Robert Dorfman: Application of Linear Programming the Theory of the Firm. Including Analysis of Monopolistic Firms by Non-Linear Programming. Berkeley & Los Angeles: The University of California Press, 1951. Pris $ 3,50.

Linear programming er som bekendt en teknik til løsning av allokeringsproblemer under en lineær produktionsstruktur; begrebet (eller »aktivitet«) spiller en helt central rolle, og det skulle derfor synes nærliggende at anvende linear produktionstilpasning. Dette er hvad professor har sat sig for i sin monografi.

Den traditionelle produktionsteori opererer en kontinuert produktionsfunktion, de forskellige inputs (og outputs, hvis der er flere av dem) er indbyrdes substituerbare indenfor et vist område. Betingelserne for optimal tilpasning —

ved maximal profit som kriterium for optimalitet kan da udtrykkes ved marginale av typen: grænseproduktiviteterne forholde sig som faktorpriserne, = grænseomkostning, etc. Linear programming derimod anlægger en diskontinuert betragtning, idet det antages virksomheden kun har et endeligt antal sæt av tekniske koefficienter at vælge imellem. Dette udelukker infinitesimalregning analyse) som formel analysemetode, man har derfor måttet udvikle særligt matematisk apparat til analytisk og numerisk løsning av denne type allokeringsproblemer.

For denne teknik gøres der rede i bogens
midterste del (kap. II og III). Allokerings-

problemet formuleres for et firma, der er mængdetilpasser og som er begrænset i sin handlefrihed av at nogle av faktorerne er faste; hvis der kun står et endeligt antal processer til virksomhedens rådighed, c£ hvis disse processer er additive og homogene returns to scale), har man et typisk linear-programming-problem. Problemets übekendte er de »intensiteter«, som karakteriserer produktionsskalaen i de enkelte processer, og de restriktioner under hvilke profitten skal maximeres (her kapacitetsgrænserne, der er givne med mængderne av de faste faktorer) udtrykkes ved et antal lineære ligninger eller ulighrder disse variable. Dette system av lineære vil i almindelighed ha uendelig mange løsninger, og problemet går da ud på at søge en løsning, der samtidig profitten (som er et lineart i de samme variable). Den optimale vil i almindelighed være eD kombination av flere processer, men man kan altid finde en optimal løsning som ikke tar flere processer i brug end der er restriktioner på problemet (de øvrige drives da med intensiteterne Hvis antallet av disponible processer lille, gir dette en simpel og hurtig metode til at finde en optimal løsning; er der maHgc processer og mange rcalriKtioner, det nødvendigt at ta mere komplicerede metoder i brug. Dorfman gennemgår Simplex-mctoden, som er den hyppigst anvendte teknik for at finde en optimal løsning.

Hvis virksomheden ikke er mængdetilpasser sælger av sine produkter, men står overfor en faldende avsætningskurve, blir profitten ikke længere et lineært udtryk de variable som skal bestemmes; men hvis avsætningskurven antages retlinet, at profitten blir et kvadratisk kan den samme matematiske teknik dog anvendes i let modificeret form (»quadratic programming«).

Disse avsnit forudsætter et elementært kendskab til lineær algebra; der er gjort udstrakt brug av matrixsymboler. Derimod bogens første og sidste (IV.) kapitel, som gør rede for forholdet til den traditionelle theory of the firm og for linear forudsætninger og begrænsninger, læses med udbytte også av ikke-matematiske økonomer, fx. suppleret med Dorfman's artikel i American Review 1953.

Linear programming postulerer at virksomhedens er profitmaximering grundlag av rationel kalkulation; »what other basis can there be?« Det er velgørende for en gangs skyld at se the economic man sat tilbage i højsædet; der er næppe nogen der vil påstå at driftsherrer altid handler rationelt, heller ikke at de altid forsøger at gøre det, men det er vanskeligt se hvorledes en ikke-rationel »following of sociological norms« skulle kunne bygges ind i en økonomisk teori andet end som kvalitative modifieerende betragtninger; og under alle omstændigheder det altid et relevant spørgsmål, hvorledes en virksomhed bør handle hvis den ønsker at maximere sin profit. Modeller bygger på rationalitetspostulatet »perform, partly, the function of an experiment under controlled laboratory conditions«, som det træffende siges (p. 80).

