Nationaløkonomisk Tidsskrift, Bind 95 (1957)

II.

A. HALD 1

Side 199

1. Det er med stor betænkelighed, at jeg har indvilliget iat indtræde i udvalget til bedømmelse af denne afhandling, hvis emne falder udenfor mit normale arbejdsområde. Min andel af bedømmelsen har derfor efter sagens natur været rent formel, idet jeg har måttet indskrænke mig til at kontrollere rigtigheden af de udledte formler og overlade realitetsbedømmelsen de økonomisk sagkyndige. Den første officielle opponent, professor, polit. Carl Iversen, og de to opponenter ex auditorio har da også underkastet både afhandlingens forudsætninger og konklusioner en kritisk vurdering ud fra driftsøkonomiske synspunkter, således at jeg på denne baggrund med sindsro kan nøjes med at behandle den anvendte matematiske



1. Dr. phii., professor ved Københavns Universitet.

Side 200

2. Matematisk behandling af økonomiske problemer har hidtil været en sjældenhed i disputatser ved Københavns universitet. Det er glædeligt, at vi med ca. et års mellemrum nu har haft to disputatser af denne type, og at begge forfattere er blevet professorer, således at man med større fortrøstning hidtil kan imødese den videre udvikling på dette område. Anvendelse af matematik indenfor økonomien giver stadig anledning til diskussion, og kløften mellem verbaløkonomerne og de matematiske økonomer stadig urimelig stor. Af de mange årsager hertil skal jeg kun nævne to.

Man er tilbøjelig til at glemme, at ord — ligesom matematiske udtryk — kun er symboler, der i videnskabelige afhandlinger kun må anvendes i veldefinerede betydninger og efter bestemte »regneregler«. Når man har formuleret en model i ord og ræsonnerer videre i ord, er der altid en stor risiko for, at ordenes mangetydighed giver anledning til fejl i ræsonnementet, eller at ræsonnementet bliver så kompliceret, at der begås logiske fejl. Hvis en model derimod er formuleret matematisk, kan man i den følgende deduktive proces gøre brug af hele det forråd af metoder og resultater, som matematikerne har opsamlet gennem de sidste totre tusind år, hvilket giver større sikkerhed og hurtighed i ræsonnementet. Man skulle tro, at denne form for arbejdsøkonomi på det åndelige område var særlig tiltalende netop for økonomer.

Der er naturligvis stor forskel på økonomernes og matematikernes verden. må vel bl. a. være en ufuldkommen undervisningsteknik i matematik, har medvirket til at frembringe det matematiske skrækkompleks, der er så udbredt og samtidig så uforståeligt, idet matematikernes verden jo er den simpleste og mest krystalklare af alle verdener, opbygget som den er ved ren deduktion ud fra passende valgte aksiomer. (For matematikeren ligger en af de største vanskeligheder naturligvis netop i valget af aksiomer). Jo mere man fjerner sig fra matematikernes fantasiverden, og i særdeleshed jo større rolle den menneskelige adfærd spiller for det pågældende område, desto vanskeligere bliver beskrivelsen og analysen af det. Juraen, der i sin deduktive metode i høj grad er beslægtet med matematikken, forsøger at klare nogle af sine vanskeligheder ved at indføre et matematisk gespenst, der lyder navnet bonus pater familias. For den, der har læst både Bohr og Mollerup: Matematisk Analyse og H. Ussing: Obligationsretten, er slægtskabet tankegangen påfaldende. Økonomerne har også undertiden benyttet af en »economic man«, men det er mit indtryk, at han aldrig har opnået samme popularitet som bonus pater. Det er mit håb, at den matematikundervisning, for nylig er etableret ved fakultetet, vil medvirke til at nærme de to parter til hinanden, ligesom man også kan håbe på, at mellemskole- og gymnasieundervisningen i matematik engang vil blive taget op til grundig revision.

