Resumé

I denna artikel ger vi en oversikt av de senaste årens utveckling av flerkriteriemetoder.
Både nyttoteorimetoder och matematiska programmeringsmetoder diskuter
as och ett antal praktiska tillåmpningar redovisas.

1. Inledning och syfte

Traditionell ekonomisk teori antar att foretag soker maximera sin vinst. Under de senaste decennierna har det utifrån såvål teoretisk som empirisk forskning framforts som mer realistiskt att foretag stråvar mot flera mål. Flermåls- eller flerkriterietanken skulle inte enbart galla foretag och dess hogsta mål. Beslutsproblem på alia nivåer inom såvål myndigheter som foretag skulle båttre karaktåriseras genom anvåndning av flera kriterier. Se vidare Tell (1976) for en oversikt.

---

*) Ekonomie doktor vid Handelshogskolan i Stockholm.

**) Ekonomie doktor, gåstforskare vid Handelshogskolan i Stockholm.

Vi vill med denna artikel ge en kortfattad oversikt på svenska av metoder, vilka foreslagits for att underlåtta beslutsfattande då flera kriterier utnyttjas for att beskriva handlingsalternativen. Mer omfattande 6versikter har givits av Johnsen (1968), MacCrimmon (1973), Wallenius (1975) och Tell (1976).

2. Avgränsningar

I denna artikel ger vi en koncis redogorelse for de senaste årens utveckling av flerkriteriemetoder. For att inom artikelns begrånsade format kunna gora detta vill vi gora vissa avgrånsningar. Vi begrånsar oss for det forstå till deterministiska problem, d.v.s. problem dår handlingsalternativens konsekvenser år eller kan antas vara fullståndigt kånda. (Denna begrånsning utesluter dock relativt få metoder). Vi antar vidare att de kriterier som anvånds for att beskriva handlingsalternativen år kånda och givna, och vi kommer således ej att diskutera hur de faststålles. Den tredje avgrånsningen galler antalet beslutsfattare. Vi har valt att enbart ta upp metoder som år anvåndbara når det finns en beslutsfattare. Flerkriterieproblem som uppstår på grund av att beslut skall fattas av flera personer med olika preferenser kraver studier av gruppprocesser, och denna problematik diskuteras inte hår. De av oss presenterade metoderna kan emellertid i flerpersonsfallet utnyttjas individuellt av var och en av beslutsfattarna, varefter de kartlagda preferenserna kan utgora en utgångspunkt vid sokandet efter det for gruppen låmpligaste handlingsalternativet. Slutligen kommer vi att begrånsa oss till normativa metoder, d.v.s. metoder vilka syftar till att forbåtra beslutsfattandet vid flerkriterieproblem.

De metoder som uppfyller dessa krav har antingen sin grund i nyttoteori eller bygger på matematisk programmering. De senare metoderna kraver att det finns en beskrivning (en modell) over handlingsmqjligheterna. Denna beskrivning har ofta formen av en linjår programmeringsmodell. Nyttoteorimetoderna kraver inte en sådan modell, men forutsåtter att handlingsalternativen år specificerade. Problemformuleringarna skiljer sig alltså åt genom det sått på vilket handlingsmojligheterna år definierade. I båda fallen består problemet av att vålja det handlingsalternativ som i beslutfattarens tycke år bast.

3. Nyttoteorimetoder

Under begreppet nyttoteorimetoder har vi samlat metoder som bygger en modell av beslutsfattarens preferenser med hjalp av ett formeilt forfarande, men som ej kraver en modell over de mojliga handlingsalternativen. Vi vill borja denna redogorelse med att presentera några olika preferensmodeller, for att dårefter redogora for några i litteraturen foreslagna skattningsmetoder. For såvål modellerna som metoderna kommer vi att redovisa ett antal praktiska tillåmpningar.

3.1 Modeller

Antalet olika modeller som foreslagits och utnyttjats år stort. Den enklaste år dominansmodellen. Den anger att ett handlingsalternativ (A) dominerar ett annat (B) om A overtråffar B for åtminstone ett kriterium och inte år såmre ån B for något annat kriterium. Modellen år grov och den lyckas inte alltid skilja handlingsalternativen åt. Den låmpar sig dårfor bast for en forstå grovsortering av alternativen (Terry,

En del modeller formår enbart dela upp handlingsalternativen i två grupper - acceptabla och oacceptabla. Den konjunktiva modellen år ett sådant exempel, den disjunktiva ett annat. Den forrå klassificerar ett handlingsalternativ som acceptabelt om det for samtliga kriterier overstiger ett beståmt standardvårde, medan den disjunktiva modellen klassificerar det som acceptabelt om standardvårdet uppfylles for åtminstone ett kriterium. I alia andra fall klassificeras alternativet som oacceptabelt. Som exempel på tillåmpningar kan nåmnas att Svensk Bilprovning utnyttjar en konjunktiv modell vid de årliga besiktningarna av svenska bilar.

