RESUMÉ

Nærværende artikel er et sammendrag af forfatterens store afhandling
ved cand. merc.-eksamen sommeren 197'4 inden for fagområdet operationsanalyse.

Artiklens mål er at løse en klasse af mediaplanlægningsproblemer: hvorledes allokeres et reklamebudget optimalt pa forskellige reklamemedia? Artiklens metode er den operationelle erhvervsøkonomi, forenet med systematisk kombination af viden fra eksisterende litteratur.

Mediaplanlægningsproblemet kan ikke på, tilfredsstillende måde af bildes på en af de fra litteraturen kendte optimeringsmodeller, hvorfor der med udgangspunkt i responsfunktionen og eksponeringsfrekvensfordelingen formuleres en ny og for vort formål mere relevant beslutningsmodel. Modellen gøres herefter operationel gennem en redegørelse for, hvorledes dens elementer måles. Løsningen af modellen sker ved en heuristisk løsningsmetode, der ikke kan sikre den optimale løsning, men giver en (nær) optimal løsning. Afslutningsvis refereres de vigtigste resultater af modellens anvendelse på et praktisk mediaplanlægningsproblem i en virksomhed.

---

*) Cand. mere, adjunkt, Institut for teoretisk Statistik, Handelshøjskolen i København Artiklen er indleveret i september 1974.

1. Problemformulering

1.1. Virksomhedens mediaplanlægningsproblem

Ved tilrettelæggelsen af en annoncering for et fast reklamebudget i en bestemt periode må enhver virksomhed træffe 2 typer valg (Ottesen, 1973b, s. 35): 1) Valg af den udformning, annoncen skal have, og 2) valg af de reklamemidler, som annoncens budskab skal formidles igennem. Artiklen vil vise en metode til valg af type 2, hvor det gælder om at bestemme hvor mange indrykninger af annoncen, der skal foretages i en række for problemet relevante reklamemedia, dvs. fastlægge den optimale værdi for et sæt af virksomhedens handlingsparametre. Vi vil udelukkende beskæftige os med trykte reklamemedia (aviser, ugeblade og magasiner) som formidlere af annoncens budskab. En samling eller gruppe af media, hvor der til hvert medium er knyttet oplysning om antal indrykninger, der skal foretages i mediet, vil vi kalde en mediakombination.

Virksomhedens delmålsætning, der gælder for salgsarbejdet, antages at være at maksimere salget for et givet reklamebudget. Men her er salget som målsætningsvariabel ikke operationel, da vi har meget vanskeligt ved at måle effekten af en mediakombination i salgskroner. Vi indfører derfor begrebet respons som et teoretisk udtryk for et individs reaktion på annoncens budskab. Respons udtrykkes som et reelt tal i intervallet [o,l], og vi antager, at der er en positiv sammenhæng mellem respons og salget. Er først sammenhængen mellem mediaparameteren og respons fastlagt, kan vi ordne en række alternative mediakombinationer efter kriteriet respons og vælge den, der giver størst værdi.

1.2. Grundlæggende forudsætninger og begreber

En person, der læser eller ser i et blad, hvori en bestemt annonce er indrykket, har mulighed for at modtage eller sanse annoncens budskab; vi siger, at personen er eksponeret for den pågældende annonce. Vi regner med, at en persons respons på en annonces budskab er afhængig af det antal gange, han har haft mulighed for at se annoncen, altså antal eksponeringer. Denne sammenhæng udtrykkes ved responsfunktionen. Med det i afsnit 1.1. indførte respons-begreb er responsfunktionen altså en afbildning af de ikke-negative tal på intervallet [o,l].

Det antages, at personer, der læser eller ser i et medium, alle har samme

mulighed for at blive opmasrksom pa annoncens indhold. Vi forudszetter ogsa, at alle media, der indgar i en mediakombination, har samme evne til at bringe budskabet videre til laeseren, nar annoncen er indrykket i samme tekniske udforelse.

Tre vigtige begreber i relation til vort problem er elementærdækningen for et medium samt brutto- og nettodækningen for en mediakombination. Lad m være antallet af media, der indgår i kombinationen, og lad Xj angive, hvor mange gange (= i hvor mange numre), annoncen indrykkes i medium j (j =1, 2, ..., m). Xj kan antage ikke-negative heltalsværdier. En kombination af disse m media vil vi kalde mediakombinationen (x_l) x₂, ..., x,„) =X.Vi kan nu definere følgende (jfr. f. eks. Schyberger (1965, s. 22ff)):

Elementærdækning bj for medium j: Det gennemsnitlige antal personer
i målgruppen, der læser et nummer af medium j.