Side 201

En anden vej til nærmere forbindelse mellem de to parter går over den empiriske verifikation af teorierne, hvad enten disse er formuleret på den ene eller den anden måde. Hvis begge parter i højere grad forsøgte på at underbygge teorierne med data (der ofte er vanskelige at fremskaffe) og anvendte flere kræfter på at diskutere overensstemmelsen mellem teori og data, ville meget være vundet. Den foreliggende afhandling er et typisk eksempel på en teori, der fortjener en sådan nærmere empirisk underbygning.

Disse betragtninger fører naturligt over i statistikken, således at resten af min opposition kunne forløbe efter det velkendte skema for anmeldelser, som i outreret form er formuleret i tidsskriftet Books of the Months formarts »A few weeks ago a critic reviewed a book on dogs. His review consisted (with some addition) of the statements, in series, that he did not like dogs, had never liked them and never would, but he was fond af cats.«

Jeg har imidlertid modstået denne fristelse og skal i det følgende nøjes
med at tage nogle af afhandlingens problemer op til rent matematisk behandling.

3. En af de grundlæggende forudsætninger for udviklingerne i kap. 2—52—5
er udtrykt ved ligning (2.1), p. 30


DIVL2786

(1)

hvor a > 0 og 0 > 0.1

En af svaghederne ved den matematiske analyse af modellen i disse kapitler kommer frem allerede på side 34, hvor forf. beviser, at det forventede kan være aftagende, selv om det faktiske salg er voksende. Beviset er — også i bogen — meget simpelt. At det forventede salg er aftagende, ensbetydende med at A'qt <0, d. v. s.


DIVL2794

(2)

hvoraf umiddelbart følger betingelsen


DIVL2800

(3)

der er identisk med forfatterens betingelse på side 34. Sætningen kan altså formuleres således: Det forventede salg er aftagende, selv om det faktiske salg er voksende, såfremt accelerationen af det faktiske salg er tilstrækkelig lille sammenlignet med stigningen i salget.

Det virker overraskende, at forf. ikke direkte har indført det matematiske
acceierationsbegreb, d. v. s. differensen af anden orden, i en afhandling



1. Forf. definerer dqt som qt —g i modsætning til sædvanlig dansk praksis. Her følges forfatterens

Side 202

om aecelerationsprincippct. Bortset fra et enkelt sted i afhandlingen benyttes begrebet acceleration ikke direkte, men fort", indskrænker sig til at operere med differenser af første orden, hvilket gor fremstillingen unødig tung og saftningerne vanskeligere at gennemskue.

h. Den grundlæggende model, der udtrykker forbindelsen mellem ordreafgivelse
afsætning, formel (2.9), p.38, kan i overensstemmelse med det
ovenstående bedst skrives på formen


DIVL2810

(4)

Det ses umiddelbart heraf, at sammenhængen mellem ordreafgivelse og
afsætning kun afhænger af to parametre til trods for, at der ved modellens
opbygning er anvendt tre parametre. Dette fremgår også af formel (2.9).

Indføres to parametre


DIVL2818

(5)

og


DIVL2824

(6)

fås


DIVL2830

(7)

Det bemærkes, at den tredie parameter indgår i bestemmelsen af [is definitionsområde.

På de følgende sider diskuterer forf. betingelsen for, at den normale accelerationseffekt udebliver. Udtrykt med ovenstående symboler er ræsonnementet Betingelsen for, at omax < <7max> er, at o«+1 qm&x for alle /, d. v. s.


DIVL2838

(8)

eller


DIVL2844

(9)

hvilket også kan skrives på formen


DIVL2850

(10)

Resultatet kan altså udtrykkes således: Den normale accelerationseffekt udebliver,
accelerationen af det faktiske salg er tilstrækkelig lille.

Side 203

DIVL3362

Fig. 1. Geometrisk fremstilling af de tre størrelser, AA2 qt , Aqt og ggm ax —Qt,i formel (10).

De tre størrelser, der indgår i denne formel, kan let udtrykkes geometrisk,
jvf. fig. 1.

