Indledning

Det problem der skulle undersøges var, udtrykt meget generelt, om
serviceafdelingen i en virksomhed kunne effektiviseres. En konkretisering
af virksomhedens målsætninger blev selvfølgelig udarbejdet.

Den foreliggende opgave kunne tænkes løst på to principielt forskellige
måder:

1. Gennem analyse af servicefunktionen at finde frem til åbenbare eller
sandsynlige forbedringer til denne, altså en rationalisering.

2. Ved analyse og dataindsamling at konstruere en model, som af bilder
problemet uden at bekymre sig om aktuelle forbedringer. Formålet her
er at give ledelsen et beslutningsgrundlag i hænde.

Denne grove principielle opdeling blot for at skitsere den måde problemetblev
løst på, nemlig hensyntagen til begge aspekter. En kømodel blev
tilpasset, så den afbildede det aktuelle service-kunde-ventetids-problem

---

*) Artiklen er baseret på udsnit af analysen for Maskinfabrikken HAKA A fS, og den knytter sig til artiklen: Erik Johnsen, »Anvendelse af en multimålsætningsmodel til styring af en virksomheds servicefunktion«, Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, nr. 1, 1969.

**) civilingeniør, Metodeforskningsgruppen, Det økonomiske Forskningsinstitut, Handelshøjskolen i København.

(beslutningsgrundlaget), og en række forslag til forbedringer blev anbefaletvedrørende
servicefunktionen, som den fungerer i dag.

Indledende problemanalyse

Hvilke kendte OR-modeller kunne tænkes benyttet på nærværende problem,
og hvad siger erfaring eller intuition, at der er galt med den eksisterende

En vaskemaskine placeret et eller andet sted i landet vil ikke vaske, som husmoderen ønsker det. Hun meddeler virksomheden det, og denne skal sende den montør, der arbejder i området, ud for at se på vaskemaskinen. Montøren kan normalt ikke komme dagen efter, da der er andre kunder i hans område, som står i kø for service. Længden af den kø, der venter på service, er bl. a. bestemt af følgende faktorer:

Antal servicekald pr. dag i hele landet.

Det antal servicebesøg, en montør kan udføre pr. dag.

Antal servicekald pr. dag er en faktor, som virksomheden ingen indflydelse
har på, på kort sigt. Det afhænger af antallet af vaskemaskiner
i landet samt disses tekniske egenskaber.

Antal montører i landet er selvfølgelig en af virksomhedens handlingsparametre.

Med en given montørstab kan den gennemsnitlige kundeventetid (Wq) reduceres, hvis man på en eller anden måde er i stand til at forøge det gennemsnitlige antal service-besøg pr. dag (,«). En effektivisering af den givne montørstab. Det er oplagt og fristende at angribe problemet her. Den tid en montør bruger til et servicebesøg, er summen af en køretid til kunden fra forrige kunde og en netto servicetid (reparationstiden på stedet). Ændringer, der kunne nedbringe enten køretiden og feller nettoservicetiden, ville formindske bruttoservicetiden (br.serv.), og følgelig forøge det gennemsnitlige antal servicebesøg pr. dag. Derfor blev følgende ændringer overvejet til formindskelse af køretiden. Nettoservicetiden, i det væsentlige et udtryk for montørernes dygtighed, betragtes som givet.

1. iEndring af omradeinddelingen. En montor arbejdede indenfor et bestemt
geografisk omrade. Omraderne var af forskellig sterrelse, og var
den nuvaerende en bedste inddeling?
Hvorfor ikke helt ophaeve omradegraenserne?

En analyse af værdien af en ophævelse af områdegrænserne ville blive for omfattende til at kunne afsluttes indenfor tidsrammen. Tanken mødte desuden modstand hos montørerne, der var interesseret i at arbejde med faste kunder og foretage rettelser på eget arbejde.

2. Et oplagt teoretisk OR-problem ville være at linde den bedste måde at placere en montør indenfor et givet område, og at finde den korteste daglige kørerute, når et givet antal kunder i området beder om service (»The Travelling Salesman Problem«).

