II

1. I tilslutning til professor P. Nørregaard Rasmussens foranstående gennemgang af E. Lykke Jensens doktorafhandling: »Lager, produktion og prisfastsættelse fra et stokastisk synspunkt« skal jeg i det følgende tage nogle af afhandlingens hovedemner op til matematisk behandling. Formålet er dels at opnå en dybere indsigt i og dels at generalisere nogle af Lykke Jensens resultate r¹.

I kapitel I—7 udledes betingelser for, at den optimale lagerpolitik er af simpel karakter, og der angives en fremgangsmåde til bestemmelse af de optimale værdier af (s,S) under forudsætning af, at man begrænser sig til en politik af denne type. Lykke Jensen skriver herom på p. 59: »I paragraf 3.2 så vi, at det var nødvendigt at opstille temmelig specielle forudsætninger for at kunne påvise, at den optimale lagerpolitik var af typen (s,S); men hertil kommer, hvad der er katastrofalt, hvis man ønsker teorien anvendt i praksis, at der ikke foreligger nogen metode, i henhold til hvilken parametrene s og S kan beregnes«.

I afsnit 2 fremsættes nogle bemærkninger om de forudsætninger, Lykke Jensen har opstillet som grundlag for udledelsen af den simple lagerpolitik, og i afsnit 3 vises, at det er muligt at udarbejde en forholdsvis simpel metode til bestemmelse af (s,S), såfremt lager- og ruinomkostningsfunktionerne er lineære.

Endvidere gives i afsnit 4 en generaliseret fremstilling af nogle af Lykke
Jensens resultater om prisfastsættelse under monopol.

---

* Professor ved Københavns Universitet, dr. phil.

1. Jeg er professor P. Nørregaard Rasmussen tak skyldig for adskillige diskussioner i forbindelse med udarbejdelsen af denne afhandling.

2. Lagerteoriens forudsætninger. I kapitel 2 forudsætter Lykke Jensen, at indkøbs-, lager- og ruinomkostningsfunktionerne er voksende og konvekse og viser, at dette er en tilstrækkelig betingelse, for at lagerpolitikken bliver simpel. Det er umiddelbart klart, at det ikke er nødvendigt at forudsætte konveksitet for indkøbsomkostningsfunktionen; hvis f >0 og f 5= 0 fås under visse betingelser en løsning af samme type. Det ses, at tabsfunktionens differentialkvotient kan skrives på formen

hvor

Heraf følger, at lagerpolitikken vil være simpel, hvis m(t) skifter fortegn een
gang, og (p er en Polya-frekvensfunktion.

Forudsætningen om, at lageromkostningerne er en funktion af slutlageret, er åbenbart indført af matematiske bekvemmelighedsgrunde, idet lageromkostningerne og ruinomkostningerne derved kommer til at indgå »symmetrisk« i tabsfunktionen (g = O for x >rj, og h = O for x < rj). Det ville være ønskeligt at udarbejde en tilsvarende teori med en mere realistisk lageromkostningsfunktion. Hvis man forudsætter, at lageromkostningerne er en funktion af gennemsnitslageret, kan der gennemføres en analyse, som giver principielt de samme, men lidt mere komplicerede resultater.

3. Bestemmelse af (s,S) for lineære omkostningsfunktioner. Først betragtes planlægning
for een periode ad gangen. Som vist af Lykke Jensen bestemmes St
som en fraktil i efterspørgslens fordeling, idet

(1)

hvor &{SX) angiver sumfunktionen for efterspørgslen.
Lykke Jensen anfører blot, at sx bestemmes af ligningen

(2)

hvor Hx(r)) er defineret ved (2.4.2), p. 27, men gør ikke rede for, hvorledes st
afhænger af omkostningskonstanterne og <f>(x).

Det ses let, at Hx(rj) kan skrives på formen

(3)

hvor

(4)

d.v.s. x(yj) angiver den gennemsnitlige efterspørgsel i den ved rj afstumpede
fordeling. Indsættes (3) og (1) i (2) fås

(5)

Højre side er en konstant, og venstre side er en simpel funktion af slt som let
kan beregnes, hvorved sx kan bestemmes.

Det ses, at sl>a,s1>a, hvor a betegner højre side af (5). Sættes st = a-\-e, og
rækkeudvikles samt x(s1) om a, fås følgende første tilnærmelse til sx

(6)

jvf. fig. 1.