Lad os antage, at den normale accelerationseffekt udebliver for parameterværdierne
o, ju0). Det følger da af (5) og (6), at accelerationseffekten
udebliver for de uendelig mange parameterværdier (a, (3, y), der fremkommer

ved variation af yi talsættet I—, I——, y , hvor y,> /u.o.

Efter en almindelig diskussion af betingelsen (10) går forf. over til at belyse spørgsmålet yderligere ved konstruktion af 15 taleksempler svarende til forskellige kombinationer af de tre parametre, jvf. tabel 5, pp. 4849. Accelerationseffekten vurderes her på den ejendommelige måde, at omax udtrykkes i procent af qqm &x ¦ Forfatteren har åbenbart et kort øjeblik glemt sin egen definition af accelerationseffekt på side 39. Han burde allerede her have indført den på side 121 definerede accelerationskoefficient, der i denne forbindelse antager formen


DIVL2864

(11)

Side 204

Medens accelerationskoefficienten for disse taleksempler varier fra 0.67 til 1.44, varierer forfatterens indeks fra 0.97 til 1.03. Fejlen er naturligvis, at det benyttede indekstal afhænger af det vilkårligt valgte gennemsnitlige salg.

5. Forfatterens analysemetode bygger på to fremstillingsformer, der benyttes sideløbende gennem hele afhandlingen. For det første udledes ad matematisk vej visse generelle sætninger og betingelser, som de indførte (uspecificerede) funktioner må opfylde. Dernæst belyses meningen hermed ved gennemregning af simple konstruerede taleksempler, idet forf. vælger simple tal som funktionsværdier, uden iøvrigt at specificere funktionerne matematisk, jvf. f. eks. tabel 5, p. 48.

Man kunne have ønsket, at forf. yderligere havde benyttet sig af grafiske fremstillinger samt analyseret sine modeller med forskellige funktionstyper som udgangspunkt. En sådan analyse ville i adskillige henseender være mere værdifuld end taleksemplerne, idet man ved variation af parametrene i de valgte funktionstyper kan frembringe resultater svarende til uendelig mange taleksempler. I adskillige tilfælde forekommer forfatterens taleksempler valgt, og det er vanskeligt at uddrage konklusionerne af disse eksempler.

For at belyse hvilke resultater forf. kunne have opnået ved at benytte
passende valgte funktioner som udgangspunkt for variationerne i salget,
skal jeg kort gøre rede for en sådan analyse, hvor


DIVL2876

(12)

med


DIVL2882

(13)

d.v.s. qt er en periodisk funktion af t med periødelængde T, gennemsnitsværdi
o, maksimumværdi Ao +Aog minimumsværdi Ao —A, jvf. fig. 2,
der viser et eksempel på en sådan funktion.

Ved anvendelse af simple trigonometriske formler1 fås


DIVL2890

(14)

og


DIVL2896

(15)



1. Beviser findes samlet i appendiks til artiklen.

Side 205

hvor


DIVL2902

(16)

jvf. fig. 2, der viser et eksempel på forløbet af disse funktioner.
Indsættes disse resultater i


DIVL2908

(17)

fås


DIVL2914

(18)

der kan sammentrækkes til


DIVL2920

(19)

hvor B og C repræsenterer koefficienterne til henh. sin <p og cos rp i (18) og
tg V = Cjß.

Forf. model bevirker altså, at sinus-svingninger af salget medfører sinussvingninger
ordreafgivelsen, og at de to sinus-funktioners amplituder
og faser står i en simpel relation til hinanden.

Man får umiddelbart accelerationskoefficienten1


DIVL2930

(20)

hvor


DIVL2936

(21)

og


DIVL2942

(22)

Betingelsen for, at den normale accelerationseffekt udebliver, er f< 1
eller f2f2 < 1, hvor


DIVL2948

(23)

Geometrisk fremstillet svarer denne betingelse til, at parametrene (A, /j)
ligger indenfor en ellipse i (A, /«)-planen med centrum i ,—1 og med
\2(l"o) /
en hovedakse, der danner vinklen u med A-aksen, hvor tg2u = 2(1 — b)/
[2(1—&) — !].



