I. Metodiske Bemærkninger.

Ved Bestemmelsen af Forskellen mellem Ægtebørns og Uægtebørns Dødelighed træffer man som bekendt¹) paa den Vanskelighed, Legitimationerne medfører, nemlig at en Del udenfor Ægteskab fødte, men senere legitimerede Børn ved Døden registreres som Ægtebørn, og savner man Oplysning om, i hvilken Grad denne Overføring af Individer fra den ene Gruppe til den anden finder Sted, er man ude af Stand til at bestemme Dødeligheden i de to Befolkningsgrupper og dermed Forskellighederne mellem dem. Vanskeligheden er iøvrigt af ganske samme Art som den, Vandringer overhovedet medfører for Dødelighedsmaalingen, idet Vandring jo ikke udelukkendebehøver være territorialt bestemt. Som Følge af Mangelen paa særlige Oplysninger om den territoriale Vandringfra til By, der her i Landet er saa betydelig, at man ikke kan se bort fra den, er det ikke muligt at gennemføreen Bestemmelse af Forskellen mellem By- og Landbefolkningens Dødelighed; naar paa den anden Side den officielle Statistik gennem de sidste halvt Hundrede Aar med regelmæssige Mellemrum har beregnet nye Dødelighedstavler for hele Landets Befolkning under eet, er det snarere en Forudsætningom og Udvandringens forholdsvis ringe Betydning,der saadanne Beregninger, end Raadigheden

---

1) Se f. Eks. H. Westergaard: Statistikens Teori i Grundrids, 2. Udg. Kbhvn. 1915, Side 229 f.; samme: Die Lehre von der Mortalitet und Morbilität, 1901, Side 389 f.; af den officielle danske Statistik, f. Eks. Stat. Tabelværk 5. Række Litra A Nr. 13: Ægteskaber, Fødte og Døde 1911—15, Side 55 M.

over passende gode Oplysninger vedrørende de Vandringer,
der her kommer i Betragtning.

Hvad særlig Børnedødeligheden angaar, anerkendes almindeligt af at se bort fra de territoriale Vandringer forskellige Statsomraader; dette lader sig gøre, jo bedre disse Omraaders faktiske Grænser svarer til de naturlige Henseende til Naturforhold og Befolkningernes Ejendommeligheder Levevis og Sædvane). Ved Bestemmelsen Børnedødeligheden i store Byer kan der i Almindelighed ikke ses bort fra de territoriale Vandringer; dels indgaar i en Storbys Fødselstal et stadig større Antal Børn, hvis Forældre er hjemmehørende andet Sted, og skelnes tillige mellem gtebørn Uægtebørn, vil der selv blandt de „hjemmefødte" (d. v. s. dem, hvis Forældre er hjemmehørende i Byen) være forholdsvis mange uægtefødte, der sendes bort.

I det følgende betragtes Børnedødeligheden for hele Landet eet, og der ses ganske bort fra de territoriale Vandringer; af Børnedødeligheden foretages da bedst paa Grundlag af Fødsels- og Dødsfaldstallene og uden Brug af Folketallene. Kan man dele Dødsfaldene baade efter de dødes Fødselsaar og deres Alder, kan man for en Generation af given Størrelse (et Aars, et Femaars eller et Tiaars fødte) let beregne, hvormange af denne Generation, der naar at blive et givet Antal Maaneder eller Aar gamle, hvad der ganske umiddelbart giver Begyndelsen af en Overlevelsestavle; i Stedet til Stadighed at følge den samme Generation i dens Uddøen, kan man f. Eks. følge Generationen 1911^—20 fra Fødslen til 1 Aars Alderen, derefter Generationen 1910^—19 fra I—21^—2 Aars Alderen o. s. v., hvorved faas en Dødelighedstavle, brudstykkevis er sammensat efter Erfaringerne om Dødeligheden (Svindet) blandt samtidigt levende. Begge Metoder dog, at man ikke faar Brug for samtlige de Dødsfald, der indtræffer i de Tidsrum, fra hvilke man henter sine Oplysninger; vil man saaledes undersøge, hvormange af de i 1911 fødte, der naar at blive 1 Aar gamle, skal man fra Fødselstallet for 1911 trække det Antal Dødsfald, der i denne Generation indtræffer inden 1-Aars Fødselsdagen; men dette Antal sammensættes af en Del af 1911's Dødsfald i Alderen o—l0^—1 Aar og af en Del af 1912's Dødsfald i samme Aldersklasse, medens de resterende Dele af 1911's og 1912's Dødsfald udgaar.

Forholdet fremtræder klarest ved en Figurbetragtning, af
hvilken der i det følgende bliver hyppig Lejlighed til at gøre

Brug; den her benyttede Figur-Fremstilling er i Realiteten den af W. Lexis¹) endelig udformede, omend Orienteringen i det benyttede Koordinatsystem af Grunde, der her ikke behøver nærmere Omtale, er en lidt anden.

Afsætter man i et Koordinatsystem (se Fig. 1) for hvert Dødsfald, der indtræffer i en Befolkning(sgruppe), Alderen ved Døden, x, som Abscisse og Tidspunktet (Kalendertiden), da Døden indtræder, som Ordinat, faar man hvert Dødsfald repræsenteret ved et Punkt (x, t), der kan kaldes det paagældende IndividsDødspunkt, D. Alle de Dødsfald, som er indtruffet i 1911, repræsenteres Punkter i Paralelstriben mellem

Linier A₀A_lA.₂ .... og B()B_lB,₂ . . . ? saaledes at de Dødsfald, indtræffer i Alderen O—lO^—1 Aar, giver Punkter i Kvadratet ₀A_lB_lB_Q, og Dødsfaldene i Alderen I—21_—2 Aar giver Punkter i Kvadratet A_{ A.₂ B.₂ B_x o. s. v.

Det Individ, der dør til Tiden / i Alderen x, maa være
født til Tiden

Afsættes ud ad /-Aksen et Stykke OF =t, faas et Punkt, F, der kan kaldes Individets Fødselspunkt; i Tiden fra Fødselstidspunktet(r)til (t), kan Fødselspunktettænkesat sig langs den rette Linie FD, der danner 45 ° med begge Akserne og kan kaldes Individets Individlinie; ethvert Individ i Befolkningen (Befolkningsgruppen)harsin og alle Individlinier er parallelle; de afdødes Individlinier er afsluttede i et Endepunkt (D), Dødspunktet, de endnu levende (tilstedeværende) Individer har Linier, der i ethvert givet øjeblik ender i den Parallel til x-Aksen, der er bestemt ved det givne Tidspunkt (øjeblik). Ses der foreløbig bort fra Udvandring (territorial eller anden), er det klart, at det Antal Individlinier, som overskærer et givet

---

1) Se f. Eks. W. Lexis: Abhandlungen zur Theorie der Bevölkerungsund Jena 1903, Side 1—24.

Stykke af en Linie 4= OX-Aksen (f. Eks. I—21—2 Aars Aldersstrækningen
x A.> paa Nytaarsparallellen 1911: AI)AI)AXA2A2. . . .),
er lig det Antal Individer, der er til Stede paa det ved ParallellenangivneTidspunkt
i de ved Strækningen angivne
Aldre, og at det Antal Individlinier, der skærer et givet Stykke
af en Linie =fc 07-Aksen (f. Eks. 1911-Stykket AXAXBX af 1-Aars
Alderslinien AXAXBXCX . . . .), er lig det Antal Individer, der
fylder 1 Aar i Løbet af 1911. Hvad Dødspunkterne angaar,erdet
nævnt, at de Dødsfald, der f. Eks. indtræfferi1911
Aldrene I—21—2 Aar, svarer til lige saa rnange
Dødspunkter i Kvadratet AXAXA2B<,BX; da nu samtlige en IndividliniesPunkterfalder
2 med Individlinierne parallelleSkraalinier,naar
eet af dens Punkter (f. Eks. enten
Fødsels- eller Dødspunktet) falder mellem dem, følger heraf,
at alle Dødsfald i en given Fødselsmængde (Generation) repræsenteresvedDødspunkter,
er beliggende mellem de 2
Skraalinier, der gaar gennem de 2 Punkter paa 07-Aksen,
som bestemmer den givne Fødselsmængde. Dødsfald i Generationen1910maa
fremstilles ved Dødspunkter beliggendemellemde
Skraalinier MAXB2CS ... og AQAQBX C2C2 ...;
de, der dør i 1911 af Generationen 1910, faar Dødspunkter
beliggende i Parallellogrammet AnAxBiBl og det ses af Figuren,atde
være døde umiddelbart efter Fødslen (født Sl/n
1910, død 3A 1911), eller have været saa nær 2 Aar, det skal
være (født 2/i 1910, død 31/i2 1911); om de er døde i AlderenI—2
—2 Aar eller i Alderen o—l0—1 Aar, afhænger af, om deres
Individlinier skærer eller ikke skærer 1-Aars Alderslinien A^B^,
d. v. s. om de er døde, efter eller før de har haft Fødselsdag
i det paagældende Kalenderaar; de, der af Generationen 1910
dør, inden de fylder 1 Aar, faar Dødspunkter, der ligger i
Parallellogrammet MAXBXA{), og det ses, at de kan være døde
allerede i Begyndelsen af 1910 eller saa sent som i Slutningenaf1911.
al Almindelighed har man, at Forskellen mellemdetAntal
der „gaar ind" i et vilkaarligt
lukket og konvekst Omraade i og som „gaar ud"
af Omraadet, er lig det Antal Dødspunkter, der falder i Omraadet.Heraffølger
at naar man fra Antallet af
0-aarige den Vi 1911 (repræsenteret ved A()Ax) trækker dem,
der af Generationen 1910 dør i 1911 (Antallet af Dødspunkter
i A{)AXB2BX), faas Antallet af 1-aarige Vi 1912 (repræsenteret
ved Bx É2), samt at de, der dør i et givet Kalenderaar (f.
Eks. 1911) i en given Aldersklasse (f. Eks. I—21—2 Aar), har
tilhørt to forskellige Generationer, og at de øvrige 1911-Dødsfaldfradisse

faldfradisseGenerationer træffes i endnu 2 andre Aldersklasser.

