Resumé

Den interne rentefod udlægges sædvanligvis som værende lig forrentningen af den investerede kapital. Går man et skridt dybere, melder der sig følgende spørgsmål: Hvad er det for en kapital, som bliver forrentet med den interne rentefod? Hvor længe bliver kapitalen forrentet med denne rentefod? Hvori består egentligforskellen mellem interne rentefods metode og kapitalværdimetoden? Formålet med denne artikel er at bringe øget klarhed omkring disse spørgsmål. Derfor er der først en redegørelse for grundprincippet i interne rentefods metode, og her vises bl.a., at den interne rentefod kan fortolkes som den gennemsnitlige rente af det i gennemsnit investerede beløb. Dernæst følger en redegørelse for tidsdimensionen i interne rentefods metode, og denne redegørelse er bygget op omkring varighedsbegrebet (»duration«). Herefter påvises, at der er to afgørende forskelle mellem kapitalværdimetoden og interne rentefods metode:

a) Renten. Interne rentefods metode omfatter kun forrentningen af kapitalen, så længe den er bundet i investeringen. Kapitalværdimetoden angiver resultatet som en funktion af både den interne rentefod og af geninvesteringsrentefoden.

b) Tidsdimensionen. Interne rentefods metode knytter sig tidsmæssigt til varigheden,
mens kapitalværdimetoden tidsmæssigt knytter sig til levetiden.

Sidst i artiklen vises, hvorledes varigheden forbinder interne rentefods metode
med kapitalværdimetoden.

---

*) Lektor ved Handelshøjskolen i Århus. Artiklen modtaget november 1982.

1. Indledning

En investerings kapitalværdi er som bekendt defineret ved

(1)

hvor Bt er nettobetalingen i tidspunkt t og i er kalkulationsrentefoden.
Den interne rentefod betegnes fremover med bogstavet r, og den er
defineret som den r-værdi, der tilfredsstiller følgende ligning

(2)

Det forudsættes i resten af artiklen, at BoBo > 0 og at Bt > 0 for t=
1,2,...,n. Endvidere forudsættes, at summen af indbetalingerne er
større end investeringsudgiften. Denne investeringstype har netop én
intern rentefod.

I næste afsnit vises grundprincippet i interne rentefods metode. Dernæst introduceres varighedsbegrebet (»duration«), og sidst i artiklen vises, hvorledes varigheden forbinder interne rentefods metode med kapitalværdimetoden.

2. Interne rentefods metode

a. Beregning og fortolkning.

Den interne rentefod beregnes normalt ved at sætte kapitalværdien lig med nul, og det derved fundne procenttal sammenlignes så med et andet procenttal (kalkulationsrentefoden eller den interne rentefod i en alternativ investering). Denne snævert renteorienterede synsvinkel er givetvis skyld i mange misforståelser vedrørende fortolkningen af den interne rentefod, for de beløb, som den interne rentefod skal sættes i relation til, kommer ikke eksplicit frem. Det gør de derimod ved en anden beregningsmetode, hvor problemet anskues som en kapital bindings- og kapitalfrigørelsesproces. Denne alternative fremgangsmåde vil her blive gennemgået ved hjælp af et taleksempel.

Eksempel

Der er givet følgende betalingsrække:

Den alternative fremgangsmåde udspringer af følgende spørgsmål: Hvis man indskyder 100.000 kr. i tidspunkt 0 og til gengæld modtager 50.000 kr. i tidspunkt 1, 40.000 kr. i tidspunkt 2 osv., hvilken rente har man så fået, og hvorledes har kapitalbindingen (= projektets saldo) varieret over tiden?

Svaret på disse spørgsmål findes ved at opstille tabeller magen til tabel 1 og så prøve sig frem, indtil regnestykket går op. Det gør det her ved en rentefod på 20% p.a., dvs. at projektets interne rentefod er 20% p.a. Endvidere ses, at i tidspunkt 0 er der bundet 100.000 kr. i projektet, i tidspunkt 1 er der bundet 70.000 kr., i tidspunkt 2 er der bundet 44.000 kr. osv. Disse værdier kaldes projektbalancen, og de burde egentlig anføres med negative fortegn, for det er penge, som projektet skylder virksomheden (Mao, 1969, s. 198).

Den saldoiterative og den traditionelle fremgangsmade er ikke nodvendigvis alternative, for man kan udmaerket forst finde den interne rentefod ved hjaelp af ligning (2) og dernasst illustrere resultatet som vist i tabel 1. Det vaesentlige er at fa opstillet projektbalancen, idet den viser udviklingen i den bundne kapital.