1. Dette forudsæiler, at ekstrernumsværdierne af o og q er henholdsvis Ao ± '/ B2B2 -\- G2G2 og A, iA, d.v.s. at sin (95 + rf) og sin99 antager værdierne il. Denne betingelse vil kun med tilnærmelse være opfyldt for heltallige værdier af t. Afvigelserne fra i 1 kan blive særlig store for små værdier af T.

Side 206

Ellipsen går gennem følgende 8 punkter:


DIVL3377

(Til hver værdi af X er anført de to tilsvarende værdier af [x). Ved bestemmelse ellipsens vandrette og lodrette tangenter fås de mindste og største værdier af parametrene, for hvilke den normale accelerationseffekt udebliver. hensyn til parametrenes definitionsområder fås


DIVL2958

(24)

Og


DIVL2964

(25)

For


DIVL2970

(26)

bliver f = 0, d.v.s. der forekommer ingen svingninger i ordreafgivelsen.
Dette svarer til, at de oprindelige parametre antager værdierne


DIVL2976

(27)

På grundlag af disse resultater er det simpelt at konstruere eksempler
med en vilkårlig accelerationskoefficient ligesom forståelsen af resultaterne
i forfatterens tabel 5, p. 48, lettes.

En approksimation til det i tabel 5 vilkårligt opstillede salgsforløb kan
fås ved hjælp af sinusfunktionen.


DIVL2984

(28)

Værdierne af q, Aqog A2q er anført i nedenstående tabel 1, og de tre funktioner
afbildet i fig. 2.

Den ovenfor omtalte ellipses ligning bliver da


DIVL2992

(29)

Side 207

Ellipsens centrum er (2.62,— 1.00), og hovedaksens hældning er —0-285,
jvf. fig. 3, hvor ellipsen er afbildet.


DIVL3365

Fig. 2. Afsætningen, ændringen i afsætningen (første differens) samt accelerationen af afsætningen (anden differens) som funktioner af tiden ifl. nedenstående formler. qt = 218 + 18 sin f~ — 0.7 n\ Aqt = 18 [0.588 cos?) + 0.191 sin<p] A2A2qt = 6.88 [0.588 cos ep — 0.809 sin?;]


DIVL3368

Fig. 3. Ellipse svarende til ligning (29). Krydsene angiver forfatterens valg af parameterværdier, og de tilsvarende tal angiver forfatterens accelerationskoefficienter, jvf. tabel 3.

Side 208

DIVL3379

Tabel 1.

Værdier af (A, ju) på ellipsens periferi giver accelerationskoefficienten 1,
indenfor periferien fås 0 < f < 1 og udenfor f > 1.

Til illustration heraf er i tabel 2 og figur 4 vist værdierne af ot svarende til fire værdipar af (A, /.i), nemlig (2,62, —1), der som tidligere anført angiver koordinaterne til ellipsens centrum og derfor giver accelerationskoefficienten 0, (1.125, —1), der ligger indenfor periferien og giver accelerationskoefficienten (1.125, —2.08), der ligger på ellipsens periferi og giver accelerationskoefficienten samt (1.125, —3), der ligger udenfor ellipsen og giver accelerationskoefficienten 1.46.


DIVL3382

Tabel 2. Beregning af ot+lot+1 =qt+ /udqt + XA2qt svarende til fire værdipar af (A, /u).

Til ethvert værdipar af (A, /i) svarer uendelig mange værdisæt af de
oprindelige parametre, bestemt ved ligningen


DIVL3004
Side 209

I nedenstående skema er eksempelvis anført nogle af disse værdisæt svarende
til de ovenfor anførte værdier af (X, [i).


DIVL3385

De til tallene i forfatterens tabel 5 svarende accelerationskoefficienter er
anført i omstående tabel 3.

