Resumé

Denne artikel indeholder to pointer. Den første drejer sig om obligationsanalysens anvendelse af valighedsbegrebet. Vi advokererfor brugen af stokastisk varighed frem for de traditionelle statiske varighedsdefinitioner. Den anden pointe vedrører prisfastsættelse af optioner skrevet på kupon-obligationer. Med udgangspunkt i den stokastiske varighed anviser vi en simpel og meget præcis metode til approksimation af optionsprcemier.

Introduktion

Varighedsbegrebet er et for længst anerkendt redskab til vurdering af obligationers og obligationsporteføljers basisrisik o¹ (renterisiko). For analytikere, som beskæftiger sig med de finansielle markeder, hører varighedsbegrebet og dets definition hjemme i mængden af tilværelsens få faste holdepunkter. Der er da også skrevet så meget om dette risikomål og om modifikationer heraf, siden Macauley for næsten 60 år siden introducerede begrebet, at læseren muligvis allerede er ved at trættes ved udsigten til at skulle læse endnu en artikel om emnet. Det er der nu ingen grund til. Vi vil ikke ulejlige læseren med at introducere endnu en påstået forbedret udgave af varighedsmålet, men blot minde om

Cox, Ingersoli & Ross' (CIR) stokastiske varighed¹ (Cox, Ingersoll & Ross (1979)). Denne tilsyneladende noget oversete alternative definition af varighed er efter vor mening det hidtil bedste bud på et risikomål for obligationers basisrisiko f en dynamisk sammenhæng. Vi illustrerer med en række eksempler problemerne med de statiske varighedsmål baseret på f.eks. effektiv rente eller estimerede nulkuponrenter.

ClR's stokastiske varighed danner udgangspunkt for artiklens andet formål, som er at anvise en nemt anvendelig og meget nøjagtig metode til at approksimere priser og hedge ratios for obligationsbaserede optioner. Eftersom metodens grundlag er en dynamisk rentestrukturmodel, er det teoretiske fundament betydelig mere solidt end for konkurrerende metoder, der baserer sig på modifikationer af Black-Scholes' aktieoptionsmodel. Idéerne bag denne del af artiklen er først undfanget af Wei (1995).

Stokastisk varighed

ClR's stokastiske varighed udspringer af en standardmodel for usikkerheden i et obligationsmarked. Det antages, at obligationspriserne er bestemt ud fra tilstandsvariablen »renten ;, rft), og tiden, t, og at renten udvikler sig i henhold til en stokastisk proces af følgende form

(1)

fifr) er processens driftled, der angiver den forventede ændring i renten pr. tidsenhed. Usikkerheden er indført gennem zft), som er en standard Brownsk bevægelse - et støjled, ofr) er volatiliteten, dvs. o"(r) er processens øjeblikkelige varians. ■'

Lad nu P(r,t) betegne en obligations pris på tidspunkt tog ved renten r. Ligning (1) leder, via en anvendelse af Ito's lemma, til, at udviklingen i obligationspriserne er givet ved processen

<*>

hvor m(r,t) er det forventede afkast pr. tidsenhed, og f^betegner den partielt afledte af obligationsprisen med hensyn til renten.

Af ligning (2) ses det, at obligationens prisfølsomhed over for ikke-forventede ændringer i renten er bestemt af størrelsen o(r)P_rIP. Bemærk, at ofr), der hidrører fra renteprocessen, er generel for hele obligationsmarkedet, mens PJP er specifik for den obligation, der betragtes. Størrelsen PJP indeholder således den relevante information om obligationens risiko fkursfølsomhed. Vejen herfra og til et risikomål, der på konsistent vis kan benyttes til sammenligning af obligationers kursfølsomhed, og som kan måles i enheden »tid«, f.eks. »år«, er ikke lang. CIR definerer stokastisk varighed således:

Den stokastiske varighed for en (kupon-) obligation defineres som løbetiden for dén nulkupon-obligation, der har samme kursfølsomhed, som den fkupon-) obligation, der betragtes.