Bruttodækning B(X): Summen af elementærdækningerne bj multipliceret med xj for de m media, der indgår i kombinationen X, dvs. det totale antal eksponeringer for annoncen i målgruppen. Eller opskrevet i symboler:

Nettodækning N(X): Antal personer i målgruppen, der læser mindst ét nummer, i hvilket annoncen findes, blandt de m media, der indgår i kombinationen X, dvs. antal personer i målgruppen, der eksponeres mindst én gang.

Ved at indrykke en annonce én gang i medium i og én gang i medium j vil der være personer, der eksponeres 2 gange for annoncen, nemlig de, der læser både medium i og j; antallet af disse læsere benævnes dobbeltdækningen mellem i og j. For en kombination af m media kan vi på grund af overlapning i læserskarerne altså komme ud for dobbelt-, tertiær-, kvartær-, ..., m-dækning.

Ved at indrykke annoncen i flere numre af samme medium, vil vi ikke komme i kontakt med de samme mennesker hver gang, idet der finder en vis læserkredsudskiftning sted fra nummer til nummer. Det antal personer,der læser mindst ét af et voksende antal gennemsnitlige numre af

mediet, kaldes den akkumulative nettodaskning (jfr. Schyberger (1965,
5.26)).

Af dette afsnit fremgår det, at problemet omkring allokering af et annoncebudget er meget komplekst. Vi kan ikke foretage en isoleret betragtning af ét medium for at vurdere dets egnethed til at indgå i en optimal mediakombination, men må foretage en samlet bedømmelse af en kombination af media.

1.3. Endelig p_{roblem for mulering}

Der findes normalt et meget stort antal mulige kombinationsmuligheder af media og indrykninger (se herom senere i afsnit 4.2.). Da der desuden er grund til at antage, at forskellige kombinationer giver forskellig grad af målopfyldelse, foreligger der altså et problem for virksomheden, nemlig at finde den mediakombination, der er optimal i relation til målsætningen.

Mediaplanlægningsproblemet kan sammenfattende formuleres således: Beslutningstageren har på forhånd truffet beslutning om 1) reklamebudgettets størrelse for en given periode, 2) definition af en målgruppe, som annoncens budskab henvender sig til, 3) udformningen af annoncen og dens tekniske krav til mediet (f. eks. farve og størrelse) samt 4) en gruppe af m media, der udgør de mulige formidlere af annoncens budskab.

Problemet emu at bestemme vasrdien af beslutningsvariablene xu x2,
..., xm (xj =0, 1, 2, .. .), saledes at denne mediakombination - alt
andet lige - er optimal i relation til virksomhedens mdlssetning, dvs. giver
storst samlet respons i malgruppen, eller - hermed - giver
storst mulig gennemsnitlig respons pr. malgruppeindivid.

Det er klart, at reklamebudgettets størrelse lægger visse grænser for det
totale antal indrykninger. Det gælder altså om at foretage en optimal allokering
af budgettet på de m media.

2. Afbildning af problemet på en model

Vi skal nu foretage et modelvalg, dvs. finde kausalrelationen mellem
beslutningsvariablene og målsætningsvariablen. Det er naturligt at starte

Sogningen efter en tilfredsstillende, operationel model blandt de modeller,der
er beskrevet i litteraturen.

2.1. Søgning blandt kendte modeller

Inden for mediaplanlægningen har især lineære programmeringsmodeller, 0-1 heltallige modeller og simulationsmodeller været forsøgt anvendt; se Gensch (1973), Little og Lodish (1969) og Christensen m.fl. (1973). Hos Grønholdt (1974, s. 3lff) gives en vurdering af en række af disse metoder, hvoraf 2 skal omtales ganske kort.

Et vigtigt kritikpunkt mod lineær programmering er, at der kræves en kriteriefunktion, som skal være en lineær funktion af antallet af indrykninger. Dette betyder, at værdien af 10 eksponeringer af 1 person har samme effekt som 1 eksponering af 10 personer, dvs. der regnes med en lineær responsfunktion. Linearitetsforudsætningen betyder, at det mest effektive medium vil blive anvendt et maksimalt antal gange, hvorefter det næstbedste vil udnyttes mest muligt osv., indtil budgettet er opbrugt. Desuden kan der ikke tages hensyn til multidækningsfænomenet, som blev omtalt i afsnit 1.2., og endelig er der ved anvendelse af lineær programmering ikke mulighed for at tage hensyn til eventuelle rabatter ved gentagen anvendelse af samme medium.