Sumkolonnen under tabellen viser, at summen af renterne (»overskuddet«) er lig summen af frigjort kapital minus det i tidspunkt nul investerede beløb. Desuden viser tabellen, at den interne rentefod ikke kan fortolkes som renten af det i tidspunkt nul investerede beløb, for denne påstand er kun formelt korrekt i det første år. (Tilsvarende kan den effektive rente heller ikke fortolkes som værende lig renten af hele låneprovenuet). Den interne rentefod er renten af den til enhver tid bundne kapital, idet den knytter sig til projektbalancen. Tabellen viser derfor også, at forholdet mellem beregnet rente og beregnet saldo er konstant og lig den interne rentefod:

Heraf følger, at forholdet mellem summen af tællerne og summen af
nævnerne også er lig den interne rentefod:

Dividerer vi nu i tæller og nævner med n = 5, fås tallene på årsbasis, dvs. at den interne rentefod kan fortolkes som den gennemsnitlige rente af det i gennemsnit investerede beløb. (Jfr. f.eks. Babcock, 1976, s. 6).

b. Det tidsmæssige forløb.

Forrentningsproblemet vil nu blive belyst med udgangspunkt i følgende spørgsmål: Hvor stor en del af det investerede beløb på 100.000 kr. bliver forrentet med 20% i 1 år, hvor stor en del med 20% i 2 år, osv.?

Når vi kender den interne rentefod, lader dette spørgsmål sig let be
svare, idet ligning (2) kan omformes til:

(3)

Dermed er det vist, at beløbene at er de søgte kapitalandele.

Eksempel, fortsat

Sammenhængen mellem disse beregninger og de i tabel 1 viste beregninger er illustreret i figur 1. I tidspunkt 0 investeres ialt 100.000 kr. Heraf placeres aj = 41.667 kr. til 20% i rente i 1 år, a2a₂ = 27.778 kr. til 20% i rente i 2 år osv. De uskraverede felter illustrerer således de beløb, som »inde i« projektet forrentes med 20% p.a., og summen af disse beløb, som er vist oven over hver søjle, udgør projektbalancen på det pågældende tidspunkt. De skraverede felter er de frigjorte beløb. Figur 1 viser også, at interne rentefods metode så at sige forlader beløbene frit svævende i luften. Men der bliver de jo ikke hængende. Investeringsprocessen fortsætter, og i overensstemmelse med sædvanlig praksis gøres nu den forudsætning, at frigjorte midler bliver geninvesteret til kalkulationsrentefoden i. Det næste bliver derfor at se på det samlede forløb frem til investei ingsprocessens ophør ved udgangen af det femte år.

3. Akkumuleret værdi, varighed og realiseret afkast

Indbetalingernes akkumulerede værdi i tidspunkt ncr defineret som:

(4)

indsættelse af (1 + r)~( • (1 + r)1 fås:

(5)

Dette udtryk viser, at slutværdien er et resultat af, at beløbene a_t en del af tiden (t) er blevet forrentet med den interne rentefod r, og en anden del af tiden (n-t) med kalkulationsrentefoden i. Dette er anskueliggjort i figur 2, hvor det er forudsat, at i = 0,12. Slutværdien bliver da 203.737 kr.

Den gennemsnitlige forrentning, også kaldet det realiserede afkast, y,
er defineret ud fra følgende ligning:

(6)

I Babcock (1976) vises, at den gennemsnitlige forrentning med særdeles
god tilnærmelse kan beregnes som:

(7)

Ifølge denne ligning kan y opfattes som et vejet gennemsnit af r og i. Vægten " kan fortolkes som den del af tiden, hvor kapitalen er placeret til den interne rentefod r, mens vægten (1 ~~^) kan fortolkes som den resterende del af tiden, hvor kapitalen er placeret til kalkulationsrentefodeni.

fodeni.Symbolet D står for varigheden, på engelsk kaldet duration, og
den er defineret på følgende måde:

(8) ,

Dette udtryk kan også skrives som

(9)

hvor wt er vægte med summen 1. Varigheden er med andre ord et
vejet gennemsnit af betalingstidspunkterne 1,2,...,n, og vægtene er de
kapitalandele, der placeres til den interne rentefod i henholdsvis 1, 2, 3
terminer osv. (For en mere udførlig behandling af varighedsbegrebet
henvises til Grosen, 1982).