Det tilsvarende problem ved planlægning for uendelig mange perioder er behandlet i § 3.3.
Ligesom for een periode bestemmes 5 som en fraktil i efterspørgslens fordeling, idet

(7)

Da <P(S) > <P(SO, fås S > Si.

omskrivning af H(rj), defineret i (3.3.2), fås

(8)

Dette udtryk er betydeligt mere kompliceret end Hi (tj) på grund af det sidste led, som afhænger
af funktionen

(9)

(9) fås

(10)

samt

(11)

og, idet S—s = A

(12)

Som en første tilnærmelse til det midterste led i (12) tages

(13)

idet// (5) = H(S)+K.

Tilnærmelsen er god, hvis H(S—x) er næsten lineær for 0 <, x <, A .

indsættelse i ligningen H(s) — H(S) = K fås

som ved hjælp af (7) omskrive* til

(14)

Dette resultat er analogt med (5), men mere kompliceret, fordi s indgår på højre side. Ligningen
må derfor løses ved iteration, f. eks. med s = sx eller s = 0 som udgangsværdi.

Hvis planlægningen omfatter to perioder, kan S2S2 bestemmes ved en i princippet lignende fremgangsmåde.
Af (3.2.18) og (3.2.6) fås

1 sidste led er å'\(S2—x) = —c for SS2—5j <> x<. S 2S2 og approximeres ved en lineær funktion
for 0 <. x <, S2~Si, hvilket må formodes at være tilfredsstillende, da SS2—St er lille. Heraf fås
følgende ligning til iterativ bestemmelse af S2S2

(lo)

Analoge, men mere komplicerede relationer gælder for de følgende elementer i talt'ølgen. For
praktiske formål vil det dog ofte være tilstrækkeligt at bestemme Sl}S1} S2S2 og S.

4. Prisfastsættelse under monopol. Den af Lykke Jensen i § 8.2 udviklede teori for bestemmelse af monopolprisen repræsenterer et betydeligt fremskridt sammenlignet med den deterministiske teori, men kan dog kun betragtes som en begyndelse, idet forudsætningerne er for specielle. Hertil kommer, at ræsonnementerne er knyttet til de sædvanlige grafiske fremstillinger fra denne del af økonomien, hvilket gør det vanskeligt at overskue resultaternes gyldighedsområde. I det følgende foretages en nærliggende generalisering af Lykke Jensens model, og der gennemføres en matematisk analyse af prisdannelsen.

Lykke Jensen forudsætter, (1) at monopolisten producerer mængden m(p), (2) at m(p) er lig med den gennemsnitlige efterspørgsel, (3) at spredningen i efterspørgslens fordeling er konstant, d.v.s. uafhængig af prisen, og (4) at fordelingen ikke indeholder andre ukendte parametre.

Vi skal her forudsætte, (1) at monopolisten producerer mængden m(p), (2) atm(p) er en positionsparameter i efterspørgslens fordeling, (3) at efterspørgslens fordeling desuden afhænger af en skalaparameter a, der er en funktion af p, samt (4) at fordelingen ikke indeholder andre ukendte parametre. Lykke Jensens model fremkommer som specialtilfælde, såfremt fordelingen vælges således, at positionsparameteren er lig med middelværdien, at skalaparameteren er lig med spredningen, og at skalaparameteren er uafhængig afp. Ovennævnte model må kun betragtes som et eksempel, der er tilstrækkeligt fleksibelt til at give mange forskellige resultater foruden det af Lykke Jensen fundne.

Lad g(u), —oo< u<oo, være en frekvensfunktion, som ikke indeholder
ukendte parametre, og lad G(u) betegne den tilsvarende sumfunktion,

Sumfunktionen for efterspørgslen defineres da som

(16)

hvor skalaparameteren o (ni) betragtes som funktion af m og dermed af/).
Den tilsvarende frekvensfunktion er lig med

(17)

Efterspørgslens fordeling bliver altså en afstumpet fordeling i relation til
u-fordelingen, såfremt G(— mfo) >0.

Den gennemsnitlige efterspørgsel er

(Her og i det følgende vil m(p) og o{rn) ofte blive forkortet til m og er).

Det ses, at den gennemsnitlige efterspørgsel er en funktion af både m og a.
Det er imidlertid let at specificere g(u) således, at f*(p) praktisk taget er lig
med m eller er identisk med m, jvf. de følgende tre eksempler.

Lad os først antage, at g(u) er symmetrisk omkring 0, og at G(^— m/o) >0, hvilket f. eks. gælder for den normale fordeling. Hvis afstumpningsgraden G(^— rnjo) er lille, og g(ii) går eæponentielt mod 0 for u —*■ 00, vil ju praktisk taget være lig med m. Dette gælder for den normale fordeling for o<m/3. Hvis »spredningen« er er konstant — som forudsat af Lykke Jensen — bliver afstumpningspunktet (_—m(p)[o), og dermed afstumpningsgraden, en funktion afp. En anden, måske mere rimelig hypotese er

(18)

hvor y0 er en positiv konstant, d.v.s. spredningen er proportional med gennemsnittet.
Dette giver samme afstumpningsgrad G(—1/Vo) f°r a^e værdier af p,
og for yo< 1/3 kan man i praksis bortse fra afstumpningen.

