Resumé

Denne artikel tager sit udgangspunkt i Black-Scholes modellen til prisfastsættelse af optioner på aktier. Artiklen argumenterer udfra en række interne konsistenskrav for, hvorfor det ikke, trods en række succesfulde generalisationer af Black-Scholes modellen, er muligt at anvende denne model til prisfastsættelse af optioner på obligationer. Som alternativ præsenteres en anden model, Heath-Jarrow-Morton modellen, der opfylder de interne konsistenskrav, der fældede Black-Scholes modellen. Artiklen opsummerer ideer og resultater fra min licentiatafhandling: "A Model of the Term Structure of Interest Rates".

indledning

Interessen for prisfastsættelse af afledte aktiver
skrevet på rentestrukturen, herunder call- og
put-optioner skrevet på kuponobligationer, er
vokset markant i de senere år. Specielt i Danmark
har der været efterspørgsel efter sådanne
modeller siden oprettelsen af Garantifonden
for Danske Optioner og Futures d. 2. juli 1987.
Garantifondens oprettelse muliggjorde en standardisering
af kontrakterne dels m.h.t. kontraktvariable
og dels m.h.t. juridiske forhold i
forbindelse med afregningen. Denne standardisering
er en forudsætning for at få et likvidt
marked, og den banede derved vejen til en of-

ficiel notering af optioner og futures på Københavns Fondsbørs fra d. 22. sep. 1988. Man valgte at lægge ud med at notere optioner og futures med den dengang toneangivende obligation 9% 2006 realkreditobligationen som underliggende aktiv. Valget af netop dette underliggende aktiv skyldes hensynet til likviditeten og volumenet af det underliggende aktiv, som optioner og futures blev skrevet på. Som bekendt er det danske obligationsmarked relativt stort,

hvorimod det danske aktiemarked er relativt lille, så det var ikke tilfældigt, at det blev en obligation, som blev det første underliggende aktiv for de standardiserede options- og futureskontrakter. Senere er flere underliggende aktiver kommet til: 9% 2000 statsobligationen, et såkaldt FUTOP-obligationsindeks , et statsobligationsindeks, KFX-indekset for danske aktier og nu også enkeltaktier. Det er denne udvikling, der har dannet grundlag for efterspørgslen efter teoretiske prisfastsættelsesmodeller til prisfastsættelse af afledte aktiver generelt.

Hvad angår prisfastsættelsesmodeller, hvor
det underliggende aktiv er enkeltaktier og indeks
af aktier - og valuta for den sags skyld -
har der eksisteret bemærkelsesværdigt gode og
robuste teoretisk udledte formler og metoder
til prisfastsættelse af afledte aktier i en rrække,
med Black-Scholes formel fra
først i 70'erne, jf. Black & Scholes (1973).
Trods mange forsøg er det ikke rigtigt lykkedes
at overføre Black-Scholes resultatet til modeller
med obligationer som underliggende aktiv.

Kort fortalt er de fundamentale forskelle for store mellem aktier og obligationer til, at resultaterne kan overføres. I de senere år er man så gået andre veje, idet man har indset, at det er nødvendigt at inkorporere hele rentestrukturen for at opnå intern konsistens i modellen. Den første af den slags modeller er Ho-Lee modellen fra midt i 80'erne, jf. Ho & Lee (1986). Senere er en tilsvarende model udarbejdet i kontinuert tid, i lighed med Black-Scholes modellen, i Heath, Jarrow & Morton (1992). At hele rentestrukturen nødvendigvis inkorporeres i modellen, komplicerer selvsagt udregningerne, således at man ikke længere, i modsætning til i Black-Scholes tilfældet, kan komme frem til et lukket formeludtryk. I stedet må man ty til forskellige numeriske løsningsmetoder.

