af hans fordring [106]. Han påviser endvidere, hvorledes det principielt skulle være muligt på grundlag af kurser for papirer med varierende egenskaber at sige noget om det obligationskøbende publikums eventuelle risikoaversion. Sharpe og Ayres foretager forsøg på en sådan bestemmelse af publikums risikoaversion på grundlag af aktiekurser og værdien af tegningsrettigheder [110] og [7].

Afsluttende bemærkninger.

43. De forfattere, der er nævnt i denne oversigtartikel, har beskæftiget sig med at udvikle normative mikromodeller for valg af statussammensætning under risiko. Forfatternes sigte med analysen har derfor lige med undtagelse af de få omtalte empiriske artikler været at få bestemt den betragtede beslutningstagers optimalportefølje. optimale portefølje kan udvælges på grundlag af et kendskab til beslutningstagerens forventninger vedrørende kapitalmarkedets placerings- og kreditmuligheder, viden om beslutningstagerens økonomiske virkefelt samt oplysninger hans præferencer. Den gennemgående antagelse er, at beslutningstageren præference for afkast og aversion mod risiko.

44. For en nationaløkonom melder der sig altid det spørgsmål efter gennemgangenaf mikroøkonomisk analyse, hvorledes denne analyse kan udnyttes til at forklare ligevægtspriser på markedet. Efter et arbejde med porteføljeteorierne lyder derfor nu spørgsmålet: Får vi i forbindelse med empiriske analyser ved

---

1. Et standardværk om valg af værdipapirporteføljer er Cohen and Zinbarg [24]. Charnes, Cooper og Miller har skrevet en berømt artikel om anvendelsen af lineær programmering finansielle porteføljevalg [22].

disse teoriers hjælp berlre muligheder for at forklare rentestrukturen eller kursrelationernepå

Svaret på dette spørgsmål må være bekræftende med passende forbehold på grund af porteføljeteoriernes stærkt forenklede forudsætninger. Sharpe og Lintner har forsøgt at udnytte portcføljeoplæg til at forklare kursrelationer på kapitalmarkedet og [63].

Man har i hvert fald mulighed for at opnå en dybere forståelse af, hvorledes virkelighedens værdipapirkurser kan tænkes frembragt, hvis man tager udgangspunkt porteføljeteorierne. Kursforhold og renterelationer er naturligvis undergivet fra transaktionsomkostninger og ufuldkommenhcdcr på kapitalmarkedet, porteføljeteorierne lærer os først og fremmest, at forventninger, præferencer og bibetingelser såvel hos udbydere som efterspørgere på kapitalmarkedet vejet efter porteføljernes størrelse udgør meget væsentlige elementer i den markedsmekanisme, vi interesserer os for.

Morten Balling *

---

* Amanuensis ved Handelshøjskolen i Århus.

LITTERATUR

[1] Archer, S. H. and d'Ambrosio, C. A. (Eds.): Theory of Business Finance: A Book of Readings,
London 1967.

[2] Archibald, G.: »Utility, Risk and Linearity«, Journal of Political Economy, Vol. LXVII, 1959.

[3] Arrow, K. J.: »Alternative Approaches to the Theory of Choice in Risk-Taking Situations«,
Econometrica, Vol. XIX, 1951.

[4] Arrow, K. J.: Aspects of the Theory of Risk-Bearing, Helsinki 1965.

[5] Arrow, K. J.: »The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk-Bearing«, The Review
of Economic Studies, Vol. XXI, 1964.

[6] Arrow, K. J.: »Utilities, Attitudes, Choices. A Review Note«, Econometrica, Vol. XXVI, 1958.

[7] Ayres, H. F.: »Risk Aversion in the Warrant Markets«, Industrial Management Review, Vol. 5,
1963, genoptrykt i Cootner, P. H.: The Random Character of Stock Market Prices, Cambridge,
Mass. 1964.

[8] Baumol, W. J.: »An Expected Gain-Confidence Limit for Portfolio Selection«, Management
Science, Vol. X. 1963.

[9] Baumol, W. J.: »The Transactions Demand for Cash: An Inventory Theoretic Approach«,
The Quarterly Journal of Economies, Vol. LXVI, 1952.

[10] Baumol, W. J. and Malkiel, B. G.: »The Firms Optimal Debt-Equity Combination and the
Cost of Capital«, The Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXXI, 1967.

