Resumé

I denne artikel introduceres intervaller og fuzzy tal som en hensigtsmæssig og matematisk stringent repræsentation af økonomiske usikkerheder. De fire regningsarter for således repræsenterede usikre økonomiske størrelser demonstreres og diskuteres. Ligeledes demonstreres økonomiske kalkulationer med usikre funktioner og de dermed forbundne problemer diskuteres. Ranking af usikre økonomiske størrelser sættes i relation til klassisk økonomisk beslutningsteori. Det godtgøres i artiklen, at konventionelle økonomiske kalkulationer bekvemt kan udvides til at inkludere relevante usikkerhedsvurderinger til understøttelse af rationelle beslutningsprocesser. Resultaterne illustreres i artiklen på typiske anvendelser indenfor et kendt økonomisk problemområde, nemlig investeringsbeslutninger.

introduktion

Denne artikel tager sit udgangspunkt i det grundlæggende beslutningsproblem, der opstår som en konsekvens af beslutningstagerens usikre viden om de (fremtidige) forhold, der danner grundlaget for beslutningsprocessen. I langt de fleste praktiske tilfælde fremstilles beslutningssituationen som om beslutningstageren har sikker viden om de økonomiske størrelser, der indgår i kalkulationerne og anvendes i argu-

mentationen for eller imod en bestemt beslutning. I den klassiske beslutningsteori antages det, at en kognitiv kompetent beslutningstager har sikker viden og er i stand til at forudse alle relevante fremtidige tilstande i verden. I dette tilfælde kan beslutningstageren kalkulere de økonomiske konsekvenser af enhver strategi han måtte ønske at realisere og følgelig vælge den strategi, som opfylder hans aspirationer optimalt, Knight (1921).

I beslutningsteorien skelner man normalt mellem risiko og usikkerhed. Ved beslutning under risiko antages det, at sandsynligheden for den fremtidige indtræfning af bestemte begivenheder er objektivt kendt, hvorimod sandsynlighedsfordelingen ikke objektivt kan fastlægges ved beslutninger under usikkerhed. Ved beslutninger under risiko er det (i princippet) muligt for beslutningstageren at kalkulere forventningsværdien af utility funktionen (den individuelle nyttefunktion) under hensyntagen til begivenhedernes sandsynlighedsfordelinger, Hertz (1964).

Inden for det okonomiske fagomrade kan der findes mange fortolkninger af begrebet usikkerhed(risiko). Kylaheiko (1995) foreslar denne yderligerc kvalificering af begrebet:

• Parametrhk usikkerhed(risiko) kan repraesenteres ved at belutningstageren producerer en udtommende liste over hans strategiske optioner, omverdenens mulige fremtidige tilstande og hans subjektive forestillinger om sandsynligheden for at disse mulige fremtidige tilstande

• Kilden til strukturel usikkerhed (risiko) er
mangel pa a priori viden om fremtidens
strukturelle egenskaber, herunder kon-

sekvenserne af interaktionen mellem virksomheden og omgivelserne, som ikke ex ante kan tages i betragtning, specielt ikke i forbindelse med konsekvenserne af teknologisk udvikling.

Endelig er der radikal usikkerhed (risiko), som opstår i forbindelse med en omgivelsesrelateret strukturel usikkerhed (risiko) og en virksomhedsrelateret usikkerhed (risiko) omkring procedurer, Dosi og Egidi (1991).

Sandsynlighedsbegrebet og statistiske metoder i det hele taget (så som Monte Carlo simulering) har spillet en dominerende rolle i forbindelse med repræsentation og kalkulation af økonomiske usikkerheder. Der er imidlertid forbundet væsentlige problemer med den praktiske anvendelse af disse metoder, også hvad angår beregningsalgoritmer, se f.eks. Schjær-Jacobsen (2000). Hvis vi f.eks. i det generelle tilfælde skal kalkulere nytteværdien som funktion af økonomiske variable givet ved deres sandsynlighedsfordelinger, involveres særdeles komplekse beregninger. Metoden kan desuden kun benyttes, såfremt sandsynlighedsfordelingerne for de enkelte variable overhovedet kan beskrives, hvilket sjældent er tilfældet. Dertil kommer at beregningen af nytteværdien i princippet bør inddrage beslutningstagerens risikopræference, da det ikke er ligegyldigt for beslutningstageren, hvilken usikkerhed der er relateret til en givet afkast.