I Erhvervsokonomisk Tidsskrift har Christensen m.fl. (1973) beskrevet en
0-1 heltalsmodel til losning af mediaplanlsegningsproblemet. Forfatterne
har som mal at na ud til en vis brakdel af den opstillede malgruppe (dvs.
en minimum nettodsekning) og blive inden for en given budgetramme pa
en sadan made, at de mennesker, der ser annoncen, ser den flest mulige
bruttodsekning
gange. Kriteriefunktionen er altsa , der benasvnes gennettodaskning

nemsnitlig frekvens, som onskes maksimeret under visse betingelser. Som
det ses, er malsastningen ikke identisk med vor problemformulerings
malsaetning.

Et kritikpunkt mod Christensen m.fl.'s model er, at der er indført en minimumsgrænse for nettodækningen, hvorefter den gennemsnitlige frekvens maksimeres. Betragt nemlig 2 mediakombinationer A og B med en dækning på henholdsvis 80 % og 72 % og med en gennemsnitlig frekvens på henholdsvis 2,5 og 4,0. Ved anvendelse af denne model vil beslutningstageren med en minimumsdækning på 70 % - alt andet lige -

foretrskke alternativ B frem for A. Dette valg behever ingenlunde at
vaere optimalt i relation til vor malsaetning; det afhaenger ganske af responsfunktionensform!

Konklusionen hos Grønholdt (1974, s. 36f) af disse vurderinger af kendte modeller er, at vi ikke ser os i stand til på tilfredsstillende måde at anvende en af disse modeller som afbildning af vort problem. Grunden hertil er, at de forudsætninger, der er nedfældet i problemformuleringen, ikke passer ind i de forudsætninger, modellerne er opbygget efter. Vi forsøger derfor i det følgende afsnit at formulere en ny og for vort formål mere relevant modelstruktur.

2.2. Formulering af ny modelstruktur

Fra afsnit 1.2. haves, at sammenhængen mellem antal eksponeringer og respons udtrykkes ved responsfunktionen. Responsfunktionens form skal belyses i det følgende afsnit 2.2.1. Endnu et begreb, som skal omtales nedenfor i afsnit 2.2.2., er eksponeringsfrekvensfordelingen, der er defineret som fordelingen af læsere i målgruppen på antallet af gange, de eksponeres.

Afsnit 2.2.3. vil herefter vise, hvorledes disse sammenhænge kan kombineres
til en beslutningsmodel.

2.2.1. Responsfunktionens form

Broadbent og Segnit (1967) har foretaget en grundig analyse af foreliggende empiriske data og har på baggrund heraf en tro på en degressiv responsfunktion (Broadbent og Segnit, 1967, s. 207). Senest har Ottesen (1973a) i sin disputats opbygget en teori om responsfunktionens form på en række hypoteser fra adfærdsteorien om konsumenternes handlemåde. Ottesen (1973a, s. 72) konkluderer sin teori således: »Vor point er ikke, at S-formede responsfunktioner er utænkelige, men at de degressive responsfunktioner, vi har formuleret, repræsenterer en rimelig tilnærmelse til virkeligheden . . .« Både Broadbent og Segnit (1967) og Ottesen (1973a) er altså med hver sit udgangspunkt nået frem til at vælge den degressive responsfunktion som den mest realistiske.

Vi vil nu finde en matematisk formulering af en degressiv responsfunktion,således at respons udtrykkes som et tal i intervallet [o,l]. Benævnes respons ved y eksponeringer som W(y), foreslår bl. a. Lee (1962, s. 236) og Broadbent og Segnit (1967, s. 207) følgende funktion, som også vi

vil anvende: W(y) =1 -r-&, hvor 0 <r<l. rer responsfunktionens parameter. Fig. 2.2.1. viser eksempler pa responsfunktioner med alternativer-vaerdier, og det ses, at sma vserdier af r (taet ved 0) giver et sterkt degressivt forleb, mens store vserdier af r (taet ved 1) giver en mindre degressiv funktionsform.