Senere i artiklen, når vi får brug for yderligere matematisk præcision, indfører vi funktionen ffr) for nulkupon-obligationens løbetidsafhængige kursfølsomhed. I overensstemmelse med ovenstående verbale definition kan stokastisk varighed for en

hvilken som helst obligation derfor defineres analytisk som/~ (x), hvor x betegner obligationens kursfølsomhed, jf. ovenfor. For en given dynamisk rentestrukturmodel er det derfor i første omgang et spørgsmål om at få identificeret den funktionelle form iox f(-). I appendix har vi illustreret fremgangsmåden for én af de to meget udbredte rentestrukturmodeller, som vi i resten af artiklen koncentrerer os om. Disse er Vasicek-modellen (Vasicek (1977)) og ClR's kvadratrodsmodel (Cox, Ingersoll & Ross (1985)).

Det er på sin plads at indskyde, at Vasicek- og CIR-modellerne har været hårdt kritiseret siden deres introduktion. Kritikere har blandt andet fokuseret på den meget simple én-faktor specifikation samt på valget af den korte rente som faktor, jf. fodnote 3. Ikke desto mindre anvendes modellerne vel som aldrig før, og det er også stadig i vidt omfang disse modeller, som akademikere vender tilbage til, når der for eksempel søges analytiske løsningsudtryk for priser på nye finansielle renteafhængige instrumenter. Vi tillader os at flyde passivt med denne strøm og lukker diskussionen af med en akademisk floskel: Et egentligt test af modellernes forklaringsevne over for udsving i obligationspriser over tid ligger uden for denne artikels rammer. Den særligt interesserede henvises til speciallitteraturen. Et godt sted at starte er Gibbons & Ramaswamy (1993).

Både Vasicek- og CIR-modellen er specialtilfælde af den mere generelle model i (1). Specialtilfældene udkrystalliseres fra (1) ved båndlæggelse af f/(7V og <J(r), som angivet i nedenstående tabel.

Af tabellen fremgår det, at driftleddet i begge modeller er specificeret således, at renteprocessen bliver mean-reverting omkring niveauet 6. Parameteren k bestemmer styrken, hvormed renten trækkes imod sit langsigtsniveau, og kaldes derfor ofte for the mean-reversion rate. I Vasicekmodellen er rentevolatiliteten, ex, konstant (hvilket desværre kan afføde negative renter), mens volatiliteten i ClRmodellen tillades at variere med renteniveauet.

Foruden de tre konstante renteprocesparametre K, 6 og G samt en startværdi, r_Q, behøves for hver af de to modeller endnu en parameter til den fulde specifikation. Denne parameter fastlægger den såkaldte markedspris på risiko* I Yasicek-modellen er markedsprisen på risiko givet ved konstanten X "*'"' . mens markedsprisen på risiko i CIR-modellen er bestemt ved p^~ Å . hvor X er konstant.

Til brug for eksemplerne i resten af artiklen er det nødvendigt med estimater for modellernes parametre. Renteprocessens parametre har vi estimeret efter metoden beskrevet i Jørgensen & Hansen (1995). Den anvendte tidsserie afkorte renter er dag-til-dag_renten fra primo januar 1993 til ultimo november 1995. Dag-til-dag renten offentliggøres i Danmarks Nationalbanks publikation »Finansiel Månedsstatistik«. Parameteren X blev bestemt simultant med r₀ ved at tilpasse modellerne til markedskurser for det danske obligationsmarkeds ti mest omsatte inkonverterbare statspapirer på børsdagen mandag d. 26.

februar 1996.5 De opnåede estimater var
som følger:

Med udgangspunkt i de estimerede parametre vil vi først illustrere de forskelle, der kan opstå ved brug af forskellige varighedsdefinitioner. Dernæst vender vi os imod optionsprisfastsættelsen.

I tabel 2 herunder har vi anført modelkurser kurserog markedskurser samt beregnet varigheder i henhold til tre forskellige varighedsdefinitioner for en række danske statsobligationer på børsdagen den 26. februar 1996. V_o er den i kurslisten opgivne varighed. V. er varigheden beregnet med udgangspunkt i obligationens effektive rente ligesom V_o, men hér er modelprisen i henhold til de respektive estimerede modeller lagt til grund for beregningen af den effektive rente. V? betegner den nulkupon-baserede varighed, hvor nulkupondiskonteringsfaktorerne er beregnet ud fra de estimerede modeller.⁶ Endelig er V3V₃ Clß's stokastiske varighed svarende til f (x), jf. ovenfor.

