RESUMÉ

Nærværende forfatter har i det praktiske erhvervsarbejde, som forelæser på HD-studiet samt som foredragsholder på efteruddannelseskurser for virksomhedsledere konstateret et behov for viden omkring problematikken økonomisk beslutningstagen under usikkerhed. Får virksomhedens management et værktøj stillet til rådighed, som er relativt let forståeligt, ikke for matematisk kompliceret, samt er umiddelbart anvendeligt i forskellige økonomiske beslutningssituationer, så er man i høj grad villig til at anvende dette operationelle værktøj.

Et sådant værktøj er den Bayes'ianske beslutningsteori, som ved hjælp af
et praktisk eksempel behandles i det efterfølgende.

1. Artiklens formål

Siden Den anden Verdenskrig har matematikere bevæbnet med computereog
komplicerede matematiske formler angivet veje for beslutningstageninden
for traditionelle områder som f. eks. lagerstyring, produktionsstyring,materialeallokering

---

*) Økonomisekretær, cand. mere, Thrige-Titan A fS, Odense. Artiklen modtaget januar 1975.

tionsstyring,materialeallokering0.1., og er her nået langt i bestræbelserne
på at forbedre beslutningsprocessen.

Der er imidlertid en i praksis betydelig gruppe af økonomiske beslutningsproblemer, der stædigt har modsat sig matematikerens anstrengelser, og det er beslutningsproblemer, der involverer en ukendt fremtid om hvilken, der ikke er nok facts til at basere matematiske formler på.

Man har i foregangslandet inden for »management decision« USA, i det sidste tiår for løsning af ovennævnte beslutningsproblemer anvendt og videreudviklet den såkaldte Bayes'ianske beslutningsteori, som i sin beslutningsteknik anvender en blanding af matematik og beslutningstagerens erfaring og viden i øvrigt.

I al enkelthed adskiller den Bayes'ianske beslutningsteori sig fra de øvrige operationsanalyseteknikker ved, at beslutningstagerens subjektive vurdering tidligt kommer ind i beslutningsprocessen i stedet for kun til sidst, når den fundne optimale løsning skal vurderes.

Beslutningsteorien er hidtil set meget lidt anvendt af beslutningstagere,
som oftest ledelsen, i danske virksomheder.

Dette skyldes efter forfatterens vurdering ikke, at førnævnte økonomiske
beslutningsproblemer ikke er tilstede, men først og fremmest et ukendskab
til beslutningsteknikken.

I de senere år er imidlertid også herhjemme behovet for en betydelig
mere systematiseret beslutningsproces for ellers vanskeligt håndterbare
økonomiske beslutningsproblemer blevet erkendt.

Det seneste af forfatteren erfarede område for anvendelsen af den Bayes' ianske beslutningsteori er ved udformningen af beslutningsprocessen hos en stor dansk industrivirksomhed, når det drejer sig om beslutningstagen inden for det valutariske område.

Grundlaget for den Bayes'ianske beslutningsteoris anvendelse er opstillingen
af en betalingsmatrix, som er en kvantitativ strukturering af beslutningsproblemet,
hvilket nærmere uddybes i de efterfølgende afsnit.

Betalingsmatrixen kan f. eks. i førnævnte virksomhed have følgende indhold, hvor beslutningsproblemet eksempelvis er, hvorledes virksomheden skal sikre sig, hvis da overhovedet, mod valutakursrisikoen på et nettotilgodehavende i en svag valuta.

Den Bayes'ianske beslutningsteori burde have en langt større udbredelse herhjemme alene af den grund, at den jo netop ser på omgivelserne og fremtiden med beslutningstagerens øjne, hvorfor han bør kunne forstå og dermed også anvende den.

2. Den Bayes'ianske beslutningsteoris placering

Den Bayes'ianske beslutningsteori er den ene af de to teoretiske hovedretninger
inden for disciplinen statistisk beslutningstagen under usikkerhed
— den anden er den klassiske beslutningsteori.