2.2.2. Eksponeringsfrekvensfovdelingen

Lad os atter betragte en mediakombination bestaende af m media, hvor
Xj angiver antal indrykninger i medium j (j = 1, 2, . . . , m). De lassere,
der ser alle numre af alle m media vil blive eksponeret £ Xj = S gange.
Der er altsa mulighed for eksponeringsvserdier pa y = 0, 1, 2, . . . , S. Vi
vil lade Hy angive antallet af personer i malgruppen, der eksponeres
netop y gange.

2.2.3. Kombination af de opstillede sammenhænge til en model

På grundlag af den opstillede responsfunktion og eksponeringsfrekvensfordeling
skal vi nu etablere den søgte sammenhæng mellem mediakombinationen
X og dennes værdi af målsætningsvariablen (respons).

Lad M vasre antallet af personer i malgruppen. Den gennemsnitlige respons
pr. malgruppeindivid fas da - ved indsasttelse af den valgte degressive
responsfunktion - som

R*(X) er beliggende i intervallet [o,l], og er netop vor målsætningsvariabel.

Her er problemet imidlertid at fa bestemt alle Hy'erne, hvilket ikke kan
lade sig gore med det til radighed staende datamateriale (Dansk Media
Index). Vi ma. derfor omformulere R*(X), saledes at vi far et operationelt
maksimeringskriterium. Vi deler malgruppens M personer i 2 grupper:
1) de N(X) personer, der eksponeres mindst en gang, og 2) de
M-=-N(X), der ikke eksponeres for annoncen. Det gennemsnitlige antal
eksponeringer blandt de N(X) personer, der eksponeres for annoncen,
B(X)
kan vi udtrykke ved den gennemsnitlige frekvens, . En gennemsnitseksponeret
person vil da udvise en respons af storrelsen

Da der er N(X) personer, der eksponeres for annoncen, og da respons
hos de øvrige M-=-N(X) er W(0) = 0, fås den gennemsnitlige respons
i hele målgruppen som

Det vil senere fremgå, at dette er et operationelt udtryk for den gennemsnitlige respons pr. målgruppeindivid og kan derfor anvendes som kriteriefunktion i modellen. Det gælder da om at vælge en kombination X, således at R(X) ved givet r maksimeres under visse restriktioner, som herefter skal formuleres.

Beslutningsvariablene x1;x_1; x₂, ..., x_m kan kun antage ikke-negative heltalsværdier.Endvidere skal der lægges en øvre grænse nj på værdien af Xj, afhængig af dels planlægningsperiodens længde og dels det pågældendemediums udgivelseshyppighed. Disse restriktioner kan udtrykkes

ved Xj =0, 1, 2, ..., nj; j=l, 2, ..., m. Den nasste restriktion er, at reklameomkostningerne ved mediakombinationen ikke ma overskride budgettet, hvis storrelse vi kalder P. Lad cy vasre prisen for i indrykninger i medium j. Budgetrestriktionen kan da opstilles saledes:

Ved denne formulering kan der også tages hensyn til eventuelle rabatter ved gentagen anvendelse af samme medium. Flere restriktioner kan selvfølgelig indlægges, men disse vil være af subjektiv art og afhængig af den konkrete problemstilling; vi skal ikke her lægge flere begrænsninger på løsningsmulighederne.

Den partielle, deterministiske og statiske beslutningsmodel, vi er nået
frem til som en tilfredsstillende afbildning af mediaplanlægningsproblemet,
kan sammenfattende opskrives således:

Maksimer

under hensyntagen til

(1)

(2)

3. Måling af modellens elementer

Vor næste opgave bliver at måle de elementer, der indgår i modellen. Dette afsnit skulle gerne præsentere en tilfredsstillende metode til måling af modelelementerne, thi først da kan vi sige, at modellen er operationel og derfor anvendelig til løsning af et praktisk mediaplanlægningsproblem. Ved måling af nogle af elementerne i modellen vil vi anvende data fra Dansk Media Index (herefter forkortet DMI), der belyser læservanerne hos personer på 15 år og derover i Danmark.

Først skal målgruppen defineres, dvs. vi må specificere ét eller flere
individkendetegn; alle, som har dette fdisse kendetegn, indgår i målgruppen.Målgruppens
størrelse må hentes fra DMI, da vi jo vil benytte den

publikation som kilde for vore ovrige data. Derfor ma individkendetegnenevzere identiske med de inddelinger i materialet, som DMI angiver, saledes at vi kan Soge oplysninger om netop denne gruppe personers laaservaner.

Målingen af bruttodækningen volder ikke beregningsmæssige problemer, da vi kan finde de enkelte medias elementærdækninger i målgruppen i DMI, og derfor kan bestemme bruttodækningen ved anvendelse af formlen i afsnit 1.2., jfr. Christensen m.fl. (1973, s. 24).