Flere interessante ting kan observeres i
tabel 2. Først og fremmest skal det bemærkes,at

mærkes,atbegge rentestrukturmodeller »fitter« markedet udmærket. Kun i få tilfælde er der tale om fejlprisfastsættelse på over et halvt kurspoint.⁷ Målt ud fra summen af de kvadrerede afvigelser udviserVasicek-modellen - der ofte udskældesi den akademiske litteratur for at tilladeforekomst af negative renter - på denne børsdag og for de udvalgte obligationeret bedre f// end CIR-modellen.⁸

Bemærk dernæst, at der kun er små afvigelser mellem V_Q, V_p og VV_{7 _.} Da V_oog V, er beregnet efter samme opskrift, burde de være ens. Der opstår imidlertid en lille afvigelse, da modelprisen er benyttet som udgangspunkt for bestemmelsen af den effektive rente til brug for V,. Og modelpris og markedspris er, som diskuteret ovenfor, ikke helt ens. Ved normalt forløbende rentestrukturkurver er det også reglen, at forskellen mellem den nulkupon-baserede varighed, V?, og varigheden baseret på den effektive rente, V_f, er beskeden. Fordelen ved V7V₇ er som bekendt, at varigheden for en portefølje kan findes som et kursvægtet gennemsnit af de individuelle obligationers varigheder.

Sammenlignes nu V, med de andre varighedsmål, ses det, at der er markante forskelle i de beregnede varigheder. Forskellen er særligt udtalt for lange obligationer. Betragtes f.eks. den for tiden toneangivende 8% 2006 obligation, ses det, at de statiske varighedsmål finder varigheder på ca. 7.3 år, mens den stokastiske varighed er 5.16 eller 5.58 år, alt efter om Vasicekeller CIR-modellen lægges til grund. Dette er afgjort voldsomme forskelle. Helt galt bliver det for det meget lange 7% 2024 stående lån. Varigheden er i dette tilfælde mere end 100% overvurderet, og det bemærkes, at den stokastiske varighed for samme papir beregnet med Vasicekmodellen som grundlag faktisk er mindre end den tilsvarende varighed for det stående lån, hvis løbetid er cirka 20 år kortere (7% 2004)!

Der er altså tilsyneladende tale om systematisk overvurdering af obligationers kursfølsomhed ved brugen af statiske varighedsmål. Man kunne fristes til at forklare denne effekt ved at henvise til den særlige mean-reversion egenskab, som besiddes af såvel Vasicek-modellen som CIR-modellen. Dette leder nemlig til en naturlig overgrænse for usikkerheden (variansen) omkring det fremtidige renteniveau, hvilket der ikke vil være i modeller uden mean-reversion. Dette kunne videre tænkes at lægge en dæmper på den (modelspecifikke) stokastiske varighed. Men den forklaring er ikke tilstrækkelig. Fjernes mean-reversion egenskaben, observeres samme bias. Vi har også kalibreret modellen med en relativt høj værdi af r₀ (10%) og med de øvrige parametre, heriblandt 0, uændrede. Dette kunstgreb ændrer intet ved de ovenfor diskuterede kvalitative resultater: V? er fortsat cirka halvt så stor som V f og V, for det lange 7% 2024 lån, og V? er igen en anelse større for det korte 7% 2004 lån end for 7% 2024 lånet. Der henvises til Cox, Ingersoll & Ross (1979) for yderligere numeriske resultater.

Ovenstående analyse og de rapporterede resultater bør give obligationsanalytikere anledning til at overveje deres anvendelse af varighedsbegrebet. Vores ærinde har såledesikke været at påvise noget decideret forkert ved de traditionelle varighedsmål, der baserer sig på enten nulkupon-renter

eller effektiv rente. Hvad vi derimod ønskerat påpege er, at det er meget let at anvendedisse mål forkert. De statiske varighedsmåler fine, hvis man ønsker et bud på en obligations kursændring som følge af, at hele rentestrukturen om et øjeblik forskydes med for eksempel 1% i op- eller nedadgående retning. Men for det første er det et problem, at denne type rentestrukturskift,som altså implicit forudsættesaf de statiske varighedsmål, er urealistiske.Det er således blevet vist (Ingersoll,Skel ton & Weil (1978) (ISW)), at varighedmed udgangspunkt i den effektive rente kun er et brugbart og sammenligneligtrisikomål i dynamisk sammenhæng, hvis rentestrukturen altid er flad. Tilsvarendeviser ISW, at den nulkupon-rentebaseredevarighed kun er teoretisk holdbar,såfremt rentestrukturskift kan antages at ske ved parallelforskydninger.¹' For det andet er det tvivlsomt, om dét, obligationsanalytikereønsker, er information af ovennævntekarakter. Det er nok i højere grad sammenligninger af kursfølsomhed/risiko på tværs af kurslisten, som er interessante, og ovenstående numeriske eksempler har illustreret - givet at rentestrukturens dynamiker velbeskrevet ved én-faktor modellerne— at de statiske varighedsmål kan føre til en endog meget forkert gruppering af obligationer i forskellige risikoklasser.

