Resumé

Artiklen tager udgangspunkt i en systematisering af virksomhedens vedligeholdelsesproblemer. Princippet i vedligeholdelsespolitikker for anlæg med stokastisk sammenbrud vises i traditionel økonomisk modelform, og der diskuteres eksempler på løsninger af hovedtyper af problemer, idet nogle af de eksisterende :»standard«-løsninger vises at være belastet af at have udgangspunkt i resultaterne af den forskning, der er sket med henblik på løsning af større tekniske (fortrinsvis militære) problemer og derfor ikke inddrager omkostningsstørr eiser i en grad, der svarer til erhvervsøkonomiens almindelige kriterier. Til slut vises anvendelsen af Bayes teorem i en vedligeholdelsespolitik, der inddrager de relevante omkostnings størreis er, og som nyttiggør den i praksis ofte forekommende ufuldstændige information.

1. Indledning

Forskningen vedrørende vedligeholdelsespolitikker for anlæg med stokastisk sammenbrud har fortrinsvis haft som mål. at tilvejebringe løsninger på konkrete vedligeholdelsesproblemer for større (fortrinsvis militære) tekniske anlæg. Forskningens objekt har været på et niveau, der ligger over den almindelige virksomheds og har ikke haft sigte på opbyggelse af et generelt anvendeligt teorisystem.

I modsætning til den eksisterende litteratur vil artiklen ikke tage udgangspunkt i denne forsknings resultater, men i virksomheden. Herved bliver det muligt at bevæge sig den Logiske vej fra virksomhedens problemer og frem til disses mulige løsninger, ligesom der undgås den risiko der findes ved anvendelse af »avancerede standard løsninger«, nemlig risikoen for, at den fundne løsning er løsningen på et problem, der kun tilsyneladende er identisk med ens eget.

---

1) H.A. 1970. Artiklen indsendt 1971.

1.1. Begrebet vedligeholdelsespolitik placeret organisatorisk
i virksomheden

Ved formuleringen af virksomhedens handlingsprogram vil der blive opstillet regler for udovelsen af de enkelte funktioner i virksomheden. En del af disse funktioner kan sammenfattes under gruppen »vedligeholdelse af virksomhedens anlaeg«, og reglerne for udovelsen af denne funktion bensevnes vedligeholdelsespolitik.

Grundlaget for vedligeholdelsespolitikkens fastlaeggelse er dels systemet af ressourcer (anlasggets art) og dels beslutningstagerens malsaetning. Hensigten er at finde den i forhold til disse to udgangspunkter optimale vedligeholdelsespolitik. Der opstilles altsa en normativ politik pa grundlag af to deskriptive modeller. Nar dette kan lade sig gore, skyldes det at den ene af modellerne er en deskriptiv model af beslutningstagerens normer, kvantificeret i et vurderingskriterium.

1.2. Systematisering

Systematiseringen er opbygget med udgangspunkt i, hvilke systemer
der kan forekomme i virksomheden, og forst derefter er der vist eksempler
pa, hvilke modeller der kan anvendes derpa.

1.3. Systemet af ressourcer

Systemet af ressourcer er her afgraenset til at omf atte anlaeg, der er udsat
for stokastisk sammenbrud.

1.3.1. Stokastisk sammenbrud

Et anlaeg vil normalt over tiden have en mindsket ydelse. Dette kan ske jasvnt over en periode (kurven i figur la) eller det kan ske meget pludseligt (kurven i figur lb). Deter almindeligt kun at lade begrebet sammenbrud dsekke den sidste type af forringelse (figur lb), men ved sammenbrud border generelt forstas den begivenhed, at anlzegget bevaeger sig fra at vaere funktionsdygtigt til at vaere ikke-funktionsdygtigt. I figur la og lb er med punkterede linjer indtegnet en sadan graense, og det ses, at der ogsa for figur la's vedkommende er tale om et sammenbrud, der kan tidsfasstes prascist pa. abscisseaksen.