Den lexikografiska modellen formår vanligtvis dela upp handlingsalternativen i fler klasser ån två. Modellen forutsåtter att beslutfattaren kan rangordna kriterierna i avtagande viktighetsordning. Rangordningen av alternativen sker utifrån det viktigaste kriteriet. Endast om några alternativ befinnes vara jåmngoda vid en jåmforelse enligt detta kriterium, separeras de med hjalp av det nåst viktigaste kriteriet. Om dårefter några alternativ fortfarande anses som lika, utnyttjas det nåst viktigaste kriteriet osv. En utforlig beskrivning av den lexikografiska metoden, med exempel på tillåmpningar, ges av Fishburn (1974).

De hittills presenterade modcllerna astadkommer en klassindelning eller i basta fall en rangordning av handlingsalternativen. Vi skall nu ga over till den mest anvanda typen av modeller, vilken tilldelar varje handlingsalternativ ett nyttovarde uttryckt pa en intervallskala. Lit oss for detta avsnitt fora in nagra begrepp. Lat ett handlingsalternativ beskrivas med hjalp av en vektor x = (x, ,x₂ ,x₃,...,x_n), dar x, ar vardet av det i-te kriteriet. Viktigheten hos detta kriterium uttrycks genom koefficienten a; . Funktionen Uj , vilken utgor en godtycklig transformationsfunktion, benamnes ofta endimensionell nyttofunktion. Vi soker vardet U, som anger den nytta som beslutsfattaren upplever av det aktuella handlingsalternativet x.

Den vanligaste modellen år den additiva. Många andra modeller har foreslagits och utnyttjats. I tabell 1 har vi angivit några sådana. De konjunktiva och disjunktiva modeller som presenteras dår utgor matematiska formuleringar av de modeller som presenterades ovan.

Modellerna skiljer sig åt bl.a. genom sitt antagande om kompensationsmqjligheter mellan kriterierna, dvs. huruvida ett lagt varde på ett kriterium kan uppvågas av ett hogt varde på ett eller flera andra kriterier. De additiva modellerna antar att en sådan kompensation år mojlig, medan den år mer begrånsad hos de ovriga modellerna.

Den additiva modellen har utnyttjats av t.ex. Dawes (1971) for att prognosticera studieframgången hos doktorandsokanden, och av Moore och Baker (1969) och Souder (1972) for att vålja FoU-projekt. Keeney (1973) anvånde den additiva modellen med interaktionstermer for att utvårdera flygplatsalternativ i Mexico City-regionen; Huber (1968) anvånde en konjunktiv modell for att utvårdera några militåra transportsystem; Easton (1966) utnyttjade en avståndsmodell då ett foretag skulle vålja reklambyrå. Einhorn (1971) utnyttjade den konjunktiva och disjunktiva modellen i två problemsituationer.

Avslutningsvis bor nåmnas att ett flertal teoretiska arbeten, laboratorieexperiment och jåmforande empiriska undersokningar indikerar att den additiva modellen ofta ger nytto varden som båttre overensstammer med beslutsfattarens intuitiva uppfattning ån de ovriga modellerna. For en nårmare diskussion, se Tell (1976).

3.2 Metoder

Som redan nåmnts år de nytto teorimodeller som tilldragit sig det storsta intresset de som ger nyttovården på intervallskalenivå. Vi vill dårfor i denna metoddel koncentrera oss på metoder som år låmpliga for att skatta parametrar m.m. for dessa modeller, dvs. formlerna i tabell 1. Skattningsmetoderna kan indelas i fyra grupper - indirekta, direkta, hybrid och ovriga metoder. Vi vill redogora for dem en i sander.

Indirekta metoder

De vanligaste metoderna år de indirekta och bland dem framfor alk
de statistiska teknikerna regressions-, diskriminant- och variansanalys.De
indirekta metoderna bygger på att beslutsfattarens preferenser

harleds ur hans (hennes) tidigare beslut ellcr, om sadana data ej Finns
tillgangliga, fran nagra speciellt utvarderade alternativ.

