Nationaløkonomisk Tidsskrift, Bind 95 (1957)II.A. HALD 1 Side 199
1. Det er med stor betænkelighed, at jeg har indvilliget iat indtræde i udvalget til bedømmelse af denne afhandling, hvis emne falder udenfor mit normale arbejdsområde. Min andel af bedømmelsen har derfor efter sagens natur været rent formel, idet jeg har måttet indskrænke mig til at kontrollere rigtigheden af de udledte formler og overlade realitetsbedømmelsen de økonomisk sagkyndige. Den første officielle opponent, professor, polit. Carl Iversen, og de to opponenter ex auditorio har da også underkastet både afhandlingens forudsætninger og konklusioner en kritisk vurdering ud fra driftsøkonomiske synspunkter, således at jeg på denne baggrund med sindsro kan nøjes med at behandle den anvendte matematiske 1. Dr. phii., professor ved Københavns Universitet. Side 200
2. Matematisk behandling af økonomiske problemer har hidtil været en sjældenhed i disputatser ved Københavns universitet. Det er glædeligt, at vi med ca. et års mellemrum nu har haft to disputatser af denne type, og at begge forfattere er blevet professorer, således at man med større fortrøstning hidtil kan imødese den videre udvikling på dette område. Anvendelse af matematik indenfor økonomien giver stadig anledning til diskussion, og kløften mellem verbaløkonomerne og de matematiske økonomer stadig urimelig stor. Af de mange årsager hertil skal jeg kun nævne to. Man er tilbøjelig til at glemme, at ord — ligesom matematiske udtryk — kun er symboler, der i videnskabelige afhandlinger kun må anvendes i veldefinerede betydninger og efter bestemte »regneregler«. Når man har formuleret en model i ord og ræsonnerer videre i ord, er der altid en stor risiko for, at ordenes mangetydighed giver anledning til fejl i ræsonnementet, eller at ræsonnementet bliver så kompliceret, at der begås logiske fejl. Hvis en model derimod er formuleret matematisk, kan man i den følgende deduktive proces gøre brug af hele det forråd af metoder og resultater, som matematikerne har opsamlet gennem de sidste to—tre tusind år, hvilket giver større sikkerhed og hurtighed i ræsonnementet. Man skulle tro, at denne form for arbejdsøkonomi på det åndelige område var særlig tiltalende netop for økonomer. Der er naturligvis stor forskel på økonomernes og matematikernes verden. må vel bl. a. være en ufuldkommen undervisningsteknik i matematik, har medvirket til at frembringe det matematiske skrækkompleks, der er så udbredt og samtidig så uforståeligt, idet matematikernes verden jo er den simpleste og mest krystalklare af alle verdener, opbygget som den er ved ren deduktion ud fra passende valgte aksiomer. (For matematikeren ligger en af de største vanskeligheder naturligvis netop i valget af aksiomer). Jo mere man fjerner sig fra matematikernes fantasiverden, og i særdeleshed jo større rolle den menneskelige adfærd spiller for det pågældende område, desto vanskeligere bliver beskrivelsen og analysen af det. Juraen, der i sin deduktive metode i høj grad er beslægtet med matematikken, forsøger at klare nogle af sine vanskeligheder ved at indføre et matematisk gespenst, der lyder navnet bonus pater familias. For den, der har læst både Bohr og Mollerup: Matematisk Analyse og H. Ussing: Obligationsretten, er slægtskabet tankegangen påfaldende. Økonomerne har også undertiden benyttet af en »economic man«, men det er mit indtryk, at han aldrig har opnået samme popularitet som bonus pater. Det er mit håb, at den matematikundervisning, for nylig er etableret ved fakultetet, vil medvirke til at nærme de to parter til hinanden, ligesom man også kan håbe på, at mellemskole- og gymnasieundervisningen i matematik engang vil blive taget op til grundig revision. Side 201
En anden vej til nærmere forbindelse mellem de to parter går over den empiriske verifikation af teorierne, hvad enten disse er formuleret på den ene eller den anden måde. Hvis begge parter i højere grad forsøgte på at underbygge teorierne med data (der ofte er vanskelige at fremskaffe) og anvendte flere kræfter på at diskutere overensstemmelsen mellem teori og data, ville meget være vundet. Den foreliggende afhandling er et typisk eksempel på en teori, der fortjener en sådan nærmere empirisk underbygning. Disse betragtninger fører naturligt over i statistikken, således at resten af min opposition kunne forløbe efter det velkendte skema for anmeldelser, som i outreret form er formuleret i tidsskriftet Books of the Months formarts »A few weeks ago a critic reviewed a book on dogs. His review consisted (with some addition) of the statements, in series, that he did not like dogs, had never liked them and never would, but he was fond af cats.« Jeg har
imidlertid modstået denne fristelse og skal i det
følgende nøjes 3. En af de
grundlæggende forudsætninger for udviklingerne i kap.