[11] Baumol, W. J. and Quandt, B. E.: »Investment and Discount Bates under Capital Rationing —
A Programming Approach«, The Economic Journal, Vol. LXXV, 1965.

[12] Bernoulli, Daniel: »Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk«, Econometrica,
Vol. XXII, 1954.

[13] Besen, S. M.: »An Empirical Analysis of Commercial Bank Lending Behaviour«, Yale Economic
Vol. V, 1965.

De sidehenvisninger i teksten, der vedrører artikler, som er optrykt i artikelsamlinger, refererer til pagineringen i de pågældende artikelsamlinger. Der foreligger 3 bind fra Cowles Foundation alle redigeret af D. D. Hester og J. Tobin, som indeholder et udvalg af de væsentligste artikler. Det er Risk Aversion and Portfolio Choice, Studies of Portfolio Behaviour og Financial Markets and Economic Activity, New York 1967.

[14] Biervvag, G. O. and Grove, M. A.: »Indifference Curves in Asset Analysis«, The Economic
Journal, Vol. LXXVI, 1966.

[15] Biervvag, G. O. and Grove, M. A.: »Portfolio Selection and Taxation«, Oxford Economic
Papers, New Series, Vol. XIX, 1967.

[16] Boldendorn, Diran: »On the Problem of Capital Budgetting«, The Journal of Finance, Vol.
XIV, 1959. Genoptrykt i [I].

[17] Boness, A. ,1.: »A Pedagogie Note on the Cost of Capital«, The Journal of Finance, Vol. XIX,
1964. Genoptrykt i [I].

18] Brainard, W. C. »Financial Intermediaries and a Theory of Monetary Control«, Yale Economic
Vol. IV, 1964.

Li'Jj Biewei, D. L. and Micluitlson, J. 8.. »Tlil Cuat uf Capital, Curpuratiuu Finance, and the
Theory of Investment: Comment«, The American Economic Review, Vol. LV, 1965. Genoptrykt
i [I|.

r2o]r20] Carson, D. and Scott, L. O.: »Commercial Bank Attributes and Aversion to Risk«, in Carson,
D. (Ed): Banking and Monetary Studies, Homewood, 111, 1963.

r2T Chambers, D. and Charnes, A.: »Inter-temporal Analysis and Optimization of Bank Portfolios«,
Science, Vol. VII, 1961.

[22] Charnes, A., Cooper, W. W., and Miller, M. H.: »Application of Linear Programming to
Financial Budgeting and the Costing of Founds« The Journal of Business, Vol. XXXII, 1959.
Genoptrykt i [1] og [111].

[23] Chase, S. B.: Asset Prices in Economic Analysis, Berkeley 1963.

[24] Cohen, J. B. and Zinburg, E. D.: Investment Analysis and Portfolio Management, Homewood,
111. 1967.

[25] Cohen, K. J. and Elton, E. J.: »Inter-Temporal Portfolio Analysis Basedon Simulation of
Joint Returns«, Management Science, Vol. XIV, 1967.

[26] Cramer, H.: On the Mathematical Theory of Risk, Färsökringsbolaget Skandias Festskrift,
Stockholm 1930.

[27] Davidson, P.: »Money, Portfolio Balance, Capital Accumulation and Economic Growth«
Econometrica, Vol. XXXVI, 1968.

[28] Diamond, P. A.: »A Stock Market in a General Equilibrium Model«, The American Economic
Review, Vol. LVII, 1967.

[29] Domar, E. D. and Musgrave, R. A.: »Proportional Income Taxation and Risk-Taking«, The
Quarterly Journal of Economics, Vol. LVIII, 1944.

[30] Dorfman, R., Samuelson, P. A., and Solow, R. M.: Linear Programming and Economic Analysis,
York 1958.

[31] Douglas, A.: »A Theory of Saving and Portfolio Selection«. The Review of Economic Studies,
Vol. XXXV, 1968.

[32] Duesenberry, J.: »The Portfolio Approach to the Demand for Money and Other Assets«, The
Review of Economics and Statistics, Suppl., Vol. XLV, 1963.

[33] Durand, D.: »The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment:
Comment«, The American Economic Review, Vol. XLIX, 1959. Genoptrykt i [I].

[34] Edgeworth, F. Y.: »The Mathematical Theory of Banking«, Journal of the Royal Statistical
Society, Vol. LI, 1888.

[35] Egerton, R. A. D.: »The Holding of Assets: Gamble Preference or Safety First«, Oxford Economic
Vol. VIII, 1956.