Når det er almindeligt ikke at betegne hændelser som i figur la som sammenbrud, skyldes det utvivlsomt, at sammenbrudsgrænsen ikke opfattes som en grænse men som et område, fordi beslutningstageren i mange tilfælde kan forskyde grænsen for, hvad der anses for funktionsdygtigt. Herved bliver sammenbruddet i figur Ib stadig opfattet som et tidspunkt, men i figur la udstrækkes det til et tidsrum. Der er imidlertid ingen grund til at opretholde denne opfattelse af et sammenbrudsområde, da beslutningstageren alligevel til sidst bestemmer sig for en bestemt grænse. Som et illustrerende eksempel kan nævnes spørgsmålet om, hvornår lyset på et kontor skal tændes om aftenen, altså fastlæggelsen af dagslysets sammenbrudsgrænse der uagtet det jævnt aftagende lys fastsættes til det ganske bestemte niveau, hvor man tænder lyset. I det følgende vil sammenbrud betyde enhver begivenhed, hvor et anlæg går fra at være funktionsdygtigt til at være ikkefunktionsdygtigt.

1.3.2. Det stokastiske element

Det stokastiske element er knyttet til hele forringelsesprocessen for anlægget, men da vi her specielt er interesseret i tidspunktet for sammenbruddet er det projektionen på abscissen i figur 2, der skal iagttages. Alt efter hvilken af de (uendelig mange) mulige forringelseskurver der realiseres, vil der fremkomme forskellige abscisseværdier for skæringen mellem forringelseskurven og sammenbrudsgrænsen, altså forskellige tidsrum mellem anlæggets start og dets sammenbrud. I det omfang forringelseskurvens beliggenhed for ordinatværdi = sammenbrudsgrænse er en stokastisk variabel, så er det ovenfor nævnte tidsrum også en stokastisk variabel, med en afledet sandsynlighedsfordeling. Det stokastiske element formaliseres traditionelt, i følgende udtryk: F(t) = Pr (tidsrum indtil sammenbrud < t), der udtrykker sandsynligheden for, at der sker sammenbrud indenfor et bestemt tidsrum efter start.

Idet fordelingen F(t) er kendt, kan den betingede sandsynlighed for
sammenbrud i et interval fra »t« til »t + A t«, givet., at anlægget er
funktionsdygtigt i tidspunkt »t«, findes:

1.4. Hovedgrupper af systemer

L.4.1. Opdeling efter graden af information om jordelingen for
storrelsen »tid indtil sammenbruda

Fordelingen kan være kendt med sikkerhed så der er et direkte anvendeligt beregningsgrundlag. En anden mulighed er, at beslutningstageren ikke kender fordelingen, og endelig kan fordelingen være delvis kendt, idet man f. eks. kender den forventede værdi.

1.4.2. Opdeling efter systemets tilgængeligbed for inspektion Afhængig af beskaffenheden og placeringen i systemet af den komponent, der er genstand for stokastisk sammenbrud, er dens tilstand enten kendt til stadighed, eller den er kun kendt når der foretages inspektion.

1.4.3. Opdeling efter antal komponenter i anlægget

Her vil der, som det skal vises i afsnit 2.2., være grund til at skelne
mellem, om der er en eller flere dele med stokastisk sammenbrud i
samme anlæg.

Ved at kombinere disse opdelinger fås det i figur 3 viste træ af systemmuligheder. Opdelingen er ikke udtømmende, men danner en oversigt over de hovedtyper af ressourc-systemer, det er af interesse at søge vedligeholdelsespolitikker for.

2. Vedligeholdelsespolitikkcr for systemer, hvor fordelingen for storrelsen »tidsrum indtil fejl« er kendt.

Som det fremgår af figur 3 kan der her opdeles efter, i hvilken grad tilstanden i det anlæg der er genstand for stokastisk sammenbrud er kendt i ethvert øjeblik. Til disse to systemmuligheder svarer to typer af politikker: 1) Forebyggende vedligeholdelse og 2) Beredskabspolitik.