Ved statistisk beslutningstagen betragtes den normative beslutningsteori ud fra den synsvinkel, at beslutningstageren, inden beslutning skal træffes, kan foretage et eller flere forsøg, hvorved han får yderligere information i hænde for brug i beslutningsprocessen.

Generelt kan man derfor karakterisere de to teorier - den Bayes'ianske og
den klassiske - som to forskellige måder at behandle indsamlet information

3. Objektive contra subjektive sandsynligheder

Den klassiske beslutningsteori bygger på anvendelsen af objektive sandsynligheder f. eks. gennem sin brug af signifikanstest og punkt- eller intervalestimering. Objektive sandsynligheder, hvorved forstås sandsynligheder, der opfattes som grænseværdier for relative hyppigheder, når antallet af identiske forsøg går mod uendelig, er endvidere det matematiske grundlag for opstillingen af de kendte regneregler for sandsynligheder. Den Bayes'ianske beslutningsteori anvender derimod subjektive sandsynligheder, hvorved forstås et udtryk for beslutningstagerens bedste overbevisning og dermed hans subjektive bedømmelse af indtræffelsessandsynlighederne for beslutningsproblemets mulige udfald.

Personlige sandsynligheder, som der jo således i realiteten er tale om, er subjektive i den forstand, at det næsten er givet, at forskellige beslutningstagere ikke vil være enige i, hvilken sandsynlighed et givet udfald skal have. Dette naturligvis fordi de vil angive sandsynlighederne på basis af deres respektive erfaringer og baggrund samt i øvrigt efter deres kendskab til den konkrete situation. Denne anvendelse af subjektive sandsynligheder ved brugen af sandsynlighedsregnereglerne er den klassiske beslutningsteoris stærkeste anke mod den Bayes'ianske beslutningsteori.

Det er ikke meningen her at komme nærmere ind på den i høj grad akademiske
diskussion, der med ovennævnte som udgangspunkt føres mellem
tilhængere og modstandere af den Bayes'ianske beslutningsteori.

4. Beslutningsprocessen

4.1. Taleksempel

Det er fundet hensigtsmæssigt at redegøre for teknikken i den Bayes'ianske
beslutningsproces ved hjælp af et eksemplificeret taleksempel med
følgende indhold.

En virksomhed står over for at skulle lancere en vare eller ej. Disse to
strategier (handlingsalternativer) kaldes henholdsvis Si og S2.
Salgsledelsen mener, der er tre mulige udfald, Nl}N1} N2N2 og N3, der for
virksomheden vil medføre markedsandele på henholdsvis 20 %, 10 %
og 1 %.

Endvidere skønner salgsledelsen, at sandsynligheden for disse tre mulige udfald kan vurderes til henholdsvis 0,3, 0,4 og 0,3 på grundlag af den øjeblikkelige viden. Denne vurdering er lig med de subjektive sandsynligheder, og som benævnes prior sandsynligheder.

Strategiernes værdi kan udtrykkes i relation til graden af målopfyldelse, d.v.s. der kan opstilles en betalingsmatrix, som indeholder alle de betingede værdier (+ for gevinst og -~ for tab) af de mulige kombinationer af strategier og udfald.

Ved beregning af betalingsmatrixens nettogevinsttal må kun sådanne beløb
medtages, som er direkte forbundet med den betragtede strategi.

Det gælder endvidere, at der til enhver betalingsmatrix over de betingede
gevinst- og tabstal (tabel 1) kan opstilles en matrix for de betingede offeromkostninger.

De betingede offeromkostninger defineres som det beløb, der mistes ved
ikke at vælge den strategi, der giver den største nettogevinst for hvert
mulige udfald.

4.2. l.fase

Bayes' beslutningskriterium skal anvendes.

Ud fra en økonomisk anskuelse må den beslutning, der giver beslutningstageren størst forventet gevinst eller mindst forventet offeromkostning være den bedste, og de to beslutningskriterier - forventet gevinst (EMV) og forventet offeromkostning (EOL) kan derfor indføres.

