OM INVESTERINGER MED FORSKELLIG LOBETID

len meget tankevsekkende artikel¹ har Poul Winding fremdraget et paradoks intern eller effektiv rente af investeringer med forskellig Labetid. Artiklen munder ud i, at der ved anbringelse — og genanbringelse — af lânte penge i investeringer, der alie af kaster samme effektive rente, findes en optimal lobetid, som er fordelagtigere for investor end sável kortere som lsengere lobetider. Det er her en forudsaetning, at lânerenten er lavere end den effektive rente, investeringerne af kaster. Dette resultat foranlediger forfatteren at ssette et lille sporgsmâlstegn ved vaerdien af begrebet intern rente.

Ved at anvende en anden fremgangsmâde end den, forfatteren har betjent
sig af, kan paradokset oploses i sine naturlige bestanddele.

De investeringer, interessen samler sig om, og som alie giver 100 • i % p.a. i effektiv rente, skal sammenfattes under betegnelsen: investeringer af »zgruppen«. nemheds skyld kan man tsenke sig, at investeringerne foregâr pã den máde, at pengene anbringes i en »i-bank«, d.v. s. en bank som til enhver tid forrenter indestâende belob med 100 • i % p.a. I udgangsstillingen lanes den til en investering nodvendige kapital 1 i en »r-bank«, som krsever 100 - r%p.a. i rente af ethvert láns restgseld. Lânets amortisationsplan interesserer r-banken, idet det forudssettes, at ethvert afdrag genlânes pâ usendrede vilkâr. Set fra r-bankens side er der altsâ tale om et uamortisabelt lân, som krsever en ârlig betaling af storrelsen r.

Investor, som man kan kalde P, stâr, efter at investeringen er foretaget, i den situation, at han hvert âr skal betale r til r-banken, medens han i /bankenkan belob efter forgodtbefindende enten i store póster over en kort ãrrsekke eller i mindre póster over lsengere tid. Det forudssettes dog, at

---

1. Poul Winding: En note om valget mellem investeringer af forskellig lobetid, Festskrift til Frederik Zeuthen, udgivet af Nationalokonomisk Forening, Kobenhavn 1958.

* Konsulent i finansministeriet.

han — uanset over hvor lang tid uddragene fordeles — hsever lige store belob
hvert ar. Udstrsekkes uddragsperioden over n âr, kan P hvert âr hseve:

[1]

eller for at benytte den almindelige terminologi:

[2]

idet man har:

[3]

Anvender P diskonteringsrenten 100 • s % p.a., bliver den vserdi, han til
lsegger investeringen, udtrykt ved:

[4]

Storrelsen w^] er altsá det tal, hvormed man skal multiplicere et investeret kapitalbeleb for at nâ til investeringens diskonterede vserdi i investeringsojeblikket, det forudssettes, at kapitalen anbringes i í-banken og frigores med lige store ãrlige belob over n âr.

Som et videre íed i eksperimenteí antages, at investor anvender en dei af de fra í-banken uddragne belob til fornyet /z-ârig investering. De omhandlede belob — som i Poul Windings artikel svarer til de forfaldne, men genlânte afdrag pâ lânet i r-banken — kaldes »I-investeringeme«: I_x, 72,...7₂,... Ij, hvor maerketallet angiver antallet af âr, siden den oprindelige investering fandt sted.