2.1. Forebyggende vedligeholdelse

Ved forebyggende vedligeholdelse forstås, at et anlæg vedligeholdes før det er brudt sammen. Det er klart, at det er fordelagtigst at foretage vedligeholdelsesaktiviteten umiddelbart før sarnmenbmdstidspunktet, og det er da også det politikken tilstræber. Imidlertid kan tidspunktet for sammenbrud som vist ovenfor være en statistisk variabel, og der må da bestemmes en vedligeholdelsespolitik på dette grundlag.

2.1.1. En model

Begrebet N's omkostningsoptimale værdi er i figur 4 søgt illustreret i et simpelt diagram. Det antages, at der kan beregnes den forventede værdi af de tilbagediskonterede omkostninger, som det eksisterende anlæg vil påføre os ved sine sammenbrud i fremtiden. Det antages endvidere, at den stigende sandsynlighed for fejl ved stigende alder

for anlægget bevirker et kurveforløb som vist i figuren. På ordinaten afsættes herefter nutidsværdien af de omkostninger en vedligeholdt del forventes at påføre os ved sine sammenbrud i fremtiden plus omkostningerneved vedligeholdelsesaktiviteten. Hvor de to kurver skærerhinanden er det fordelagtigt at vedligeholde det bestående anlæg, da det er den aktivitet, der herefter giver os de laveste forventede omkostninger. Det ses, at N er den abscisseværdi, der svarer til dette skæringspunkt.

2.2. Forebyggende vedligeholdelse af anlæg med flere komponenter

Hvis sammenbrud af de enkelte komponenter i et anlæg er stokastisk
uafhængige, og hvis omkostningerne ved at udskifte flere komponenter
på en gang er lig med summen af omkostningerne ved at udskifte
hver enkelt komponent, fastlægges en politik for hver komponent.
Hvis der derimod er tale om afhængighed er der behov for en samlet
politik for alle anlæggets komponenter, idet den omkostningsoptimale
vedligeholdelsesaktivitet (evt. nulaktivitet) for en komponent afhænger
af de øvrige komponenters tilstand.

Det enkleste eksempel på et sådant anlæg er et anlæg sammensat af to komponenter »a« og »b«, der hver for sig er genstand for stokastisk sammenbrud, uden at der er afhængighed mellem disse sammenbrud, men hvor omkostningerne ved at vedligeholde begge komponenter på en gang er mindre end summen af omkostningerne ved vedligeholdelse af de enkelte komponenter, altså: C_a+b< C_a + Cb . Hvis det anantages, at del »a« har en stigende, og del »b« en konstant A.(t), kan den optimale politik for et sådant anlæg findes at være af den såkaldte (n,N)-type. Del »b« vedligeholdes kun når den går i stykker, hvad der er en naturlig følge af forudsætningen om konstant A,(t). For del »a« vil der være fastlagt en periode-politik, men (n,N)-politikken er udtryk for, at sandsynligheden for sammenbrud af del »a« (forudsat stigende) ved tidspunkt »n« (< N) når en sådan størrelse, at det kan betale sig at vedligeholde del »a« også hvis del »b« bryder sammen. Det er klart, at del »b« skal udskiftes, hvis den går i stykker, og der er da mulighed for ved denne lejlighed at udskifte del »a« for lavere omkostninger end ellers, nemlig for (C_a+b-^-Q, ).

I figur 5 er modellen fra figur 4 udbygget med en størrelse, der viser at disse lavere vedligeholdelsesomkostninger ved den anden komponents sammenbrud giver en lavere aldersværdi for komponentens optimale udskiftning (kaldet »n«). Det ses endvidere, at hvis sammenbrud af »b« indtræffer i intervallet fra n til N, er den forventede værdi for sammenbrudsornkostningerne for »a« i hele intervallet større end (C_a+b-r-Cb), hvorfor det er fordelagtigt at gennemføre den forebyggende vedligeholdelse.

2.3. Beredskabs-politik ved kendt fordeling

I dette afsnit behandles systemer, hvor det ikke til stadighed vides, hvorvidt anlægget er brudt sammen, f. eks. fordi anlægget ikke anvendes til stadighed. Et eksempel på et civilt system, hvor dette er tilfældet er et rugeri med et nødstrøms aggregat til brug ved strømsvigt, hvor nødstrømsaggregatet ikke anvendes til stadighed, og hvor det kun ved inspektion (opstart) kan konstateres, om det stadig er funktionsklart. Med hvilke mellemrum er det optimalt (ved inspektion) at afgøre om anlægget virker? Dette er et: eksempel på et problem, der kræver fastlæggelse af en såkaldt beredskabspolitik.