Udbuddet af montører var ikke så stort, at ledelsen havde mulighed for at få en montør, der netop boede på det for området optimale sted. Endvidere ville ansættelse af en ny montør medføre, at et område skulle deles, og en evt. tidligere optimal montørplacering ville ikke længere være opmål.

En optimal daglig ruteplanlægning løst ved lineær- eller dynamisk programmering
ville blive for stift et system og derudover kræve et edb-anlæg
som optimeringsredskab.

Kømodellen.

En montør kørte indenfor et bestemt område rundt til kunderne, som var faste. Kunne en én-kanal kømodel afbilde situationen? Tilsyneladende ja. Ganske vist var det ikke kunderne, der bevægede sig hen til servicestedet, men principielt var problemerne ens. Næste skridt var derfor ved dataindsamling at få kendskab til de to uafhængige variable A og f* i kømodellen, d. v. s.

1. det gnst. antal servicekald pr. dag pr. montor (A), samt fordelingen
af I, og

2. det gnst. antal servicebesog pr. dag pr. montor („") eller snarere den
gnst. bruttoservicetid (br.serv.) samt dennes fordeling.
br.serv. = \Jfi.

I den klassiske énkanal kømodel forudsættes I at være poissonfordelt og
1 fju eksponential-fordelt. Var disse forudsætninger opfyldt i dette konkrete
tilælde?

Var det muligt at få data for disse variable i det historiske materiale, virksomheden sad inde med, eller ville det kræve, at man i en tid fremover indhentede oplysninger, som ikke var led i den daglige rutine? Eller mere generelt formuleret: I hvor høj grad skulle man vælge at modificere sin model, så de forhåndenværende oplysninger kunne benyttes, fremfor at indsamle netop de data, som man har lært skal benyttes i ens teoretiske model? i

Af historisk materiale fandtes i serviceafdelingen kopier af de rapporter,
der skal udfyldes for hvert servicebesøg.

Antallet af rapporter i en periode viste derfor det faktiske antal servicebesøgi
perioden. På rapporten var angivet begyndelsestid og sluttid for

besøget (nettoservicetiden). Køretiden beregnedes som differencen mellem
begyndelsestidspunktet for et besøg og sluttidspunktet for det forrige.

Af en dags eksempelvis 5 rapporter kunne beregnes de 5 nettoservicetider,
men kun 4 køretider. Tidspunkterne for montørens start fra og tilbagekomst
til hjemmet var ukendte.

Til de 5 besøg måtte svare 5 bruttoservicetider. Den 5. køretid bestemtes
kunstigt som den gennemsnitlige køretid for de 4 kendte køretider.

Bestemmelse af x og u.

Antallet af servicekald pr. dag (X)(^X) var ikke registreret noget sted, og det var derfor umuligt at finde fordelingen af X. Men hvis der indenfor et givet område ved en måneds begyndelse venter 15 kunder på service, og køen er uændret ved månedens afslutning, da må antallet af servicebesøg i måneden have været lige så stort som antallet af servicekald. Værdien af f blev derfor målt som det gennemsnitlige antal servicebesøg, da systemet var i ligevægt. Det blev forudsat, at servicekaldene kom tilfældigt ind og dermed, at X var poisso_n-fordelt.

Da X blev fundet som det gennemsnitlige antal servicebesøg i perioden, kunde det se ud til, at X = f i, og dermed at kundekøen ville vokse i det uendelige. Det uafhængige (i må findes som 1 divideret med bruttoservicetiden. Måles ,u i antal besøg pr. dag og bruttoservicetiden i inin., er det nødvendigt at kende arbejdsdagens længde i minutter for at kunne finde f/ fra bruttoservicetiden.

Hvordan kommer man nu videre, når det viser sig, at arbejdsdagens længde langt fra er konstant. Ikke alene varierer den fra dag til dag for den enkelte montør, men den gennemsnitlige arbejdsdags længde var også forskellig montørerne imellem.