Varigheden D svarer til det interne forrentningsareal i figur 2. Det indses
lettest ved at antage, at søjlen i tidspunkt nul repræsenterer et
beløb på 1 krone. Det interne forrentningsareal bliver da:

(10)

Geninvesteringsarealet kan tilsvarende skrives som:

(11)

Dermed er det vist, at den interne rentefods vægtandel i formel (7) er lig det interne forrentningsområdes andel af det samlede areal, og at geninvesteringsrentens vægtandel tilsvarende er lig geninvesteringsområdets andel af totalarealet. (Her er også forklaringen på, at akkumuleringsprocessen i figur 2 er illustreret ved et vandret forløb).

Varigheden kan beregnes som vist i tabel 2. Indsættes den her fundne
D-værdi i (7) fås:

Heraf ses, at i ca. af tiden er kapitalen blevet forrentet med den interne rentefod på 20% p.a., og i ca. | af tiden med geninvesteringsrenten på 12% p.a., og det giver en gennemsnitlig forrentning på 15,3% p.a.

I ovennævnte eksempel er den eksakte y-værdi 15,2959%, den approksimative 15,2901%. Så nøjagtig er approksimationsformlen naturligvis ikke hver gang, men gennemgående er afvigelserne meget små, og læsere, der er interesseret i formlens nøjagtighed, kan indhente yderligere oplysninger hos artiklens forfatter. I denne her fremstilling er det nok så væsentligt, at formel (7) på en simpel og let tilgængelig måde illustrerer investeringsprocessen ved at vise, hvorledes det samlede resultat både afhænger af den interne rentefod og af geninvesteringsrenten. Denne anvendelse af formlen vil blive uddybet i næste afsnit.

4. Varigheden som bindeled mellem interne rentefods metode og kapitalværdimetoden

Interne rentefods metode har altid været investeringsteoriens problembarn,
og der kan anføres mange gode grunde til, at den er uegnet
som valgkriterium (jfr. f.eks. Lynggaard, s. 80-88).

Med udgangspunkt i

(7)

kan metodeproblemet anskues på en helt ny måde, idet formlen har den interessante egenskab, at den forbinder interne rentefods metode med kapitalværdimetoden. Man ser tydeligt af (7), hvorledes den interne rentefod tidsmæssigt knytter sig til varigheden, mens det realiserede afkast, y, tidsmæssigt knytter sig til hele projektets levetid. Rangordning efter faldende intern rentefod er derfor ikke noget brugbart valgkriterium, idet metodens tidsdimension knytter sig til varighederne. Kapitalværdimetoden opsamler derimod hele resultatet og dækker tidsmæssigt hele investeringens levetid.

Af (7) ses også, at maksimering af den gennemsnitlige forrentning ikke er noget korrekt valgkriterium. Det skyldes dels, at y er et relativt tal, idet det angiver forrentningen pr. investeret krone, og dels, at y tidsmæssigt følger levetiderne. Kun når lige store beløb forrentes lige længe, dvs. kun når investeringssummer og levetider er ens, kan man være sikker på, at rangordning efter faldende y-værdi giver samme rækkefølge som rangordning efter faldende kapitalværdi. Er levetiderne derimod forskellige, kan gennemsnitsbetragtningen let føre til fejlkonklusioner. Ser vi igen på ovennævnte taleeksempel og antager vi nu ydermere, at der tillige komme nogle meget små indbetalinger i tidspunkterne 6, 7 og 8, så vil den interne rentefod (og kapitalværdien) stige lidt, men det vil ved indsættelse i (7) ikke kunne opveje faldet i den interne rentefods vægtandel, så den gennemsnitlige rente vil falde.

Sammenfattes disse betragtninger, bliver konklusionen, at varigheden forsyner interne rentefods metode med en hensigtsmæssig tidsdimension, som ved indsættelse i approksimationsformel (7) giver en god og let forståelig beskrivelse af investeringsforløbet. Betingelserne for at anvende det realiserede afkast som valgkriterium er sjældent opfyldt ved realinvesteringer. Derimod er de ofte opfyldt ved sammenligning af finansinvesteringer.

Litteratur

Babcock, G.: A Modified Measure of Duration. Working Paper, University of Southern California,
1976.

Babcock, G.: Duration and Bond Portfolio Analysis. Journal of Financial and Quantitative Analy
sis, November 1978.

Grosen, A.: Måling af afkast og risiko for fastforrentede fordringer - en ny synsvinkel. København
1982.

Lynggaard, P.: Investeringskalkuler. København 1981.

Mao, J. T. C: Quantitative Analysis of Financial Decisions. London, 1969.