2—52—5 (1) hvor a > 0 og
0 > 0.1 En af svaghederne ved den matematiske analyse af modellen i disse kapitler kommer frem allerede på side 34, hvor forf. beviser, at det forventede kan være aftagende, selv om det faktiske salg er voksende. Beviset er — også i bogen — meget simpelt. At det forventede salg er aftagende, ensbetydende med at A'qt <0, d. v. s. (2) hvoraf
umiddelbart følger betingelsen (3) der er identisk med forfatterens betingelse på side 34. Sætningen kan altså formuleres således: Det forventede salg er aftagende, selv om det faktiske salg er voksende, såfremt accelerationen af det faktiske salg er tilstrækkelig lille sammenlignet med stigningen i salget. Det virker
overraskende, at forf. ikke direkte har indført det
matematiske 1. Forf. definerer dqt som qt —g i modsætning til sædvanlig dansk praksis. Her følges forfatterens Side 202
om aecelerationsprincippct. Bortset fra et enkelt sted i afhandlingen benyttes begrebet acceleration ikke direkte, men fort", indskrænker sig til at operere med differenser af første orden, hvilket gor fremstillingen unødig tung og saftningerne vanskeligere at gennemskue. h. Den
grundlæggende model, der udtrykker forbindelsen mellem
ordreafgivelse (4) Det ses
umiddelbart heraf, at sammenhængen mellem ordreafgivelse
og Indføres to
parametre (5) og (6) fås (7) Det bemærkes, at
den tredie parameter indgår i bestemmelsen af [is
definitionsområde. På de følgende sider diskuterer forf. betingelsen for, at den normale accelerationseffekt udebliver. Udtrykt med ovenstående symboler er ræsonnementet Betingelsen for, at omax < <7max> er, at o«+1 qm&x for alle /, d. v. s. (8) eller (9) hvilket også kan
skrives på formen (10) Resultatet kan
altså udtrykkes således: Den normale accelerationseffekt
udebliver, Side 203
De tre
størrelser, der indgår i denne formel, kan let udtrykkes
geometrisk, Lad os antage, at
den normale accelerationseffekt udebliver for
parameterværdierne ved variation
af yi talsættet I—, I——, y , hvor y,> /u.o.