Vi får imidlertid vanskeligheder ved målingen af nettodækningen. Lad den akkumulative nettodækning ved Xj indrykninger i medium j, dvs. antal personer, der eksponeres mindst én gang af Xj numre af medium j, være symboliseret ved a(j, Xj). Og lad d(i, x-,, j, Xj) være antal personer, der læser mindst ét af xj numre af medium i, og samtidig mindst ét af Xj numre af medium j, dvs. dobbeltdækningen mellem medium i med xj indrykninger og medium j med Xj indrykninger.

I en kombination af m media kan nettodækningen beregnes ved anvendelse
af den generelle additionssætning fra sandsynlighedsregningen, der
for vort formål får udseendet:

hvor Dj er summen af de akkumulative nettodækninger, D2D₂ summen af alle parvise dobbeltdækninger blandt de m media, D-, summen af tertiærdækninger og D_s summen af alle mulige s-dækninger. Med de data, vi har til rådighed i DMI, kan vi imidlertid kun beregne

°g

og kan altsa ikke beregne nettodsekningen pa denne made for en kombinationaf
3 eller flere media. Det ville da ogsa vaere meget omstaendeligt
at finde alle Ds'erne for en rimelig stor kombination af media.
Den franske mediaforsker J.-M. Agostini har udviklet en metode til estimationaf
nettodaskningen, som udelukkende anvender Dj og D2. Agostini(1961)
pastar, at der eksisterer en funktionel sammenhaeng mellem
N(X) Do
og —. Til fastlaeggelse af den konkrete sammenheeng havde

Agostini en fransk undersogelse, som angiver den eksakte nettodaskning for et stort antal kombinationer af 15 ugeblade. Agostini valgte herfra 98 samhorende vasrdier af DlsD_l 5 D2D₂ og N(X), og fandt folgende meget noje sammenhaeng mellem N(X)/D]; og D2/D!:D₂/D!:

Herfra fås straks et udtryk til beregning af nettodækningen, som vi jo
søger:

Dette udtryk kaldes Agostini's formel. På franske media giver formlen meget nøjagtige resultater, jfr. Agostini (1961, s. 14). Også i andre lande er der foretaget beregninger, der synes at vise formlens generelle gyldighed; se f. eks. Bower (1963) og Caffyn og Sagovsky (1963). Lohmann (1963) har foretaget en bedømmelse af formlens anvendelighed for danske ugeblade, og denne undersøgelse giver så gode resultater, at vi vil anvende den her skitserede metode ved måling af nettodækningen. Beregningen af D_t og D2D₂ fremgår direkte af udtrykkene ovenfor og volder ingen beregningsmæssige problemer ved anvendelse af DMl's dobbeltdækningstabeller og frekvens fakkumulations/repetitions-tabeller; beregningseksempler er vist hos Christensen m.fl. (1973, s. 24f) og Grønholdt (1974, s. 62ff).

Fastlæggelsen af værdien af responsfunktionens parameter r er noget usikker og vil afhænge af beslutningstagerens subjektive skøn, dersom han ikke har empiriske undersøgelser for det pågældende marked som grundlag. Det er klart, at en række forhold, f. eks. konkurrencesituation, varens art og annoncens udformning, indgår i overvejelserne ved valget af r. Hos Broadbent og Segnit (1967, s. 2O7ff) findes en række metoder, der kan støtte beslutningstageren ved fastlæggelsen af den for problemet relevante responsfunktion. Som følge af den subjektivitet og usikkerhed,

der ligger i malingen af r, bliver en vigtig opgave ved optimeringen at studere den optimale mediakombinations folsomhed over for zendringer i parameteren r. Viser der sig nemlig meget lille folsomhed, er gevinsten ved at kunne angive r mere nojagtigt maske minimal.

Vi mangler nu blot at kunne måle modelelementerne Qj, P samt nj (j =
1, 2, . . . , m); jfr. modelformuleringen i afsnit 2.2.3. Disse parametre
volder imidlertid ingen måleproblemer. I dette afsnit har vi redegjort for,
hvorledes den formulerede models elementer kan måles, dvs. vi har gjort
modellen operationel.

4. Løsning og test af modellen

Det næste skridt bliver at løse modellen, dvs. bestemme den mediakombination
X, der under de givne betingelser maksimerer R(X).