I denne artikel foreslås det derfor at gå andre veje, der i praksis tillader at kalkulationmed usikre økonomiske størrelser kan gennemføres ved en bekvem udvidelse af konventionelle repræsentationer afsikre størrelser, dvs. ordinære tal, til repræsentationeraf

tionerafusikre størrelser, nemlig intervallerogfuzzy tal. Historisk og videnskabeligt er der tale om to forskellige udgangspunkter,som i denne artikel søges bragt ind i en fælles forståelses- og anvendelsesramme.Tankegangen omkring intervaller stammer fra bestræbelser på at få styr på de praktiske beregningsmæssige unøjagtigheder,der opstår i computere, som opererermed en begrænset nøjagtighed i den interne talrepræsentation, Moore (1962, 1966). Ideerne om fuzzy mængder og tal stammer fra ønsket om kunne skabe en nøjagtig repræsentation af usikre og vage informationer og en mangeværdi-logik som kontrast til den klassiske binære logik sand-falsk, Zadeh (1965, 1975).

Numerisk representation af usikre økonomiske størrelser

Repræsentation ved intervaller

En sikker økonomisk størrelse repræsenteres ved et reelt tal. F.eks. siger vi, at afsætningen af et bestemt produkt i den kommende periode vil være 10.000 stk. Det falder naturligt at repræsentere en usikker økonomisk størrelse som et interval. F.eks. kan vi ikke vide med sikkerhed, at afsætningen vil være 10.000 stk., men vi kan måske sige, at afsætningen vil ligge mellem 8.000 og 11.000 stk., uden nøjere at kunne specificere hvor i intervallet [8.000, 11.000] afsætningen vil komme til at ligge. Estimatet 10.000 stk. er således blevet erstattet med et dobbelt estimat [8.000, 11.000] stk. Det dobbelte estimat repræsenterer usikkerheden i forbindelse med den økonomiske størrelse, som afsætningen

En forudsætning for at introducere intervallet som en meningsfuld repræsentation onaf usikkerhed er, at vi kender den nedre og ovre grasnse for en given okonomisk storrelse. Har vi sa ikke blot erstattet en form for uvidenhed (nemlig uvidenheden om den eksakte vasrdi af den okonomiske storrelse) med en anden form for uvidenhed (nemlig uvidenheden om de eksakte storrelser af den nedre og ovre grasnse)? Hertil er at sige, at der stilles storre krav til argumentationen, og dermed vores viden, nar vi hasvder, at afsastningen i nasste periode bliver 10.000 stk. end nar vi haevder, at afsastningen vil ligge mellem 8.000 og 11.000 stk., endsige mellem 4.000 og 15.000 stk. Jo storre usikkerhed vi ma lade indga i den okonomiske kalkulation, jo mere ufuldstasndig er den viden, som er reprassenteret i kalkulationen.

Det er for nylig blevet foreslået at anvende intervaller i forbindelse med evaluering af worst- og best-case (WBC) økonomiske konsekvenser af teknologisk udvikling, Schjær-Jacobsen (1996, 1997).

Repræsentation ved fuzzy tal

Siden Zadeh (1965) introducerede f«^)' mængder og fuzzy tal har der udviklet sig en lang række applikationer inden for ingeniørvidenskab, management og finansiering. En fuzzy mængde er en klasse af objekter med et kontinuum af grader af medlemskab defineret af en membership funktion, som kan antage værdier mellem 0 og 1. Fuzzy mængde konceptet tilbyder en stringent måde at registrere upræcise, vage og usikre udtalelser på, så som "store investeringer", "omkostningerne vil blive reduceret betragteligt i den kommende periode" og "omsætningen vil stige en smule næste år".

I denne artikel er vi primært interesseret\

ret\fuzzy tal konceptet som en måde at beskrive usikker eller fuzzy viden om økonomiskestørrelser på. Ifølge Dubois og Prade (1978, 1979) kan et fuzzy tal defineresmere præcist som en fuzzy delmængde af de reelle tal R karakteriseret ved membershipfunktionen f(x). Denne generelle fremstilling af fuzzy tal kan forenkles ved at antage en stykkevis lineær membership funktion. Det kan f.eks. føre til to typer af fuzzy tal:

For det første det trapezoida le fuzzy tal,
Wang og Liang (1995), se Figur 1:

(la)

(Ib)

(le)

(Id)

For det andet det triangulære fuzzy tal,
Chiu og Park (1994), se Figur 2:

(2a)

(2b)

(2c)

I denne artikel begrænser vi os til fuzzy repræsentation af økonomiske usikkcrheder v.hj.a. triangulære fuzzy tal. Når afsætningen af et bestemt produkt i en fremtidig periode kan repræsenteres ved det triangulære fuzzy tal'[B.ooo, 10.000, 11.000] stk., kan det fortolkes således: Afsætningen vil efter alt at dømme formodentlig blive omkring 10.000 stk. I hvert tilfælde vil afsætningen ligge mellem 8.000 og 11.000 stk., de detaljerede muligheder fremgår af membership funktionens forløb. Hvis vi blot interesserer os for den formodede afsætning og dens nedre og øvre grænser (og altså ikke kedet detaljerede forløb afmembership funktionen), har vi repræsenteret afsætningen som en usikker økonomisk størrelse ved et tre-dobbelt estimat [a, c, b].