Som et andet eksempel betragtes en fordeling g(u), der ligesom ovenfor forudsættes symmetrisk
om 0, men med et endeligt variationsområde, således at G(—mja) = 0, f. eks.

hvilket giver

der er symmetrisk omkring M{x} = m med V{x] = m2/(2a + 3), d.v.s. V{x) = or2 for 2a +3
= m*/(T2.

Et eksempel på en skæv fordeling uden afstumpning fås fra

som giver

Monopolistens afsætningskurve er defineret ved

(19)

Ved hjælp af (17) fås

(20)

hvor

(21)

Størrelsen ceren funktion af mla og dermed af p. Kun for a = yoin, hvor
y0 er en konstant, bliver c uafhængig af p.

Lykke Jensen forudsætter, at a er konstant og konkluderer, at »afsætningskurven
bliver parallelforskudt til venstre for efterspørgselskurven«, jvf. p. 184.
Dette kan kun være rigtigt med tilnærmelse, idet konklusionen forudsætter, at

G • er lille, og at c(m) også er konstant, se (20). Til belysning heraf fås
fra (21)

(22)

I tilfældet med normal fordeling og konstant spredning vil c' (in) være forsvindende
for m/o>3, hvilket også fremgår umiddelbart af (21), idet afstumpningen
da intet betyder. For voksende værdier af p vil m aftage, hvilket

medfører, at c(m) aftager, og G vokser, således at forskellen på a(/>) og
m(p) afhænger af/>.

For den normale fordeling fås

hvor

således at

der let kan beregnes, jvf. følgende tabel

I det andet specialtilfælde a= yom, fås c' (m) =0, idet - som også anført
ovenfor - c(m) bliver uafhængig af m. Af (20) fås da, idet c(m) betegnes c0
for m/a = yO,y0,

(23)

d.v.s. afsætningen er proportional med efterspørgslen (produktionen), eller
udtrykt på anden måde afsætningskurvens elasticitet er lig med efterspørgselskurvens

Generelt fås af (20) — idet to af leddene ophæver hinanden -

(24)

hvilket giver følgende relation mellem elasticiteterne

(25)

hvor argumenterne (—m/o)(—m/o) og m er udeladt.
Hvis er og c er konstant fås

(26)

medens a= yom giver

(27)

Profitfunktionen er defineret som

(28)

Monopolprisen bestemmes derfor af ligningen

(29)

Denne ligning kan omformes ved hjælp af ea, hvilket giver

(30)

jvf. (24), som viser m'(p)fa'(p). Formelt kan man opnå et resultat, som er
helt analogt med Amoroso-Robinsons formel ved at indføre funktionen

(31)

under forudsætning af, at a og m er monotone. Man får herved

(32)

For a og c konstante fås af (24), (26) og (30)

eller

(33)

hvilket i overensstemmelse med Lykke Jensens resultat viser, at p<p0, hvor
p0 er bestemt ved Amoroso-Robinsons formel, hvis Ger tilstrækkelig lille.
For a= yom fås derimod af (24), (27) og (30)

(34)

altså p>Po> d.v.s. en flytning af monopolpunktet i modsat retning af den af
Lykke Jensen fundne.

For y0 = 1/3 fås

Om p bliver større eller mindre end p0 beror således på, hvorledes o afhænger
af m.

Indføres em i (30) ved hjælp af (25) fås den generaliserede Amoroso-Robinson
formel på formen

hvoraf (33) og (34) fremkommer som specialtilfælde. Korrektionen til f (ni)
kan være både positiv og negativ. Den er lig med nul for

(36)

hvor k er en positiv konstant.

Den ovenstående primitive statistiske model resulterer i et gennemsnitslager (overskudsproduktion) på m(p) — a(p), der betragtes som værdiløst. En simpel udvidelse af modellen fremkommer, hvis man tænker sig denne restbeholdning solgt ved periodens slutning til en særlig (lav) pris pO.p₀. Derved ndres til

(37)

Man ser let, at dette blot ændrer resultatet i formel (35) derved, at højre side
formindskes med

(38)

hvorved den optimale producerede mængde forøges, og monopolprisen formindskes,
som man også umiddelbart ville formode.