Opsummerende kan man sige, at idéen med ClR's stokastiske varighed er, at man med det formål for øje at analysere kursfølsomheden frisikoen for en kupon-obligation (portefølje) i stedet med fordel kan betragte en simpel nulkupon-obligation med samme kursfølsomhed.

I resten af denne artikel vil vi diskutere,
hvorledes samme idé kan anvendes i forbindelse
bindelsemed prisfastsættelse og hedging
af obligationsbaserede optioner.

Optioner med obligationer som underliggende aktiv

Prisfastsættelse af optioner med kuponobligationer som underliggende aktiv er en kompliceret sag. Dette gælder uanset, om problemet anskues fra en praktisk eller en teoretisk synsvinkel. Årsagen hertil er primært, at man i udviklingen af modeller til prisfastsættelse af renteafledte fordringer som minimum må modellere udviklingen i hele rentestrukturen på en måde, som ikke giver anledning til inkonsistens (arbitragemuligheder) over tiden. Hensigten hermed er naturligvis at få en troværdig model for det underliggende aktivs dynamiske udvikling. Først herefter kan man give sig i kast med at fastlægge en fair pris for det afledte aktiv. Nærværende tidsskrifts læsere er bekendt med denne problemstilling fra en artikel af Mil tersen (1993).

For de to rentestrukturmodeller, som vi for nærværende har valgt at behandle (Vasicek- og CIR-modellen), er der i litteraturen udledt formler for priser på en række obligationsbaserede europæiske optioner. Jamshidian (1989) har med Vasicekrentestrukturmodellen som grundlag udledt prisformler for optioner skrevet på både nulkupon-obligationer og kupon-obligationer. I Cox, Ingersoll & Ross' oprindelige artikel fra 1985 fandt forfatterne selv det korrekte udtryk for den europæiske option i tilfældet, hvor det underliggende aktiv er en nulkupon-obligation. CIR-modellens priser for europæiske optioner skrevet på kupon-obligationer blev fundet af Longstaff (1993). Sørensen

(1994) analyserer og sammenligner obligationspriser opnået ved anvendelse af henholdsvis en modificeret udgave af Black-Scholes' formel og Longstaffs formel.

I de tilfælde hvor den underliggende obligation er en kupon-obligation, er formeludtrykkene temmeligt komplicerede. Prisen for optionen vises således at kunne repræsenteres som et særligt vægtet gennemsnit af præmier for optioner på (hypotetiske) nulkupon-obligationer og med snedigt justerede exercisekurser. Evaluering af disse formler kræver decideret programmering og kan være meget tidskrævende. For nulkupon-obligations-optionerne derimod har prisformlerne stor lighed med den velkendte Black-Scholes formel og kan derfor evalueres ved hjælp af en avanceret lommeregner eller et simpelt

Ovenstående facts har næret idéen om rent beregningsteknisk at approksimere værdien af en option skrevet på en kuponobligation med præmien for en option skrevet på en nulkupon-obligation med samme basisrisiko. Tilsvarende må optionspræmiens følsomhed over for diverse modelparametre (de såkaldte Greets), herunder hedge ratio 'en, kunne evalueres fapproksimeres ved en betragtning af den således tilsvarende nulkupon-option. Idéen er først skitseret i Cox, Ingersoli & Ross (1979) og senere fulgt op i Wei (1995). Lad os se på detaljerne.

Som udgangspunkt betragtes en kuponobligation (obligationsportefølje) bestående af A^r sikre fremtidige betalinger f >■, i=l...N. Vore rentestrukturmodeller vil prisfastsætte obligationen i henhold til nutidsværdirelationen

(4)

hvor P"(r,r,s-) betegner prisen til tid fog ved renten f -på en nulkupon-obligation med udløbsdato s- (svarende til tidspunktet for betalingen bj). Nulkupon-prisen P^tt(r,(,Sj) er givet ved lukkede formeludtryk i både Vasicek- og CIR-modellen (førstnævnte er angivet i appendix).