Efter en almindelig diskussion af betingelsen (10) går forf. over til at belyse spørgsmålet yderligere ved konstruktion af 15 taleksempler svarende til forskellige kombinationer af de tre parametre, jvf. tabel 5, pp. 48—49. Accelerationseffekten vurderes her på den ejendommelige måde, at omax udtrykkes i procent af qqm &x ¦ Forfatteren har åbenbart et kort øjeblik glemt sin egen definition af accelerationseffekt på side 39. Han burde allerede her have indført den på side 121 definerede accelerationskoefficient, der i denne forbindelse antager formen (11) Side 204
Medens accelerationskoefficienten for disse taleksempler varier fra 0.67 til 1.44, varierer forfatterens indeks fra 0.97 til 1.03. Fejlen er naturligvis, at det benyttede indekstal afhænger af det vilkårligt valgte gennemsnitlige salg. 5. Forfatterens analysemetode bygger på to fremstillingsformer, der benyttes sideløbende gennem hele afhandlingen. For det første udledes ad matematisk vej visse generelle sætninger og betingelser, som de indførte (uspecificerede) funktioner må opfylde. Dernæst belyses meningen hermed ved gennemregning af simple konstruerede taleksempler, idet forf. vælger simple tal som funktionsværdier, uden iøvrigt at specificere funktionerne matematisk, jvf. f. eks. tabel 5, p. 48. Man kunne have ønsket, at forf. yderligere havde benyttet sig af grafiske fremstillinger samt analyseret sine modeller med forskellige funktionstyper som udgangspunkt. En sådan analyse ville i adskillige henseender være mere værdifuld end taleksemplerne, idet man ved variation af parametrene i de valgte funktionstyper kan frembringe resultater svarende til uendelig mange taleksempler. I adskillige tilfælde forekommer forfatterens taleksempler valgt, og det er vanskeligt at uddrage konklusionerne af disse eksempler. For at belyse
hvilke resultater forf. kunne have opnået ved at benytte
(12) med (13) d.v.s. qt er en
periodisk funktion af t med periødelængde T,
gennemsnitsværdi Ved anvendelse af
simple trigonometriske formler1 fås (14) og (15) 1. Beviser findes samlet i appendiks til artiklen. Side 205
hvor (16) jvf. fig. 2, der
viser et eksempel på forløbet af disse funktioner.
(17) fås (18) der kan
sammentrækkes til (19) hvor B og C
repræsenterer koefficienterne til henh. sin <p og cos
rp i (18) og Forf. model
bevirker altså, at sinus-svingninger af salget medfører
sinussvingninger Man får
umiddelbart accelerationskoefficienten1 (20) hvor (21) og (22) Betingelsen for,
at den normale accelerationseffekt udebliver, er f< 1
(23) Geometrisk
fremstillet svarer denne betingelse til, at parametrene
(A, /j) 1. Dette forudsæiler, at ekstrernumsværdierne af o og q er henholdsvis Ao ± '/ B2B2 -\- G2G2 og A, iA, d.v.s. at sin (95 + rf) og sin99 antager værdierne il. Denne betingelse vil kun med tilnærmelse være opfyldt for heltallige værdier af t. Afvigelserne fra i 1 kan blive særlig store for små værdier af T. Side 206
Ellipsen går
gennem følgende 8 punkter: (Til hver værdi af X er anført de to tilsvarende værdier af [x). Ved bestemmelse ellipsens vandrette og lodrette tangenter fås de mindste og største værdier af parametrene, for hvilke den normale accelerationseffekt udebliver. hensyn til parametrenes definitionsområder fås (24) Og (25) For (26) bliver f = 0,
d.v.s. der forekommer ingen svingninger i
ordreafgivelsen. (27) På grundlag af
disse resultater er det simpelt at konstruere eksempler
En approksimation
til det i tabel 5 vilkårligt opstillede salgsforløb kan
(28) Værdierne af q,
Aqog A2q er anført i nedenstående tabel 1, og de tre
funktioner Den ovenfor
omtalte ellipses ligning bliver da (29) Side 207
Ellipsens centrum
er (2.62,— 1.00), og hovedaksens hældning er —0-285,
Side 208
Værdier af (A,
ju) på ellipsens periferi giver
accelerationskoefficienten 1, Til illustration heraf er i tabel 2 og figur 4 vist værdierne af ot svarende til fire værdipar af (A, /.i), nemlig (2,62, —1), der som tidligere anført angiver koordinaterne til ellipsens centrum og derfor giver accelerationskoefficienten 0, (1.125, —1), der ligger indenfor periferien og giver accelerationskoefficienten (1.125, —2.08), der ligger på ellipsens periferi og giver accelerationskoefficienten samt (1.125, —3), der ligger udenfor ellipsen og giver accelerationskoefficienten 1.46. Til ethvert
værdipar af (A, /i) svarer uendelig mange værdisæt af de
Side 209
I nedenstående
skema er eksempelvis anført nogle af disse værdisæt
svarende De til tallene i
forfatterens tabel 5 svarende accelerationskoefficienter
er Værdierne af (Å, /u) er afsat i fig. 3 og de tilsvarende accelerationskoefficienter noteret. Hvis forfatterens qt i tabel 5 havde været en sinusfunktion, alle /-værdier indenfor ellipsen have været mindre end 1 og alle udenfor større end 1. Da qt afviger noget fra en sinusfunktion, gælder ovennævnte kun i store træk. Fortolkningen af resultaterne i tabel 5 lettes dog betydeligt ved sammenligning med ellipsen. Side 210
6. De ovenstående betragtninger kan generaliseres på forskellige måder ved at betragte andre funktioner end sinusfunktioner, hvorved man vil kunne få et værdifuldt indblik i modellens virkemåde og parametrenes betydning. Det ville f. eks.