Paa selvsamme Maade, som Fødsler og Dødsfald her er fremstillede, kan Begivenhederne Ind- og Udvandring behandles; maa da blot erindres, at en Individlinie ikke altid behøver at have sit Udspring i et Punkt af 07-Aksen (Fødselspunkt), kan „komme til Syne" i en hvilkensomhelst Alder og kan forsvinde (ende) enten i et Dødspunkt eller et Udvandringspunkt. Den ovennævnte almindelige Sætning om Forskellen mellem Antallet af Individlinier, der gaar ind i eller ud af et Omraade, maa da ogsaa korrigeres i Overensstemmelse saadan at denne Forskel bliver Antallet af Dødspunkter -f- Antallet af Udvandringspunkter -f- Antallet af Indvandringspunkter.

Med Benyttelse af en saadan Figur er det umiddelbart
anskueligt, hvilke Dødsfald man faar Brug for, hvis man som

nævnt ovenfor vil beregne Begyndelsen af en Overlevelsestavle at følge en given Generation fra Fødslen og et vist Antal Aar frem i Tiden. Det Materiale, som skal benyttes det følgende, bestaar Fordelingen efter Alder og Legitimitet af de blandt Individerne i Generationen 1911^—15 indtrufne Dødsfald, altsaa af de i Omraadet (se Fig. 2) BoB_o E- N- E_o faldende Dødspunkter, Tabel 11).1¹). Da Oplysninger om Legitimiteten fremskaffes Dødsfald biandt Børn over 5 Aar, maa Beregningen paa Grund-

lag af dette Materiale standse ved 5-Aars Alderen

---

1) Da den danske Dødsfaldsstatistik først fra 1921 giver direkte Oplysning de dødes Fødselsaar, er Tallene — om end kun for en yderst ringe Del af Materialet — beregnede.

Det ses umiddelbart af Fig. 2, at det er en meget ringe Del af Dødsfaldene i 1911, der her bliver gjort Brug af; lidt flere i 1912 o. s. fr. indtil 1915; de i dette Aar indtrufne Dødsfald blandt Børn under 5 Aar benyttes næsten alle; de, der dør 1915 i en Alder af 4—54^—5 Aar, tilhører enten Generationen eller 1910, og det er kun de sidste, man ikke har Brug for. Tallene i den paa Grundlag af disse Dødsfald beregnede Overlevelsestavle angiver nu simpelt hen, hvormange af de Individlinier, som har deres Udspring paa Strækningen B{)B_{)E_{) (1911 —15), der skærer en ved en given Alder, x, bestemt Linie =j= 07-Aksen (f. Eks. hvormange der skærer B_x G_x d. v. s. naar at fylde 1 Aar). Af Tabel 1 findes disse Tal ved efterhaanden fra det hele Antal fødte at trække dem, der dør, inden der er gaaet 1 Maaned, fra Resten at trække dem, der dør i Alderen I—21_—2 Maaneder o. s. v.

Den Overlevelsestavle, man herved faar, kan hverken siges
at være bygget over Erfaringerne i 1911 —15 eller i 1916—20

ejheller i 1911 — 20; thi baade fra 1911 —15 og fra 1916—20 foreligger en stor Mængde Dødsfald, der ikke indgaar i Beregningen.Deter kun ad forskellige Omveje, man naar til en Tavle, der kan siges at bygge paa Erfaringerne fra et givet Tidsrum, naar man herved vil forstaa, at det er Oplysningerneomsamtlige Dødsfald, der er indtruffet i dette Tidsrum og ingen andre, der indgaar i Beregningen¹). Som foran nævnt, behøver man nu ikke til Stadighed at følge den samme Generation; hvorledes det første Stykke af den danske Dødelighedstavle, der betegnes som bygget paa Erfaringerne1911—15, beregnet, fremgaar af Fig. 2. Sandsynlighedenforat det første Aar er fundet ved at undersøge, hvormange af de Individlinier, der har deres UdspringpaaStrækningen _QC₀ (d. v. s. Generationen 1910^—14), der tillige skærer 1-Aars Alderslinien B_x £",; til denne Bestemmelsebenyttesaltsaa Dødsfald fra 1910 (de, hvis Dødspunkterfalderi A() B_] B()), medens paa den anden Side de af 1915's Dødsfald, hvis Dødspunkter falder i Trekanten _o £, E_{), ikke benyttes. Sandsynligheden for, at en 1-aarig bliver 2 Aar, bestemmes derefter paa Grundlag af ErfaringerneiGenerationen _—13, idet det undersøges, hvormange af dem, som i Aarene 1910^—14 fylder 1 Aar, der naar at fylde 2 Aar ietaf Aarene 1911 —15 o. s. v.; stadigudskydesaltsaa hver Aldersklasse nogle af Dødsfaldenei1915 medtages nogle fra 1910. Hvad enten man benytter den samme Generation en Aarrække eller skifter GenerationfraAar Aar, bliver Resultatet, at man maa udskyde nogle af de Dødsfald, der indtræffer i de Tidsrum, hvorfra man iøvrigt henter sine Erfaringer. Den sidste af de 2 Metoderbyggernaturligvis højere Grad paa Erfaringerne 1911 —15 end den første; men Forskellen kan i Løbet af de faa Aar, her er Tale om, kun blive ringe, og da Antallet af Dødsfaldien Aldersklasse varierer meget lidt med Kalendeitiden—i Fald i Sammenligning med det stærke Fald i Dødeligheden i de her omhandlede Aldersklasser — vil der i begge Bestemmelser indgaa omtrent lige mange Dødsfald; for ikke unødvendigt at besværliggøre de følgende Betragtninger,benyttesalene ved Tabel 1 givne Fordeling af

---

1) Tavler af denne Art kan beregnes paa flere Maader; siden 1895 beregnes den officielle Statistiks Dødelighedstavler, naar bortses netop fra de her behandlede Barneaar, paa en af disse Maader, nemlig den af A. J. van Pesch angivne (Bijdragen tot de Statistiek van Nederland, Sterftetafels voor Nederland, Haag 1897).

Dødsfaldene i Generationen 1911 —15, hvis tilsvarende Dødspunktererbeliggende
Parallellogrammet B0B0ESN-,E0.

I følgende Tabel er anført nogle Tal af den Overlevelsestavle, paa den foran beskrevne Maade umiddelbart lader sig udlede af Tallene i Tabel 1 ved fortsat Subtraktion. Regningerne gennemført baade for Ægtebørn og Uægtebørn paa samme Maade som for begge Kategorier under eet i „Tilsammen" Kolonnen, og de anførte Tal vilde, hvis ingen Legitimationer fandt Sted, give Udtryk for Dødeligheden i de 2 Grupper paa samme Maade som Tallene for begge Grupper under eet; de sidste er upaavirket af Legitimationerne og giver et Udtryk for Drengenes og Pigernes Dødelighed, som stemmer temmelig nær med den sidste officielle Tabel fra 1911 —15.

Af disse Tal kan nu udledes følgende Værdier af de
summariske Dødelighedskvotienter for de anførte endelige Aldersintervaller:

Tallene er anført i Tusindedele med Aaret som Enhed
og er beregnede efter Formlen

(1).

hvor /(*,) ~ 1(x.,) er det i Løbet af Tidsenheden indtrufne Antal
Dødsfald i Alderen fra xt til x,, og \ l(x)dx den af de til
*a,
enhver Tid i de nævnte Aldre tilstedeværende Personer i Tidsenheden
Tid.