I denne artikel vil vi først kort se på Black- Scholes tilfældet i afsnit 2, hvorefter vi i afsnit 3 redegør for de fundamentale forskelle, der gør, at Black-Scholes resultatet ikke kan bruges til at prisfastsætte afledte aktiver skrevet på obligationer på en konsistent måde, endelig præsenteres kort en model, som på konsistent vis prisfastsætter afledte aktiver skrevet på obligationer i afsnit 4 og denne sammenlignes med Black-Scholes modellen.

Black-Scholes modellen

Den økonomiske model, hvori Black-Scholes
prisfastsættelsesresultatet er udledt, bygger på
flg. grundantagelser:

1. Det underliggende aktiv er en ikke-udbytte-

---

1 Helt konkret var der tale om et vcegtetgennemsnit af Danmarks Kreditforening, Nykredit og BRF's udgaver af denne obligation.

2 Dette indeks er ikke hunger? i brug.

betalende aktie, hvis prisudvikling følger en
log-normalfordeling. Sf betegner aktieprisen
til tid f.

2. Alternativet til at investere i det underliggende
aktiv er at sætte pengene i banken
subsidiært låne penge i banken til en rentestyrke
på r, som er gældende i hele optionens
løbetid. Rentestyrken, r, gælder ikke
kun for indskud/lån over hele perioden men
også for indskud i vilkårlige delperioder indtil
optionens udløb. Desuden er det den
samme rente, der afregnes efter, både for indskud
og lån. Renten beregnes kontinuert.

3. Der er kontinuert handel i hele optionens løbetid, hvilket vil sige, at investorerne har mulighed for at omlægge deres porteføljer på alle mulige tidspunkter.

4. Der er ingen kort-salgs-restriktioner på det underliggende aktiv. Investorerne kan altså have negative positioner af aktien i deres portefølje.

5. Der er ingen transaktionsomkostninger -
hverken ved handel eller ved at gå i korte
positioner.

Grundantagelse 1. samt antagelse 3. om kontinuert handel fører til, at aktieprisen, S_f, kan beskrives som en løsning til den såkaldte stokastiske

(1)

hvor |log o er konstanter, og W( er en såkaldt Wiener-proces eller en Brownsk bevægelse. Ligning (1) beskriver blot formelt aktiens drift og volatilitet. Man kan fortolke ligning (1) som, at ændringen i aktieprisen, dS_r over en ultra kort tidsperiode, dt, dels består af et deterministisk led, S(\\dt, der angiver trenden, samt et stokastisk led, S_fodW_f, der angiver tilfældige udsving fra trenden. Det stokastiske element kommer ind i modellen gennem Wiener-processen, W(, der for et givet ter en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi nul og varians f. En konsekvens heraf er, at afkaststyrken af det underliggende aktiv er normalfordelt

hvorfor o kan fortolkes som spredningen på afkaststyrken af det underliggende aktiv over en tidsperiode med længde én. Log-normalfordelingsantagelsen, i form af ligning (1) implicerer flg. egenskaber for aktieprisudviklingen:

1. Prisen kan ikke blive negativ, og skulle den gå hen og blive nul, vil den forblive nul i al tid fremover. Dette er i overensstemmelse med en antagelse om begrænset hæftelse på aktien.

2. Uanset prisniveauet er der lige stor sandsynlighed for en procentvis stigning i prisen af en given størrelse og tilsvarende lige stor sandsynlighed for et procentvis fald af en given størrelse. Dette er i overensstemmelse med en antagelse om fuldt fleksible priser,

---

3 Afkaststyrken over tidsperioden t^-t₂ beregnes som log(S f f S_f ).

og at al relevant information øjeblikkeligt
indarbejdes i priserne.