Værdierne af (Å, /u) er afsat i fig. 3 og de tilsvarende accelerationskoefficienter noteret. Hvis forfatterens qt i tabel 5 havde været en sinusfunktion, alle /-værdier indenfor ellipsen have været mindre end 1 og alle udenfor større end 1. Da qt afviger noget fra en sinusfunktion, gælder ovennævnte kun i store træk. Fortolkningen af resultaterne i tabel 5 lettes dog betydeligt ved sammenligning med ellipsen.

Side 210

DIVL3387

Tabel 3.

6. De ovenstående betragtninger kan generaliseres på forskellige måder ved at betragte andre funktioner end sinusfunktioner, hvorved man vil kunne få et værdifuldt indblik i modellens virkemåde og parametrenes betydning.

Det ville f. eks. være nærliggende at fremstille qt ved en autoregressiv
stokastisk proces, f. eks. ved ligningen


DIVL3016

(30)

hvor Et er en stokastisk variabel med middelværdi lig med nul.

Forf. forudsætter næsten overalt, at qt er en periodisk funktion. Tænker
man sig, at der føjes f. eks. en lineær trend til den periodiske funktion,
således at salgsforløbet udtrykkes ved


DIVL3024

fås ved indsættelse i (7)


DIVL3028

(31)

d.v. s. svingningerne i ordreafgivelsen vil fremkomme som svingninger af samme art som tidligere diskuteret blot lejret ovenpå en lineær trend. Denne relation er nyttig ved diskussion af trendens betydning for accelerationseffekten.

7. Hovedproblemerne i kap. 3 er knyttet til undersøgelsen af modellen
på side 68, der kan skrives som


DIVL3036

(32)

Side 211

og en sammenligning af denne med


DIVL3042

(33)

Formel (32) omskrives let til


DIVL3048

(34)

hvor


DIVL3054

(35)

d.v.s. qqt_2 er et vejet gennemsnit af alle der ligger forud for
Forf. har på side 68—69 udledt betingelserne for, at omax > o*max, samt

diskuteret disse betingelser og belyst dem ved taleksempler.
Modellen kan belyses yderligere ved en lignende fremgangsmåde som i

afsnit 5. Sættes


DIVL3064

(36)

hvor ep = — v, fas


DIVL3070

<37>

indsætning i (32) fås efter nogen reduktion


DIVL3076

(38)

hvor


DIVL3082

(39)

På analog måde fås


DIVL3088

(40)

hvor


DIVL3094

(41)

Indføres også her et indeks for de relative udsving defineret som


DIVL3100

/J.O\

fås


DIVL3106

(43)

Side 212

Hvis de relative udsving i ordreafgivelsen under varierende priser skal
være større end under faste priser, må /være mindre end 1, hvilket kræver


DIVL3112

(44)

Såfremt b< 3/4, d.v. s. periodelængden T<B, findes der ikke nogen værdi af y, som opfylder betingelsen. Med forholdsvis kortvarige periodiske svingninger i salget, vil udsvingene i ordreafgivelsen under varierende priser således ikke kunne overstige udsvingene under faste priser. Dersom pcriodelængden T> 9, kan betingelsen opfyldes for tilstrækkelig små værdier y. Dette belyses yderligere af /"-værdierne i nedenstående tabel 4, der er beregnet efter formel (43).


DIVL3390

Tabel 4.

Resultaterne af nogle mere detailleredc beregninger over forløbet af funktionerne
og ot* for y = 1 fremgår af tabel 5.


DIVL3393

Tabel 5.

Side 213

DIVL3393

Tabel 5.

Det ses også af disse eksempler, at f er større end 1 for T = 4 og T = 8,
medens /"er mindre end 1 for T = 12.

Funktionen qt i tabel 5 for T= 8 svarer nogenlunde til forfatterens
taleksempel i tabel 7, p. 70, hvor det lykkes at få betingelsen f < 1 opfyldt
for y = 1, men ikke for y == 3/2.