Da det forstyrrende Vandringsfænomen udelukkende fører Børn fra de uægtefødtes Grupper til de ægtefødtes, medens den modsatte Bevægelse ikke finder Sted, kan man af de anførte slutte, at i de Aldersintervaller, i hvilke de uægtefødte har større Dødelighed end de ægtefødte, vil de første ogsaa i Virkeligheden have større Dødelighed end de sidste, idet Forskellen rimeligvis er større end Tallene giver Udtryk for, men i alt Fald ikke mindre; fra 2 å 3 Aars Alderen skifter Billedet tilsyneladende; men nogen Slutning af Tallene kan ikke længere drages; det er muligt, som det ofte fremhæves, at der gennem Afgang ved Dødsfald i de første Leveaar foregaar en Udvælgelse blandt de udenfor Ægteskabet fødte og ikke senere legitimerede Børn, saaledes at de, der naar over de første vanskelige Aar, virkelig er i Besiddelse af større Vitalitet end Ægtebørnene, hvis Dødelighed gennem Legitimationerne kan tænkes belastet med en Del af Uægtebørnenes oprindelig højere Dødelighed. Dette er jo imidlertid kun Formodninger, og uden at have Raadighed over en til Dødsfaldsstatistiken svarende Legitimationsstatistik Undersøgelsen ikke føres videre.

I det følgende er Oplysningerne fra den sachsiske Legitimationsstatistikforsøgt paa danske Forhold; Hensigten hermed er i første Række nærmere at undersøge, hvilke Oplysningeren Statistik i den her behandlede Opgaves Tjeneste skulde give, og at vise, hvorledes Dødelighedsbestemmelsenderefter tænkes gennemført; i hvilken Grad de fremmede Data kan siges at give Udtryk for danske Sædvaner paa dette Omraade, er naturligvis et Spørgsmaal, som da bliveraf men desværre umuligt at besvare, saa længe man intet ved om de danske Legitimationer. Paa den anden Side er det vanskeligt at tænke sig, at Forholdene skulde

kunne stille sig i den Grad forskelligt, at man ikke kom Sandhedennærmere at benytte de foreliggende Data, saadan at de foran meddelte Tal uden „sachsisk Korrektion" for Legitimationerskulde bedre. Dette er næppe rimeligt, al den Stund det trods Manglen paa talmæssige Oplysninger dog vides, at Legitimationer ogsaa finder Sted her i Landet i ikke übetydelig Grad. Selv om en dansk Legitimationsstatistik efter al Sandsynlighed vilde korrigere de nedenfor vundne Resultater,taler for, at selv en paa fremmede Forholdgrundet vil give en første og væsentlig Forbedringaf ønskede Tal.

Oplysninger om Legitimationer forekommer kun sparsomt i den statistiske Litteratur. Hvad man kan finde uden at søge altfor langt bort, omtales i det følgende tillige med Grundene for at vælge de sachsiske.

II. Legitimationsstatistik.

Medens den berlinske Legitimationsstatistik er bearbejdet saa langt, at en Legitimationstavle er beregnet af Rich. Böckh¹), er den dog ikke særlig omfattende; den sachsiske er periodevisbearbejdet omfattende Grad²), uden at en egentlig Legitimationstavledog er forsøgt beregnet; dette er saa meget mærkeligere, som netop det fra Sachsen offentliggjorte Materiale indbyder dertil, idet Meddelelserne ikke blot omfatter en Mængde Oplysninger af forskellig Art (Forældrenes Alder, Erhverv, Bopæl, Trosbekendelse o. s. v.) vedrørende de i en given Tidsperiodefuldbyrdede men tillige Oplysninger for givne Generationer, hvoraf fremgaar, hvor mange af de til disse hørende Børn der paa senere Tidspunkter er enten døde eller legitimerede med udtrykkelig Angivelse af, at de resterendeer Stede som ulegitimerede. Dette er meget væsentligt;thi maa vel erindres, at er det umuligt at bestemme Dødeligheden for Ægtebørn og Uægtebørn, naar man ikke samtidig har Oplysninger om, i hvilken Grad de udenfor gteskabfødte

---

1) Se f. Eks. Statistisches Jahrbuch der Stadt Berlin, 13. Jahrg. Berlin 1888, Side 41.

2) Zeitschrift des k. sächsichen stat. Landesamtes Jahrg. 59, Side 168 —84' (Legitimat. i 1906^—10) og samme Tidsskrift Jahrg. 66 u. 67, Side 53^—64 (Legitimat. i 1911^—15) samt de aarlige Udgaver af Statistiches Jahrbuch fur das Königreich (den Freistaat) Sachsen.

skabfødtelegitimeres, er det ligesaa umuligt at beregne en Legitimationstavle, naar man ikke har Oplysninger om, i hvilkenGrad paagældende Uægtebørn dør; thi retter man sin Opmærksomhed særlig paa Legitimationen som den interessante Begivenhed, saa optræder omvendt Afgang ved Døden som det forstyrrende „Vandringsfænomen". Mindre væsentlig er det heroverfor, at Legitimationerne og Dødsfaldene indenfor Generationerneer efter Kalendertid (d. v. s. efter de Aar, i hvilke Dødsfaldene og Legitimationerne indtræffer); dette vil sige, at man har givet Antallet af Begivenheder i Omraader af (se Fig. 1) Formen AI)A_I)B_XB(), A()A_XB₂B_X, A_xA.₂B-_iB., o. s. v., medens Beregningen af en Legitimationstavle vilde være betydeliglettere, Antallet af Begivenheder havde været fordelti af samme Art, som er benyttet ved den foran meddelte Dødsfaldsstatistik for Danmark, altsaa i Omraader af Formen MAxßx A_o, A_XB.,C.,B_X o. s. v., d. v. s. havde haft Begivenhedernefordelt Generationer og Alder (jfr. Fig. 2). Endnu adskiller de sachsiske Data sig paa afgørende Maade fra de fleste andre foreliggende særlig af større tyske Byer (Berlin medregnet) udarbejdede derved, at de faas fra Tilføjelseri og ikke, som det ellers hyppigt finder Sted, fra Ægteskabsregistrene *). — Foruden de her omtalte Oplysninger kan endnu nævnes, at der findes en norsk Legitimationsstatistik²). Ligesom Tilfældet er med den berlinske Legitimationstavle, behandler den norske Statistik dog begge Køn under eet, hvad der allerede giver Grund til at foretrække den sachsiske; endvidere giver den Legitimationerne blandt 2 Generationer, hvis tilsvarende Dødsfald desværre ikke kan tages ud af de meddelte Tal for Dødsfaldene, der angaar disse 2 Generationer sammen med flere Generationer under eet; endelig omfatter de sachsiske Tal hele det sachsiske Statsomraade, hvorved Betingelserne for at se bort fra de territoriale Vandringerer opfyldt end ved Oplysningerne fra de tyske Byer eller ved den norske Statistik, der kun omfatter Landdistrikterne.

Det sachsiske Materiale, der benyttes i det følgende, giver Erfaringerne for Generationerne 1904^—10 fra Fødslen til og med det 4. Kalenderaar efter Fødslen. De nævnte Kilder giver ganske vist ogsaa nøjagtig tilsvarende Oplysninger for Generationerne1911

---

1) Om Fordelene herved se Eugen Wurzburger: lux Statistik der Legitimationen unehelicher Kinder, Jahrbucher f. Nat. u. Stat. 111 Folge, 18. Bd., Side 94, Jena 1899.

2) N. Rygg: Om Børn, fødte uden for Ægteskab (Norges officielle Statistik V. 37). Kristiania 1907.

rationerne1911og 1912; men en Del af de i disse forefaldne Legitimationer er fuldbyrdede efter Krigsudbrudet i 1914, hvilketgav til en ikke übetydelig Stigning i Legitimationshyppigheden.Erfaringerne disse er derfor udeladt; for de foran nævnte* Generationer under eet faar man følgende

Da det af de her givne Tal dels næppe er muligt og heller ikke Hensigten at faa bestemt Legitimationsintensitetens Variation med Kalendertiden, men udelukkende dens Afhængighedaf er Oplysningerne for samtlige Enkeltaars- Generationer i Tabellen slaaede sammen og betragtes i det følgende som en Tidsenheds Generation (Aarsgeneration), der er taget ud af en Række ganske ens Generationer; Tilstanden antages altsaa stationær. Der er da til enhver Tid det samme Antal ikke døde og endnu ikke legitimerede Børn til Stede i Befolkningen i hver Aldersklasse, nemlig netop de Antal, som er anført som resterende nederst i Tabel 2; de, der er tilbage ved Fødselsaarets Slutning (for Drenge: 48 412), er i Alderen o—l0^—1 Aar, de, der er tilbage ved Slutningen af næste Kalenderaar(34 er i Alderen fra I—2 Aar o. s. v. Naar Talleneforeligger

leneforeliggeri denne Form, der svarer ganske til den, som Anvendelsen af den ovenfor omtalte af van Pesch foreslaaede Metode forudsætter, er det en simpel Sag at tage Hensyn til Vandringerne og at danne sig et foreløbigt Skøn over de uægtefødtes Dødeligheds- og Legitimationsintensiteter. Lad os antage, at der Vi 1911 findes a Personer i Alderen xh- / til x Aar, og at der i Løbet af 1911 af denne Generation dør b og udvandrer (legitimeres) c, saaledes at der ved Slutningen af 1911 findes d=a -r- b -f- c Personer tilbage af denne Generation,nu Alderen x til x-\- 1; van Pesch sætter da Sandsynlighedenfor, en Person, der netop har naaet Alderen (x ~ -\), vil dø inden et Aar, til

(2),

hvoraf Dødelighedsintensiteten med Tilnærmelse findes af

(3).