4.1. Løsningsmetoder for heltalsproblemer

Vor model er beltallig, men kan ikke karakteriseres som en heltallig
lineær model, da kriteriefunktionen ikke er en lineær funktion af variablene
xj, x2, ..., x,„. Derfor kan vi ikke anvende en af de løsningsmetoder,
der normalt kan finde anvendelse på lineære heltalsproblemer,
f. eks. Cutting Plane eller Branch and Bound, da disse principper direkte
udnytter kriteriefunktionens linearitet ved optimeringen (jfr. f. eks. Wagner
(1972, s. 459-480)). En tredie metode er Implicit Enumeration
(Wagner, 1972, s. 480-485), der imidlertid kun kan anvendes ved løsning
af 0-1 heltallige problemer. Dette sidste princip er anvendt af Christensen
m.fl. (1973) ved løsning af deres model, der blev omtalt i afsnit
2.2. Forfatterne finder i et eksempel den optimale kombination blandt
ialt 3939 = 19-683 mulige løsninger. Heraf opfyldte 12.105 kombinationer
beslutningstagerens restriktioner. Selve kørslen af dette problem skete på
Århus Universitets CDC 6400-datamat, og det tog ca. et kvarter, før
den optimale mediakombination var fundet.

4.2. Problemets kombinatoriske egenskaber

Vi lader nj =n2 =...=nm =n. For hvert medium kan beslutningsvariablenvære
Xj = 0, 1, . . . , n, altså antage én af (n + 1) forskellige
heltal. Da vi har m media til rådighed, vil det totale antal kombinationsmulighedervære

mulighedervære(n + l)m, når vi ikke tager hensyn til budgetrestriktionen.Det
er klart, at antallet af brugbare alternativer oftest vil være
noget mindre, afhængig af budgettets størrelse.

Sammenhasngen mellem antal kombinationsmuligheder (savel brugbare som ikke-brugbare) og m og ncr sterkt progressiv, hvilket er illustreret i fig. 4.2. Heraf ses det, at mediaproblemet ikke skal vasre ret stort, for antallet af mulige mediakombinationer bliver af enorm storrelsesorden. Det problem, som Christensen m.fl. (1973) loste, havde som for nzevnt knap 20.000 mulige mediakombinationer, (m = 9, n= 2). Ved blot at foroge m fra 9 til 10, og n fra 2 til 3, bliver antallet af mulige mediakombinationer mere end 50 gange storre!

4.3. Heuristisk løsningsmetode

Disse betragtninger omkring de kombinatoriske egenskaber ved problemet og dermed også for modellen sammenholdt med løsningstiden for Christensen m.fl.'s i omfang yderst beskedne problem, fører til, at vi i rimeligt store mediaplanlægningsproblemer ikke kan anvende algoritmer, der garanterer en optimal løsning; thi da ville regnetiden blive utilladelig stor. For at reducere den betydelige regnetid, må vi altså udvikle nye beslutningsregler, der - omend ikke kan sikre den optimale løsning - vil give en nær-optimal mediakombination.

En sadan heuristisk losningsmetode er vist i fig. 4.3., som i sit princip bygger pa den af Little og Lodish (1969) udviklede heuristik. Algoritmen seger mod en optimal losning ved at lade en indrykning ad gangen indga i/udelades fra en funden mediakombination. Den indrykning, der giver storst stigning i respons pr. kr. skal indga i kombinationen, mens den indrykning, der giver mindst fald i respons pr. kr. skal udelades fra kombinationen. Fremgangsmaden synes logisk, og det ses af figuren, at der sker en Sogeproces omkring budgetstorrelsen, og at den bliver mere og mere centreret omkring det punkt, hvor den optimale mediakombination ligger, dvs. at man har en stadig konvergens mod den optimale IoSning, men ingen garanti for at na den.

For at sikre en rimelig løsning må vi stille den betingelse, at prisen for en indrykning skal være lille i forhold til den samlede budgetstørrelse. Det fremgår af principskitsen i fig. 4.3., at den løsning, algoritmen giver, vil overskride budgettet en smule; dette forhold kan man evt. tage højde for ved budgetfastlæggelsen.

4.4. Test af løsning

Som det er fremgået, er mediaproblemet et komplekst problem med stor
datamængde. EDB er derfor et velegnet hjælpemiddel ved den konkrete
løsning af modellen.