Betragt nu en europæisk call option med udløbsdato T, exercisepris Å^ og med kupon-obligationen som underliggende aktiv.¹" Optionsprisen på tidspunkt fog ved renten f -betegner vi cf"^p0" (r,t,T,K). I det følgende skitseres henholdsvis den eksakte og den approksimerende metode.

Den eksakte metode

Som nævnt ovenfor er det blevet vist i artikler
af henholdsvis Jamshidian og Longstaff,
at CKCK"P"" (rJ,T,K).kan udtrykkes som

(5)

hvor C'YrjJlSjSj} betegner præmien på tidspunkt f og ved renten f- for en 7"-års call option på en nulkupon-obligation med udløbsdato Sj og med exercisepris A^. A"; er givet ved udtrykket K_t = P^v(r*.T,Sj), hvor r* er løsning til

Som nævnt findes der »Black-Scholes lignende«lukkede formeludtryk for prisen for en option på en nulkupon-obligation i såvel Yasicek- som CIR-modellen (førstnævnteer anført i appendix). Alligevel vil

det være en kompliceret opgave at evaluere(5) - især hvis der er et stort antal kuponbetalingerpå den underliggende obligation,da r* skal findes iterativt.

varighedsbaseret approksimation af optionspriser

Den varighedsbaserede approksimation af optionsprisen følger nedenstående logik. Kursfølsomheden for kupon-obligationen er ifølge (2) givet ved P*^upOH I PKP^K"^p0", der igen er givet ved simple formeludtryk i begge de betragtede modeller. Tilsvarende har vi for nulkupon-obligationen, at kursfølsomheden er givet vedf(z) = P°_r f P°), hvor afhængigheden af nulkupon-obligationens løbetid er understreget ved indførsel af funktionen ff tJ. For både Vasicek- og CIR-modellen findes simple lukkede formler forf(r). Denne funktion bruger vi nu til at bestemme kupon-obligationens stokastiske varighed. Denne er jævnfør tidligere givet ved

(6)

Idéen i den varighedsbaserede optionspris-approksimation
er nu ganske enkelt
følgende

(7)

hvor

Udtryk (7) siger, at præmien for call optionen på kupon-obligationen kan tilnærmes mesved præmien for et antal tilsvarende call optioner skrevet på nulkupon-obligationer med løbetid VKV^K/^{P °"}. Det nødvendige antal optioner på nulkupon-obligationer er bestemt ved brøken y f= , som bestemmer det antal nulkupon-obligationer, der skal til for at opnå en aktuel markedsværdi som for kupon-obligationen.

Vi vender os nu mod et par eksempler,
som er inspireret af kontrakter fra det danske

I overensstemmelse med forrige afsnit betragter vi optioner skrevet direkte på obligationen, selvom de optioner, som tilbydes af FUTOP, faktisk har futureskontrakten som underliggende aktiv. Forskellen er (burde være) marginal, når blot vi er opmærksomme på vedhængende renter og eventuelle kuponer i optionens levetid. Helt præcist er det underliggende aktiv i eksemplerne defineret til at være nutidsværdien af de af obligationens kuponer, som falder efter optionens udløbsdato. De to optioner, som faktisk handles den 26. februar 1996, har henholdsvis det toneangivende 8% 2006 statslån og 7% 2004 statslånet som underliggende aktiver. Optionerne har udløb enten den 18. marts eller den 17. juni. For 8% 2006'eren skal man være opmærksom på, at den har termin den 15.03.1996. Der er altså en mellemliggende kupon, som vi ikke må glemme at »fjerne«. Hvad angår statens 7% 2004, falder den næste kupon den 15. december. Der er altså ingen mellemliggende

Vi er nu klar til at se på nogle resultater. I tabel 3 har vi anført både den eksakte optionspræmie (C) og den approksimerede optionspræmie (C_ai rox) beregnet på

grundlag af henholdsvis Vasicek- og ClRmodellen. Den procentuelle afvigelse af C_apprvx fra »facit<<_> det vil s_'ge Cer li_§eledes anført. Som det ses af tabellen, er der tale om meget små afvigelser. Kun i enkelte tilfælde hvor optionen er far-out-of-themoney, sniger fejlen sig op over én procent. Der forekommer imidlertid et vist mønster i afvigelserne. Når optionen er in-the-money (se note til tabel 3), er den approksimerede optionspræmie systematisk større end den eksakte og omvendt, når optionen er out-of-the-money.