Den ovenfor gennemførte analyse er knyttet til en sinusfunktion, men resultaterne kan antagelig i nogen grad generaliseres. En nærliggende generalisation kan fås ved at indføre 4 (vilkårlige, positive) parametre i stedet for de 4 differenser (4, 8, 60g3 erstattes af ax, a2, az og a4) i forfatterens 7, p. 70, hvorved qt, of og Ot kan udtrykkes som lineære funktioner disse parametre. På tilsvarende måde kan cykliske svingninger af andre længder beskrives. Herved frigør man sig for forudsætninger om funktionstypen, og accelerationseffekten udtrykkes lineært ved disse parametre. består simpelthen i at udnytte periodiciteten af qt i forbindelse ligning (3.15), hvorved den uendelige række kan summeres, således som forfatteren selv har vist det i taleksemplet.

Side 214

8. I kap. 7 behandles problemerne om variationer i maskinanskaffelser som funktion af variationer i produktionen under forudsætning af, at alle maskiner af den pågældende type har samme levetid /, og at produktionen udviser periodiske svingninger af længden n tidsenheder.

Forf. udleder og diskuterer med stor omhu de grundlæggende relationer og gennemgår en række specialtilfælde og modifikationer, til dels ved hjælp af taleksempler. Også her kan den i det foregående skitserede teknik anvendes belysning af forfatterens resultater.

Da tiden inddeles i perioder af længden / tidsenheder, svarende til den
konstante levetid af maskinerne, er det praktisk at skrive t som


DIVL3132

(45)

hvor


DIVL3138

og


DIVL3142

Tidspunkterne svarende til v=O, d.v.s. t=— (7— 1), —(/ — 2), ...,
— 1,0, betragtes som udgangstidspunkter, i hvilke maskinanskaffelserne
No» N_lt •••, AL(/_i) er givne.

Den grundlæggende relation


DIVL3148

(46)

jvf. afhandlingens formel (7.6 a), p. 99, kan skrives på formen


DIVL3154

(47)

(I det følgende skrives for nemheds skyld B i stedet for *B, idet vi kun
betragter de situationer i hvilke (7.6a) er opfyldt).

(47) fås umiddelbart


DIVL3162

(48)

svarende til forf. formel (7.8), hvoraf maskinanskaffelserne kan beregnes,
når udgangssituationen N,_j og produktionssvingningerne A B er kendt.

Lad produktionen variere efter en sinusfunktion med periodelængde n
tidsenheder, d.v.s.


DIVL3170

(49)

hvor


DIVL3176

(50)

Heraf følger, at


DIVL3182

(51)

Side 215

der ved indsættelse i (48) giver


DIVL3188

(o2)

hvor


DIVL3194

(o3)

Formel (52) forudsætter, at / ikke er et multiplum af n. Indføres igen
t = i -f- (v—l) I, fås


DIVL3200

(54)

hvor


DIVL3206

(55)

og

(56)


DIVL3214

Forfatteren har på p. 104 bevist, at Bav8av =I Nav. Indsættes Bav og Nav
beregnet af (49) og (54) fås


DIVL3218

(57)

eller

(58)


DIVL3226

Forf. benytter som regel i sine taleksempler en »jævn« fordeling af maskinanskaffelserne
»begyndelsesperioden«, hvorved forstås, at


DIVL3230

(59)

Sammenholdes denne betingelse med (58) fås følgende ligning til bestemmelse
jV_(/_!>:


DIVL3236

(6°)

Dersom man sammenfatter de to led på højre side af (54), der kun afhænger
/ — vi, fås


DIVL3242

(61)

Side 216

hvor


DIVL3248

(62)

Denne formel viser — i overensstemmelse med forfatterens generelle resultat — at maskinanskaffelserne udviser periodiske svingninger med periodelængden In tidsenheder, idet første led af (61) er periodisk med periodelængde /, og andet led er periodisk med periodelængde n.