De fire regningsarter ved usikkerheder

interval algebra

Vi cstimerer afsætningen af et bestemt produkt til [8.000, 11.000] stk. i den kommende periode. Af forskellige grunde er der også usikkerhed om produktets salgspris, lad os sige at salgsprisen estimeres til [600, 700] kr./stk. For at komme frem til et estimat af produktets omsætning må vi definere en algebra, der tillader os at multiplicere to usikre talstørrelser, som hver er repræsenteret ved intervaller.

I intervalanalysen, Moore (1966), erstattes de algebraiske operationer addition, subtraktion, multiplikation og division (altså de fire regningsarter) med tilsvarende operationer på intervaller, I, = [a„ b,] and I, = [a_„ b,]:

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

Pa dcnnc made kan rcsultatct af beregninger pa usikre tal overvages, saledes at den tilsvarende usikkerhed pa resultatet beregnes, se f.eks. Caprani og Madsen (1992).

Det lille eksempel i starten af afsnittet kan nu gøres færdig. Ved anvendelse af (3c) kan produktets omsætning bestemmes til 14.800.000, 7.700.000] kr. Det er, hvad der kan siges under de givne omstændigheder, dvs. ud fra hvad vi ved om usikkerheden på de indgående økonomiske størrelser, afsætning og pris.

Triangulær fuzzy algebra

For det triangulære fuzzy tal defineret ved (2) introduceres henholdsvis den venstre L(a) og højre R(a) repræsentation af membership funktionen. Ft triangulært fuzzy tal F kan herefter skrives på formen for et interval:

(4a)

(4b)

Som et eksempel, betragt multiplikation
af to triangulære fuz f.y tal F, and F: hvor

(5)

For produktet fås v.hj.a. (3c):

(6)

Bemærk, at medens membership funktionerne for faktorerne F, og F, er stykkevis lineære (5), bliver membership funktionen for produktet F, * F, stykkevis kvadratisk (6). I almindelighed kan der opstå membership funktioner af vilkårlig høj kompleksitet, hvilket ville umuliggøre kalkulationerne i praksis. En måde at overkomme denne vanskelighed på, er at nøjes med at beregne membership funktionen, dvs. L(a) og R(a), for et endeligt antal værdier af a. Som et eksempel på dette, vil vi her definere et tre-dobbelt estimat \.\\]:å. a-snit svarende til de to a-værdier a = 0 og a = 1.

Saledes fas at'(6) et tn-dobbeltestimat
[a. c, b] tor produktet I-', * F, = \l. 10. 28],
idet

(7a)

(7b)

(7c)

Baseret på det ovenfor fremførte og som en generalisering af Kaufmann og Gupta (1988) kan vi nu definere de fire regningsarter for triangulære fuzzy ftf/_{repræsenteret} ved de simplificerede tre-dobbelte esti mater F, = la,. c„ b,l og F. = [a,, c, b:] således:

(Sa)

(8b)

(8c)

(<Sd)

Lad os et øjeblik vende tilbage til eksemplet med et tre-dobbelt estimat af den kommende periodes afsætning på [8.000, 10.000, 11.000] stk. Hvis salgsprisen estimeres til [600, 660, 700] kr./stk., vil den resulterende omsætning blive [4.800.000, 6.600.000, 7.700.000] kr. Her svarer det midterste tal til en ordinær kalkulation og de to yderste tal til en interval kalkulation.

Beregninger med usikre funktioner

Interval funktioner

Beregninger med usikre funktioner er ikke er trivielt problem. Betragt f.eks. det problem, der består i at beregne funktionen g(x) = x(l- hvor x er en variabel, som er behæftet med usikkerhed. Lad os f.eks. sige, at vi ikke kender værdien af x, bortset fra, at vi ved den ligger mellem 0 og 1. For det første er der problemet med den manglende gyldighed af den distributive lov. Afhængigt af om vi "ganger ind i parentesen" eller ej, får vi at den resulterende funktion g antager henholdsvis værdimængderne [0, 1] og [-1, I]. For det andet er der det problem, at ingen af disse resultater er korrekte, idet begge intervaller er for brede. Hvorfor det? Det skyldes, at den variable x optræder mere end et sted i udtrykket for g. Kn nøjere undersøgelse viser, at den sande værdimængde forger [o,'A].

Løsningen på dette problem er at an-

vende numeriske globale optimeringsmetoder til at bestemme det sande resultercnde interval, se Hansen (1992) og Caprani og Madsen (1992). I denne artikcl nojcs vi med at konstatcre, at problemet kan loses og er blevet implementeret i et tilgsengcligt add-in modul til MS-Excel regncark, Hyvonen og de Pascale (1997, 1999).