2.3.1. De mulige aktiviteter

Beslutningstageren har i ethvert øjeblik følgende alternativer: 1) lade
anlægget stå urørt, 2) inspicere anlægget, eller 3) udskifte (vedligeholde)

Når anlægget er genstand for stokastisk sammenbrud er der på et givet tidspunkt en sandsynlighed for, at det ikke er funktionsdygtigt på et givet tidspunkt i en kommende periode. Ved ikke at foretage sig noget vil denne sandsynlighed være lig med a) sandsynligheden for at anlægget bryder sammen inden det vilkårlige tidspunkt i den kommende periode + b) sandsynligheden for, at det er brudt sammen allerede. Ved inspektionen falder sandsynlighed b) væk. Dersom anlæggets A(t) er stigende over tiden, vil den resterende sandsynlighed yderligere kunne mindskes ved vedligeholdelse af anlægget. I det følgende afsnit forudsættes dog konstant A(t).

2.3.2. Periodisk beredskabspolitik for et anlæg

Hvis anlæggets økonomiske levetid anses for uendelig, kan der fastlæggesen
optimalperiode (N) mellem inspektionerne, ud fra kriteriet
at minimere omkostningerne pr. tidsenhed anlægget er funktionsklart.

De forventede omkostninger for en periode er omkostningerne (B) ved den inspektion, der afslutter pecioden + omkostningerne (C_e) ved at reparere ganget med sandsynligheden for, at anlaegget er brudt sammen. Den forventede tid anlaegget er funktionsklart i perioden er \^ (1 -f- F(t))dt, og ved det valgte kriterium bliver opgaven altsa at minimere folgende funktion:

Der differentieres m.h.t. N og sættes lig med nul. Andre fordelinger
og omkostningsforhold vil naturligvis give andre og ofte mere komplicerede
udtryk, men de er alle af den her skitserede karakter.

2.3.2.1. En kritik

Det ovenfor anvendte kriterium, der er udbredt i emnets litteratur forudsætter, at der er fornuft i at betragte den forventede funktionsklare tid, altså at der er rådighed over en række anlæg der supplerer hinanden, således at beredskabet til stadighed er nær et vist niveau. Forklaringen på, at kriteriet er udbredt er vel, at modellerne er skabt for at finde optimalpolitikker for raketværn der består af flere raketter, og hvor der er mening i at minimere omkostningerne i forhold til antallet af operationsklare raketter.

Det virker imidlertid i erhvervsøkonomisk sammenhæng urealistisk, at der i størrelsen der skal minimeres ikke indgår et udtryk for, hvilke konsekvenser det har, at anlægget ikke er funktionsklart. Hvis vi vender tilbage til rugeri-eksemplet, så vil det ovenfor viste almindelige kriterium resultere i samme vedligeholdelsespolitik uanset om det er for en million kroner æg eller for 100 kroner æg der ødelægges, hvis strømmen svigter og anlægget ikke virker.

2.3.2.2. Et forslag til forbedring

Omkostningerne kan udtrykkes som: Pr (anlægget virker ikke) gange
Pr (anlægget skal bruges) gange omkostningerne ved at anlægget ikke
udfører sin opgave.

Sandsynligheden for at anlægget ikke virker er en funktion af N,
nemlig: (N ~ Jg (i -^ F(t) )dt) fN;

Hvis sandsynligheden for, at anlægget skal bruges kaldes Pr(X) og omkostningerne ved at anlægget ikke udfører sin opgave kaldes C_x fås et kriterium, som er mere overensstemmende med beslutningstagerens

Minimer:

Da der her sker en beregning af konsekvenserne af at anlægget ikke
fungerer divideres med Nog ikke som før med den forventede funktionsklare

2.3.3. Beredskabspolitik for anlæg med jlere komponenter

Den optimale politik for et anlæg, hvor en eller flere: komponenters
tilstand ikke er kendt til stadighed adskiller sig i princippet ikke fra
den, der blev omtalt i afsnit 2.2.