Det ses umiddelbart af (54), at


DIVL3256

(63)

en tilsvarende vurdering af Nmin fås


DIVL3262

hvoraf følger, at


DIVL3266

(64)

såfremt Bt antager værdierne Ao i A .

Et særlig simpelt tilfælde fremkommer, dersom maskinanskaffelserne i
udgangsperioden (Ntt_VI) varierer i omvendt takt af andet led i (62), således
at NNt*vj bliver konstant. Dette betyder, at


DIVL3274

(65)

og


DIVL3280

(66)

d. v. s. Nt bliver periodisk med en periodelængde på n tidsenheder. I dette
tilfælde bliver I n I


DIVL3286

(67)

Side 217

DIVL3396

Tabel 6. Tabellering af Bt og Nt ifl. (68) og (69).

Heraf følger, at f> 1, og at /"vil ligge desto nærmere ved 1 jo større n er
i forhold til /.

Anvendelsen af disse formler er illustreret i tabellerne 6 og 7 for n = 10
og / = 3. Tabel 6 viser størrelsen af den planlagte produktion beregnet
efter formlen


DIVL3294

(68)

samt de tilsvarende maskinanskaffelser beregnet efter formlen


DIVL3300

(69)

Side 218

hvor Ar! =No = ALi = BJ3 = 20.0 og iV_2 = 19.9. Fig. 5 viser forløbet
af de to sinusfunktioner og deres differens.

Accelerationskoefficienten bliver lig med


DIVL3308

Tabel 7 illustrerer anvendelsen af formel (66), der her antager formen


DIVL3312

(70)

svarende til værdierne No = 18.2, N_x = 18.2 og JV_2 = 23.5.


DIVL3399

Tabel 7.

Accelerationskoefficienten bliver lig med


DIVL3320

9. Den i kap. 7 fastholdte forudsætning om samme levetid for alle maskiner i kap. 8, hvor der indføres en overlevelsestavle for maskinerne en dertil svarende middellevetid. Forf. giver ved elementære matematiske metoder en beundringsværdig klar analyse af disse vanskelige problemer.

Side 219

Det er måske kun godt — i hvert fald for fuldendelsen af denne afhandling at forf. ikke har bekymret sig om de mange afhandlinger om beslægtede der er publiceret af matematikere og statistikere, idet han utvivlsomt ville være blevet overvældet af den matematiske teknik, der er bragt i anvendelse. Jeg tænker her på visse dele af befolkningsstatistikken og de stokastiske processers teori, specielt fødsels- og dødsprocesser. Det ligger jo lige for at sammenligne den totale beholdning af maskiner med folketallet og antallet af nyanskaffede maskiner med fødselstallet. Der findes endvidere en righoldig matematisk litteratur specielt om »replacement«problemer.

Forf. løser det generelle problem om bestemmelse af N som funktion af
B ved opstilling af et lineært ligningssystem med Nt, Nt^i , . . . , Nt-n+i
som übekendte, idet han først har bevist, at N er periodisk med periodelængde
såfremt dette gælder for B.

Forf. har imidlertid undervejs selv udledt en formel, der eksplicit giver
N udtrykt ved B, jvf. (8.9 a), der kan skrives på formen


DIVL3330

(71)

idet Axo=logAlv=Xv~ Xv-i •

Denne fremstilling er antagelig i adskillige tilfælde velegnet til direkte
fremstilling af Nt ud fra simple matematiske forudsætninger om dødelig-

heden og produktionen. Man kunne f. eks. forsøge at kombinere di = — ,

d.v.s. samme dødelighed (afskrivning) i alle h tidsenheder, hvorved Xy
bliver forholdsvis simpel, med Bt fremstillet som en sinusfunktion. En
sådan analyse ville være et værdifuldt supplement til de mange taleksempler.