I økonomiske kalkulationer indgår som oftest funktioner, der rækker ud over anvendelse af de fire regningsarter, f.eks. i forbindelse med renteberegninger og investeringskalkuler. Betragt f.eks. en ordinær annuitet på 1 over n perioder ved renten i, Schjær-Jacobsen (1996). Antag, at renten er behæftet med usikkerhed, vi kender ikke renten, bortset fra at den ligger mellem 3% og 1%. En interval kalkulation af nutidsværdien efter udtrykket for PV, hvor i = [3, 7] %,

(9)

giver PY = [1.963, 9.567] medens en ordinær beregning af nutidsværdien i de to ekstremer for renten, nemlig 3% og 7%, giver PV = [4.100, 4.580], der er det sande og meget snævrere interval. Forklaringen er, at variablen i optræder mere end én gang i udtrykket (9), nemlig to gange, og det resulterende interval bliver derfor for bredt. Faktisk er PV en monoton funktion af renten og ekstremerne for dens sande værdimængde fremkommer derfor ved beregning af PV i de to ekstreme værdier for renten. I det generelle tilfælde er løsningen igen at anvende en global optimeringsmetode.

Funktioner med tre-dobbelte estimater

Betragt igen funktionen g(x) = x(l- hvor x nu antages at være en usikker variabel, der kan beskrives med et tre-dobbelt estimat [0, Ui, 1]- Den sande værdimængde for g bliver det tre-dobbelte estimat [0, 'A, 'A]. Betragt igen annuiteten fra afsnit 4.1, hvor renten nu er en usikker variabel, der kan beskrives ved det tre-dobbelte estimat [3, 6, 7] %. Den resulterende nutidsværdi bliver da det tre-dobbelte estimat [4.100, 4.212,4.580].

I almindelig kan funktioner med tredobbelte estimater beregnes på den måde, at funktionsværdien af estimatets midterste tal beregnes på konventionel vis, f.eks. i et konventionelt regneark. Funktionværdiens ekstreme værdier beregnes som en interval funktion, f.eks. under anvendelse af et add-in modul til MS-Excel, Hyvonen og de Paseale (1997, 1999).

Ranking af usikre økonomiske størrelser

Ranking af intervaller

Kravet om et rationelt økonomisk valg mellem beslutningsalternativer rejser behovet for at ranke (prioritere) usikre økonomiske størrelser. Lad os i dette afsnit antage, at der foreligger tre alternative muligheder for investering A, B og C]. For alternativ A kalkuleres en usikker nutidsværdi på [A_a, A_b] = [80, 120], for alternativ B [90, 110] og for alternativ C [90, 120]. Hvilket alternativ A, B eller C skal foretrækkes, hvis ønsket er at maksimere nytteværdien for beslutningstageren?

Problemet er ikke enkelt, idet hver beslutningstager
må antages at have sin egen
nyttefunktion, der afspejler hans risiko-

præference (risikovillighed) set i forhold til det forventede afkast. Klassisk beslutningsteori, se von Neumann og Morgenstern (1944) og Luee og Raiffa (1957), foreslår et antal forskellige kriterier for valg mellem beslutningsalternativer, der afspejler beslutningstagerens nyttefunktion, og dermed hans risikopræference. Generelt skelnes der mellem aversion, attraktion og neutralitet over for risiko og usikkerhed. Beslutningskriterier af denne art kan fortolkes i relation til grænser for usikkerheder, f. eks. interval endepunkter. Thuneby (1996). I det følgende vil vi fokusere på nogle af de mest anvendte beslutningskriterier.

Ved maximax kriteriet (den optimistiske beslutningstager) udvælges det specifikke beslutningsalternativ, som har potentiale til at producere det størst muligt afkast (f. eks. største øvre grænse for den usikre nutidsværdi). For in_{tena Her} kan dette skrives som:

(10)

dvs. alternativ A foretrækkes frem for alternativ B, hvis den øvre grænse for kapitalværdien af A er større end den øvre grænse for kapitalværdien af B. I ovenstående eksempel vælges enten alternativ A eller C, idet de er lige gode i henhold til kriteriet. Maximin kriteriet (den pessimistiske beslutningstager) peger på det alternativ, der har den største af de lavest tænkelige nutidsværdier (største nedre grænse). Dette kan skrives som

(11)

I vores eksempel vælges alternativ B eller

C. Den bagkloge beslutningstager ville anvendeminimax-regret kriteriet, der minimererden maximale fortrydelse (regret) ved en forkert beslutning. For A er den maksimale regret 120 - 80 = 40, hvor den for Bog Cer 120 -90= 30. Beslutningstagerenbør altså vælge alternativ B eller C. Er der blot to alternativer, svarer dette iøvrigt til den største middelværdi af de to intervaller, se Thuneby (1996):