3. Ukendt fordeling

Dersom fordelingen for »tid indtil sammenbrud« ikke er kendt falder grundlaget for de indtil nu omtalte politikformuleringer væk. Herefter er det ikke muligt at fastlægge en vedligeholdelsespolitik af forebyggende art, for uden blot et minimalt kendskab til fordelingen kan det ikke afgøres, at sandsynligheden for sammenbrud i et bestående anlæg i en kommende periode er større end sandsynligheden for sammenbrud i et vedligeholdt anlæg i den samme periode, og dette er en forudsætning for politikkernes omkostnlngsoptimalitet.

3.1. Kritik af minimax-politikkerne

Det er forsøgt (Derman, kilde 4) at opstille en model for en beredskabspolitik ved ukendt fordeling, men denne er en »minimax-politik«, og det finder jeg gør den uegnet til erhvervsformål. Minimax-kriteriet er overordentlig anvendeligt til militære formål, hvor modstanderen med rette kan antages at gøre det for os værst mulige udfald aktuelt, men at anvende kriteriet for civile anlæg er uden mening. Et dødt anlæg er indifferent overfor hvilke tab det påfører os ved sammenbrud, og konsekvenserne af et sammenbrud er meget sjældent så alvorlige, at det har mening udelukkende at handle efter det værste der kan ske uden at kende sandsynligheden for at det sker.

Som vist i afsnit 1.1. er et af udgangspunkterne for en vedligeholdelsespolitik beslutningstagerens målsætning, og da beslutningstagerens målsætning ikke giver sig udtryk i minimax-kriteriet er det urealistisk at vælge den politik, der bedst tilfredsstiller dette kriterium.

3.2. Den optimale politik

Ved ukendt fordeling må det være optimalt at udskifte (vedligeholde) ved sammenbrud. Ved beredskabspolitikker må inspektionerne lægges hvor de bedst passer ind i virksomhedens øvrige handlingsprogram (f. eks. i ledig tid), da de kendte størrelser herved minimeres.

4. Delvis information om fordelingen, et forsøg på anvendelse af Bayes teorem.

Som et eksempel på politikvalget i situationer, hvor der er delvis information
om fordelingen vil jeg skitsere anvendelsen af Bayes teorem
på anlæg med stokastisk sammenbrud.

Systemet: Det tænkes, at der på en fabrik er blevet installeret 20 anlæg
af en ny type.

Informationsgrundlaget: Fra lignende, men ikke identiske anlæg har beslutningstageren en forestilling om anlæggets funktionstid indtil sammenbrud, og det vides at omkostningerne ved en forebyggende vedligeholdelsesaktivitet er lavere end omkostningerne ved en reparation efter sammenbrud.

Politikker: På det givne grundlag opstilles følgende alternative politikker:
1) Udskift (vedligehold) ved alderen N og ved sammenbrud
inden N. 2) Udskift kun ved sammenbrud.

Omkostningerne: Omkostningerne ved politik 1 stiger, jo flere anlæg der bryder sammen før tidspunkt N. Omkostningerne ved politik 2 er ikke direkte en funktion af hvor mange anlæg, der bryder sammen før tidspunkt N, men det antages, at hvis der er få, er det et udtryk for, at anlæggene har en lang levetid, og at det derfor er billigere at vente end at udskifte de tilsyneladende gode anlæg i tidspunkt N, altså har politik 2 i dette tilfælde lavere omkostninger end politik 1. På dette grundlag opstilles en omkostningstabel (tabel 1), idet det antages, at omkostningerne er springvis varierende, hvad der letter beregningerne og ikke bevirker nogen principiel forskel.

Det ses, at alt efter, hvor mange fejl der forekommer, så er henholdsvis politik 1 og politik 2 bedst, med break-even ved 4-7 fejl pr. måned. Den subjektive fordeling: Da der skal vælges en politik at starte med, knytter beslutningstageren subjektive sandsynligheder til de mulige udfald, f. eks. ud fra erfaringer med en lignende type anlæg. De subjektive sandsynligheder tænkes at være: Pr(o-3 fejl) = 0,1; Pr(4-7 fejl) = 0,3 og Pr(B fejl og derover) = 0,6.