Paa samme Maade findes Legitimationsintensiteten af

idet nu de b døde betragtes som udvandrede, medens de
c Legitimationer giver Dødsfaldenes Rolle. Heraf faar man for
den samlede „Forsvindingsintensitet"

som man ogsaa vilde finde direkte af (3) ved ikke at skelne mellem Død og Udvandring, men ved i denne Formel at ombytte g(x_—-J-) med den samlede „Forsvindingssandsynlighed"

idet der her ikke bliver Tale om noget Fradrag for Udvandring
i Nævneren i Udtrykket for Q(x—^). Paa denne Maade finder
man f. Eks. (jfr. Tabel 2) for Drengene

og i det hele følgende Værdier:

Allerede af disse Tal faar man nogen Besked om de uægtefødtes i de første Leveaar; som for Børn i det hele uden Deling efter Legitimitet har Drengene større Dødelighed end Pigerne; ligeledes viser det sig, hvad ogsaa det følgende bekræfter, at Drengebørnene legitimeres i højere Grad end Pigebørnene, en Erfaring, som synes at genfindes i Resultaterne af alle Undersøgelser, der deler efter Køn. Dødelighedens Fald i Løbet af de første Leveaar er en saa fremtrædende Ejendommelighed, dette Fald med Nødvendighed maa komme til Syne ogsaa i disse Tal. Legitimationerne synes derimod ikke at aftage særlig stærkt de første 3 Leveaar; efter Tallene frembringer de gennem de første Aar en Afgang, der i Styrke svarer til Dødeligheden omkring 1 Aars Alderen. Da saavel Døden som Legitimationerne udtynder Drenge-Generationerne stærkere end Pige-Generationerne, vil den Forskel i Antallet af tilstedeværende uægtefødte Drenge og Piger, som stammer fra det større Antal Drengefødsler, hurtigere udjævnes end for Ægtebørnenes Vedkommende; for samtlige Børn under eet indtræder Ligevægten først omkring 20 Aars Alderen; som det følgende vil vise (Tabellen Side 150), bliver Resultatet af Dødsfaldenes og Legitimationernes Samvirken, at Ligevægten for Uægtebørnenes Vedkommende indtræffer allerede efter ganske Aars Forløb.

Det vil imidlertid til videre Brug være ganske utilstrækkeligtat staaende ved de her vundne Resultater; den vigtigsteIndvending, kan rettes mod dem, er den, at de er udledt ved Formlerne (2) og (3), der kun er Tilnærmelsesformler;paa Forhold ligger der meget ringe Vægt, naar de Forudsætninger, hvorunder de udledes, virkelig er opfyldt; men dette kan netop ikke antages at være Tilfældet for de første Aldersaar og tidligst omkring 4 Aars Alderen. Formelen (2) forudsætter, at de c Udvandringer er indtruffet paa Tidspunkter,der nogenlunde jævnt fordelt i det Omraade, i

hvilket de b Dødsfald og de c Udvandringer er foregaaet, og dette gælder i alt Fald ikke ved Udledelsen af Legitimationsintensiteten,hvor optræder som Vandringsfænomen.Naar bestemmes ved q fra Formel (3), forudsættes endvidere, at det betragtede Aldersinterval (her et Aar) er saa lille, at Antallet af overlevende og ulegitimerede kan antages at variere lineært med Alderen; ogsaa denne Forudsætning svigter i alt Fald for de overlevendes Vedkommende. Skulde Forudsætningerne erklæres for opfyldte, maatte de Oplysninger, der ligger til Grund for Tallene i Tabel 2, have været givet særskilt for Generationer at betydelig mindre Omfang end Aars-Generationer, og da tillige fordelt efter Kalendertid med en hertil svarende Nøjagtighed.

Da Oplysningerne nu foreligger med Benyttelse af 1 Aars Intervaller, kan fi(x jog l(x) ogsaa kun direkte bestemmes for Alderspunkter med 1 Aars Mellemrum; ønskes disse Størrelser bestemt for mindre Intervaller, kan man derfor i alle Tilfælde ikke undgaa en Interpolation; denne kunde, hvis de fundne Tal var saa vidt rigtige, at man kunde betragte f. Eks. de anførte 4 Decimaler for paalidelige, ske direkte i den opstillede for I—41^—4 Aars Intervallernes Vedkommende, men ikke for o—l0^—1 Aars Intervallets, i hvilket en Underdeling ikke blot er ønskelig, men ganske nødvendig; i dette Interval kan van Pesch's Fremgangsmaade imidlertid ikke bringes til Anvendelse, Underdelingen maatte ske ved udelukkende Hjælp af en Ekstrapolation; til den først nævnte Indvending mod videre Brug af de fundne Tal kommer da yderligere den, at det ikke kan ventes, at man med Fordel kan benytte dem til Interpolation. Denne anden Indvending er dog ikke saa alvorlig som den første; thi selv om man ikke kommer uden om at maatte hjælpe sig over den grove Inddeling af Materialet Interpolation, behøver denne ikke at foretages netop i den opstillede Tabel, ikke engang i det Tilfælde, hvor Tabellen anses for nogenlunde fejlfri; den kan paa følgende foretages i selve de i Tabel 2 givne Tal ved en Betragtning af Dødsfalds- og Legitimationspunkternes Fordeling Alder.

Idet Tilstanden som nævnt antages stationær, kan man
tænke sig bestemt to Funktioner af Alderen, x, D (x) og /_ (x),
med den Egenskab, at Dobbeltintegralerne

(4)

taget over et givet Omraade i den ovenfor definerede AT-Plan

giver det Antal henholdsvis Dødspunkter og Legitimationspunkter,der i det givne Omraade. D(x) og L(x) angiverderved af disse Punkter paa ethvert Sted i AT-Planen. Kendes først D(x) og L(x), vil

(5),

hvor G er Antallet af Fødsler i Tidsenheden (Generationernes
Størrelse), angive Tætheden af tilstedeværende Personer i Alderen
og altsaa

(6)

angive Antallet af levende Personer, der er i Alderen fra x_x til x„ hvilket Antal under de gjorte Forudsætninger til enhver Tid er det samme og lig den af saadanne Personer i Tidsenheden Tid. Samtidig angiver ep (x), paa hvilken den oprindelige Fødselsmængde G efterhaanden udtyndes ved Dødsfald og Legitimationer. Den ovenfor omtalte, Forsvindingsintensitet, a(x), kan derfor her bestemmes

(7).

Fordelene ved at danne sig Interpolationsformler for D (x) og L (x) bliver nu videre den, at man derved sættes i Stand til at regne infinitesimalt, saaledes at den Korrektion, ( cl, der af Hensyn til Vandringernes Indflydelse findes i Nævneren i (2) og (3), nu forsvinder; man har da umiddelbart

(8),

der i Overensstemmelse med (7) giver a (x) = p(x) H~

I Fig. 3 er nu aftegnet et Stykke af den tidligere omtalteAT-Plan; Stykkerne OA(), A()B() o. s. v. tænkes faldendedet ligestore Antal Fødselspunkter, for Drengenes Vedkommende 69 818; Trekanten OAx A_(] omfatter alle de Dødspunkter og Legitimationspunkter, der optræder i samme Kalenderaar som Fødselsaaret (for Drenge henholdsvis d = 15 972 og / = 5 434, jfr. Tabel 2); i Omraadet A()A,B₂B() falder der foruden disse Antal tillige de, der optræder i det efter Fødselsaaret kommende Kalenderaar (d = 15 972 -|~

5 981 = 21 953 og / = 5 434 + 7 534 = 12 968) o. s. v.,
som antydet i Figuren.

Naar man nu i Integralet

(9)

efterhaanden lader n antage 1, 2, 3, 4 og 5, skal F(n) efterhaanden Antallet af Dødspunkter, der falder for n = 1 i Trekant OB_xB_n, for n = 2 i Trekant O 8.,B_(] o. s. v., medens man paa den anden Side af (9) finder,

Danner man særskilt for
Dødsfald og Legitimationer
fortsat Sum-

mation af Tallene i de i Fig. 3 antydede Omraader følgende
Tabeller over F (n) for Drenge,

vil anden Differentialkvotient af de ved disse Tabelværdier
bestemte Funktioner være netop D(x) og L(x) for Drenge.