10. Resten af afhandlingen rejser ingen matematiske problemer, som ikke allerede er berørt. Sammenfattende kan jeg sige, at afhandlingen er særdeles klart skrevet, og at de matematiske udredninger er rigtigt og dygtigt om end med elementære midler. Dette har bevirket, at afhandlingen blevet noget lang og tung, hvilket vel kan beklages ud fra et matematisk synspunkt, men i hvert fald ikke fra et pædagogisk, når man tager læserkredsens matematiske baggrund i betragtning.

Jeg vil ønske, at forf. må få tid og lejlighed til at fortsætte dette arbejde i to retninger. For det første i empirisk retning med henblik på verifikation og modifikation af modellen, således at parametrene kan estimeres og resultaternefrugtbargøres praksis. For det andet i statistisk-teoretisk retning,

Side 220

idet mange af de rejste problemer bedst løses indenfor rammen af de stokastiskeprocessers

Hvis ikke forf. selv får tid, hvilket man måske kan befrygte, må man håbe, at en af hans elever vil tage opgaven op. Forf. har haft den lykke at være med til at skabe et miljø for arbejdet med økonomisk teori på Handelshøjskolen. har også haft stor betydning for Universitetet, hvor fakultetets hidtil har været således, at heldagsbeskæftigelse ved videnskabeligt arbejde er forbeholdt professorer, medens yngre videnskabsmænd tjene til livets ophold ved andet arbejde, hvilket har medvirket til den underproduktion af videnskabeligt arbejdende økonomer, som vi lider under i dag, ikke alene på Universitetet, men også i erhvervslivet og centraladministrationen.

Nu bliver forf. selv ansvarlig for den videre udvikling af miljøet på Handelshøjskolen, og jeg vil håbe, at han derigennem kan medvirke til at frembringe en overproduktion af videnskabeligt arbejdende økonomer i forhold til antallet af lærerstillinger ved de højere læreanstalter, således at vi altid har rigeligt med velkvalificerede ansøgere til ledige stillinger, og således at overskudet må søge stillinger i erhvervslivet og centraladministrationen.

Også i en anden henseende vil forf. komme til at indtage en nøglestilling, nemlig med hensyn til muligheden for som Handelshøjskolens direktør at påvirke erhvervslivets ledere og overbevise dem om, at det betaler sig at ansætte videnskabeligt uddannede økonomer i erhvervslivet og lade dem få forholdsvis frie hænder til at anvende deres viden og fortsat dygtiggøre sig.

Der er god grund til at ønske forf. til lykke med de videnskabelige resultater, allerede har opnået, og held og lykke med løsningen af de administrative som han nu skal i gang med og af hvis løsning arbejdsvilkårerne mange andre videnskabsmænd afhænger.

Appendiks

1. Bevis for formel (14), (15) og (19).

Af


DIVL3411

fås


DIVL3415

(14)

hvor


DIVL3421

På analog måde fås


DIVL3425

(15)

idet relationen a2a2 -{- b2b2 = 1 udnyttes ved reduktionen.
Formel (19) fås af formel (18) ved anvendelse af følgende formel:


DIVL3431

(72)


DIVL3435

hvor

2. Bevis for formel (37) og (38).
Først udledes følgende hjælpeformel:


DIVL3441

(73)

hjælp af omskrivningen


DIVL3447

(74)

der let reduceres til ovenstående resultat.

Af (35) og (36) fås ved anvendelse af denne hjælpeformel


DIVL3455

DIVL3457

Indsættes

hvor


DIVL3463

fås


DIVL3467

samt


DIVL3471

indsætning i (34) fås


DIVL3475

der ved anvendelse af (72) fører til (38)

3. Bevis for formel (51) og (52).
Af afsnit 1 i appendiks følger, at


DIVL3481

der kan omskrives til


DIVL3485

hvilket umiddelbart fører til formel (51).

Formel (52) udledes af (48) og (51) ved anvendelse af hjælpeformlen


DIVL3491

idet


DIVL3495

DIVL3497

og

Omskrivningen af produktet af de to sinusfunktioner til en differens
mellem to sinusfunktioner udføres ved hjælp af formlen


DIVL3503