Arbejdsdagens længde i minutter (arb.d) blev indført som ny uafhængig

Det gennemsnitlige antal servicebcsøg pr. dag blev så fundet indirekte

Forudsætningen om uafhængighed mellem X og f u i kømodellen var
ikke opfyldt i det foreliggende servicesystem.

Kom der en periode med travlhed og mange servicekald, sendte man flere rapporter ud til montørerne, og disse klarede dette ekstra pres ved at arbejde hurtigere og feller holde en længere arbejdsdag, d. v. s. at de øgede deres f u. I stille tider (X lille) formindskede montørerne deres serviceaktivitet,mere eller mindre übevidst (formindskede ju ). Denne hypotese om afhængighedmellem

hængighedmellemju og I syntes at finde støtte i ledelsens erfaring: Ligegyldigtom
der var travlt, ferietid eller stille tider, så forblev kundekøen
nogenlunde konstant.

Den situation, hvor montøren intet kendskab har til kundekøens længde, og hvor han har fået tilsendt et så stort antal rapporter, at han har mulighed for at udfylde hele sin arbejdsdag, vil svare til den situation, hvor fi er uafhængig af X. I travle perioder foreligger en sådan situation.

Grundet afhængigheden mellem I og f j. var egentlig testning af modellen
udelukket.

De til brug for kømodellen nødvendige data blev hentet fra historiske montørrapporter. Andre på montørrapporten relevante oplysninger blev samtidig registreret. Materialet blev behandlet statistisk for hver montør, og udover beregning af gennemsnit og spredning udregnedes fordelingens skævhed. Med hensyn til »resultater« fra denne statistiske behandling skal henvises til artiklen af Erik Johnsen. Blot skal her resumeres nogle ndringer, det blev anbefalet virksomheden at foretage på serviceafdelingen, som den fungerede i dag, med henvisning til den udarbejdede statistik.

1. Man bør undgå montører, der fungerer som specialister på en bestemt
type maskine. Områderne., de opererer på, er for store og medfører
derfor en forholdsmæsig lang køretid.

2. Montøren bør forynes med ekstra rapporter for at udfylde sin arbejdsdag

3. Det for tiden eksisterende montør-reservedelslager problem må løses.

Bruttoservicetidens fordeling.

Som før nævnt forudsættes bruttoservicetiden i standard én-kanal kømodellen at være eksponentialfordeli; (»lige mange korte og lange servicetider«). I håb om, at virkeligheden ville arte sig som modellen forlangte, undersøgtes sagen nøjere. Det fremgik dog tydeligt af den udarbejdede statistik, at der ingen meget små servicetider var. Næsten ingen ncttoservicetider var under en halv time.

I OR-litteraturen findes en mere raffineret og anvendelig én-kanal kømodel.
En analytisk model, hvor kravet til servicetidens fordeling blot er,
at den er Erlang-fordelt.*)

Kort om Erlang-fordelingerne:

Fordelingsfunktionen er

---

*) Se appendiks.

En funktion af tiden t for f/ og k fast. For hver værdi af k (l^A;<oo)
repræsenterer formlen en bestemt fordelingstype med middelværdi l fju og
variansen lj(k-/u2).

For k = 1 får man den specielle eksponentialfordeling og for k -> oo
det deterministiske tilfælde, hvor servicetiden er konstant lig 1 f/J-.

På forhånd var det helt klart, at det ikke var muligt at benytte den samme Erlang-fordeling som model for alle montørers bruttoservicetid, da statistikken tydeligt viste, at montørernes gennemsnitlige bruttoservicetid var forskellig. Som bedste skøn over \j[x i den teoretiske fordeling valgtes naturligt montørens gennemsnitlige bruttoservicetid, som var beregnet på grundlag af dataindsamlingen.