Rent formelt er Løsningen af Opgaven saaledes tilsyneladendelet. numerisk Differentiation i denne Tabel efter Newtons Interpolationsformel vil Vanskeligheden imidlertid komme til Syne, idet denne Formel, som det ogsaa kunde ventes, allerede for Legitimationernes Vedkommende kun vanskeligtog Dødsfaldenes slet ikke er i Stand til at gengive det meget stærke Fald, som navnlig D (x) vil udvise, naar x vokser fra Nul opefter. Overfor denne Vanskelighed maatte for

Dødsfaldenes Vedkommende andre Interpolationsformler forsøges.For viste en Deling af Tabellen sig at være tilstrækkelig, idet Værdierne fra n = 0 til n = 3 benyttedestil af L(x) i Intervallet 0 til 2, og Værdierne fra n = 1 til n = 5 benyttedes til L (x)'s Bestemmelsei fra 2 til 4. Da Differentialkvotienterne i Intervallet 4 til 5 udelukkende maa bestemmes ved Differenserpaa Skraalinie, er L (x) ligesom iøvrigt ogsaa D (x) kun beregnet til og med x = 4 Aar.

Som en simpel Udvidelse til nærværende Brug af det
hele rationale Polynomium frembød sig naturligt for Dødsfaldenes

(10),

hvor P(x) er et helt rationalt Polynomium; endvidere indbød
Oppermanns Formel1) for Dødelighedsintensiteten i Barnealdrene
til at prøve at sætte

(11).

Denne Funktion har ganske vist en Pol i x'= 0; men
ex

\ D(x)dx konvergerer; for begge Formler (10) og (11) gæl•

der det, at Konstanterne let bestemmes, bl. a. helt igennem ved Ligninger af 1. Grad. Der vil ikke være Grund til at gaa nærmere ind paa de andre Interpolationsformler, der har været prøvet; for dem alle gælder det, at de har givet omtrentoverensstemmende for k(x), naar blot x var over 4 å 5 Tolvtedele af Aaret (Maaneder); for ganske smaa Værdier af x træffer man naturligvis igen den Vanskelighed, at man befinder sig i Nærheden af Grænsen for det Interval, for hvilke der foreligger Oplysninger, og denne Vanskelighed er jo i Nærheden af x = 0 af alvorligere Art, end Tilfældet er i Intervallet x = 4 til x =5. Det, der savnes her, er naturligvis en stærkere Deling af Materialet for de første Aldersaar,en som det ogsaa er almindeligt at gennemførei Tabeller, men som desværre her netop er udeladt. De nedenfor meddelte Tal er fundne ved at bestemme Konstanterne i (11) ved Dødsfaldene i de 3 første Kalenderaarog den fundne Formel for o<x<2; derefter er

---

1) Tidsskrift for Mathematik V. R., 2. Aarg. Side 122; København 1884.

(10) anvendt i Intervallet 2 x 4, idet P(x) er forudsat lineær og Konstanterne derefter bestemt ved Dødsfaldene i de 4 Kalenderaar fra / = 1 til / = 5; naar y(x) derefter er bestemt ved (5), kan (6) benyttes til Kontrolregning, idet Grænserne 0, 1, 2 o. s. v. her skal give de nederst i Tabel 2 opførte Tal paa dem, der ved hvert Kalenderaars Slutning er tilbage af hver Generation, d. v. s. til Stede i en given Aldersklasse.Endelig tilsidst /< (x) og 't.(x) ved (8) direkte af de fundne Tal for </< fx), D(x) og L(xJ, og man finder da bl. a. følgende Resultater:

I Fig. 4 giver den Del af Kurven, der svarer til Aldre under 4 Aar, et grafisk Billede af de fundne Tal for l(x). De for 12, 24, 36 og 48 Mdr. opførte Tal kan nu sammenlignes de foran Side 127 fundne foreløbige Tal. Man vil se, at Tallene for x = 4 Aar (48 Mdr.) stemmer temmelig nøje overens, til Dels ogsaa dem for x = 3 Aar, medens Overensstemmelsen mellem Tallene for 1 og 2 Aar, som ventet, ikke er god. Ligesom efter de foreløbige Tal synes Drengene at legitimeres i stærkere Grad end Pigerne, indtil Forskellen ved 2 å 3 Aars Alderen synes at forsvinde, et Forhold, hvoraf der i det følgende bliver gjort Brug. Endvidere er det med Virkeligheden sikkert godt stemmende Forhold, at Legitimationerne i Løbet af de første Maaneder, i alt Fald ikke udvisket ved Interpolationen.

Medens den sachsiske Dødelighedsintensitet for Uægtebørnher

børnherikke interesserer os videre, kan man af de fundne Tal for l>(x) beregne følgende Legitimationstavle for Uægtebørn, hvilken angiver, hvor mange der vilde være tilbageaf givet Fødselskuld, hvis det udelukkende udtyndedes ved Legitimation; til Sammenligning er anført den ovenfor S. 123 omtalte for begge Køn under eet af Böckh beregnede Berlin-Tavle.

Tilsyneladende legitimeres Uægtebørnene herefter i højere Grad i Sachsen end i Berlin; en Del af den Forskel, Tallene giver Udtryk for, er formentlig ogsaa reel, idet det maa formodes,at i en Storby som Berlin findes forholdsvis flere,

der føler lidet eller intet Ansvar for deres illegitime Afkom, eller forholdsvis flere i Forvejen gifte Personer, der under berlinske Forhold faar større Anledning til at sætte illegitimt Afkom i Verden, Afkom, som i dette Tilfælde kun undtagelsesviskan I Sachsen findes ganske vist ogsaa Storbyer, men de her benyttede Tal omfatter, som foran fremhævet,ogsaa og det er et Spørgsmaal, om ikke i alt Fald en Del af Forskellen mellem Berlin og Sachsenkan tilbage til dels Berliner-Statistikens sikkert større Vanskeligheder m. H. t. de territoriale Vandringer, som ogsaa til den omtalte Forskel mellem Registreringsmaaderne.

Forinden det her fundne Resultat benyttes paa de danske Dødsfaldstal, vil det være nødvendigt at omtale et Forhold af Betydning for en saadan Benyttelse; efter dansk Ret legitimeres nogen særlig Formalitet ethvert uden for gteskab Barn umiddelbart ved Forældrenes Vielse. Tysk Ret kræver derimod efter Vielsen en særlig Legitimationsakt fuldbyrdet, Barnet i Registret (i Sachsen Fødselsregistret) faar Antegnelse som legitimeret. Dette betyder, at der kan hengaa, ogsaa i visse Tilfælde vil hengaa en vis Mellemtid mellem Ægteskab og Legitimation. Kaldes denne Mellemtid {-, medens Barnets Alder ved Ægteskabets Indgaaelse kaldes, .'/, og dets Alder ved Legitimationen som foran x, har man

Vil man nu overføre de vundne Erfaringer m. H. t. Legitimationerne Danmark, bliver det ikke det fundne 1 (x), men der imod l(tt), man faar Brug for, og Spørgsmaalet bliver om ).(¦&) kan bestemmes, naar l(x) kendes. Dette Spørgsmaal kan besvares bekræftende, saafremt man kender Korrelationen mellem 0- og x, eller endnu bedre Korrelationen mellem e og %f; man skal altsaa have en Funktion af t og />¦ med den Egenskab, at

giver Antallet af Børn, hvis Alder ved Forældrenes Vielse var
mellem •//, og ,'/._,, og for hvilke der hengik en Mellemtid, f,
mellem Vielse og Legitimation af Størrelsen mellem ex og e.>.

Er nu Sandsynligheden for at legitimeres i Alderen mellem og x -(- dx som foran betegnet ved L(x) dx, og, efter ovenstaaende, Sandsynligheden for, at et Barn, der legitimeres i Alderen x, har maattet vente herpaa Tiden e, siden Forældrene viet,

vil Sandsynligheden for, at Ægteskabet indgaas, naar Barnets
Alder er x, og at der derefter hengaar Tiden e = x—<'/,
inden Legitimationen fuldbyrdes, være

Sandsynligheden for, at Barnets Alder ved Vielsen ligger
mellem Grænserne «> og •O- -4- d'h, bliver da

(12).

Lx(fr) kan saaledes findes af L(x), naar Funktionen F(e,9)
kendes.