P mâ pâ tidspunktet for den oprindelige investering tillsegge investeringen
Ij vserdien Ij • w^ • (1 -\-s)~1, og vserdien af samtlige /-investeringer bliver
folgelig:

[5]

Til gengseld mâ P give afkald pâ umiddelbar udbetaling af de geninvesterede
hvilkei formindsker den samlede kapitalvserdi med:

[6]

Bruttokapitalvaerdien af en pâ n-àrigc annuiteter baseret »investeringskcede«,
investering og tilsluttende /-investeringer, kan herefter opgeres
til:

m

eller:

[8]

Ser man forelebig bort fra /-investeringerne, hvilket svarer til T = 0, bliver Wjy] = wj|], hvis storrelse for visse vserdier af n, i og s fremgár af ncdenstâende tabel. Det ses heraf, at kapitalvaerdien, nâr T = 0, er sterre end 1 og stigende med voksende lobetid, for sâ vidt diskonteringsrenten er lavere end den interne rente i investeringen. Er diskonteringsrenten hojere end Í00 • i, aftager kapitalvserdien med voksende lebetid, medens lebetiden bliver uden betydning for kapitalva?rdien, dersom diskonteringsrenten er lig den interne rente.

Allerede her meder man i et simpelt eksempel det problem, som er det centrale i artiklen. Tabellens tal viser nemlig tydeligt, at man ved valget mellem forskellige investeringsmuligheder ma tage hensyn til bâde intern rente og lebetid, med mindre diskonteringsrenten er lig den interne rente.

Regner man med, at diskonteringsrenten er positiv, vil kapitalvserdien uanset lobetidens laengde blive et endeligt tal. Dette beror imidlertid pâ forudssetningen om, at investeringens afkast ¦— uddraget fra z-banken — skal vsere konstant fra âr til ar. Forlader man denne forudsaetning og antager f. eks., at uddraget fra z-banken sker med et samlet beleb n âr efter indskudet, bliver kapitalvaerdien:

[9]

en storrelse som vokser eksponentielt med n, for sâ vidt i > s. Med en givet
kapitalindsats kan man altsâ foroge en investerings vaerdi i det uendelige
blot ved at udskyde tidspunktet for investeringens frigorelse.1

Vselges den tidligere beskrevne mellemvej, at man med udgangspunkt i en Ji-àrig annuitet anvender en storre eller mindre dei af de frigjorte penge — /-investeringerne — til nye investeringer, mâ kapitalvserdien af den herved dannede investeringsksede komme til at ligge imellem wjí\ og gj{\, og det ses, at man pâ denne mâde kan foroge kapitalvserdien, sâ meget man ensker. Det er her og indtil andet nsevnes stadig en forudsaetning, at i > s.

Den diskonterede vaerdi af de belob, der anvendes til reinvestering, er T. Af [8] fremgâr direkte, at W^] vokser med voksende T, hvilket vil sige, at investeringsksedens kapitalvserdi bliver storre, jo storre reinvesteringsbelob, der er tale ora, eller jo tidligere reinvesteringer af givet samletstorrelse foretages.

Der er sâledes bl. a. to màder, hvorpâ kapitalvaerdien af en investeringsksede eges: a) ved at forlaenge lobetiden n, og b) ved at anvende en storre dei af investeringernes afkast til nye investeringer eller ved fremskyndelse reinvesteringerne. Metode a) kan opfattes som en speciel anvendelse af metode b), men af praktiske grunde skal man opretholde sondringen mellem de to metoder.

Den fremgangsmâde, Poul Winding har anvendt i sin artikel3 et netop en
kombination af metode a) og metode b). Metoderne er kombineret pâ
folgende mâde:

Lânet i r-banken íingeres amortiseret som en n-ârig annuitet af storrelsen:

[10]

hvoraf afdraget m âr efter lânets stiftelse udgor

[11]