[36] Feency, G. J. and Hester, D. D.: »Stock Market Indices: A Principal Component Analysis«,
in Hester, D. D. and Tobin, J. (Eds.): Risk Aversion and Portfolio Choice, New York 1967.

[37] Fisher, I. The Nature of Capital and Income, New York 1906.

[38] Friedman, M. and Savage, L. J.: »The Utility Analysis of Choices Involving Risk«, The Journal
Political Economy, Vol. LVI, 1948.

r39"r39" Goldfeld, S. M.: Commercial Bank Behaviour and Economic Activity, Amsterdam 1966.

;40; Haim Ben-Shahar: »The (Capital Structure and the Cost of Capital: A Suggested Exposition«,
The Journal of Finance, Vol. XXIII, 1968.

[41] Hamburger, M. J.: »Household Demand for Financial Assets«, Econometrica, Vol. XXXVI,
1968.

[42] Hester, I). I).: »An Empirical Examination of a Commercial Rank Loan Offer Function«,
Yale Economic Essays, Vol. 11, 1962.

[43] Hester, D. I).: »Efficient Portfolios with Short Sales and Margin Holdings«, in Hester, D. I),
and Tobin, J. (Eds.): His k Aversion and Portfolio Choice, New York 1967.

'44] Hester, I). I), and Zoellner, J. F.: »The Relation between Rank Portfolios and Earnings: An
Econometric Analysis«, The Review of Economics and Statistics, Vol. XLVIII, 1966.

[45] Heston, A. \V.: »An Empirical Study of Cash Securities, and Other Current Accounts of Large.
Corporations«, Yale Economic Essays, Vol. 11, 1962.

[46] Hicks, J. R.: »A Suggestion for Simplifying the Theory of Money«, Economica, New Series,
Vol. 11, 1935.

[47] Hicks, J. R.: »Application of Mathematical Methods to the Theory of Risk«, Econometrica,
Vol. 11, 1934.

[48] Hicks, J. R.: Critical Essays in Monetary Theory, Oxford 1967.

[49] Hicks, J. R.: »The Theory of Uncertainty and Profit«, Economica, Vol. XI, 1931.

[50] Hirshleifer, J.: »Investment Decision under Uncertainty: Applications of the State-Preference
Approach«, The Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXX, 1966.

[51] Hirshleifer, J.: »Investment Decision under Uncertainty: Choice-Theoretic Approaches«, The
Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXIX, 1965. Genoptrykt i [I].

[52] Hirshleifer, J.: »Risk, the Discount Rate, and Investment Decisions«, The American Economic
Review, Vol. LI, 1961. Genoptrykt i [I].

[53] Johnson, H. G.: »Monetary Theory and Policy«, in Surveys of Economic Theory«, Prepared
for the American Economic Association and the Royal Economic Society, Vol. I, London 1965.

[54] Kahn, R. F.: »Some Notes on Liquidity Preference«, The Manchester School of Economic and
Social Studies, Vol. XXII, 1954.

[55] Kane, E. J. and Malkiel, B. G.: »Bank Portfolio Allocation, Deposit Variability and the Availability
The Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXIX, 1965.

[56] Keynes, J. M.: A Treatise on Probability, London 1921.

[58] Kolm, S.-Ch.: Les choix financiers et monétaires, Théorie et technique modernes, Paris 1967.

[59] Leland, H. E.: »Savings and Uncertainty: The Precautional Demand for Saving«, The Quarterly
of Economics, Vol. LXXXII, 1968.

[60] Lepper, S. J.: »Effects of Alternative Tax Structures on Individuals' Holdings of Financial
Assets«, in Hester, D. D. and Tobin, J. (Eds.): Risk Aversion and Portfolio Choice, New York
1967.

[61] Levhari, D. and Patinkin, D.: »The Role of Money in a Simple Growth Model«, The American
Economic Review, Vol. LVIII, 1968.

[62] Lintner, J. »Optimal Dividends and Corporate Growth under Uncertainty«, The Quarterly
Journal of Economics, Vol. LXXVIII, 1964. Genoptrykt i [I].

[63] Lintner, J.: »Security Price, Risk and Maximal Gains from Diversification«, The Journal of
Finance, Vol. XX, 1965.