Om historiskt material, dvs. tidigare gjorda vårderingar eller fattade beslut, finns tillgångligt behover inga frågor stållas till beslutsfattaren. Ett underlag motsvarande tabell 2 finns då tillgångligt vilket direkt kan utnyttjas av den indirekta motoden for att beståmma den valda modellens koefficienter Uj i tabell 1). Antalet vårderade alternativ maste dock vara minst ett fler ån antalet kriterier. Anvånds t.ex. regressionsanalys, beståms koefficienterna så att man minimerar summan av kvadraten på skillnaden mellan de nyttovården som beslutsfattaren respektive modellen avger.

Det vanligaste forhållandet år emellertid att historiskt material saknas, och framfor alk galler detta nyttovårdena. Beslutsfattaren blir då tvungen att vårdera ett antal (eventuellt hypotetiska) alternativ, innan den indirekta metoden kan utnyttjas.

Direkta metoder

Två nackdelar med de indirekta metoderna år deras tidsåtgång om intehistoriskt
material finns tillgångligt samt behovet av dator for att ur
materialet beråkna koefficienterna. De direkta metoderna uppvisar

inte dessa nackdelar, och det år ett skål till att de tilldragit sig uppmårksamhetunder
de senaste åren. De karaktåriseras av att beslutsfattarendirekt
får uttrycka sina preferenser for de olika kriterierna.
Direkta metoder har under de senaste åren utarbetats av t.ex. Keeney
(1973), Miller (1970) och Tell (1976). I Fishburn (1967) finns en god
oversikt over något aldre metoder. Principen for de direkta metodernaår
att man forst klarlågger om metodens forutsåttningar år uppfyllda.Dårefter
får beslutsfattaren skatta de endimensionella nyttofunktionernagenom
att ange sin nytta av olika varden for respektive
kriterium. Slutligen får han ange hur viktiga de olika kriterierna år i
forhållande till varandra. De exakta formuleringarna varierar mellan
metoderna.

Hybridmetoder

Med hybridmetoder avser vi sådana metoder som innehåller vissa moment av direkt utfrågning av beslutsfattaren och några moment dår dennes preferenser faststålles indirekt utifrån t.ex. fattade beslut. Huber, Daneshgar och Ford (1971) utnyttjade i en studie direkta frågor for att få beslutsfattaren att ange sina endimensionella nyttofunktioner (uj ), medan vikterna (a( ) faststålldes med hjalp av regressionsanalys.

Andra metoder

Forutom de ovan presenterade metoderna finns det ett antal ansatser
som kan utnyttjas for speciella skattningar eller dylikt, och dem har vi
fort samman under denna rubrik.

Grafisk framtagning av indifferenskurvor (vanligtvis enbart for två kriterier) år en mojlighet når det galler att skatta en flerkriteriemodell. Sådana metoder har utvecklats av t.ex. MacCrimmon och Toda (1969). Flerdimensionella skaltekniker har också utnyttjats flitigt (Klahr, 1969). Vid anvåndning av interaktiva metoder (se vidare nedan) for att losa flerkriterieproblem kan transformationskvoterna for den optimala losningen under vissa antaganden utnyttjas som koefficienter i en additiv modell, varefter denna modell kan utnyttjas i stållet.

4. Matematisk programmering

Under de senaste åren har flera matematiska programmeringsmetoder utvecklats for att losa flerkriterieproblem: linjår programmering, målprogrammering, vektormaximering och interaktiv programmering. Fastån dessa metoder i de fiesta fall bygger på linjår programmering, har olika angreppssått anvånts. Karaktåristiskt for dessa metoder år att de mojliga handlingsalternativen maste beskrivas matematiskt i form av ett antal restriktioner och kriteriefunktioner.

4.1 Linjär programmering

Med hjalp av linjår programmering kan praktiska problem med flera tusen restriktioner och variabler enkelt losas^Linjår programmering kan utnyttjas for att losa flerkriterieproblem om vi kånner till beslutsfattarens vikter for de olika kriterierna, och om hans preferenser kan uttryckas i en linjår funktion.