Det ses af taleksemplet, at uanset om der vælges efter maximum for EMV eller minimum for EOL, udpeges samme strategi som den bedst mulige. Som det er fremgået, så indeholder 1. fase i den Bayes'ianske beslutningsteori ikke problemet omkring behandlingen af yderligere information, men strategivalget foretages alene ud fra den subjektive prior viden.

Derfor er det, der har givet teorien navn — Bayes' sætningen — endnu ikke
blevet anvendt. Dette vil ske i beslutningsprocessens 2. fase.

Inden overgangen til 2. fase skal begrebet - værdien af fuld viden - indføres,
og dermed det maximale beløb en beslutningstager bør ofre for at
få yderligere information i hænde.

4.3. Værdien af fuld viden

Udarbejdelse af prognoser er lige som enhver anden form for informationsindhentning omkostningskrævende. Ofte vil en beslutningstager være i den situation, at han må overveje, om de med indhentning af information forbundne omkostninger vil forbedre hans beslutningstagen så meget, at det derved indtjente merdækningsbidrag kan dække omkostningerne. Tænker man sig nu den situation, at det gennem yderligere indhentning af information ville være muligt at opnå fuld viden om, hvilket udfald der vil indtræffe, kan den forventede gevinst ved fuld viden - EMV (fuld viden) - beregnes.

EMV (fuld viden) beregnes som summen af nettogevinsten ved at vælge
den bedste strategi for hver udfaldsmulighed ganget med prior sandsynlighederne
for de respektive udfald.

Anvendt på taleksemplet vil virksomheden således vælge Si, hvis den
ved, at Nj eller N2N2 indtræffer, men S2, hvis N3N3 indtræffer.
Dette vil medføre følgende forventede gevinst ved fuld viden. EMV (fuld
viden) = 0,3 ■ 30 + 0,4 • 10 + 0,3 • 0 = 13.

Sammenlignet med det oprindelige strategivalg St vil fuld viden medføre
en forøgelse af EMV pål3-^8,5=4,5, hvilket vil være den søgte værdi
af fuld viden.

Sagt på en anden måde, så kan det altså under ingen omstændigheder
betale sig at ofre mere end 4,5 på at indhente yderligere information.
Det bemærkes endvidere, at værdien af fuld viden 4,5 altid vil være lig
med de forventede offeromkostninger for den optimale strategi EOL (S!).

4.4. 2. fase

Da denne beregningsfase anvender Bayes' sætning for betingede sandsynligheder
i tilfælde af statistisk afhængighed, skal sætningen anføres
her.

P (N/R) = P(NnR) } Joint sands. |
' übetineede ,
P (R) } sands. I Sands'

prior betingede
sands, sands.
= p7n)p7r/N) } Joi^sands. or
; übetingede r ,
PW } sands. S3nds-

Verbalt angiver Bayes' sætningen sandsynligheden for, at udfaldet N indtræffer,
når analyseresultatet R er konstateret.

Ud fra ønsket om at reducere risikoen udtrykt i prior sandsynlighederne for at træffe en forkert beslutning kan det nu overvejes at anvende en given analysemetode for derigennem at få yderligere information, der kan indgå i beslutningsgrundlaget.

Generelt gælder, at uden informationsindsamling vil man aldrig kunne
få en risikoreduktion.

Der vil derefter være to beslutningsgrundlag til rådighed for beslutningstageren. Et hvor der ikke indgår yderligere information, og hvor beslutningen derfor træffes alene på baggrund af prior sandsynlighederne, og et hvori der indgår yderlig information, og hvor beslutning træffes ved hjælp af de korrigerede prior sandsynligheder i form af Bayes' sætningens posterior sandsynligheder.

2. fase skal muliggøre et valg mellem disse to beslutningsgrundlag, idet den for det første vil fastlægge, hvilken beslutning der skal træffes givet de enkelte analyseresultater, og for det andet afgøre om en analyse i det hele taget skal gennemføres, og altså dermed om yderligere information skal indhentes.