[64] Lintner, J.: »The Cost of Capital and Optimal Financing of Corporate Growth«, The Journal
of Finance, Vol. XVIII, 1963. Genoptrykt i ;i\

[65] Lintner, J.: »The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock
Portfolios and Capital Budgets«, The Review of Economics and Statistics, Vol. XXVII, 1965.
Genoptrykt i [11.

[66] Luce, R. D. and Raiffa, H.: Games and Decisions, New York 1957.

[67] Lydall, H.: »Income, Assets, and the Demand for Money«, The Review of Economics and
Statistics, Vol. XL, 1958.

[68] Makower, H. and Marschak, J.: »Assets, Prices and Monetary Theory«, Economica, New-
Series, Vol. V, 1938.

[69] Malkiel, B. G. and Kane, L. J.: »U. S. Tax Law and the Lock-in Effect«, Xationat Tax Journal,
Vol. XVI, 1963.

[70] Markowitz, 11. M.: Portfolio Selection, Efficient Diversification of Investments, New York 1959.
[71] Markowitz, H. M.: »The Utility of Wealth«, The Journal of Political Economy. Vol. LX, 1952.

L7Uj Marschak, J.. .-Rational Jjchauuui, Liiixr'.uin Prospect.-), and M(.asurtal>lc L tility«, Econo
mctrica,Yo\. XVIII, 1950.

[74] Marschak, J.: »Role of Liquidity with Complete and Incomplete Information«, The American
Economic Review, Papers and Proc, Vol. XXXIX, 1949.

[75] Matthews, R. C. O.: »Expenditure Plans and the Uncertainty Motive for Holding Money«, The
Journal of Political Economy, Vol LXXI, 19R3

[76] Michalet, Charles-Albert: »Demande de monnaie, demande d'actifs et oomportement patrimoniale
incertitude«, Revue d'Economie Politique, Vol. LXXVIII, 1968.

[77] Modigliani, F. and Miller, M. H.: »Corporate Income Taxes and the Cost of Capital: A Correction»,
American Economic Review, Vol. LIII, 1963. Genoptrykt i [I].

[78] Modigliani, F. and Miller, M. H.: »The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory
of Investment«, The American Economic Review, Vol. XLVIII, 1958. Genoptrykt i [1] og [111].

[79] Modigliani, F. and Miller, M. H.: »The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory
of Investment: Reply«, The American Economic Review, Vol. XLIX, 1959. Genoptrykt i [I].

[80] Modigliani, F. and Miller, M. H.: »The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory
of Investment: Reply«, The American Economic Review, Vol. LV, 1965. Genoptrykt i [lj.

[81] Morgan, B. W.: »Corporate Debt and Stockholder Portfolio Selection«, Yale Economic Essays,
Vol. VII, 1967

[82] Mossin, J.: »Taxation and Risk-Taking: An Expected Utility Approach«, Economica, Vol.
XXXV, 1968.

[83] Musgrave, R. A.: The Theory of Public Finance, A Study in Public Economy, New York
1959.

[84] Neumann, J. von and Morgenstern, O.: Theory of Games and Economic Behaviour, 2. Ed.,
Princeton 1947.

[85] Näslund, B.: Decisions under Risk, Economic Applications of Chance-Constrained Programming,
Stockholm 1967.

[86] Näslund, B. and Whinston, A.: »A Model of Multi-Period Investment Under Uncertainty«,
Management Science, Vol. IX, 1962.

[87] Okun, A. M.: »Monetary Policy, Debt Management and Interest Rates: A Quantitative Appraisal«,
Stabilization Policies, for the Commision on Money and Credit, Prentice Hall, Englewood
N. J. 1963.

[88] Orr, D. and Mellon, \V. G.: »Stochastic Reserve Losses and Expansion of Bank Credit«, The
American Economic Review, Vol. LI, 1961.

[89] Paine, N. B.: »Uncertainty and Capital Budgetting«, The Accounting Review, Vol. XXXIX,
1964. Genoptrykt i [I].

[90] Penner, R. G.: »A Note on Portfolio Selection and Taxation«, The Review of Economic Studies,
Vol. XXXI, 1964.

[91] Phelps, E. S.: »The Accumulation of Risky Capital: A Sequential Utility Analysis«, in Hester,
D. D. and Tobin, J. (Eds.): Risk Aversion and Portfolio Choice, New York 1967.

[92] Pierce, .1. L.: »An Empirical Model of Commercial Bank Portfolio Management«, in Hester,
D. 1). and Tobin, .1. (Kds.): Studies of Portfolio Behaviour, New York 1967.