(12)

Den risikoneutrale beslutningstager vil oftest anvende den største middelværdi som beslutningskriterie, bedre kendt som Laplaee kriteriet, der er kendetegnet ved, at alle udfald tænkes lige sandsynlige:

(13)

Dette medfører et valg af alternativ C.
Afslutningsvis beskrives anvendelse af

et lidt mere kompliceret beslutningskriterium, nemlig Hurwitz' a-kriteriuni, der sammenfatter alle de ovennævnte beslutningskriterier i et. Ideen er, at hver beslutningstager for en given beslutning vælger et pessimismeindeks (X, hvor 0 < ex < 1, (ikke at forveksle med det tidligere omtalte (X-snit). Et index på 0 vil sige, at beslutningstageren ynder risiko, et index på 1 betyder at beslutningstageren er risikoavers og et index på V: betyder, at beslutningstageren er risikoneutral. For to intervaller ser kriteriet ud som følger:

(14)

Det ses af (14), at for a = 1 svarer kriteriet til maximin, for a = 0 til maximax og for a = 'f-> til Laplaee kriteriet. Selv om Hurwitz' oc-kriterium umiddelbart virker omstændeligt,kan

eligt,kanbeslutningstageren vælge sit pessimismeindeks efter beslutningens karakter,fremfor generelt at skulle vælge mellem at være pessimist, optimist eller neutral.

Er der tale om flere end to intervaller, vælges det alternativ, hvor aa + (l-a)b har den største værdi for den aktuelle værdi af tt. For de tre alternativer A, B og C] er resultatet vist i Figur 3.

Som det ses af Figur 3, er alternativ C i alle tilfælde mindst lige så godt eller bedre end de andre alternativer med dette kriterium, uanset beslutningstagerens pessimismeindeks. Alternativ C bør derfor vælges, hvilket ikke er nogen overraskelse når man ser på resultaterne fra de øvrige beslutningskriterier. Stod valget alene mellem alternativ A og B, ville optimisten vælge A og pessimisten vælge B, igen som ovenfor.

Ranking af tre-dobbelte estimater

I det generelle tilfælde hvor usikre økonomiske størrelser er repræsenteret ved generelle fuzzy tal er ranking temmelig kompliceret. Der er foreslået en lang række metoder, hvoraf ingen doger fundet ideelle, Chen og Hwang (1992). Forholdene bliver noget enklere, når det drejer sig om ranking i tilfældet tre-dobbelte estimater [a, c, b].

Nit tre-dobbelte estimator af udseendct [a, c, b] skal rankes indbyrdes foresllr Kaufmann og Gupta (1988) trc kriterier, licr nsevnt efter faldende prioritering:

• Sammenligning af index, f.eks.
(a+2c+b)/4. Dcttc svarer til en sla^s forvcntningsvaerdi
eller 1. ordens moment.

• Sammenligning af c som repraesentant

for estimaternes mest dominerende værdier, svarende til en ordinær repræsentation af økonomiske størrelser, hvorom der ikke hersker usikkerhed. Sammenligning af estimaternes range, dvs. b-a.

Kriterierne er af en ad hoc karakter og tager f.eks. ikke hensyn til beslutningstagerens risikoaversion og -attraktion, jvf. diskussionen i afsnit 5.1. Vi vil derfor forsøge at udvide de klassiske beslutningskriterier til anvendelse ved ranking af tre-dobbelte estimater.

Det viser sig umiddelbart, at maximax. niaxiniin. niinimax-regret og Laplace kriterierne for tre-dobbelte estimater er identiske med anvendelserne på interxaller. Det kan imidlertid argumenteres, at disse klassiske beslutningskriterier ikke tager hensyn til beliggenheden af midterværdien i det tre-dobbelte estimat, og at der derfor bør udvikles et beslutningskriteriuni, der tager hensyn til alle tre værdier og deres indbyrdes beliggenhed. Vi vil derfor prøve at modificere Hurwitz' a-kriterium til anvendelse ved ranking af tre-dobbelte estimater.