I den ovennævnte model er monopolistens udbudsfunktion m(p) knyttet til efterspørgslens fordeling. Det er imidlertid naturligt også at inddrage omkostningerne i bestemmelsen af udbudsfunktionen, og Lykke Jensen definerer derfor i sin anden model udbudsfunktionen derved, at den forventede grænseindtægt skal være lig med grænseomkostningen. Den optimale produktionsmængde (udbuddet) r\ bestemmes derfor af ligningen

(39)

Udbuddet r\ bliver derved en funktion af prisen. I det følgende betragtes r\
som en funktion af m - og dermed af p - i stedet for som hos Lykke Jensen
direkte som en funktion af p. Endvidere indføres hjælpestørrelsen

(40)

der ligeledes er en funktion af m. Med disse betegnelser kan (39) skrives

(41)

der ved differentiation m.h.t. p giver

(42)

(43)

ror f"(rf) 0 vii fortegnet for drj/dp være lig med fortegnet for højre side
af (43). Betingelsen for at drj/dp = 0 kan ved hjælp af (39) udtrykkes som

For m'(p)<o, o'(ni) 0ogr) m vil det sidste led på højre side i (43)
være negativt, således at højre side bliver mindre end f (rj)fp, som er mindre
end 1, d.v.s.

(44)

hvilket betyder, at udbudskurvens hældning er større end grænseomkostningskurvens
hældning for r\ m, såfremt o'(m) oog dp/drj >0.

Hvis o'(ni) > 0 gælder sætningen for

d.v.s. for

(45)

hvilket giver r\ >0 for a — y^m.

Med en produktion på rj bliver afsætningen lig med

(46)

hvor

(47)

For at finde forholdet mellem aj(p) og m(jo) omskrives (46) til

(48)

der let fortolkes ved hjælp af (16), idet 1 — G{—mja) angiver sandsynligheden
for en positiv efterspørgsel, 1 — G (C) angiver sandsynligheden for en
efterspørgsel større end produktionen og

For tj = m bliver a1(p)a1(p) = a(p), jvf. (20)
Ved differentiation fås

(49)

hvor r\ = df]/dm.
Af profitfunktionen

(50)

fås ved differentiation

(51)

Indføres em = —pm'(p)Jm(p') fås efter en lignende reduktion som ved (35)
følgende ligning til bestemmelse af monopolprisen

(52)

Dette resultat kan opfattes som en yderligere generalisering af Amoroso-Robinsons
formel, idet en sammenligning med (35) viser, at grænseomkostningerne
er blevet multipliceret med

der er større, henholdsvis mindre end 1, eftersom rj er større eller mindre end
m.

Modellen kan generaliseres yderligere ved ligesom for den første model at
indføre indtægten fra salg af restlageret Po(rj —a) i profitfunktionen.

I det følgende vises et eksempel på anvendelsen af uisse formier. Lad os antage, at g(u) er en standardiseret normal fordeling, at m(p) = a/p² og o (ni) = y_om, samt at f'(m) = a+bm. Den eneste vanskelighed i anvendelsen af formlerne ligger da i bestemmelsen af funktionen tj, som er defineret ved ligningen

(53)

Indføres r= r)\m fås £= (r— l)/y0» altså

(54)

eller

(55)

For passende valgte yærdier af r løses denne ligning m.h.t. p, hvorefter r, for disse værdier af
p beregnes som r\ (p) = rm (p).

Beregningerne af de forskellige funktioner er gennemført i nedenstående tabel for a = 400,
7o = 1/3, a = 2 og b = 0.2.

De tidligere anførte formler giver i eksemplet følgende resultater:

og

Monopolprisen bestemmes i det deterministiske tilfælde af Amoroso-Robins ons formel

(56)

I det stokastiske tilfælde bestemmes monopolprisen af ligningen

(57)

såfremt monopolisten producerer (udbyder) m (p), medens ligningen bliver

(58)

såfremt udbuddet bestemmes som r) (p)

Fig. 2 viser disse funktioner og bestemmelsen af de tre monopolpriser. I fig. 2 og de tre formler (56) - (58) er ligningerne »løst« m.h.t. p/2, men man kunne lige så godt have løst m.h.t. f, jvf. fig. 3. Dette medfører, at abscissen til skæringspunktet svarende til (58) bliver mængden r\, således at monopolprisen bestemmes ud fra rj (p).

Da m i det valgte eksempel er lig med medianen i efterspørgslens fordeling fås

d.v.s. kurverne rj(p) ogm(p) skærer hinanden for 1/2 = f(m)[p. Den samme relation fremkommer
af Amoroso-Robinsons formel,

for e=2, jvf. fig. 2. For e 2 fås derfor en mere kompliceret relation mellem de to skæringspunkter.