Av postulater som er specifikke for linear programming nævner Dorfman: linearitet, deibaihed, additivitet og endelighed. går ud på at de tekniske koefficienter i enhver proces konstante uanset produktionsomfanget returns to scale); delbarhed at enhver proces kan drives i enhver positiv skala; additivitet vil sige at når man kører med flere processer vil samlet produktion og samlet faktorforbrug være summen av tilsvarende out- og inputs i de enkelte processer (dvs. processerne indvirker ikke på hinanden); og endeligheden består i at der kun er et endeligt antal processer til rådighed, altså diskontinuert substitution.

Forudsætningen om constant returns to scale er et gammelt stridsspørgsmål. Til en vis grad i hvert fald er det et terminologiskspørgsmål faktorer skal man explicit ta med i produktionsfunktionen,og hvilke enheder skal man

måle dem?), men det forekommer mig at Dorfman kommer for let om ved det, når han blot fastslår at »It is sufficient to remark that the inputs and outputs of a productive process can be defined in such a way that the production functions are homogeneous«, og at linear programming simpelthen tar dette standpunkt (p. 82). Går det altid så glat? Man ville gerne ha set et par konkrete eksempler. — Det er også lidt mærkeligt at forf. definerer linearitetalene homogenitet, når det andetsteds siges at linearitet i profitfunktionener forudsætning for at man kan tale om linear programming (i modsætning fx. til hvad prof. Dorfman selv kalder »quadratic programming«).

Til syvende og sidst er det kun endelighedspostulatet substitution) der adskiller linear programming fra den traditionelle måde at behandle virksomhedens på; de øvrige kan udmærket rummes i marginal produktionsteori. Og hvis antallet mulige processer blir tilstrækkeligt kan linear programming betragtes en approximation til det kontinuerte De samme underliggende realiteter kan fremstilles og tolkes i begge sprog. Hvadenten man taler om substitution produktionsfaktorer eller substitution processer, er realiteten den at man går over til en anden faktorkombination, andet sæt tekniske koefficienter. Men hvis der i det konkrete problem man skal behandle virkelig kun foreligger et begrænset antal alternative processer, er det klart at linear programming — hvis forudsætningerne om linearitet etc. iøvrigt er opfyldte — er den relevante måde at angribe det på.

Spørgsmålet er kort sagt, om virksomhedernes viden typisk foreligger form av et begrænset antal mulige elementære processer, eller om ingeniørerne levere kontinuerte tekniske produktionsfunktioner. dette punkt må man vist forholde sig avventende, indtil der foreligger et større antal detaljerede undersøgelser av konkrete virksomheders produktionsstruktur.

Dette sidste er imidlertid ingen indvending Dorfman's fremstilling av det analytiske apparat som linear programming sig av. Bogen er et originalt pionerarbejde, der har åbnet nye felter for anvendelse av linear programming, og en uundværlig standardhåndbog for alle der beskæftiger sig med disse problemer. Derimod kunne man måske indvende, at den simpelthen er for svær. Dette kunne synes en mærkelig indvending imod en monografi, der ikke på nogen måde gir sig ud for at være en begynder- eller lærebog. på det tidspunkt da den udkom, fandtes der næppe nogen lettilgængelig fremstilling av linear programming, skrevet brug for uindviede. Det ville ha lettet om der havde været nogle gennemregnede numeriske eksempler, og om forf. havde givet et par eksempler på grafisk løsning av linear-programmingproblemer, at hjælpe læserens intuition på sporet. Heldigvis har Dorfman senere indhentet det forsømte i en storartet tidsskriftartikel ovenfor), som man übetinget bør læse først.

En detailindvending: Side 16^—17 omtales tilfælde at en virksomhed foruden normale faste anlæg har et eller flere ringere reserveanlæg, der tages i brug når produktionen overskrider hovedanlæggets hvert av anlæggene kører med konstante variable stykomkostninger. får da åbenbart en totalomkostningskurve, nok er kontinuert, men sum knækker opefter hver gang et ringere anlæg tages i brug; mellem knækkene kurven retlinet. Dette kan opfattes en linear-programming-approximation den sædvanlige totalomkostningskurve om dette konkrete tilfælde akkurat lige så godt kan formuleres i traditionelle hvad forf. ikke gør opmærksom hvor man i stedet for en jævnt stigende kurve får en brudt linje. Imidlertid kommer den tilsvarende, ligeledes kurve for variable stykomkostninger til at bestå av rette linjestykker, således som figuren p. 17 synes vise, men av hyperbelstykker.

Endelig en lille pudsighed: Ricardo næv-

nes p. 1 som en av ophavsmændene til den moderne marginale produktionsteori — ikke formelt, naturligvis, men reelt. Ville det ikke ha været nærliggende at gøre opmærksom at netop Ricardo's diskontinuerte synes at indbyde til en formulering i linear-programmingtermer? Danø.