Et modificeret Hurwitz' a-kriterium for tre-dobbelte estimater

Et modificeret kriterium bør bevare det oprindelige kriteriums originale egenskaber: For a = 0 bør det svare til maximax. for a = 1 til maximin og for a = 7: være risikoneutral. For alle værdier af a. 0 < a < 1, er det rimeligt, at den midterste værdi c i det tre-dobbelte estimat tillægges en passende vægt i forhold til de to yderværdier. Vi forslår derfor et beslutningskriterium for ro tre-dobbelte estimater af følgende form:

(15)

hvor n er en konstant, f(cx) er en funktion af a og I er et passende indeks, der vægter de tre værdier i det tre-dobbelte estimat. For n = 4 og f(a) = a - a' fås (bemærk at f((x) er symmetrisk mellem 0 og 1 med toppunkt i a = 'f-'):

(16)

Fora = 0 fis af (16):

(17)

Fora= 1 fås af (16):

(18)

Fora= 7: fås af (16):

(19)

I det risikoneutrale kriterium (19) er middelværdien m for de to estimatcr vægtet med samme vægt som indeks I, som nu skal vælges på en passende måde. Umiddelbart virker tre muligheder naturlige, som vist i det følgende for a = 72:7₂:

For det første kan indeks I vælges til det indre punkt c i det tre-dobbelte estimat, dvs. IAI_A =A,og I„ = B_c, Af (19) fås kriteriet, som (overraskende) svarer til indekset (a+2c+b) f4, Kaufmann og Gupta (1988):

(20)

For det andet kan indeks I vælges som middelværdien m af det tre-dobbelte estimat, dvs. IAI_A = m(A) og I„ = m(B), hvorved fås af (19), svarende til det risikoneutrale Laplace kriterium uden hensyntagen til den indre værdi i det tre-dobbelte estimat:

(21)

Endelig vælges indeks I = (a+2c+b)/4 og af
(19) fås:

(22)

Altså, vægtes Kaufmann og Gupta's indeks lige så meget som midtpunktet for a = 'f■, svarer dette til en vægtning på 3:2:3 af værdierne i det tre-dobbelte estimat.

Praktiske investeringskalkuler med økonomiske usikkerheder

Investeringskalkuler med intervaller

Betragt to alternative investeringer A og B
inden for samme tidshorisont, som er givet
ved deres usikre nettobetalingsstrømme,

repræsenteret ved intervaller. Med en usikker kalkulationsrente på [6, 9] % p.a., er de usikre nutidsværdier beregnet v.hj.a. Interval Solver 2000, Hyvonen og de Pascale (1997), tallene fremgår af Tabel 1.

Det ses, at begge investeringer har positiv nutidsværdi, hvorfor de begge er fordelagtige i forhold til ikke at investere. Ved anvendelse af maximax kriteriet fås, at alternativ A er mest fordelagtig, da denne investering har potentiale til i bedste fald at præstere den højeste nutidsværdi, nemlig 392 mod 335 for B. Maximin kriteriet udpeger alternativ B, da denne investering i værste fald vil resultere i den højeste nutidsværdi, nemlig 207 mod 131 for A. Minimax regret kriteriet peger på alternativ B med en maksimum regret på kun 392 - 207 = 185 mod 335 - 131 - 204

for A. Endelig giver anvendelse af Laplace kriteriet, at alternativ B skal foretrækkes med en middel nutidsværdi på 271 mod 261 for A.

Anvendes Hurwitz' oc-kriterium ses det af Figur 4, at investering A er bedst for aværdier under 0,43 (maximax) medens investering B er bedst ellers (maximin, minimax regret og Laplace).

Det ses umiddelbart, at repræsentation og kalkulation v. hj.a. af intervallerkan anvendes til vurdering af usikre investeringer, især hvor sandsynlighedsfordelingerne for de enkelte udfald ikke er kendt. Der er ydermere den fordel, at beslutningstagerens nyttefunktion ikke behøver at være kendt, blot der benyttes et beslutningskriterium, der tager hensyn til hans risikopræference.

investeringskalkuler med tre-dobbelte estimater

Ved anvendelse af tre-dobbelte estimaterfor de indgående økonomiske størrelser, er det muligt på en systematisk måde at udvide investeringskalkuler fra udelukkende at være baseret på ordinære tal til også at repræsentere nedre og øvre grænser for usikkerheder. Dette svarer til at anvende triangulære fuzzy tal med a-snit svarende til <x = oogl.

Vi betragter her et investeringseksempel, der drejer sig om udvikling af et nyt produkt og produktionssystem. Investeringskalkulen er vist i 'label 2, idet beregningerne af nedre og øvre grænser for tallene er foretaget v.hj.a. Interval Solver 2000, Hyvonen og de Pascale (1997).