være nærliggende at fremstille qt ved en autoregressiv
(30) hvor Et er en
stokastisk variabel med middelværdi lig med nul.
Forf. forudsætter
næsten overalt, at qt er en periodisk funktion. Tænker
fås ved
indsættelse i (7) (31) d.v. s. svingningerne i ordreafgivelsen vil fremkomme som svingninger af samme art som tidligere diskuteret blot lejret ovenpå en lineær trend. Denne relation er nyttig ved diskussion af trendens betydning for accelerationseffekten. 7.
Hovedproblemerne i kap. 3 er knyttet til undersøgelsen
af modellen (32) Side 211
og en
sammenligning af denne med (33) Formel (32)
omskrives let til (34) hvor (35) d.v.s. qqt_2 er
et vejet gennemsnit af alle der ligger forud for
diskuteret disse
betingelser og belyst dem ved taleksempler. afsnit 5. Sættes
(36) hvor ep = — v,
fas <37>
indsætning i (32)
fås efter nogen reduktion (38) hvor (39) På analog måde
fås (40) hvor (41) Indføres også her
et indeks for de relative udsving defineret som /J.O\ fås (43) Side 212
Hvis de relative
udsving i ordreafgivelsen under varierende priser skal
(44) Såfremt b< 3/4, d.v. s. periodelængden T<B, findes der ikke nogen værdi af y, som opfylder betingelsen. Med forholdsvis kortvarige periodiske svingninger i salget, vil udsvingene i ordreafgivelsen under varierende priser således ikke kunne overstige udsvingene under faste priser. Dersom pcriodelængden T> 9, kan betingelsen opfyldes for tilstrækkelig små værdier y. Dette belyses yderligere af /"-værdierne i nedenstående tabel 4, der er beregnet efter formel (43). Resultaterne af
nogle mere detailleredc beregninger over forløbet af
funktionerne Side 213
Det ses også af
disse eksempler, at f er større end 1 for T = 4 og T =
8, Funktionen qt i
tabel 5 for T= 8 svarer nogenlunde til forfatterens
Den ovenfor gennemførte analyse er knyttet til en sinusfunktion, men resultaterne kan antagelig i nogen grad generaliseres. En nærliggende generalisation kan fås ved at indføre 4 (vilkårlige, positive) parametre i stedet for de 4 differenser (4, 8, 60g3 erstattes af ax, a2, az og a4) i forfatterens 7, p. 70, hvorved qt, of og Ot kan udtrykkes som lineære funktioner disse parametre. På tilsvarende måde kan cykliske svingninger af andre længder beskrives. Herved frigør man sig for forudsætninger om funktionstypen, og accelerationseffekten udtrykkes lineært ved disse parametre. består simpelthen i at udnytte periodiciteten af qt i forbindelse ligning (3.15), hvorved den uendelige række kan summeres, således som forfatteren selv har vist det i taleksemplet. Side 214
8. I kap. 7 behandles problemerne om variationer i maskinanskaffelser som funktion af variationer i produktionen under forudsætning af, at alle maskiner af den pågældende type har samme levetid /, og at produktionen udviser periodiske svingninger af længden n tidsenheder. Forf. udleder og diskuterer med stor omhu de grundlæggende relationer og gennemgår en række specialtilfælde og modifikationer, til dels ved hjælp af taleksempler. Også her kan den i det foregående skitserede teknik anvendes belysning af forfatterens resultater. Da tiden inddeles
i perioder af længden / tidsenheder, svarende til den
(45) hvor og Tidspunkterne
svarende til v=O, d.v.s. t=— (7— 1), —(/ — 2), ...,
Den grundlæggende
relation (46) jvf.