Programmeringen er foretaget i FORTRAN IV med henblik på kørsel
på Handelshøjskolens lokale datamat, General Automation 18 f3O.
Et spørgsmål er, hvor »tæt« algoritmen evner at komme den optimale
løsning. For at besvare dette spørgsmål betragtede jeg 4 tilfældigt valgte
ugeblade med mulighed for indtil 5 indrykninger i hvert blad. I et
særligt konstrueret EDB-program fik jeg genereret og udskrevet alle
(5 + 1)4 = 1296 mulige mediakombinationer og værdien af kriteriefunktionenfor
alternative r-værdier. Derefter lod jeg modellen og EDBsystemetløse
problemet med at finde den optimale mediakombination,
og systemet fandt ved en række forskellige budgetstørrelser og r-værdier
frem til netop den optimale kombination! Afhængig af budgettets størrelseog
værdien af parameteren r, skulle algoritmen kun anvende 5-13
iterationer for blandt de 1296 mulige at finde den optimale kombination.
Testresultaterne er så gode, at vi uden betænkelighed vil anvende algoritmenog
antage dens resultater for tilfredsstillende, (nær)optimale

mediakombinationer ved løsning af konkrete mediaplanlægningsproblemer.

5. Anvendelse af modellen på et praktisk problem

Modellen er forsøgt anvendt hos en større virksomhed, der havde en annoncekampagne kørende i ugeblade og magasiner. Her havde man hidtil benyttet sig af kvalitative skøn på grundlag af beregnede tal for dækning og gennemsnitlig frekvens for nogle få, på forhånd valgte mediakombinationer, men man følte et behov for anvendelse af en egentlig beslutningsmodel.

Beslutningstageren valgte en gruppe af mediamuligheder (ugeblade og magasiner), definerede målgruppen, gav et skøn over responsfunktionens form (værdien af r), besluttede sig for budgettets størrelse for en 3 måneders periode og udformningen af den pågældende annonce. Givet disse forhold samt data om annoncepriser og læservaner samt maksimalt antal indrykninger i hvert medium, blev modellen anvendt ved løsningen af det foreliggende problem.

Der blev foretaget en række sensitivitetsanalyser, hvis formål var at få et indtryk af, dels hvor kritisk den optimale mediakombination er, og dels hvor kritiske input-variablenes nøjagtighed er (får især betydning for responsfunktionens parameter r).

Som de vigtigste resultater af de foretagne EDB-kørsler skal nævnes
følgende:

Den mediakombination, som modellen angav som løsning, gav for en hvilken som helst værdi afr (0 < r < 1) mindst 10 % større værdi af målsætningsvariablen (gennemsnitlig respons pr. målgruppeindivid) end den mediaplan, der - til samme reklameomkostninger - realiseredes af virksomheden i en tidligere periode (for den r-værdi, som beslutningstageren anså for realistisk, var forskellen i gennemsnitlig respons 16 %). Et studium af mediakombinationerne ved varierende r-værdier viste, at responsparameterens nøjagtighed inden for vide grænser ikke er særlig kritisk. Dette betyder, at målingen af r ikke behøver at være yderst nøjagtig.

Disse sensitivitetsanalyser viste også, at jo større r-værdi, vi vælger, desto
større gennemsnitlig frekvens, men mindre dækning, opnår vi for de
samme annoncekroner. Ved at lade r variere fra 0 mod 1 sker der en

stadig kraftigere koncentration af indsatsen pa fa. media. Troen pa. en lineaer responsfunktion medforer altsa, at reklameindsatsen koncentreres pa fa media, mens en degressiv responsfunktion trzekker i retning af spredning.

Ved at ændre budgetstørrelsen kan sammenhængen mellem omkostninger og gennemsnitlig respons for en række (nær)optimale mediakombinationer studeres. Denne sammenhæng kan beskrives ved en degressiv funktion, hvilket er en direkte følge af forudsætningen om responsfunktionens form: For lille r (tæt ved 0) er respons fomkostningskurven stærkt degressiv og for stor r (tæt ved 1) er kurven mindre degressiv. Gensch (1973, s. 104-107) refererer en række empiriske undersøgelser, der alle viser en sådan degressiv sammenhæng mellem respons (målt på forskellig måde) og anvendte reklamekroner.