Fasens beregningsteknik gennemgås i det følgende:

I: For at kunne gennemfore beregningen af vaerdien af at gennemfore den yderligere analyse, er det nodvendigt at kende analysemetodens effektivitet, d.v.s. den usikkerhed, hvormed den rammer det rigtige resultat.

Denne vurdering udtrykkes ved hjaelp af de betingede sandsynligheder, men forst ma de mulige analyseresultater defineres, hvilket for taleksemplet gores i nedenstaende opstilling, idet R star for analyseresultatet.

Rj svarer til en markedsandel på mere end 15 %

R2R2 svarer til en markedsandel mellem 5 og 15 %

R;j svarer til en markedsandel på mindre end 5%

Verbalt kan de betingede sandsynligheder udtrykkes som sandsynligheden for, at den påtænkte analyse vil resultere i analyseresultatet Ri, når udfaldet Nj senere måtte vise sig at indtra^ffe. Beslutningstageren kan enten fastsætte de betingede sandsynligheder subjektivt, hvilket vil være det hyppigst forekomne, men i særlige tilfælde er det dog muligt at fastsætte disse sandsynligheder objektivt ved hjælp af en af de kendte sandsynlighedsfordelinger.

Det bemærkes af tabel 5 over de betingede sandsynligheder, som her
er fastsat subjektivt, med hvilken logisk konsekvens tabellen er opbygget.

Eksempelvis må P (Rj/Ni) være større end P (Rs/Is^). Udtrykt verbalt så må sandsynligheden for, at analysen vil resultere i en markedsandel på mere end 15 % (R^, når det forudsættes at virksomheden virkelig vil få en markedsandel på 20 % (N_x), nødvendigvis være stor. Mener beslutningstageren nemlig ikke, at dette er tilfældet, så bør en anden analysemetode vælges, hvor usikkerheden er noget mindre.

II: Man emu klar til at anvende Bayes' sætningen, der netop er afledt
af betinget sandsynlighedsregning, og som er en metode til at modificere
de forsøgsvist fastsatte prior sandsynligheder ved hjælp af
den påtænkte analyses mulige resultater.
For at kunne løse denne opgave består Bayes' sætningen af en funktion
for betingede sandsynligheder, der angiver analyseinformation,

og af en prior sandsynlighedsfunktion, der som anfert under 1. fase
angiver den umiddelbare subjektive vurdering af indtraeffelsessandsynlighederne
for beslutningsproblemets mulige udfald.
Dette muliggor beregningen af de sakaldte joint sandsynligheder,
som indgar i fastlasggelsen af Bayes' sastningens output posterior
sandsynlighederne.

Ovennævnte kan anskues grafisk:

For anvendte taleksempel kan nu opstilles følgende sandsynlighedstabel
ved hjælp af Bayes' sætningen.

Ill: Tredie beregningstrin i 2. fase er ved hjaelp af de netop beregnede
posterior sandsynligheder, at fastlasgge, hvilken beslutning der skal
traeffes givet de enkelte analyseresultater.

Dette gøres ved at beregne den betingede forventede slutgevinst (CTEP) for hver strategi og under forudsætning af et analyseresultat. CTEP beregnes som en summation af posterior sandsynlighederne ganget med de respektive nettogevinsttal jvnf. tabel 1.

Givet analyseresultat R^:

CTEP(Si) =30• 0,656 + 10 • 0,250 ~- 15 • 0,094
= 20,770
CTEP(S2) =0• 0,656 +0• 0,250 +0• 0,094
rrr 0

Givet analyseresultat R2:

CTEP(S,) —30• 0,167 +10• 0,667-h 15 • 0,167
= 9,075
CTEP(S2) =0• 0,167 +0• 0,667 +0• 0,167
= 0

Givet analyseresultat R3:

CTEP(S,) =30• 0,094 +10• 0,250 ~-15 ■ 0,656
= -^4,520
CTEP(S2) =0• 0,094 +0• 0,250 +0• 0,656
= 0

Bayes' beslutningskriterium for 2. fase emu felgende:
Givet et analyseresultat, vaelges den strategi, der har storst
CTEP.