afhandlingens formel (7.6 a), p. 99, kan skrives på
formen (47) (I det følgende
skrives for nemheds skyld B i stedet for *B, idet vi kun
(47) fås
umiddelbart (48) svarende til
forf. formel (7.8), hvoraf maskinanskaffelserne kan
beregnes, Lad produktionen
variere efter en sinusfunktion med periodelængde n
(49) hvor (50) Heraf følger, at
(51) Side 215
der ved
indsættelse i (48) giver (o2) hvor (o3) Formel (52)
forudsætter, at / ikke er et multiplum af n. Indføres
igen (54) hvor (55) og (56) Forfatteren har
på p. 104 bevist, at Bav8av =I Nav. Indsættes Bav og Nav
(57) eller (58) Forf. benytter
som regel i sine taleksempler en »jævn« fordeling af
maskinanskaffelserne (59) Sammenholdes
denne betingelse med (58) fås følgende ligning til
bestemmelse (6°) Dersom man
sammenfatter de to led på højre side af (54), der kun
afhænger (61) Side 216
hvor (62) Denne formel viser — i overensstemmelse med forfatterens generelle resultat — at maskinanskaffelserne udviser periodiske svingninger med periodelængden In tidsenheder, idet første led af (61) er periodisk med periodelængde /, og andet led er periodisk med periodelængde n. Det ses
umiddelbart af (54), at (63) en tilsvarende
vurdering af Nmin fås hvoraf følger, at
(64) såfremt Bt
antager værdierne Ao i A . Et særlig simpelt
tilfælde fremkommer, dersom maskinanskaffelserne i
(65) og (66) d. v. s. Nt
bliver periodisk med en periodelængde på n tidsenheder.
I dette (67) Side 217
Heraf følger, at
f> 1, og at /"vil ligge desto nærmere ved 1 jo større
n er Anvendelsen af
disse formler er illustreret i tabellerne 6 og 7 for n =
10 (68) samt de
tilsvarende maskinanskaffelser beregnet efter formlen
(69) Side 218
hvor Ar! =No =
ALi = BJ3 = 20.0 og iV_2 = 19.9. Fig. 5 viser forløbet
Accelerationskoefficienten
bliver lig med Tabel 7 illustrerer
anvendelsen af formel (66), der her antager formen
(70) svarende til
værdierne No = 18.2, N_x = 18.2 og JV_2 = 23.5. Accelerationskoefficienten
bliver lig med 9. Den i kap. 7 fastholdte forudsætning om samme levetid for alle maskiner i kap. 8, hvor der indføres en overlevelsestavle for maskinerne en dertil svarende middellevetid. Forf. giver ved elementære matematiske metoder en beundringsværdig klar analyse af disse vanskelige problemer. Side 219
Det er måske kun godt — i hvert fald for fuldendelsen af denne afhandling at forf. ikke har bekymret sig om de mange afhandlinger om beslægtede der er publiceret af matematikere og statistikere, idet han utvivlsomt ville være blevet overvældet af den matematiske teknik, der er bragt i anvendelse. Jeg tænker her på visse dele af befolkningsstatistikken og de stokastiske processers teori, specielt fødsels- og dødsprocesser. Det ligger jo lige for at sammenligne den totale beholdning af maskiner med folketallet og antallet af nyanskaffede maskiner med fødselstallet. Der findes endvidere en righoldig matematisk litteratur specielt om »replacement«problemer. Forf. løser det
generelle problem om bestemmelse af N som funktion af
Forf. har
imidlertid undervejs selv udledt en formel, der
eksplicit giver (71) idet
Axo=logAlv=Xv~ Xv-i • Denne
fremstilling er antagelig i adskillige tilfælde velegnet
til direkte heden og
produktionen. Man kunne f. eks. forsøge at kombinere di
= — , d.v.s. samme
dødelighed (afskrivning) i alle h tidsenheder, hvorved