Vi ønsker at prisfastsætte en europæisk call-option
på tidspunkt 0. Call-optionen er karakteriseret
ved en aftalekurs, Å^, og et udløbstidspunkt,
f(). Som bekendt giver en europæisk calloption
ret til at købe det underliggende aktiv
på udløbstidspunktet mod at betale aftalekursen
- men man er som køber ikke forpligtet til
at indgå handlen. På udløbstidspunktet må optionens
pay-off, og dermed dens pris, derfor
være

Med de opstillede forudsætninger viser det sig, at man, ved kontinuerligt at omlægge en portefølje udelukkende indeholdende det underliggende aktiv og lån i banken, kan kopiere pay-off'et på call-optionen fuldstændigt. Optionen er altså et såkaldt redundant (overflødigt) aktiv.

Antages nu yderligere, at der ikke eksisterer arbitrage-muligheder i modellen, kan prisen på call-optionen på tidspunkt 0 bestemmes som startværdien af den portefølje, der ved kontinuerlig omlægning kopierer optionens pay-off. (Idet vi husker forudsætning 5. om ingen transaktionsomkostninger.) Optionen prisfastsættes

hvor

hvilket er den omtalte Black-Scholes prisfastsættelsesformel. Det bemærkes, at drifts-parameteren, [i, fra prisudviklingsligningen (1) ikke optræder i prisudtrykket (2), idet den nuværende pris på det underliggende aktiv, S_[P og

spredningen på afkaststyrken på det underliggende aktiv er tilstrækkelig information til at kunne prisfastsætte optionen. For en mere detaljeret gennemgang, inklusiv en gennemgang af den tilsvarende diskret-tids model i form af den såkaldte binomialmodel, jf. Christensen & Klausby(l9BB).

På trods af de restriktive modelforudsætninger 1.-5. for udledningen af Black-Scholes modellen viser det sig, at selve resultatet er temmeligt stabilt, selvom antagelserne slækkes på flg. punkter:

1. Ved at udskifte S() med

So - PV (udbyttebetalinger inden f())

kan Black-Scholes formlen korrigeres for udbyttebetalinger i optionens løbetid\ Udbytter ud over optionens løbetid giver ingen ændringer i formlen.

2. Black-Scholes formlen kan også bruges til valuta-optioner, idet renten i den udenlandske valuta opfattes som udbytte på det underliggende aktiv. Deter den såkaldte Garman-Kohlhagen formel, jf. Garman & Kohlhagen

---

4 Ved en arbitrage-mulighed forstås en portefølje sammensat således, at den giver et positivt pay-off i dag, samtidig med at der ikke er nogen fremtidige forpligtigelser - altså udelukkende ikke-negative pay-off i fremtiden.

5 Hvor PV() angiver nutidsværdien.

3. o og r behøver ikke være konstanter.

a) Hvis de stadig er deterministiske, altså
kendte på tidspunkt 0, udskiftes de blot
med deres aritmetiske tidsgennemsnit.

b) Hvis de tillades at være stokastiske, ændres formlen, idet deres sam-variation med det underliggende aktiv kommer til at spille ind på resultatet. For stokastisk rente jf. f.eks. Merton (1973), og for stokastisk (J jf. f.eks. Cox & Ross (1976) og Hull & White (1987). I det sidste tilfælde opnås ikke et lukket formeludtryk.

4. Andre fordelingsantagelser på underliggende aktiv, herunder mulighed for ikke-kontinuerte hop i kursudviklingen, vil selv sagt give et ændret formeludtryk, men de væsentlige dele i udledningen er de samme.

Generelt kan man sætte spørgsmålstegn ved antagelsen om den log-normalfordelte prisudvikling. I den forbindelse er der to kategorier af argumenter imod antagelsen:

1. Antagelsen er modelteknisk inkonsistent.
Dette er ikke tilfældet for Black-Scholes
modellen anvendt på aktier eller valuta.
Hvorimod det vil være tilfældet, hvis Black-
Scholes modellen skulle anvendes til prisfastsættelse
af optioner på obligationer. Vi vil
komme nærmere ind på årsagen til dette i afsnit

2. Forskellige empiriske undersøgelser har
sandsynliggjort, at antagelsen om den lognormalfordelte
prisudvikling ikke er i over-

ensstemmelse med, hvad der kan observeres
på de finansielle markeder.