---

1. Dette resultat har selvfolgelig kun teoretisk interesse. Ved overvejelser om diskonteringsrentens mâ man tage hensyn til det formal, P kan have med sin investering. Dette kan for at nsevne et par typiske eksempler vaere at holde kapital til disposition for anden anvendelse om kort tid eller at skaffe sig et middel til evig rentenydelse. Derimod kan nseppe nogen vaere interesseret i at udskyde en investerings af kast i meget lange tidsrum, og det giver derfor ikke megen mening at tale om en positiv nutidsvserdi af en ydelse, der forfalder om mâske 200 âr. I almindelighed spiller betragtninger af denne art ingen rolle, idet de ydelser, som i normalt tilfaelde forfalder om meget lang tid (f. eks. sene udbetalinger pâ uamortisable er sâ smâ, at den diskonterede vserdi herafmed enhver rimelig rentesats bliver pá det naermeste 0. I de tankeeksperimenter, som er foretaget i Poul Windings og naervserende artikel, kan der imidlertid forekomme ydelser, som vokser eksponentielt med tidsudskydelsen. For at man ikke her skal nà til meningslese resultater, mâ man enten se bort fra store belob, der forfalder meget lang tid, eller anvende en diskonteringsrente, som vokser med lebetidens Isengde.

som angivet i artiklen p. 373 (2) og (3). Om dct videre handlingsforlob hedder det: »Det forudsaettes nu, at afdragsbelobet i hver termin lanes pãny, stadig til rente r, og reinvesteres i en ny proces af n terminers varighed. Ogsã dctte belob afvikles efter annuitetsprincippet, og afdragene heraf lanes ligeledes pâny til reinvestering i en proces, der lober over n terminer o. s._v.«

Der er altsá tale om et bând mellem metoderne a) og b) af en ganske saeregen art. Jo laengere lebetiden n er, des mindre bliver — eller des senere indtrseder de fingerede afdrag til r-banken, og des mindre bliver de tilsvarende /-investeringer. Erindrer man, hvorledes anvendelse af metoderne a) og b) influerer pá investeringskaedens kapitalvaerdi, ses, at en forogelse af n mâ medfore en forogelse af kapitalvserdien W^\ via metoda a) og samtidig en formindskelse via metode b). Det kan vises, og er vist i artiklen, at den samlede virkning under visse renteforudsaetninger bliver voksende kapitalvaerdi voksende n indtil en naermere angivet lobetid, hvorefter kapitalvserdien

I princippet sker der ikke nogen aendring i ovenstâende betragtninger ved,
at man i stedet for den omhandlede kapitalvserdi — forstâet brutto — regner
med nettokapitalvaerdien, som fremkommer efter fradrag af den (af lebetid
r
og /-investeringer uafhsengige) diskonterede vserdi, -, af renteydelserne til

r-banken. Nettokapitalvaerdiens storrelse er:

[12]

Er specielt i = 0,10 og s = 0,06, bliver nettokapitalvserdien for forskellige
vaerdier af n:

Anvender man den specielle kombination af n og T, som Poul Winding opererer med, vil man ved i forfatterens formei (10 d) f. eks. at saitte i = 0,10, r=s = 0,06 og n = 30 fâ: T= 0,5576, som indsat i ovennaevnte tabel giver: Vjq\ = 0,7166, hvilket stemmer med tabellen i artiklen p. 381.

Med de givne rentesatser og med den givne binding mellem n og T fâr
nettokapitalvaerdien V^\ maksimum ved lebetiden 30 âr, hvoraf forfatteren
konkluderer: »Det er hermed vist, at den interne rente, som en investering

afkaster, ikke er noget fuldt tilstrsekkeligt kriterium ved valget mellem forskelligemuligheder,
at ogsâ investeringernes varighed mâ tages i betragtning.
1 Dette resultat skal i det folgende underkastes en nsermere prevelse.

Det mâ i en teoretisk model anses for acceptabelt at operere med en
gruppe investeringsarter, hvorom det gaelder:

1) at alie investeringer frigeres efter annuitetsprincippet,

2) at enhver investeringsart er bestemt med angivelse af lobetidens lsengde,

3) at den interne rente er ens i alie investeringer af samme art (d.v. s. af
samme lobetid) uanset investeringernes tidsmaíssige placering og samlede
omfang, samt

4) at den interne rente er den samme i investeringer af enhver art (lobetid).