De Oplysninger, den sachsiske Statistik giver til Bestemmelse denne Funktion, er imidlertid saa mangelfulde, at det ikke er muligt at gennemføre Beregningen af F(s, 9-). Heldigvis den dog saa meget, at Skaden derved kan anses for at være yderst ringe. Men der kan dog være Grund til at omtale Sagen nærmere, idet den afgiver et slaaende Eksempel hvor lidt der skal til, inden en statistisk Opstilling ganske ændrer Karakter. Ved Bearbejdelsen af den sachsiske Legitimationsstatistik er Problemet slet ikke overset; der offentliggøres hver ny udkommende Aarbog en Tabel til Belysning af Spørgsmaalet. For de f. Eks. i Aaret 1911 legitimerede Børn har den følgende Udsende²) (Tabel 3),

Tilsyneladende giver denne Tabel de ønskede Oplysninger Sammenhængen mellem Barnets Alder (.'/) ved Vielsen og Mellemtiden (V) fra Vielsen til Legitimation. For bedre at overskue Indholdet af denne og tilsvarende Tabeller for andre Kalenderaar, lønner det sig imidlertid at indføre lalt-Tallene neden i en Figur (se Fig. 5); her er paa sædvanlig Maade Mellemtiden t- mellem Vielse og Legitimation samt Kalendertiden t for Legitimationen afsat som Koordinater; alle Legitimationer, der fuldbyrdes i 1911, giver Punkter, der ligger mellem Linierne A_{)A_X A_, . ... og BUB_UB_KB.₂ ?.., medens Legitimationernes Fordeling efter Vielsestidspunktet findes mellem B_{]C_X, AUA_UB_XC, o. s. v.; saaledes er de 6893

---

1) Idet den Jacoby'ske Funktionaldeterminant, der optræder som Faktor Overgangen fra Koordinaterne (t-,0-) til (x, #), her bliver = 1.

2) Statistisches Jahrbuch fur das Königreich Sachsen 41. Jahrg. 19,13, Side 36; i de ovenfor Side 123 nævnte periodiske Bearbejdelser i Zeitschrift findes de tilsv. Tal for 5 Aar ad Gangen.

Legitimationer i 1910, de 345 i 1911 og de 66 i 1912 alle
at henføre til Vielser, der fandt Sted i 1910. Medens Vente-

tiden (?) mellem Ægteskab og Legitimation ikke for nogen
af de 6893 Børn i 1910 eller for de 7125 i 1911 o. s. v.
kan have været over et Aar, er Forholdet for dem, der legitimeresi

meresidet paa Ægteskabs-Kalenderaaret følgende Kalenderaar,det, Ventetiden for de 345, der blev legitimeret i 1911, men hvis Forældrene allerede giftede sig i 1910, kan have alle Værdier mellem 0 og 2 Aar. Nogle af de 7125 Børn, hvis Ventetider gennemgaaende har været mindre end de 345'5, har til Trods herfor haft større Ventetider end visse af de 345; og blandt de 64, hvis Forældre giftede sig allerede i 1909, og som gennemgaaende har haft Ventetider, der er større end de 345'5, har ikke desto mindre nogle haft Ventetider, der er mindre end dem, visse andre af de 345 har oplevet. Som nævnt er det Tabellens lalt-Tal for samtlige Aldre, S-, der er indført i Figuren; havde man ikke tillige Alderen at tage Hensyn til, vilde en Interpolation af ganske samme Art som den foran benyttede kunne bøde paa denne Mangel, thi Omraaderne er af ganske samme Form; ved en saadan Interpolation kunde man vel tænke sig f. Eks. de 455, der i 1912 legitimeredes af Forældre viet i 1911, delt i to Dele (lad det være 300-f-155),af de 300 falder i Trekant B^B_XC_X (og hvis Ventetidersaa laa mellem 0 og 1) og de 155 i Trekant B_x C:,C_] (og hvis Ventetider allé laa mellem 1 og 2). Man kunde da tage de 300 sammen med de 7125 og faa 7425 Børn, om hvilke det med Sikkerhed vides, at deres Legitimation indtraf inden et Aar efter Vielsen. De 7125's Fordeling efter Alder er nu givet i foranstaaende Tabel; derimod kendes ikke Aldersfordelingenfor 300 saa lidt som for de resterende 155, selv om Fordelingen af de 455 tilsammen vilde fremgaa af den tilsvarende Tabel for 1912, paa samme Maade som Fordelingenaf er givet i Tabel 3.

Man kunde nu gaa ud fra den Antagelse, at saavel de 300 som de 155 fordeler sig paa samme Maade efter Alder, hvilken Fordeling saa vilde være den, som de samlede 455 Børn udviser; for en saadan Antagelse taler den Kendsgerning, at Tallene i Tabel 3 rent skønsmæssig i alt Fald ikke giver Udtryk for nogen udpræget Korrelation mellem /> og e. Følgen en saadan Antagelse er imidlertid blot, at hele Betragtningen Opstillingen i Tabel 3 da bliver ganske overflødig (jfr. nedenfor); skulde der være nogen Mening forbundet en Bearbejdelse af Materialet i denne Retning, burde Tabellen vel have den Forspalte, den har, men af „Hovedet" skulde fremgaa nøjagtige Grænser for Ventetiden

Grunden til, at dette ikke er Tilfældet, er nu ikke den,
at h ikke kendes for hvert Tilfælde; for de i Aarene 1911 —15

38 923 fuldbyrdede Legitimationer under et finder man1) følgendeFordelinger,
efter Børnenes Alder (»'/) dels efter
Ventetiden (*) (Tabel 4).

Saafremt nu de her foreliggende Oplysninger var kombinerede een Tabel til Erstatning for den ovenfor meddelte (Tabel 3), kunde man heraf og uden Brug af Tabel 3 bestemme Funktion F(s, »'/), hvoraf Opgavens Løsning afhang; ikke engang i det Tilfælde, hvor en Bestemmelse af F(e, .'/) viste, at Størrelserne (¦ og .'/ var eller med tilstrækkelig kunde betragtes som ukorrelerede,") vilde man have Nytte af Tabel 3. At t- og t) er ukorrelerede, vil nemlig sige, at F(e, />) kan fremstilles som et Produkt af

2 Faktorer, af hvilke den ene kun afhænger af t, den anden
kun af 0-, at man altsaa har

Dette betyder jo nemlig kun, at enhver af de enkelte Dele
i Børnenes Fordeling efter Alderen, .'>, (altsaa de 1032, de

---

1) Zeitschrift, Jahrg. 66 u. 67, Side 54 og Side 57.

2) Af Tabellens Tal vil ses, at man her har et Tilfælde for sig, i hvilket Spørgsmaalet Korrelation eller Ikke-Korrelalion ikke kan afgøres alene ved Beregningen af „Korrelationskoefficienten", idet Fordelingen afviger fra den typiske.

1882 o. s. v. i Tabel 4) kan deles ud paa de Grupper, hvori Børnene er delt efter Ventetiden s's Størrelse, i Dele, der forholder sig som de Dele, med hvilke Børn i samtlige Aldre fordeler sig i disse Grupper. En Tabel med Kombination af «'/ og e vilde da ikke indeholde andet, end hvad der allerede er givet i Tabel 4; /, (V) og f.₂(0- kunde da ogsaa bestemmesalene de i denne Tabel givne Oplysninger, og Ligning(12) saa antage Formen

(13).

Med de her beskrevne til Raadighed staaende Oplysninger det altsaa ikke kunnet afgøres endeligt, hvormeget den Omstændighed, at Børnene i Tyskland, modsat hvad Tilfældet er i Danmark, i nogle Tilfælde først legitimeres, efter at nogen Tid er hengaaet efter Vielsen. Af Tabel 4 fremgaar nu imidlertid, ca. 60 pCt. af de uægtefødte legitimeres paa selve Forældrenes Bryllupsdag, og at ca. 3 Fjerdedele er legitimerede 8 Dage efter, at altsaa Ventetiden e= x^—& i det overvejende Antal Tilfælde er en meget lille Størrelse. Det kan da paa Forhaand siges, at Betydningen af dette Forhold kan være meget stor, og da man i Forvejen alligevel ved, om Hensyntagen hertil vil bringe bedre eller daarligere Overensstemmelse med danske Forhold, er der i det følgende ikke taget Hensyn til denne Omstændighed.

III. De danske Uægtebørns Dødelighed.

Som antydet ved Kurven i Fig 4 strækker den foran foretagne Bestemmelse af Legitimationsintensiteten sig ikke udover 4-Aars Alderen. Til Brug i det følgende er denne Kurve ved grafisk Ekstrapolation tænkt fortsat ud over 4-Aars Alderen (den punkterede Del). Forudsætningen for en saadan Ekstrapolation er naturligvis, at l(x) allerede ved 4-Aars Alderener stærkt Fald, og at Legitimation af Børn i højere Aldre, f. Eks. 10^—15 Aar, er forholdsvis sjælden; efter det foran bemærkede antages l{x) at være den samme for Drenge

og Piger, og efter 15-Aars Alderen tænkes al Legitimation at
ophøre. De benyttede Værdier er følgende

Kaldes som ovenfor det Antal Børn, der *af den betragtede er tilbage efter x Aars Forløb, »/^(a;), naar det drejer sig om de ægtefødte eller senere legitimerede, y.,(x)> naar det er de resterende ikke døde og ikke legitimerede Uægtebørn, og tf>(x), naar det gælder begge Slags under eet, har man til enhver Tid

(14).