Systematikken i disse afvigelser skyldes først og fremmest, at der alene er approksimeret ud fra en matching af varigheden. Der blev ikke taget hensyn til højere ordens led, herunder konveksiteten. Med andre ord: Kupon-obligationens volatilitet blev matchet med nulkupon-obligationens volatilitet, men volatilitetens rentefølsomhed blev ikke matchet.

Det er muligt at matche både volatiliteten og dens rentefølsomhed ved at tage udgangspunkt i to nulkupon-obligationer med forskellig løbetid, men vi henviser blot interesserede til Wei (1995) for en nærmere diskussion af dette. Resultaterne ved kun at kigge på volatiliteten (varigheden) er så tilfredsstillende, at vi vil stoppe her og glæde os over den simple og præcise approksimation. Optionspræmiens følsomhed over for modelparametre, herunder hedge ratio 'en, kan nemt approksimeres ud fra samme princip, og approksimationen er igen meget præcis.

Afslutning

I denne artikel har vi præsenteret et alternativ til de traditionelle varighedsmål, som obligationsanalysen betjener sig af. Den stokastiske varighed udmærker sig ved at være brugbar til konsistente sammenligninger af obligationers og obligationsporteføljers basisrisiko i en dynamisk verden. De traditionelle varighedsmål baseret på effektiv rente eller estimerede nulkuponrenter fejler på dette punkt, fordi de implicit forudsætter urealistiske rentestrukturskift over tiden.

Gennem en række eksempler har vi demonstreret, at obligationsanalytikeren kan få ganske forskellige opfattelser af risikogrupperingen af forskellige papirer, alt efter hvilket varighedsmål som anvendes. Vore eksempler illustrerede, at man ved ukritisk anvendelse af klassiske varighedsdefinitioner risikerer kraftigt at overvurdere risiko og kursfølsomhed for lange obligationer.

Ulempen ved den stokastiske varighed er, at definitionen er modelspecifik. Før man »kan få et tal ud«, skal der således vælges en model, som efterfølgende skal estimeres. Drømmen om stokastisk varighed som en oplysning i kurslisten er således formentlig næppe realiserbar.

I artiklens anden del anviste vi med udgangspunkt i den stokastiske varighed en simpel og anvendelig metode til beregning af priser for optioner skrevet på obligationer. Metoden er meget nøjagtig og minder i anvendelsen meget om en Black- Scholes beregning, jf. appendix. Derudover er metoden betydeligt bedre teoretisk funderet end andre udbredte varianter af Black-Scholes' formel.

Summary

This article has two points. The first concerns
the applicability of the concept of duration to
bond analysis. We advocate the use of stochastic

ditration rather than the traditional definitions
ofduration. The secondpoint concerns the
pricing of options written on the coupon bonds.
On the basis of the stochastic du ration we
suggest a simple and exact method ofapproscimationof
option premiums.

---

Noter

1. Basisrisiko er rentestrukturlitteraturens betegnelse for en obligations relative prisændring sotn følge afikkeforventede ændringer i rentestrukturen. På terminsmarkederne benyttes samme betegnelse til beskrivelse af forskelle mellem spot- ogfutureskurser, men der er ingen sammenhæng i øvrigt.

2. Det kan diskuteres, om betegnelsen stokastisk varighed er ve fvalgt. Betegnelsen må ikke forstås derhen, at varigheden går hen og bliver en umålelig og diffus størrelse. Den stokastiske varighed er nemlig ikke stokastisk på må/ingstidspunket/tidspunkt nul. Men de fremtidige varigheder bliver stokastiske som følge af specifikationen af en stokastisk rentestrukturmodel. Således opfyldes nemlig ønsket om at få tilført varighedsdeftnitionen et dynamisk element. Man kunne derfor alternativt bruge betegnelsen dynamisk varighed. Denne er imidlertid også uheldig, dels selvfølgelig fordi CIR nu en gang har valgten anden betegnelse, og dels fordi mindst én anden forfatter allerede har taget patent på betegnelsen "dynamic duration« i beslægtet sammenhæng (se Christensen (1996)).

3. Deter ikte disse stærkt forenklende antagelser, som leder til de senere opnåede resultater. Vi kunne f.eis. lige så godt specificere en mere bredtfavnende multi-faktor model eller en forwardrente-baseret model å la Heath, Jarrow & Morton (1992). Men forenklingen hér er naturligvis foretaget for at fremhæve den egentlige pointe. For yderligere analyse af stokastisk varighed i Heath, Jarrow & Morton-modellen henvises til Au & Thurston (1995).