[93] Porter, R. C: »A Model of Rank Portfolio Selection«, Yale Economic Essays, Vol. I, 1961.

[96; Richtcr, M. K.: »Cardinal Utility, Portfolio Selection and Taxation«, The Review of Economic
Studies, Vol. XXVIII, 1960.

[97] Robinson, J.: The Accumulation of Capital, London 1956.

[99] Rosett, R. N.: »Estimating the Utility of Wealth from Call Options Data«, in Hester, I). I), and
Tobin, J. (Eds.): Risk Aversion and Portfolio Choice, New York 1967.

rloo]r100] Roskamp, K. W.: »Factors Influencing Portfolio Selection: A Simple Model«, Kyklos, Vol. XX,
1967.

[101] Roy, A. D.: »Risk and Rank or Safety First Generalized«, Econometrica, Vol. XXIII, 1956.

[103] Royama, S. and Hamada, K.: »Substitution and Complementary in the Choice of Risky
Assets«, in Hester D. D. and Tobin, J. (Eds.): Risk Aversion and Portfolio Choice, New York
1967.

[104] Russell, W. R.: »Commercial Rank Portfolio Adjustments«, The American Economic Review,
Vol. LIV, 1964.

[105] Sandmo, A.: »Portfolio Choice in a Theory of Saving«, The Swedish Journal of Economics,
Vol. LXX, 1968.

[106] Schilbred, C. M.: »Bond Evaluation as a Decision under Certainty, Risk or Uncertainty«,
The Swedish Journal of Economics, Vol. LXX, 1968.

[107] Shackle, G. L. S.: Expectations in Economics, 2. Ed., Cambridge 1952.

[108] Shackle, G. L. S.: »Recent Theories Concerning the Nature and Role of Interest«, in Surveys
of Economic Theory, Prepared for the American Economic Association and the Royal Economic
Vol. I, London 1965.

[109] Sharpe, W. F.: »Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of
Risk«, The Journal of Finance, Vol. XIX, 1964.

[110] Sharpe, W. F.: »Risk Aversion in the Stock Market: Some Empirical Evidence«, The Journal
of Finance, Vol. XX, 1965.

[Ill] Solomon, E. (Ed.): The Management of Corporate Capital, Glencoe, 11, 1959.

[112] Streeten, P.: »The Effect of Taxation on Risk-Taking«, Oxford Economic Papers, Vol. V., 1953.

[113] Summers, R.: »A Peek at the Tradeoff Relationship between Expected Return and Risk«, The
Quarterly Journal of Economics, Vol. LXXXI, 1967.

[114] Telser, T. G.: »Safety First and Hedging«, The Review of Economic Studies, Vol. XXIII, 1955

[115] Thore, S.: »Programming Bank Reserves Under Uncertainty«, The Swedish Journal of Economics,
LXX, 1968.

[116] Tintner, G.: »The Theory of Choice under Subjective Risk and Uncertainty«, Econometrica,
Vol. IX, 1941.

[117] Tobin, J.: »Commercial Banks as Creators of »Money«,« in Carson, I). (Ed.): Hanking and
Monetary Studies, Home wood, 111, 1963.

[118] Tobin, J.: »Liquidity Preference as Behaviour Towards Risk«, The Review of Economic
Studies, Vol. XXV, 1958.

[119] Tobin, J.: »Money and Economic Growth«, Econometrica, Vol. XXXIII, 1965.

[120] Tobin, J.: »Money, Capital and Other Stores of Value«, The American Economic Review, Proc,
Vol. LI, 1961.

[121] Tobin, J.: »The Interest-Elasticity of Transactions Demand for Cash«, The Review of Economics
Statistics, Vol. XXXVIII, 1956.

[122] Tobin, J.: »The Theory of Portfolio Selection«, in Hahn, F. H. and Brechling, F. P. R. (Eds.):
The Theory of Interest Rates, Proceedings of a Conference held by the International Economic
Association, London 1965.

[123] Tobin, J. and Brainard, \V. C: »Financial Intermediaries and the Effectiveness of Monetary
Controls«, The American Economic Review, Vol. LIII, 1963.

[124] Turvey, R.: Interest Rates and Asset Prices, London 1960.

[125] Wehrle, L. S. »Life Insurance Investment: The Experience of Four Companies«, Yale Economic
Vol. I, 1961.