(l>(x) er allerede kendt og tabuleret (Tiis-Kolonnerne i Tabellen Side 121). Paa samme Maade som Side 129 beskrevet kan man af Tabel 1 tænke sig bestemt 2 Funktioner, D_{(x) for Ægtebørnene og D.₂(x) for Uægtebømene, der angiver Dødsfaldenes Fordeling efter Alder; for de legitimeredes Fordeling Alder behøves kun een Størrelse, der betegnes L(x); denne er foreløbig übekendt. Ganske paa samme Maade som før skal da (p₂(x) tilfredsstille Ligning (5), der kan skrives paa Formen

(15);

her var før højre Side kendt; i (15) mangler man derimod
Kendskab til L(x); til Gengæld ved man, at

(16),

hvor i(x) er kendt; indsættes dette i (15) faas

(17),

ved hvilken Differentialligning (/>., maa bestemmes; da den er
lineær og af første Orden, faar man umiddelbart

(18).

Denne Løsning kan ogsaa let fortolkes umiddelbart; e'i' giver Tallene i den foran Side 133 meddelte Legitimationstavle, altsaa Brøkdel af uægtefødte, som endnu i Alderen x er ulegitimerede; medens D₂(x) angiver Tætheden af Dødsfald blandt Uægtebørn i Alderen x i en Bestand, der tillige er udtyndet ved Legitimationer, vil D₂(x) "' x angive Tætheden, saafremt ingen saadanne Legitimationer havde fundet Sted, og Integralet mellem Grænserne 0 og x af denne Størrelse, hvor mange af de oprindelige y>₂(0) Uægtebørn, der vilde dø, inden de naaede Alderen x, hvis de ikke samtidigt udtyndedes ved Legitimation; naar dette Antal trækkes fra <j>.,(o), bliver Resten Antallet af Overlevende, naar de oprindelig y>>{o) fødte Uægtebørn underkastes den til disses Dødelighed svarende Udtynding.

Kaldes Antallet af Overlevende i Alderen x som sædvanlig
}(x) for Ægtebørn og L,(x) for Uægtebørn), har man
altsaa.

(19),

medens saa (18) giver

(20).

Integrationen i (19) maa udføres numerisk; men man behøver først ved Anvendelse af en Interpolationsformel at bestemme D.>(x), som det var nødvendigt ved Bestemmelsen af l(x) Side 129. Summeres nemlig f. Eks. fra oven i Tabel 1 over Antal Dødsfald, og kaldes det samlede Antal Dødsfald, der er indtruffet inden x Aar, F(x), har man

(21).

delvis Integration faas nu, at

Her kan F(x)cY'tA og F(x)-/.(x)e S''dA umiddelbart tabuleres,
og den forlangte Integration udføres numerisk. Naar denne er
udført, faas

Er (f>.j(x) først bestemt, findes yx{x) af (14) ved

Medens baade </._>(x) og (/pc) stadig aftager med voksende x,y(x), fordi der i denne Størrelse stadig sker Fradrag paa Grund af Dødsfald, og y>₂(x), fordi der i denne sker Fradrag saavel ved Dødsfald som Legitimation, er der Mulighed for, at tpx (x) paa visse Aldersstrækninger bliver voksende, nemlig saafremt Tilgangen ved Legitimationer overstiger Afgangen ved Dødsfald (jfr. Tabel 5).

Af (16) kan nu den hidtil ukendte Størrelse L(x) findes

(22),

og indføres tillige den nye Størrelse, XX{X); der nu kan bestemmes

(23),

som Udtryk for den Styrke, hvormed Mængden af tilstedeværende og allerede legitimerede Børn i sig optager de ved den fortsatte Legitimering stadig tilkommende, vil Overlevelsestavlen lx(x)l_x(x) for legitime eller legitimerede Børn kunne bestemmes ved

(24).

Af Hensyn til den numeriske Integration, der for det første Aldersaar foretages Maaned for Maaned, og som straks derefter kun ret unøjagtigt kan foretages med Aaret som Interval, ved Interpolation i de umiddelbart givne Tabeller over (j(x) og F(x) bestemt Værdier af disse Funktioner for Aldrene 18, 21 og 30 Maaneder. løvrigt giver Regningens Gennemførelse ikke Anledning til Bemærkninger.

Paa den her beskrevne Maade kan Beregningen gennemførestil
Aars Aldersgrænsen (Resultaterne fremgaar af Tabel

o); men hermed ophører de umiddelbart givne Oplysninger
om Dødsfald særskilt blandt Ægtebørn og Uægtebørn.

Da det imidlertid af Hensyn til Bestemmelsen af Forskellen Ægtebørn og Uægtebørns Middellevetid, som ogsaa af Hensyn til det videregaaende Spørgsmaal om Antallet af ægtefødte og uægtefødte i Befolkningen, vilde være af Interesse følge de for de første 5 Aldersklasser bestemte biometriske Funktioner saa langt, at Forskellen mellem de to Kategorier kan antages at være helt forsvundet, er Beregningen forsøgt videreført ved Hjælp af en Hypotese.

Ved Opstillingen af denne er det forudsat, at ligesom Legitimationerne helt standser ved 15 Aars Alderen, vil omkring Alder den Forskel, som før har været tilstede m. H. t. Dødeligheden, ogsaa efterhaanden være ganske forsvundet; Dødelighedsintensiteteme i Overensstemmelse med den foran brugte Betegnelsesmaade l^al (x) for Ægtebørn, 2 (x) for Uægtebørn og fi (x) for begge Kategorier under eet, maa man altsaa tænke sig, at f. Eks. en af Differenserne

(25)

vil blive forsvindende, naar X nærmer sig 15-Aars Alderen,
idet det af de fundne Tal fremgaar, at //.2 (x) > /.v (X) omkring
4—54—5 Aars Alderen.

Bestemmer man dels ved Hjælp af den allerede Side 121
beregnede Tabel over y (x), dels ved Hjælp af den officielle
Dødelighedstavle for 1911 —15 Sandsynligheden

for, at en 4-aarig skal blive 5 Aar, finder man følgende Tal

Middelfejlen paa disse Hyppigheder bliver ca. 0.00015, og betragtes Forskellen, der stammer fra det noget forskellige Materiale (se Fig. 2), ses den at være af Størrelse omtrent som selve Forskellenes Middelfejl, der bliver omkring 0.00020, eller mindre end denne. Dødeligheden i 4-_—5 Aars Alderen

har saaledes ikke ændret sig væsentligt fra 1911-15 til 1916 —20; det kan derfor antages, at man i (25) med god Tilnærmelsekan de Værdier af </> (x), som findes af den officielle Dødelighedstavle for 1911 —15 for Aldrene fra 5 —15 Aar. Sætter man derefter

og bestemmer u og m ved en Udjevning, saaledes at denne Formel passer saa nær som muligt for Aldrene 3—53^—5 Aar, kan /i₂(x) bestemmes for alle Aldre fra 5—155_—15 Aar. Man finder paa denne Maade følgende Værdier for Uægtebørnenes Døde- Jighedsintensiteter:

Paa Übetydeligheder nær faas de samme Tal, hvis man
forsøger at gøre Differensen

forsvindende, naar x nærmer sig 15 Aar; paa begge Maader bliver Forskellen mellem /i₂(x) og /i(x) iøvrigt allerede ved 10_—12 Aars Alderen saa lille, at den ikke gør sig gældende i de her medtagne 5 Decimaler, idet m bliver ret stor (omkring for Drengene og 5 for Pigerne).

Ved numerisk Integration i Tabellen over /i.,(x) findes nu
umiddelbart Fortsættelsen af Overlevelsestavlen for de uægtefødte

(26);

Fortsættelsen af (p<,(x) faas dernæst ved

(27),

og herefter kan L (x) fortsættes ved Ligning (22).

Til Bestemmelse af y_x (x) og de legitimes Overlevelsestavlesavnes kun Fortsættelsen af tp (x); men efter det foran udviklede kan denne Fortsættelse findes ved at lade de Overlevendeved Alderen y (5) uddø i Overensstemmelse med Dødelighedstavlen 1911 —15. Derefter findes Fortsætteisenaf

teisenaf<y, (x) og /, (x) paa ganske samme Maade som for
Aldrene under 5 Aar ved Ligningerne (14) og (22)—(24).

De paa denne Maade fundne Resultater er tildels gengivne
i Tabel 5. Her er tillige tilføjet Middellevetiden, der findes af

idet t;(15) kan tages umiddelbart fra den officielle Tavle baade for Ægtebørnenes og Uægtebørnenes Vedkommende, eftersom baade Legitimationerne og Forskellen i Dødelighed er antaget forsvindende fra 15 Aars Alderen.