4. Markedsprisen på risiko er givet ved m(r,t) - r(t) — et forhold, der skal ca-te f/is lot all/ handlede ohlvja tioner.

5. Detaljerne kan rekvireres ved henvendelse til forfatterne.

6. Sefeks. Christensen (1995) for en glimrende beskrivelse af de forskellige statiske varighedsdefinitioner. Jensen (1996, kap. 13) indeholderen alternativ og mere matematisk detaljeret gennemgang.

7. Vi har ingen viden om, hvornår de enkelte obligation! er handlet i løbet af dagen - en mulig fejlkilde.

8. SSE_Vasjat=2.B4 ogSSE_C/R=3.37 (SSE = Sum of Squared Error, f. Den sædvanlige %' -teststørrelse for Goodness-of-fit udregnes til henholdsvis X'vasicd = 0.027 og%~'_CIR = 0.035. Ingen af modellerne forkastes ved normalt anvendte signifikansniveauer. Testet skal dog tages med stort forbehold. En stor del af SSE aR hidrører i øvrigt fra en relativt stor fejlprisfastsættelse af den lange 7% 2024 obligation. CIR-modellens »fit« er bedre end Vasicek-modellens, hvis denne obligation udelades.

9. Det bemærkes, at en parallelforskydning af strukturen af kontinuert beregnede nulkupon-renter (additivitet) er ækvivalent med proportional ændring af de diskret beregnede nulkupon-renter (multiplikativitet).

10. Helt præcist gælder, at det underliggende aktiv er ejendomsretten til de kuponbetalinger, som ligger senere end optionens udløbsdato, T. I det følgende antages for overskuelighedens skyld, at alle kuponbetalinger ligger senere end tidspunkt T. Dermed er det også uproblematisk at anvende put-call pariteten til udledning af de europæiske put optionspræmier.

Litteratur

Au, K.T. & D.C. Thurston: A New Class of Duration
Measures, Economics Letters, 47, pp. 371-375, 1995.

Cox, J., J. Ingersoll & S. Ross: Duration and the
Measurement of Basis Risk, Journal of Business, Vol.
52, No. 1, pp. 51-61, 1979.

Cox, J., J. Ingersoll & S. Ross: A Theory of the Term
Structure of Interest Rates, Econometrica, Vol. 53, No.
2, March, pp. 385-407, 1985.

Christensen, M.: Obligationsinvestering, Jurist- og
Økonomforbundets Forlag, 1995.

Christensen, M.: Dynamic Duration - One Further
Duration Measure, i Y. Desportes (ed), Research
Papers in Finance, Editions ESKA, Paris, 1996.

Gibbons, M.R. & K. Ramaswamy: A Test of the Cox,
Ingersoll, & Ross Model of the Term Structure.
Review of Financial Studies, Vol. 6, No. 3, 1993.

Ingersoll, J., J. Skelton & R. Weil: Duration Forty
Years Later, Journal of Financial and Quantitative
Analysis, Vol. 13, No. 4, pp. 627-650, 1978.

Jamshidian, E: An Exact Bond Option Formula, Journal
of Finance, Vol. XLIV, No. 1, March, pp. 205-209, 1989.

Jensen, 8.A.: Rentesregning, Jurist- og Økonomforbundets
Forlag, 1996.

Jørgensen, P.L. & M.B. Hansen: Den korte renteproces, rentestrukturmodellcring og optionsprisfastsættelse,/?»(7/ nr. 3. pp. 23-27. 1995.

Longstaff, F: The Valuation of Options on Coupon
Bonds, Journal of Banking and Finance, Vol. 17,
pp. 27-42, 1993.

Miltersen, K.: Afledte aktiver skrevet på rentestrukturen,
Ledelse & Erhvervsøkonomi, nr. 1, pp. 35-44,
1993.

Sørensen, C: Prisfastsættelse af optioner på 8% St. lån 2003: Kan Black-Scholes formel anvendes?, Working Paper, Handelshøjskolen i København, 1994.

Vasicek, O.:, An Equilibrium Characterization of the
Term Structure of Interest Rates, Journal of Financial
Economics, Vol. 5, pp. 177-188, 1977.

Wei. J.:. A Simple Approach to Hond Option
Pricing, Working Paper, University of Saskatchewan,
1995.