Ved studiet af principperne for investering i og teorien for afkast af obligationer, for hvilke udtrækning finder sted, kan det være nyttigt at gøre brug af betragtningsmåder, terminologi og resultater fra den statistiske teori for ventetider, specielt befolkningsstatistikken. Udtrækningstidspunktet for en obligation er dens dødstidspunkt, levetiden er tidsrummet fra emission til udtrækning, afdragsprofilen afspejler dødeligheden, overlevelsestavlen svarer til forløbet af restgælden, etc.

---

*) Professor, dr. polit., Institut for teoretisk statistik, Handelshojskolen i Kobenhavn. Artiklen modtaget September, 1984.

I. Overlevelsestavlen for en annuitetsobligation med påtrykt rente r og
løbetid m terminer er

Obligationens levetid T er en stokastisk variabel med sandsynlighedsfordeling

hvor vr = 1f(I +r)er diskonteringsfaktoren hørende til rentefoden r.
Obligationens middellevetid er

I [4] er der bl.a. redegjort for, hvorledes den effektive rente kan spaltes
i direkte rente, kursgevinst og forventet udtrækningsgevinst, når
restløbetiden formindskes med en termin:

Når det drejer sig om annuitetsobligationer, er p1 = vvrm/afjf)r »°g

er kursen for en obligation med påtrykt rente r, effektiv rente i og
løbetid m.

Det formelmæssige grundlag i [2] og [3] for det mistede beskatningsgrundlag ved transformation af et obligationslån til et kontantlån kan også udlægges som en opspaltning af den effektive rente. Lad Mr,i,m(j) betegne forskellen i periode j mellem debitorrenten og kreditorrenten i procent af obligationshovedstolen, d.v.s.

Heraf fås ved summation følgende udtryk for det totale mistede
(udiskonterede) beskatningsgrundlag

For annuitetslan fas specielt

Dette resultat kan nedskrives direkte, idet den j'te terminsydelse i et
annuitetslan med rentesats p og lobetid m fordeles mellem afdrag
og rente i forholdet v m-j +1_ /i_v m~j + I.i Ved summation fas
Pp''
Mr,i,m = 1 " k<r'i'm) •

Sammenholdes de fundne udtryk for MrsMr5i)m, kan den effektive rente
spaltes i direkte rente og kurstab (resp. kursgevinst) efter formlen

Resultatet kan formuleres på følgende måde: Den effektive rente over den forventede levetid for en annuitetsobligation udstedt til parikurs (påtrykt rente lig med markedsrente) er sammensat af dels et kurstab og dels direkte rente over den forventede levetid for en obligation udstedt til underkurs (påtrykt rente mindre end markedsrenten.

Fra et statistisk synspunkt fortolkes M_r>i_)iri/k(r,i,m), d.v.s. det mistede beskatningsgrundlag i procent af kontantlånshovedstolen, geometrisksom forskellen mellem to arealer: et areal under overlevelsestavlen,som denne tager sig ud fra debitors synspunkt, multipliceret med kontantlånsrenten, med fradrag af et areal under overlevelsestavlen,som den tager sig ud fra kreditors synspunkt, multipliceret med den direkte rente. Fra et beskatningsmæssigt synspunkt er situationensom bekendt: Obligationsejerens kursgevinst, der sædvanligvisikke

visikkeer skattepligtig, forvandles via kontantlånet til en renteudgift,
som for låntager sædvanligvis er fradragsberettiget.

Ikke alene for en kreditforening, men også for skatteyderen med den høje marginale skatteprocent, er det fristende at forsøge teorien praktiseret: Stift et højt forrentet annuitetslån og brug provenuet til køb af en kongruent portefølje af lavt forrentede annuitetsobligationer. Likviditetsmæssige hensyn kan nødvendiggøre, at udtrækningsrisikoen må imødegås med et efter omstændighederne stort investeringsbeløb (evt. en gentagelse af transaktionen flere år i træk), så de store tals lov træder i funktion. En anden mulighed (skattevæsenets velvilje ikke taget i betragtning) vil være at gøre brug af teorien i den deterministiske version, f.eks. en transaktion med pantebreve. Lånes der eksempelvis 69113 kr. på et 15-årigt 16% pantebrev udstedt til pari kurs, så kan der erhverves for 100.000 kr. 9% pantebreve, idet

Ved summation af en kolonne tal i en rentetabel [ 1 ] finder man

Beholdes pentebrevene til udløb, bliver den til transaktionen høren
de samlede renteudgift

medens den samlede renteindtægt bliver

Den skattepligtige indtaegt kan saledes nedbringes med 30.887 kr.
over en 15-arig periode, i overensstemmelse med en kursgevinst pa
netop dette belob af 9% pantebrevet. Det tidsmaessige forlob af disse
poster fremgar af tabellen og kan aflaeses i en rentetabel som
1 " vo!o8 ' 'resP- 1 " v0!045 ' J ■ 1»- ,efterfulgt
af en multiplikation med 6.139 kr., som er terminsydelsen.

set fra henholdsvis debitor- og kreditorsiden, sa kan de generelle
formler for nettorenteudgiften skrives