Ud fra en betragtning, som udelukkende baserer sig på kalkulens ordinære tal (dvs. midterste tal i de kantede parenteser) er investeringen fordelagtig, idet kapitalværdien er komfortabel positiv ved den valgte kalkulationsrente 9% p.a., nemlig DKR 8.658.000.

lages usikkerhederne imidlertid med i betragtning, kan vurderingen komme til al falde anderledes ud, vi vil hovedsagelig basere de følgende betragtning på det modificerede Hurwitz' a-kriterium. For den optimistiske beslutningstager (dvs. maximax kriteriet, (17)) ser investeringen overordentlig fordelagtig ud, idet den potentielt repræsentereren kapitalværdi på knap 50 mio. Den pessimistiske beslutningstager (maximin kriteriet, (18)) kan se en kapitalværdi på ca. -40 mio. og vil hermed betragte investeringen som særdeles ufordelagtig. Både den bagkloge beslutningstager (minimax-regret kriteriet) og den risikoneutrale beslutningstager (Laplace

kriteriet, (21)) vil se en fordelagtig investe ring. Begge kriterierne (20) og (22) giver ligeledes til resultat, at investeringen er fordelagtig.

Benyttes det modificerede Hurwitz' akriterium, Figur 5, ses at beslutningskriteriet er positivt for alle tre foreslåede indices I op til værdier af a på omkring 0,6. Med det konkrete eksempel ser resultaterne med de tre indices ikke så forskellige ud, men alle tre kurver afviger positivt fra en ret linie. For I = c lægges der størst vægt på midterværdien af den usikre kapitalværdi, for I = (a+2c+b) f4 mindre vægt og for I = intervalmidtpunktet ingen vægt.

Selvom kalkulen baseret på tre-dobbelte estimater for det betragtede investeringseksempel (Tabel 2) indeholder mange tal, er kalkulens budskab relativt let kommunikérbart, kérbart,idet repræsentationen af de usikre økonomiske størrelser fremstår som en let forståelig udvidelse i forhold til de ordinære tal, som anvendes i konventionelle kalkuler. Den praktiske nytte af en sådan kalkule står og falder naturligvis med kvaliteten af de foretagne vurderinger af de indgående usikkerheder. Det kan være overraskende, at den resulterende usikkerhed på eksemplets kapitalværdi er så relativ stor. Man skal her huske på, at der indgår mange størrelser i kalkulen og at der er usikkerheder på dem alle. I praksis er der altså meget, der kan gå galt og godt, men en investering af den aktuelle karakter (produkt- og produktionsudvikling) overlades ikke til sig selv, når beslutningen er taget, der er behov for at følge op i hele projektets levetid. Eksemplet antyder og-

så, at der måske kunne være behov for at søge nogle af de indgående økonomiske størrelser afklaret nærmere med henblik på evt. at reducere usikkerhederne.

Diskussion og konklusion

\'i har i artiklen forsogt at give en samlet og systematisk fremstilling af repraesentation, kalkulation og beslutningstagning under ©konomisk usikkerhed ved anvendelse af interval'/erog fuzzy tal, mere specielt triangul&refuzzy A^/simplificeret til tre-dobbelte estimater. Anvendelsen af de foreslaede fremgangsmader er blevet demonstreret ved praktiske eksempler pa investeringsbeslutninger under usikkerhed og der foreligger saledes dokumentation for, at metoderne er i stand til, ud fra givne usikre data, at kalkulere resultater, der pa stringent vis holder styr pa de resulterende usikkerheder. De klassiske rationelle beslutningskriterier under hensyntagen til beslutningstagerens risikopraeference er blevet udvidet til at gadde for intervaller og tre-dobbelte estimater. Der er saledes hermed tilvejebragt et nyt teoretisk og metodisk grundlag for at handterc rationelle beslutningsprocesser under okonomisk usikkerhed.

En af fordelene ved de foreslåede fremgangsmåder er, at de fremstår som en naturlig og let forståelig udvidelse af konventionelle økonomiske beslutningsprocesser, der anvender ordinær repræsentation af økonomiske størrelser, dvs. almindc-

lige tal. Det betyder, at barriercrnc for praktisk anvendelse i den forstand er lave. Desuden indebaerer den systematiske representation og handtering af usikkerheder, at der kan skabes en nyt kommunikationsmedie mellem forskellige faggrupper, f.eks. okonomer og ingeniorer, nar usikre forudsaetninger for okonomisk begrundede beslutninger skal belyses. For realinvesteringer bor de i denne artikel foreslaede beslutningskriterier ikke sta alene, med mindre alle ovrige forhold, sa som virksomhedens fleksibilitet og reaktionsmuligheder over for kommende trusler, investeringens alternative anvendelse osv., er kapitaliseret i forhold til beslutningstagerens nyttevaerdi.

Vil de foreslåede metoder i praksis føre til "bedre" økonomisk begrundede beslutninger, f.eks. i forbindelse med investeringer? Dette spørgsmål påtager artiklen sig ikke at besvare. Lige som kvaliteten af ordinære investeringskalkuler afhænger af begivenheder og forløb, der endnu ikke har fundet sted, således også kvaliteten af usikkerhedsvurderinger. Metoderne tilbyder imidlertid muligheder for at repræsentere, kalkulere og træffe beslutninger på en måde, der gør det muligt at overskue og forstå de komplekse data i forbindelse med usikkerheder og dermed også forbedre mulighederne for dialog og diskussion af konsekvenserne heraf. 1 den forstand er der åbnet mulighed for at forbedre beslutningsprocesserne.