4.2 Målprogrammering

Målprogrammeringen utvecklades av Charnes och Cooper (1961) i borjan på sextiotalet for att losa flerkriterieproblem. Kornbluth (1973) diskuterar nyare utvecklingstendenser och presenterar en oversikt 6ver praktiska tillåmpningar. Målprogrammering kan anvåndas om foljande två villkor år uppfyllda: for varje kriterium kan onskvårda eller acceptabla kvantiteter anges, och beslutsfattaren kan rangordna eller ge sina subjektiva vikter for de olika kriterierna. Idén bakom målprogrammering år att med hjalp av vanliga algoritmer for linjårprogrammeringsproblem finna den losning som ligger »nårmast« den vanligtvis inte tillåtna onskvårda losningen.

Målprogrammering har kritiserats av t.ex. Dyer (1972) for sina restriktiva antaganden. Ett praktiskt problem galler att beståmma vikterna till kriteriefunktionerna, men for detta kan man utnyttja flera av metoderna som presenterades i avsnittet om nyttoteori.

4.3 Vektormaximering

Många har studerat hur man skall generera samtliga effektiva (Pareto optimala) losningar till ett flerkriterieproblem. (Se t.ex. Evans och Steuer (1973) och Philip (1972.) Fastån effektiva løsningsmetoder existerar år problemet svårt. Det år tveksamt om beslutsfattaren kan vålja den i hans tycke basta losningen bland flera tusen (mojligen tiotusen) effektiva losningar. Steuer (1976) har forsokt losa problemet genom att utveckla en losningsmetod som bygger på idén bakom vektormaximering. Metoden ber beslutsfattaren att vålja den basta losningen bland ett forhållandevis litet antal effektiva losningar i varje iteration. Genom sitt val styr beslutsfattaren metoden så att den konvergerar till det område som innehåller hans optimala losning.

4.4 Interaktiva metoder

Det har ansetts onodigt att beståmma en beslutsfattares totala nyttomodell då vanligtvis enbart en mindre del år nodvåndig for beslutsfattandet (Roy, 1971). Det har vidare ansetts vårdefullt att beslutsfattandet sker i samarbete mellan man och maskin, dvs. att man forsoker utnyttja både beslutsfattarens och datorns egenskaper på ett sått som skulle forbåttra losningsprocessen. En svårighet år emellertid att verifiera att de svar som beslutsfattaren låmnar på datorns (metodens) frågor verkligen representerar hans (implicita) preferenser. Geoffrion, Dyer och Feinberg (1972) har utvecklat en sådan metod som bygger på icke-linjår programmering for att losa flerkriterieproblem. Metoden genererar en sekvens av mojliga losningar, som till slut konvergerar till hans optimala losning (om han varit konsistent i sina svar). Metoden har utnyttjats praktiskt for att utfora resursplanering vid ett universitet.

I ett experiment dår några olika interaktiva metoder jåmfordes har vi konstaterat att alia undersokta metoder inte fungerade sårskilt bra for att losa ett forhållandevis enkelt problem (Wallenius, 1975). En flerkriteriemetod som enbart kraver att beslutsfattaren besvarar ja/nej-frågor utvecklades dårfor (Zionts och Wallenius, 1976). Metodengenererar en sekvens av effektiva losningar och under forhållandevisgenerella

devisgenerellaantaganden konvergerar dessa mot beslutsfattarens
optimala losning. Metoden har tillampats pa ett investeringsproblem i
ett stalverk.

Ett flertal andra interaktiva flerkriteriemetoder har utvecklats av t.ex.
Aubin och Nåslund, Dyer, Fandel, Geoffrion och Hogan samt Hemming.
Se vidare Tell och Wallenius (1976).

5. Sammanfattning

Med denna oversikt har vi velat peka på ett antal olika sått att losa flerkriterieproblem samt visa på några tillåmpningar av dessa metoder. Utvecklingen av nya metoder har varit snabb under det senaste decenniet, varfor forskningsbehovet for nårvarande ligger mer på tillåmpningar och experimentella undersokningar for att faststålla metodernas for- och nackdelar. Dessa resultat kommer att utgora ett vårdefullt underlag for teoretiskt forbåttringsarbete. De hittills rapporterade till— låmpningarna tyder på att metoderna val kan hjålpa beslutsfattare att vårdera alternativ beskrivna med flera kriterier.

Referenser:

Charnes, A., and Cooper, W. W., 1961, Management Models and Industrial Applications of
Linear Programming, Vol. I. Wiley, New York.