Det er min (subjektive) opfattelse at indvending
1. er væsentligt mere substantiel end indvending

De fundamentale forskelle mellem aktier og obligationer

Årsagen, til at Black-Scholes modellen ikke umiddelbart kan transformeres over til en teori for obligationer, skyldes mest af alt flg. fundamentale forskelle mellem aktier og obligationer:

a) Obligationer har et fast udlobstidspunkt -
som ydermcre normalt er kendt pa tidspunkt
0.

b) Pay-off på en obligation er deterministiske
og ligeledes kendt på tidspunkt 0.

c) Antages ikke-negative forward-renter, er prisen
på en obligation opadtil begrænset af
summen af de ikke-tilbage-diskonterede
fremtidige pay-off fra obligationen. P.g.a. begrænset
hæftelse er prisen på en obligation
ligeledes nedadtil begrænset af 0.

d) Volatiliteten af obligationsprisen må forventes at være tidsafhængig såvel som prisniveauafhængig. Tidsafhængigheden er en naturlig konsekvens af, at volatiliteten må konvergere mod nul henimod udløbstidspunktet. Desuden må volatiliteten nærme sig nul, når obligationens pris nærmer sig sine nedre og øvre grænser.

e) Man kan forsvare at antage, at forskellige aktiers prisudvikling har et rimeligt element af uafhængighed, således at det ikke vil forbedre mulighederne for at kopiere optionsprisudviklingen ved også at modellere beslægtede aktier. Derimod er obligationer med forskellig løbetid nære substitutter, således at man må forvente, at obligationspriserne er kraftigt relaterede. Relationen hedder

Prisrelationerne mellem de enkelte obligationer er bestemt således, at der ikke eksisterer arbitrage-muligheder ved sammensætning af obligations-porteføljer, hvilket er ækvivalent med eksistensen af ikke-negative

Mange metoder har været taget i anvendelse i forsøget på at formulere en intern konsistent model for prisudviklingen af obligationer byggende på punkterne (a)-(e). En sådan model vil kunne danne basis for en teori til prisfastsættelse af afledte aktiver på obligationer. Og det er netop en sådan model, vi skal se nærmere på i afsnit 4.

Heath-Jarrow-Morton modellen

Som vi så i punkt (e) i afsnit 3, må vi nødvendigvis
modellere hele rentestrukturen. Det kan
gøres på tre ækvivalente måder:

1. Vi kan modellere prisudviklingen på samtlige
nul-kupon-obligationer, dvs. P(t, T), som
udtrykker prisen på tidspunkt fpå et aktiv,

der med sikkerhed udbetaler én krone på tidspunkt T. Det er nu klart, at enhver obligation kan dannes som en portefølje af disse

2. Vi kan modellere udviklingen i de effektive renter på samtlige nul-kupon-obligationer, y(t,T), som udtrykker den effektive rente til tid fpå nul-kupon-obligationen, der udløber på tidspunkt T. Som det ses af flg., er de to beskrivelser ækvivalente

3. Endelig kan vi modellere udviklingen i forward-renten, X{t,s), der beskriver forwardrenten til tid s observeret på tid f. Hvilket også er ækvivalent med de to første beskrivelser

Det viser sig, at det rent modelteknisk er nemmest
at få inkorporeret alle arbitrage-mulighederne,
hvis vi benytter forward-renten som basal
model-byggesten. Derfor vil vi, i lighed
med ligning (1), modellere forward-renten ved
hjælp af en stokastisk differentialligning

(3)

hvilket er den såkaldte Heath-Jarrow-Morton
model. Der knytter sig nogle bemærkninger til
ligning (3):

---

6 Herved forstås standardobligationer uden risiko for at den udstedende institution går fallit. Desuden ses bort fra konverterbarhed og konvertibilitet.