Derimod kan man vanskeligt i en undersogelse over vserdien af begrebet intern rente godtage det bând, forfatteren laegger pâ investor m. h. t. geninvestering frigjorte belob. Der gives ingen naturlig begrundelse for kravet om, at reinvesteringsbelobene skal antage samme sterrelse som nogle stipulerede der end ikke erlsegges. Skal modellen have et gran af praktisk relevans, mâ det stâ investor frit for, ora han vil anvende storre eller mindre belob til reinvestering, og disse belob mâ kunne fastssettes uafhsengigt af, i hvilken investeringsart han agter at anbringe sine penge.

Ved undersogelsen af det foreliggende problem er det af stor betydning at fâ klarlagt, hvilken diskonteringsrente man skal benytte. Herom siger forfatteren: er imidlertid ingen sserlig grund til atvselge netop i som diskonteringsrentesats. man kan optage lân til forbrugsformâl til samme rente som lân til investering, vil det vsere mere nserliggende at antage, at r benyttes som diskonteringsrentesats.«²

Til nsermere belysning af diskonteringsbegrebet skal anstilles folgende
betragtninger:

Sâfremt en person, P, tillsegger en fordring, som kaldes F, med ydelserne:
y1 kr. om 1 âr, y2y2 kr. om 2 ár .. . yn kr. om n ár vserdien K kr., mâ diskonteringsrenten
• s% p.a. tilfredsstille betingelsesligningen:

[13]

Storrelsen K bestemmes bl. a. af, hvad P har mulighed for at opnâ ved anbringelse af sine penge pâ anden mâde end til kob af F. Har P mulighed for til enhver tid at fâ sine disponible midler forrentet med 100 • z % p.a., som til gengseld er det hojeste, han kan opnâ, mâ han kunne sikre sig en rgekke ydelser svarende til fordringens indhold ved at anbringe kapitalen K' kr., om hvilken man har:

[14]

---

1. p. 381—82.

2. p. 380.

P kan derfor ikke vserc intercsseret i at overtage fordringen F, med mindre
denne kan kobes til en pris, der er lavere end eller lig med K'. Heraf felger:

[15]

samt:

[16]

Det kan taenkes, at P onsker at opsamle de pâ fordringen forfaldende
ydelser i q âr. Med en rentetilskrivning pâ 100 • z % p. a. vil P i sâ tilfselde
til sin tid have opsamlet:

[17]

hvoraf ses, at P ville kunne opsamle et tilsvarende belob, dersom han i
stedet for at kobe fordringen anbringer K' kr. iqâr til rentesatsen 100 •z%p.a.
Ogsâ i dette tilfaelde nâr man altsâ til, at KSK'ogs z.

Er P indstillet pâ at investere sine penge i tilstrsekkelig lang tid, ma F for liam reprsesentere vserdien W kr., idet han med denne pris pâ F ikke ved anbringelse pâ anden vis kan opnâ en bedre forrentning af sin kapital. En sâdan indstilling skal lsegges til grund i det folgende, og man har derfor:

[18]

samt

[19]

Den diskonteringsrente, P skal anvende til beregning af et kapitalobjekts vserdi, er altsâ den hojeste rente, han kan opnâ ved alternativ anbringelse af sine penge. For nemheds skyld forudsseltes denne rente at vsere konstant til enhver tid.

Under de i artiklen forudsatte vilkâr kan man som alternativ til investering
i fordringen F — som antages at hore til f-gruppen — i princippet tsenke sig
tre forskellige anbringelsesomrâder for Ps kapital:

1) anden investering med intern rente 100 • i% p.a., d.v.s. anden anbringelse
z-gruppen end den omhandlede,

2) investering udenfor z-gruppen og

3) ekstraordinaer nedbringelse af gaeld til r-banken.