Gennem sensitivitetsanalyser, hvor budgetstørrelsen varierer, kan modellen
også anvendes til at bestemme den mediakombination, der giver en
bestemt gennemsnitlig respons for mindst mulige annoncekroner.
For den pågældende virksomhed førte sådanne sensitivitetsanalyser til
mediakombinationer, der (ved alle værdier af r) gav samme gennemsnitlige
respons, men var billigere end den af virksomheden anvendte
mediaplan (for den r-værdi, som beslutningstageren anså for realistisk,
kunne opnås samme respons, men anvendes 35 % faerre annoncekroner
end hidtil ved at benytte den mediakombination, som modellen gav som
løsning).

Efter anvendelsen af mediaplanlægningssystemet havde vi mulighed for at se på computertiden. Kørselstiden på datamat afhænger især af antallet af nødvendige iterationer, dvs. først og fremmest af budgettets størrelse, samt antal media i medialisten. For det refererede problem, der omfattede 11 media, skulle algoritmen ved den fastlagte budgetstørrelse gennem 25-30 iterationer (afhængig af værdien af r) for at nå frem til en (nær)optimal mediakombination, og det tog ca. Vo min. i computertid. (Sammenlign her med ca. 1 kvarter i kørselstid for Christensen m.fl.'s langt mindre problem; jfr. afsnit 42.).

6. Konklusion

Indledningsvis blev artiklens mål formuleret som at løse en klasse af
mediaplanlægningsproblemer. Dette mål er efter min mening nået.

Vi har i artiklen konstrueret en praktisk anvendelig model til losning af problemet med at foretage en optimal allokering af reklamebudgettet pa forskellige reklamemedia. Dette problem loses oftest i praksis uden anvendelse af beslutningsmodeller, men alene ved et subjektivt skon, evt. pa grundlag af tal som daskning og gennemsnitlig frekvens for nogle ganske fa, pa forhand valgte mediakombinationer.

Den præsenterede model giver altså mediaplanlæggeren mulighed for at forbedre sit beslutningsgrundlag. Modellens anvendelse på praksis viser da også, at den pågældende virksomhed - under de gjorte forudsætninger - har mulighed for at anvende sine annoncekroner på en måde, der giver større grad af målopfyldelse end hidtil opnået.

Referencer:

1. Agostini, J.-M.: How to Estimate Unduplicated Audiences, s. 11-14 i Journal of Advertising
Research, 1961, vol. 1, nr. 3.

2. Bower, J.: Net Audiences of U.S. and Canadian Magazines: Seven Tests of Agostini's
Formula, s. 13-20 i Journal of Advertising Research, 1963, vol. 3, nr. 1.

3. Broadbent, S. R. & S. Segnit: Response Functions in Media Planning (The Thomson
Organisation Medals and Awards for Advertising Research 1967), s. 187-238 i Ten
Years of Advertising Media Research 1962-1971. London, 1972.

4. Caffyn, J. M. & M. Sagovsky. Net Audiences of British Newspapers: A Comparison
of the Agostini and Sainsbury Methods, s. 21-25 i Journal of Advertising Research,
1963, vol. 3, nr. 1.

5. Christensen, J., H. Lindemann & B. Obel: Mediaplanlægning ved hjalp af heltalsprogrammering,
s. 17-28 i Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, 1973, vol. 37, nr. 1.

6. Gensch, D. H.: Advertising Planning, Mathematical Models in Advertising Media
Planning. Amsterdam, 1973.

7. Grønholdt, L.: Løsning af et mediaplanlxgningsproblem: En model til optimal fordeling
af et reklamebudget på forskellige reklamemedid. København, 1974 (ikke
publiceret).

8. Johnsen, E.: Analyseprocessen, s. 95-114 i Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, 1964,
vol. 28, nr. 2.

9. Lee, A.M.: Decision Rules for Media Scheduling: Static Campaigns, s. 229-242 i
Operational Research Quarterly, 1962, vol. 13, nr. 3.

10. Little, J. D. C. & L. M. Lodish: A Media Planning Calculus, s. 1-35 i Operations
Research, 1969, vol. 17, nr. 1.

11. Lohmann, E.: Nyt hjælpemiddel ved mediaplanlægningen, s. 33-43 i Erhvervsøkonomisk
Tidsskrift, 1963, vol. 27, nr. 1.

12. Ottesen. O.: Studier i virksomhedens mediabeslutninger (disputats). København,
1973.

13. Ottesen, O.: Udformning af kommunikation, s. 35-49 i Ottesen, O. (red.): Det kom
munikationsbevidste salg. København, 1973.

14. Schyberger, B. W.: Methods of readership research. Lund, 1965

15. Wagner, H. M.. Principles of Operations Research, With Applications to Managerial
Decisions. London, 1972.