Valg af startpolitik: På grundlag af tabel 1 og de subjektive sandsynligheder
beregnes de forventede omkostninger pr. måneds drift
ved de to politikker:

Politik 1: 300 • 0,1 + 500 • 0,3 + 700 • 0,6 = 600 kr./måned.

Øget informationsgrundlag: Efter at periode N er forløbet konstateres det, at der er forekommet 2 fejl pr. måned. Denne information indgår nu i beslutningstagerens grundlag for at fastlægge den fremtidige politik.Antallet af fejl pr. måned er en statistisk variabel, og en »sand« værdi kan have givet forskellige udfald af »antal fejl pr. måned«, når vi som her kun har målt en kort periode. På grundlag af almindelig stikprøveteori opstilles nu en tabel, der f. eks. ser ud som tabel 2.

Nu anvendes Bayes teorem til at finde de sandsynligheder, der under hensyn til den ny tilkomne information erstatter de tidligere opstillede subjektive sandsynligheder, idet de værdier der indsættes er de oprindelige subjektive sandsynligheder og Z^linjen fra tabel 2 (da det var den der blev realiseret).

Sandsynlighederne for antallet af sammenbrud i det lange 10b Andres
altsa nu til:

Pr(o-3 sammenbrudl2 sammenbrud) = 0,1 • 0,7/0,19 = 0,3684;
Pr(4-7 sammenbrud 2 sammenbmd) = 0,3 • 0,2/0,19 = 0,3158 og
Pr(over 8 sammenbrud|2 sammenbmd) = 0,6 • 0,1/0,19 = 0,3158.

Resultatet af den første periodes drift har ændret beslutningstagerens opfattelse af sandsynlighederne, og de forventede værdier af de to politikker beregnes derfor nu ud fra tabel 1 og de reviderede sandsynligheder:

Politik 1: 300 • 0,3684 + 500 • 0,3158 + 700 • 0,3158 =
489,48 kr./maned.

Politik 2: 200 • 0,3684 + 500 • 0,3158 + 800 • 0,3158 =
484,22 kr./maned.

Det ses, at med kriteriet at minimere omkostningerne ved driften bliver politik 2 nu den bedste, men den tilkomne information behøver naturligvis ikke betyde en ændring af hvilken politik der er optimal. Efter den følgende periode vil de øgede erfaringer betyde en ny fordeling og så fremdeles.

Dette eksempel savner ganske den kompleksitet, der vil findes i et realistisk problem, men jeg mener, at det ved at forenkle problemet til gengasld er blevet tydeligere, hvad grundideen er i den type af vedligeholdelsespolitikker, der pa trods af en i starten ukendt fordeling udnytter informationen om fordelingen efterhanden som den fremkommer.

Specielt indenfor brancher, hvor der ofte fremkommer nye anlægstyper vil metoden sikkert være anvendelig til fastlæggelse af vedligeholdelsespolitik, da man dels kan bruge erfaringerne fra tidligere lignende anlæg, og dels til stadighed korrigerer sin politik efter hvilken information der fremkommer i løbet af det aktuelle anlægs drift, hvorved man opnår et stadigt feed-back til ny politikformulering.

Reference

I. Ackoff & Sasieni: Fundamentals of Operations Research. London. 1968

2. Barlow & Proschan: Mathematical theory of reliability. New York, 1965.

3. Blunch, Niels: Lidt om beslutninger og Bayes theorem. Arhus 1967.

4. Derman, C: On minimax surveillance schedules. Naval Research Logistics Quarterly,
vol. 8, no. 4.

5. Jorgenson, McCall & Radner: Optimal replacement policy. Amsterdam, 1967.

6. McCall, J. J.: Maintenance policies for stochastically failing equipment. Management
Science, vol. 11. no. 5, 1965.

7. Morse, P. M.: Queues, Inventories and Maintenance. London, 1963.