Mulighed 2) skal midlertidigt lades ude af betragtning. Da diskonteringsrenten • s (= 100 • z) er den hojeste forrentning, P kan opnâ, kommer mulighed 3) kun pâ tale, dersom 100 •r 100 •i.I artiklen er man gâet ud fra, at r < i, og anbringelse til renten 100 • i% p.a. mâ derfor vsere den for P fordelagtigste. Den for P gaeldende diskonteringsrente er som folge heraf 100 • s = 100 • i% p.a.

Indsaetter man betingelsen s = i i [4], fâs:

[20]

som indsat i [8] forer til:

[21]

for alie vaerdier af n, hvilket vil sige, at bruttokapitalvserdien af enhver investeringsksede indenfor z-gruppen er 1. Sammenholdes ovennsevnte vilkár med [12], finder man, at nettokapitalvserdien, d.v. s. bruttovserdien efter fradrag af den diskonterede vserdi af renteudgifterne til r-banken, bliver

[22]

ligeledes gseldende for enhver vserdi af n 1.

Man kan derfor ikke sige, at nogen lebetid er fordelagtigere end andre, nâr a) der er tale om investeringer, som alie af kaster samme effektive eller interne rente, nâr b) denne rente er den hojeste, investor har mulighed for at opnâ, samt nâr c) investor kan anbringe ethvert disponibelt belob nu og i fremtiden til den pàgscldende rente. Er disse forudssetninger til stede —¦ og det synes de at vsere i artiklen — kan man roligt slette det lille sporgsmâlstegn, som forfatteren har hseftet ved vserdien af begrebet intern rente.

Har investor derimod mulighed for at opnâ bedre forrentning udenfor z-gruppen end 100 • i % p.a., evt. fordi renten af hans gaeld overstiger investeringsrenten, diskonteringsrenten 100 • s vsere storre end 100 • i. Dette vil ifolge [4] fere til, at Wn\ < 1, som indsat i [8] giver: Wj^ < 1 for enhver vserdi af n 2. Vaerdien bliver desuden mindre, ijo laengere tid man mâ nojes med 100 • i% i stedet for den hojere forrentning 100 • s% p.a.

Er investor efter at have valgt en investering indenfor z-gruppen afskâret fra yderligere placering af penge til 100 • z % i rente, mâ diskonteringsrenten 100 ' s vsere lig den hojeste rente, han kan opnâ udenfor z-gruppen. Er denne rente mindre end 100 • i, bliver wj^ > 1, som indsat i [8] giver W^\ > 1 for alie vserdier af n. I dette tilfaslde vil fordelen ved investeringer indenfor z-gruppen blive sterre, i jo lsengere tid investor kan oppebsere 100 • i% p.a. af sine penge i stedet for kun 100 • s% p.a.

Dette er der i og for sig ikke noget mserkeligt i, og det er blot en videreforelseaf
her omhandlede princip, der gor, at Poul Winding med renteforudsaetningen:z>s

---

1. Deite resulíat nàr ogsà foríaiiereu til i formei (Í4a) under den straks derefícr opgivnc antagelse, at s = i.

2. Investor vil derfor ikke have nogen anledning til at vselge investeringer af í-gruppen, med mindre omkostningerne herved tilpasses i nedadgáende retning. Prisreaktioner af denne art ligger imidlertid udenfor rammerne af analysen.

forudsaetningen:z>sfinder en optimal lobetid under valget mellem en rsekke investeringskseder, der alie afkaster 100 • i% p.a. i eíTektiv rente. Lobetiden af de annuiteter, der indgâr i en af forfatterens investeringskaeder,er ikke eneafgorende for den udskydelse af tilbagebetalingerne,som til fordel for investor. Her spiller ogsâ de til lobetiden bundne reinvesteringer en stor rolle. At lobetiden n er fordelagtigst, vil — noget unojagtigt udtrykt — blot sige, at n bestemmer den kombination af lobetid og reinvesteringsplan, som forer til den »lsengste« gennemsnitlige anbringelsestidi tilsvarende investeringskaede.