Af de fundne Middellevetider for Nulaarige kan man umiddelbart beregne de alle Aldre omfattende summariske Dødelighedskvotienter ægtefødte og uægtefødte Drenge og Piger ved Formlen

Derved finder man følgende Tal (i Tusindedele)

Naar Dødeligheden her for begge Kategorier under eet ligger omkring 17 p. m., medens man for Tiden plejer at vurdere den til omkring 13 p. m., maa det erindres, at det lavere Tal, 13 p. m., er beregnet paa Grundlag af den faktiske Aldersfordeling Befolkningen, og denne er som bekendt ogsaa afhængig af Fødselsoverskudets Størrelse foruden af Vandringerne ¹)

Den her fundne Forskel mellem Ægtebørn og Uægtebørn er ikke meget betydelig, men hviler ogsaa paa Forudsætningenom, Dødeligheden er den samme for begge Kategorier fra 15 Aars Alderen. Hvilken Virkning Hensyntagen til Legitimationernehar, derfor tydeligere enten af en Sammenligningmellem _x{x) og L,(x) i Tabel 5, eller ved at sammenligne de i Tabellen Side 121. beregnede Tal for de

---

1) Jfr. Stat. Tabelværk .5. R. Litra A. Nr. 13: Ægteskaber, Fødte og Døde i 1911 — 15, Kbhvn. 1919, Side 42* f.

summariske Dødelighedskvotienter for nogle udvalgte Aldersintervallermed
paa ganske tilsvarende Maade men
nu af lx(x)lx(x) og U(x) beregnede Kvotienter.

Virkningerne af Legitimationerne ses nu tydelig. For de første Maaneder stemmer Tallene nogenlunde med de Side 121 beregnede; senere bliver Afvigelserne større og de uægtefødtes mindre Dødelighed i 3—53^—5 Aars Alderen er nu ganske forsvundet.

I Tabel 5 er ogsaa meddelt Tal vedrørende de ved Bern,
w<>(x)
regningen benyttede Hjælpefunktioner ?~I—--1—--- og ¦~-f.., der
(^(0) f/,2(0)
kan siges at angive Aldersfordelingen af Bestanden henholdsvis
af ægtefødte plus legitimerede og af uægtefødte. For disse
Størrelsers Vedkommende knytter der sig imidlertid større Interesse
deres Integraler, idet

vil angive, hvor mange pCt. af et Aars uægtefødte der vil være tilbage i Aldrene mellem n og n -j- 1 ved Udgangen af et Kalenderaar, altsaa f. Eks. hvormange der ved Slutningen 1920 er tilbage i Alderen o—l Aar af Uægtebørn født i 1920, og i Alderen I—2 Aar af Generationen 1919 o. s. v. Disse Integraler faar følgende Værdier:

Heraf kan nu for de uægtefødte først beregnes Middellevetiden forskellige Aldre, idet der saa ikke blot tages Hensyn til Afgang ved Død men ogsaa til Afgang ved Legitimation; Middellevetider er altsaa Gennemsnittet af alle de Levetider, der naas af et Uægtebarn, inden det enten dør eller legitimeres; følgende Tal vil være tilstrækkelige som Illustration.

Som det vil ses, indtræder Maksimet her langt senere end for e(x) efter Tabel 5, fordi Legitimationerne ikke aftager tilnærmelsesvis saa hurtig som Dødeligheden. Af den Slags mere summariske Udtryk for Bevægelserne, hvortil Middellevetidenhører, det her beregnede for Legitimationernes Vedkommendeanses et af de bedste; af en Legitimationstavle som den Side 133 beregnede (der dér kun gaar til 4-Aars Alderen,men er fortsat til Brug ved de videre Beregninger)kan

ninger)kan„Middellegitimationstiden" nemlig ikke findes, idet en betydelig Del af Børnene aldrig bliver legitimerede. Anerkender man altsaa ingen anden „Forsvindingsmaade" end Legitimation, hvad der er den Fiktion, Tavlen .giver Udtryk for, er der en Del, som i den her behandlede Forstand „aldrigdør", Middellevetid altsaa bliver uendelig stor. Da

for henholdsvis Drenge og Piger antager Værdierne 0.45976 og 0.46291, kunde man se helt bort fra disse Dele, der aldrig Legitimation, og danne en ny Legitimationstavle ved fra alle den oprindelige Tavles Tal at trække de anførte Andele. Af den saaledes ændrede Tavle kan man nu finde følgende for dem, der i det hele legitimeres.

Imidlertid er disse Tals Karakter af en noget anden Art,
ligesom det er tvivlsomt, om de giver Udtryk for noget, som
ikke allerede kan aflæses af de i Forvejen beregnede.

Den uden Sammenligning vigtigste Anvendelse, der kan
lx + /
gøres af de foran meddelte Tal over Værdien af \ y.2(x) dx
ex
er derimod Beregningen af den tilstedeværende Befolknings
Fordeling efter Alder og Legitimitet. Af Tabellen fremgaar
nemlig som fremhævet, at af de i 1920 her i Landet udenfor
Ægteskab fødte 4644 Drenge vil 78.206 pCt. eller 3632 være
tilstede ved Begyndelsen af 1921 i en Alder af o—l0—1 Aar;
af de i 1919 fødte 3574 vil 59.520 pCt. eller 2127 være
tilbage og nu i en Alder af I—21—2 Aar; paa samme Maade kan
Beregningen gennemføres for Ægtebørnenes Vedkommende, og
man finder derved følgende Tabel:

.Hvor stor Indflydelse de Momenter, der ved denne Beregning er taget i Betragtning, kan have, er det nu vanskeligt have nogen talmæssig udtrykkelig Mening om; Middelfejlen det samlede Antal illegitime Børn bliver kun nogle faa Hundreder; men Beregningen af denne forudsætter bl. a., at de benyttede Sandsynligheder er fundne uden en vilkaarlig Forudsætning som den, Overførelsen af de sachsiske åringer betyder; endelig er det jo sandsynligt, de territoriale Vandringer, hvorfra der her ses bort, snarere giver systematiske end tilfældige Fejl; skønsmæssigt vil man vel være berettiget til i alt Fald at kunne sige, at Antallet af uægtefødte, ikke legitimerede Børn her i Landet (bortset fra Sønderjylland) efter det anførte kan anslaas til at ligge mellem 50 og 60 Tusinde.

Da saavel Legitimation som Forskel i Dødelighed tænkes helt forsvundet fra 15 Aars Alderen, kan Beregningen nu føres videre til at omfatte hele Befolkningen; omkring 14^—15 Aars Alderen er ca. 47-' pCt. af Befolkningen illegitim, medens godt 10 pCt. af samtlige fødte er Uægtebørn, et Talforhold, der har holdt sig meget nær konstant gennem de sidste hundrede Aar; sættes Danmarks Befolkning (uden Sønderjylland) ved Begyndelsenaf til 3102000, hvoraf efter ovenstaaende ca. 969 000 er under 15 Aar, bliver 2133000 tilbage, hvoraf 4Va pCt. skulde være illegitime. Dette giver ca. 96000 illegitime over 15 Aar, som lagt til det ovenfor beregnede Tal, ca. 54000,

giver et samlet Tal af illegitime paa ca. 150 000, eller i Gennemsnitca.
pCt. af den hele Befolkning1).

Angaaende Spørgsmaalet om Forskellen mellem gtefødtes uægtefødtes Dødelighed skal endnu blot nævnes et Arbejde af L. Hersch²), i hvilket denne Deling af Børnene ganske forkastes til Fordel for en Deling efter sociale Forhold. For at finde et Maal for disse Forhold er Paris, hvorfra det til Grund for Undersøgelsen liggende Materiale stammer, blevet delt i et Antal Distrikter, og for hvert af disse er beregnet en Indkomst-Index, der ordner Kvartererne i en Skala fra de mest udprægede Fattigkvarterer til de mest velstaaende, og Dødeligheden hvert af disse er dernæst bestemt. Herved viser det sig da ogsaa, som det kunde ventes, at Spørgsmaalet om god eller daarlig social Stilling er af langt større Betydning Legitimiteten; Forf. fører sine Undersøgelser saa vidt, at ogsaa Dødelighedsintensiteten, svarende til forskellige Dødsaarsager, bl. a. skulde Tuberkulosedødeligheden ligefrem kunde beregnes som en med Kvadratet paa den ovennævnte omvendt proportional Størrelse, d. v. s. at denne Dødsaarsags Betydning vokser langt stærkere, naar Indtægten gaar ned fra f. Eks. 10000 til 8000 frs., end om den gaar ned fra 50000 til 40000 frs.; det vil dog være et stort Spergsmaal, om man paa denne simple Maade kan gøre Rede for Virkningen af blot et lille Antal vigtige Dødsaarsager; og ved en rationel Bestemmelse af Dødeligheden efter Indkomst, Spørgsmaalet om Vandring uden Tvivl vise sig at blive langt vanskeligere at faa Bugt med end ved den her gennemførte Deling.

---

1) Jir. Stat. Tabelværk V. R., Litra B. Nr. 13, Ægteskaber, Fødte og Døde i 1911 —15, Kbhvn. 1919, Side 57:;:, hvor Muligheden af en saadan Beregning er omtalt, men ikke udnyttet.

2) L. Hersen: L'inégalité devant la mort, Revue d'économie politique, t. XXXIV, Paris 1920, Side 273—302 og Side 447 — 466.