For annuitetslan (A) har vi vist, at disse udtryk kan skrives pa formen

°g

De transaktioner, der i afsnit I er kædet sammen med disse formler, kan naturligvis praktiseres med andre lånetyper end annuitetslån. Hvis det f.eks. drejer sig om at transformere et lavt forrentet stående lån (ST) til et højt forrentet lån af samme type, vil vendingen 'skatte - begunstiget langfristet opsparing ved gældsstiftelse¹ nok være mere rimelig end udtrykket 'skattetænkning¹, idet dispositionen har et forsikringsmæssigt

For et stående lån gælder 1 = 1 og dermed

Kursen for et staende lan skal abenbart tilfredsstille ligningen

hvoraf

Det forste udtryk giver

det vil sige, Mst(J) er konstant:

og

Hvis vi igen matcher et 15-årigt 16% pantebrev til kurs pari med et
15-årigt 9% pantebrev, nu til kurs

Så bliver kursgevinsten større end i eksemplet med annuitetslån, nemlig 39.402 kr. mod 30.887 kr. Forklaringen er, at terminsydelsen vokser, når det lavt forrentede stående lån transformeres til det højt forrentede, nemlig fra 4.5% af 100.000 kr. til 8% af 60.598 kr. pr. termin i 30 terminer. Den skattepligtige indtægt reduceres med 347,84 kr. pr. termin, og belønningen herfor kommer om 15 år i form af en skattefri kursgevinst på 39.402 kr.

111. Et serielån afvikles med lige store afdrag pr. termin. Heraf følger,
forj= 1,. . . ,m,.

Nettorenteudgiften i periode j kan følgelig beregnes efter formlen

hvor k$ er serielånets kurs, det vil sige

Heraf fås følgende sammenhæng mellem kurserne for serielån og
stående lån

Man ser, at Ms (j) er lineært aftagende og kan omskrives til

Nettorenteudgiften kan således på simpel måde beregnes ud fra kursen
på det stående lån, og der gælder

En af formlerne foran kan selvfølgelig også udlægges som en opspaltning
af den effektive rente:

Forskellen mellem serielånets effektive og direkte rente er altså lig
med kursgevinsten pr. termin af det tilhørende stående lån.
Udveksler man et lavt forrentet serielån til kurs k$ med et højt forrentet
serielån til kurs pari, så er forskellen mellem afdragene i de to
lån (1 - ks)/m. Ligningen

løst med hensyn til j, giver derfor den termin j, i hvilken terminsydelsen
bliver den samme for de to lån. Resultatet kan angives på formen

I det gennemgående eksempel med m = 30, i = 0.08 og r = 0.045 fås

De fem første år er ydelsen på kontantlånet størst. Over hele løbetiden
er ydelsen på obligationslånet størst; forskellen er, i procent af
obligationshovedstolen, lig med

i eksemplet altså knap 7%: 0.27332 - 0.20358 = 0.06974. Herved adskiller en transaktion med serielån sig fra en tilsvarende transaktion med annuitetslån; i sidstnævnte tilfælde er ydelsesrækkerne ens, og følgelig er også Da = 0, i overensstemmelse med det tidligere anførte resultat Ma = 1 - kA-

I øvrigt kan man benytte f.eks. forholdet Ma fMs til at sammenligne
effekten af de beskrevne lånetransaktioner med henholdsvis annuitetslån
og serielån. Man har umiddelbart

I det gennemgående eksempel med m = 30, og k\ = 0.69113 og ksj
= 0.60598 for r = 0.045 og i = 0.08, fås

Reduktionen i skattepligtig indkomst er 52% større i en transaktion med annuitetslån end i en tilsvarende transaktion med serielån. Hertil kommer så, at serielånstransaktionen belaster likviditeten i de 10 første terminer af låneperioden.

Indsættes udtrykkene for k,\ og k$T fås

Den sidste brøk i dette udtryk er forholdet mellem ydelsesprocenterne
og rentesatserne for kontantlånet og obligationslånet hørende
til transaktionen med annuitetslån.

Også ved en sammenligning af serielån med stående lån kommer
annuitetssynspunktet ind i billedet. Man finder nemlig

hvor sidste faktor er første afdrag i kontantlånet, når det afvikles
efter annuitetsprincippet.

Litteraturliste

[1] Tage Henriksen: »Udvidede rentetabeller«. 2. udgave, Samfundslitteratur, København, 1977.

[2] Bjarne Astrup Jensen: »Amortisationsplaner og kontantlånsrenter«. Working Paper 844, Institut
for Finansiering, Handelshøjskolen i København, 1984.

[3]MichaelMeller: »Kontantlån og skatteprovenu«. Juristen og Økonomen, 61, 1979, 287 292.

[4] Henrik Ramlau-Hansen: »Udtrækningschance og effektiv rente for obligationer«. Nationaløkonomisk
tidsskrift, 120, 1982, 361-378.

[5] »Et debatoplæg om en skattereform«. Danmarks Sparekasseforening. København 1984.

[6] Niels Chr. Nielsen: »Skattereform og skattesatser«. Berlingske Tidende, 7. september 1984, 1.
sektion side 13.

[7] Mogens Lykketoft: »Skattetænkning i kursgevinster«. Berlingske Tidende, 8. september 1984, 1.
sektion side 8.