Summary

The article introduces intervals and fuzzy numbers as an efficient and arithmetically stringent representation of economic uncertainties. The four basic arithmetical operations for such economic uncertainties are demonstrated and discussed, as well as economic calculations with uncertain functions, and connected problems. The ranking of economic uncertainties tiesis related to classical economic decision theory. It is demonstrated in the article that conventional economic calculations can be easily expanded to include relevant uncertainty calculations to support rational decision processes. The results are shown in typical applications within a well-known economic problem area such as investment decisions.

Litteratur

Caprani, O. og K. Madsen: Introduktion til interval analyse. Rapport NI-92-03. Institut for Matematisk Modellering, Danmarks Tekniske Universitet. Lyngby,

Chen, S.-.J and C.L. Hwang: Fuzzy Multiple Attribute
Decision Mating, Springer-Verlag, Berlin fHeidelberg,
1992.

Chiu, C.V. and C.S. Park: Fuzzy cashflow analysis using
present worth criterion. The Engineering Economist,
Vol. 39, No. 2, pp. 113-138, 1994.

Dosi, G. and M. Egidi: Substantive and procedural
uncertainty. Journal of Evolutionary Economics. Vol. 1
No. 2, pp. 145-168, 1991.

Dubois, I), and H. Prade: Operations on fuzzy numbers.
International Journal of System Science, Vol. 9, pp.
613-626, 1978.

Dubois, D. and H. Prade: Fuzzy iral algebra: Some results.
Fuzzy Sets and Systems, Vol. 2, pp. 327-348,
1979.

Hansen, E.: Global Optimization I'sing Interval Analysis.
Marcel Dekker, New York, USA. 1992.

Hertz, D.8.: Risk analysis in capital investment.
Harvard Business Review, January fFebruary, pp. 95-106,

Hyvonen, E. and S. dc Pascale: IntervalSoker 97 for Microsoft Excel. Delisoft LtD., Helsinki, Finland, 1997. (Foreligger også som Interval Solver 2000, version

Hyvonen, E. and S. de Pascale: A new basis for spreadsheet computing: Interval Solver for Microsoft Excel. Proceedings of the 11^th innovative applications of artificial intelligence (lAAI-99), AAAI Press, Menlo Park, California, 1999.

Kaufmann, A. and M.M. Gupta: Fuzzy Mathematical
Models in Engineering and Management Science. Else vier
Science Publishers 8.V., 1988.

Knight, F.H.: Risk, Uncertainty, and Profit. Boston
Houghton Mifflin, 1921.

Kylaheiko, K.: Coping with technology: A study on economic methodology and strategic management of technology. Lappeenranta University of Technology. Finland. 1995.

Luce, R.D. and H. Raiffa: Games and Decisions. John
Wiley and Sons. New York. USA. 1957.

Moore, R. E.: Interval'arithmeticand'automaticerror
analysis in digital computing. Ph.D. dissertation. Stan
ford University, October. 1962.

Moore, R. F".: Inte/xal Analysis. Prentice-Hall. F.nglewood
Cliffs. New Jersey. USA. 1966.

von Neumann. J. and (). Morgenstem: Theory of Games
and Economic Behaviour. Princeton University.
USA, 1944.

Schjær-Jacobsen. H.: .4 new method for evaluating worst-andbest-case (WBC) economic consequences of technological development. International Journal of Pro duction Economics. Vol. 46-47, pp. 241-250. 19%.

Schjær-Jacobsen, H.: Handling economic risks and uncertainties of production technology investments. Proceedings of the 14th International Conference on Production Research, Osaka, Japan,. Vol. 1, pp. 346-349,

Schj£er-Jacobsen, H.: Representation and calculation of economic uncerltimtw* mtn\iils, fuzzy number's, and probabilities. Proceedings of the Eleventh International Working Seminar on Production Economics, Igls/Innsbruck, Austria, Vol. 2. pp. 363-377, 2000.

Thuneby, J.: Intervalanalytisk behandling af økonomiske
usikkerheder. Eksamensprojekt. IMM-EKS-1996-23.

Wang, M.-J. and G.-S. Liang: Benefit fcost analysis us
ing fuzzy concept. The Engineering Economist, Vol. 40,
No. 4, pp. 359-376, 1995.

Zadeh, L.A.: Fuzzy sets. Information and Control, Vol.
8, pp. 338-353, 1965.

Zadeh, L.A.: The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning, Information Sciences, Vol. 8, part I, pp. 199-249, part 11, pp. 301-357,