1. J{s) beskriver forward-renten, som den kan observeres på tidspunkt 0. (Observeres er måske så meget sagt, men med de rette økonometriske værktøjer kan den estimeres.)

2. Bemærk at den konstante o-faktor fra ligning
(1) er skiftet ud med en o-funktion, der
både er afhængig af begge tidsparametre og
af den nuværende forward-rente. For at opnå
en modelspecifikation, der både kan undgå
alle arbitrage-muligheder mellem alle obligationerne
med forskellig løbetid samt indskud/lån
i banken og ligeledes undgå negative
forward-renter, er det nødvendigt at tillade
en så generel o-funktion. Vi vil ikke her
komme yderligere ind på, hvordan o-funktionen
skal specificeres for at opfylde alle de
specificerede krav. Dog skal det nævnes, at
der findes et sæt af tilstrækkelige betingelser,
som på en gang sikrer, at de ovenfor
nævnte krav opfyldes.

3. Den konstante (i-faktor fra ligning (1) er skiftet ud med en |i-funktion, der både er afhængig af begge tidsparametre og af hele den nuværende forward-rentefunktion.

4. Den konstante rente, r, fra Black-Scholes modellen er inkonsistent med en stokastisk forward-rentemodel. I vores nuværende model må vi altså også have en stokastisk beskrivelse af spot-renten, der erstatter r. Denne beskrivelse er faktisk allerede indeholdt i ligning (3), idet vi vil opfatte X,_ft) som spotrenten.

For at forstå ligning (3) bedre vil vi sammenligne
den med den tilsvarende Black-Scholes ligning
(1). Den stokastiske differentialligning (1)
beskriver den stokastiske prisudvikling på det
underliggende aktiv i form af Sf. På tidspunkt 0
er Sf en stokastisk variabel for alle f> 0, og efterhånden
som tiden går, afsløres stokastikken
løbende i form af, at mere og mere af aktieprisprocessen
bliver kendt. Feks. på tidspunkt tx
vil S( være kendt, for f < ty mens S( stadig vil
være stokastisk, for t> tv Helt tilsvarende beskriver
X, , den stokastiske udvikling af forward-renten,
og dermed også priserne på alle
nul-kupon-obligationerne. På tidspunkt 0 er
X,q , =f(s) kendt, mens de fremtidige forwardrentefunktioner
i form af s -*■ X(lsj, stadig er stokastiske,
for alle f > 0. Tager vi nu igen tidspunkt
ty så vil alle forward-rentefunktionerne
s ■-► X([sj for alle /<tynu fære kendte, mens
forward-rentefunktionerne, for f > ty stadig vil
være stokastiske.

Og hvordan prisfastsasttes afledte aktiver sa i modellen? Helt tilsvarende til Black-Scholes tilfasldet viser det sig, at pay-off pa de afledte aktiver i princippet kan kopieres ved en kontinuerlig omlaegning af en portefolje af forskellige obligationer og indskud/lan til spot-renten, X/_{tf y} Grundet de uendeligt mange obligationspriser, vi har modelleret , er det desvaerre kun lykkedes at udtale sig om eksistensen af en sadan kopierende portefolje, hvorimod det ikke er lykkedes at finde den. Derfor kan man nu finde en numerisk metode til prisfastsasttelse af afledte aktiver pa rentestrukturen i mod-

---

7 Vi har modelleret prisprocessen for nul-kupon-obligationer med alle tænkelige udløbstidspunkter, Te [O,Y], hvor F er en fast tidshorisont for modellen. Vi kan kalde V for verdens ende, eller blot udløbstidspunktetfor den længstløbende obligation i modellen.