I taleksemplet vil det sige, at ved analyseresultaterne R-,, R2R2 og R^
vaelges henholdsvis strategi SlsSl5 Sx og S2.

IV: I fjerde og sidste beregningstrin skal, inden valg af strategi foretages,
trasffes beslutning om, hvorvidt analysen i det hele taget skal
gennemferes.

Dette må bestemmes af på den ene side de med den påtænkte analyse
forbundne omkostninger og på den anden side af det af den yder-

ligere information afledede merdaskningsbidrag. Med andre ord
problematikken beskrevet i denne artikels afsnit 4.3.

Folgende hjzelpetabel opstilles.

Den forventede gevinst ved ufuldstændig viden eller sagt med andre ord den påtænkte analyses forventede gevinst kan nu beregnes, som summen af den til de respektive analyseresultater optimale strategi svarende CTEP ganget med sandsynligheden for det pågældende analyseresultat P(Ri).

EMV (ufuldstaendig viden) = 0,32 • 20,770 + 0,36 • 9,075
+ 0,32 • 0
= 9,9134

Sammenlignes denne værdi med den under 1. fase tidligere beregnede
EMV^Si), der var den bedste strategi før analysen, fås en forøgelse
i EMV på

som bliver lig med værdien af ufuldstændig viden.

Konklusion: Hvis den pataenkte analyse kan gennemfores for et mindre beleb end 1,4134, bor den accepteres, hvis ikke, bor man beslutte pa det oprindelige grundlag, som anfort under fase 1.

5. Vurdering

Af empiriske undersøgelser foretaget i USA af den Bayes'ianske beslutningsteoris
praktiske anvendelighed skal specielt følgende faktorer fremhæves.

1. Deter isaer inden for marketingomradet, teorien har vist sig mest funktionsdygtig. Laeseren henvises dog til de i denne artikel indledningsvis fremforte betragtninger, der peger i retning af, at teorien fremover ogsa vil finde indpas inden for andre okonomiske discipliner. Dette skyldes bl. a. onsket om, at fa en mere systematiseret beslutningsproces med deraf afledede muligheder for at traeffe bedre beslutninger.

2. Beslutningsteknikken er yderst anvendelig for løsning ved hjælp af
edb.

3. Teoriens anvendelighed bestemmes til en vis grad af prior sandsynlighedernes pålidelighed, samt af at analytikeren er i stand til at udtale sig om den anvendte analysetekniks effektivitet i form af de betingede sandsynligheder.

4. Kan ikke i sin beslutningsprocedure medtage ikke-kvantificerbare
faktorer.

Til sidst skal det endelig nævnes, at den Bayes'ianske beslutningstager naturligvis har mulighed for at foretage følsomhedsanalyser, for at se hvor robust den fundne optimale løsning er f. eks. over for ændringer i prior sandsynlighederne eller i betalingsmatrixens nettogevinsttal.

Anvendt litteratur:

1. Fellner, William: Probability and profit. A study of economic behavior along Bayesian
lines. Illinois, 1965.

2. Holstein, Carl-Axel S. Staels von: Some problems in the practical applications of Bayesian
decision theory. Stockholm, 1969.

3. Lindly, D. W.: Introduction to probability and statistics from a Bayesian viewpoint.
London, 1965.

4. Morris, W. T.: Management science. A Bayesian introduction. E.C.,1968.

5. Morgan, Bruce W.: An introduction to Bayesian statistical decision processes. E.C.,
1968.

6. Raiffa, Howard: Normative Decision Making. Mass., 1965.

7. Raiffa, Howard: Decision Analyses. Mass., 1970.

8. Schlaifer, Robert: Probability and statistics for business decisions. New York, 1959.

9. Hirshleifer, Jack: The Bayesian approach to statistical decision: An exposition. The
Journal of Business, 1961.

10. Hansen, Erik m.fl.: Langtidsstyring. Samfundslitteratur, 1973.