Dawes, R. M., 1971, A Case Study of Graduate Admissions: Application of Three Principles of
Human Decision Making. American Psychologist, 26, 180-88.

Dyer, J. S., 1972, Interactive Goal Programming. Management Science, 19, No. 1, 62-70.

Easton, A., 1966, A Forward Step in Performance Evaluation. Journal of Marketing, 30, 26-32.

Einhorn, H. J., 1971, Use of Nonlinear, Noncompensatory Models as a Function of Task and
Amount of Information. Organizational Behavior and Human Performance, 6, 1-27.

Evans, J. P., and Steuer, R. E., 1973, A Revised Simplex Method for Linear Multiple Objective
Programs. Mathematical Programming, 5, No. 1, 54-72.

Fishburn, P. C, 1967, Methods of Estimating Additive Utilities. Management Science, 13, No. 7,
435-53.

Fishburn, P. C, 1974, Lexicographic Orders, Utilities and Decision Rules: A Survey. Management
Science, 20, No. 11, 1442-1471.

Geoffrion, A., Dyer, J. S., and Feinberg, A., 1972, An Interactive Approach for Multicriterion
Optimization with an Application to the Operation of an Academic Department. Management
Science, 19, No. 4, 357-368.

Huber, G. P., 1968, Multiplicative Utility Models in Cost Effectiveness Analysis. Journal of Industrial
Engineering, 19, No. 3, XVII-XIX.

Huber, G. P., 1974, Multi-attribute Utility Models: A Review of Field and Field-Like Studies.
Management Science, 20, No. 10, 1393-402.

Huber, G. P., Daneshgar, R., and Ford, D. L., 1971, An Empirical Comparison of Five Utility
Models for Predicting Job Preferences. Organizational Behavior and Human Performance, 6, 267-82.

Johnsen, E., 1968, Studies in Multiobjective Decision Models. Studentlitteratur, Lund.

Keeney, R. L., 1973, A Decision Analysis with Multiple Objectives: The Mexico City Airport.
The Bell Journal of Economics and Management Science, 4, No. 1, 101-17.

Klahr, D., 1969, Decision Making in a Complex Environment: The Use of Similarity Judgments
to Predict Preferences. Management Science, 15, No. 11, 595-618.

Kornbluth, J., 1973, A Survey of Goal Programming. Omega, The International Journal of Management
Science, 1, No. 2, 193-205.

MacCrimmon, K. R., 1973, An Overview of Multiple Objective Decision Making. In Cochrane,
J. L., and Zeleny, M. (eds.), Multiple Criteria Decision Making. University of South Carolina Press,
Columbia, S.C.

MacCrimmon, K. R., and Toda, M., 1969, The Experimental Determination of Indifference
Curves. Review of Economic Studies, 36, No. 4, 433-50.

Miller, J. R., 111, 1970, Professional Decision-Making: A Procedure for Evaluating Complex
Alternatives. Praeger Publishers, New York.

Moore, J. R., Jr., and Baker, N. R., 1969, Computational Analysis of Scoring Models for R and
D Project Selection. Management Science, 16, No. 4, 8212-32.

Philip, J., 1972, Algorithms for the Vector Maximization Problem. Mathematical Programming,
2, No. 2, 207-229.

Roy, 8., 1971, Problems and Methods with Multiple Objective Functions. Mathematical Programming,
1, No. 2,239-266.

Souder, W. E., 1972, A Scoring Methodology for Assessing the Suitability of Management
Science Models. Management Science, 18, No. 10, 8526-43.

Steuer, R. E., 1976, An Interactive Linear Multiple Objective Programming Procedure Employing
an Algorithm for the Vector-Maximum Problem. Management Science (i press).

Tell, 8., 1976, A Comparative Study of Some Multiple-Criteria Methods. EFI, Handelshogskolan,

Tell, 8., and Wallenius, J., 1976, A Survey of Multiple Criteria Decision Methods and Applications:
Utility Theory and Mathematical Programming. EFI Working Paper No. 6058, Handelshogskolan,

Terry, H., 1963, Comparative Evaluation of Performance Using Multiple Criteria. Management
Science, 9, No. 3,431-41.

Wallenius, J. 1975, Interactive Multiple Criteria Decision Methods: An Investigation and an
Approach. Handelshogskolan, Helsingfors.

Zionts, S., and Wallenius, J., 1976, An Interactive Programming Method for Solving the Multiple
Criteria Problem. Management Science, 22, No. 6, 652-663.