Xy 10. Resten af afhandlingen rejser ingen matematiske problemer, som ikke allerede er berørt. Sammenfattende kan jeg sige, at afhandlingen er særdeles klart skrevet, og at de matematiske udredninger er rigtigt og dygtigt om end med elementære midler. Dette har bevirket, at afhandlingen blevet noget lang og tung, hvilket vel kan beklages ud fra et matematisk synspunkt, men i hvert fald ikke fra et pædagogisk, når man tager læserkredsens matematiske baggrund i betragtning. Jeg vil ønske, at forf. må få tid og lejlighed til at fortsætte dette arbejde i to retninger. For det første i empirisk retning med henblik på verifikation og modifikation af modellen, således at parametrene kan estimeres og resultaternefrugtbargøres praksis. For det andet i statistisk-teoretisk retning, Side 220
idet mange af
de rejste problemer bedst løses indenfor rammen af de
stokastiskeprocessers Hvis ikke forf. selv får tid, hvilket man måske kan befrygte, må man håbe, at en af hans elever vil tage opgaven op. Forf. har haft den lykke at være med til at skabe et miljø for arbejdet med økonomisk teori på Handelshøjskolen. har også haft stor betydning for Universitetet, hvor fakultetets hidtil har været således, at heldagsbeskæftigelse ved videnskabeligt arbejde er forbeholdt professorer, medens yngre videnskabsmænd tjene til livets ophold ved andet arbejde, hvilket har medvirket til den underproduktion af videnskabeligt arbejdende økonomer, som vi lider under i dag, ikke alene på Universitetet, men også i erhvervslivet og centraladministrationen. Nu bliver forf. selv ansvarlig for den videre udvikling af miljøet på Handelshøjskolen, og jeg vil håbe, at han derigennem kan medvirke til at frembringe en overproduktion af videnskabeligt arbejdende økonomer i forhold til antallet af lærerstillinger ved de højere læreanstalter, således at vi altid har rigeligt med velkvalificerede ansøgere til ledige stillinger, og således at overskudet må søge stillinger i erhvervslivet og centraladministrationen. Også i en anden henseende vil forf. komme til at indtage en nøglestilling, nemlig med hensyn til muligheden for som Handelshøjskolens direktør at påvirke erhvervslivets ledere og overbevise dem om, at det betaler sig at ansætte videnskabeligt uddannede økonomer i erhvervslivet og lade dem få forholdsvis frie hænder til at anvende deres viden og fortsat dygtiggøre sig. Der er god grund til at ønske forf. til lykke med de videnskabelige resultater, allerede har opnået, og held og lykke med løsningen af de administrative som han nu skal i gang med og af hvis løsning arbejdsvilkårerne mange andre videnskabsmænd afhænger. Appendiks1. Bevis for
formel (14), (15) og (19). Af fås (14) hvor På analog måde
fås (15) idet relationen
a2a2 -{- b2b2 = 1 udnyttes ved reduktionen. (72) hvor 2. Bevis for
formel (37) og (38). (73) hjælp af
omskrivningen (74) der let reduceres
til ovenstående resultat. Af (35) og (36)
fås ved anvendelse af denne hjælpeformel Indsættes
hvor fås samt indsætning i (34)
fås der ved
anvendelse af (72) fører til (38) 3. Bevis for
formel (51) og (52). der kan omskrives
til hvilket
umiddelbart fører til formel (51). Formel (52) udledes
af (48) og (51) ved anvendelse af hjælpeformlen idet og Omskrivningen af
produktet af de to sinusfunktioner til en differens
|