sætning til Black-Scholes modellen, hvor man
fandt frem til et lukket formeludtryk. Det vil
være for pladskrævende at komme yderligere
ind på denne numeriske metode i denne artikel.
I korte træk går metoden ud på, at man
ved hjælp af en computer og en random number
generator numerisk genererer en masse
løsninger til den stokastiske differentialligning
(3) og derefter prisfastsætter optionen numerisk
ved en form for gennemsnitsberegning. I
stedet vil vi lige sammenligne "inputs" for de
to modeller. Black-Scholes modellen kræver
den nuværende pris på det underliggende aktiv,
S{), spredningen på afkaststyrken på det underliggende
aktiv, o, og spot-renten, r. Helt
analogt er 'inputs' til Heath-Jarrow-Morton modellen
den nuværende forward-rentefunktion,
f{s), der jo er ækvivalent med de nuværende
priser på alle nul-kupon-oblitationerne og som
desuden indeholder den nuværende spot-rente
i form af_/(()), samt volatilitetsfunktionen, o.
Driftsfunktionen, |i, kommer derimod ikke til
at optræde i den numeriske procedure - igen
helt analogt til at Black-Scholes formel ikke afhænger
af (H.

Endelig vil vi knytte en kort bemærkning til den modelkritik, som også er nævnt sidst i afsnit 2: Den her opstillede model for udviklingen af de fremtidige obligationspriser er internt konsistent modelleret forstået på den måde, at de fremtidige prisudviklinger ikke giver anledning til arbitrage-muligheder og ikke giver negative forward-renter. Dvs. at modellen ikke strider imod indvending 1 . Hvorvidt de fordelingsantagelser, som den stokastiske differentialligning (3) implicerer, er i overensstemmelse med, hvad der kan observeres på det finansielle marked, kan kun fremtidige økonometriske

arbejder afgøre. Det er således et åbent spørgsmål,
om den her præsenterede model strider
imod indvending 2.

Summary

The basis of this article is the Black-Scholes model
for price fixing of share options. Based on a number
of internal consistency demands, the article argues
against the applicability of the Black-Scholes model
for price fixing of bond options, in spite of the series
of successful generalisations of this model. As an alternative,
another model is presented, the Heath-Jarrow-Morton
model, which fulfils the internal consistency
demands that rejected the Black-Scholes model.
The article summarises ideas and conclusions of
the authors doctoral thesis: A Model of the 'Term
Structure of Interest Rates.

Litteratur

Black, F. and M. Scholes: »The Pricing of Options and Corporate Liabilities«, Journal of Political Economy, 81(3):637- 1973.

Christensen, P.O. og J. Klausby: »Prisfastsættelse af optioner og futures«, Ledelse & Erhvervsøkonomi, (3): 105-130, 1988.

Cox, J.C. and S.A. Ross: »The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes*, journal of Financial Economics, 3:145-166, 1976.

Garman, M.B. and
S.W. Kohlhagen:
» Foreign Currency Option Values*,
Journal of International Money
and Finance, 2:231-237, 1983.

Heath, D., R. Jarrow, and
A.J. Morton:
»Bond Pricing and the Term
Structure of Interest Rates: A
New Methodology for Contingent
Claims Valuation*, Econometrica,
60(l):77- 1992.

Ho, T.S.Y. and S.-B. Lee: »Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims*, The Journal of Finance, XLI(S), 1986.

Hull, J. and A. White: »The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatility*, 'The Journal of Finance, XLII(2): 281-300,

Jensen, B.A. and J.A. Nielsen: » Optioner og deres prisdannelse«, Ju rist- og Økonomforbundets Forlag, Charlottenlund, Danmark, 1989.

Merton, R.C.: »Theory of Rational Option Pricing*, Bell Journal of Economics and Management Science, 4:141 -183, 1973. Reprinted in Merton (1990, Chapter 8).

Merton, R.C.: Continuous-rime Finance, Basil Blackwell Inc., Padstovv, Great Britain, 1990.

Miltersen, K.R.: A Model of the Term Structure of Interest Rates, Ph.D. dissertation, Department of Management, Odense Universitet, 1992.