Det var at forvente, at bruttoservicetidsfordelingen for en montør ikke alene adskilte sig fra andre montørers fordelinger ved fordelingens gennemsnit (1 ffi), men også ved fordelingens k-værdi, som udtrykker, hvor varieret længden af servicetiden er. En montør, hvis fordeling har et stort A;, udfører sine servicebesøg med nogenlunde konstant bruttoservicetid. Hver enkelt montørs bruttoservicetid måtte altså undersøges.

Problemet blev angrebet på følgende måde:

1. Et foreløbigt k blev bestemt for hver montør baseret på de hidtil indsamlede
data ved at sammenholde den empiriske og teoretiske varians:

Det på denne måde bestemte k viste sig at variere for de forskellige montører
lige fra k = 4 til k = 37.

2. En nøjagtigere grafisk bestemmelse af k for tre montører med Å-værdier
fundet under pkt. 1 på 4, 18 og 37. Dette krævede yderligere indsamling
af data for disse tre montørers bruttoservicetider.

Servicetiderne for en montør blev indtegnet på en slags histogramform. Hver måling for bruttoservicetid udgør en blok, og blokkene lægges ovenpå hinanden i størrelsesorden (se fig. 1 i appendiks). Ved denne fremgangsmåde fås en empirisk fordeling, der blev sammenlignet med den til Erlangfordelingen svarende teoretiske fordeling (So(t)) for forskellige værdier af k (se appendiks). Herved var det ikke vanskeligt at skønne over fordelingens

Det viste sig mærkeligt nok, at de empiriske data for de tre montører
alle syntes at have fordelinger med samme k-værdi (k = 10), på trods af
de meget forskellige vurderinger under pkt. 1.

Den videre arbejdshypotese blev derfor, at alle montørerne havde samme
k i deres bruttoservicetid-fordeling. Fordelingerne afveg selvfølgelig fra
hinanden ved forskellige middelværdier (!/<").

Da de til grund for kømodellen indbyggede forudsætninger således med rimelig sikkerhed var opfyldt i det virkelige servicesystem, kunne man tillade sig at sige, at modellen var god, og benytte dens resultat for den gennemsnitlige ventetid Wq (se appendiks).

Bemærk, at modellen udtrykker en ligevægtssituation.

Eksempler på anvendelse af modellen som beslutningsgrundlag.

Den fundne kømodel er i stand til at give ledelsen værdifulde oplysninger om, hvad en ændring af de indgående aktiviteter, gennemsnitlige antal kald pr. dag, den gennemsnitlige bruttoservicetid og den gennemsnitlige længde af en arbejdsdag, vil medføre af ændring på den gennemsnitlige ventetid for kunder i montørens område. Bemærk, at det gennemsnitlige antal servicekald pr. dag egentlig også er en handlingsparameter. Antallet af servicekald pr. dag indenfor et område kan i nogen grad styres ved at ændre områdets størrelse, hvilket kan være tilfældet ved ansættelse af en ny montør.

Eks. 1.

For en montør har man følgende oplysninger

Gennemsnitligt antal servicekald pr. dag = 7.0 kald fdag
Gennemsnitlig bruttoservicetid = 70 min.

Hvor lang må arbejdsdagen nødvendigvis være for at opretholde en
gennemsnitlig kundeventetid Wq på 3 dage?

Modellens ventetidsformel benyttes med arb.d som übekendt: arb.d ca.
503 min.

Eks. 2.

Foren montør kendes: A = 6.8 kald/dag.

Hvilke værdier for gennemsnitlig bruttoservicetid vil medføre, at køen
vil vokse i det uendelige?

Benyttes den på grundlag af ventetidsformlen udviklede tabel, får man,
at alle gennemsnitlige bruttoserviceventetider > 80 minutter vil give en
uendelig lang kø.

Eks. 3.

Følgende data er aktuelle for en montør:
f = 5.7 kald pr. dag
Gennemsnitlig bruttoservicetid = 80 min.
Gennemsnitlig længde af arbejdsdag = 480 min.
Wq= 1.8 dage.

Hvis Å steg til 5.9 kald fdag, hvorledes ville det ændre Wq?

Fra tabellen: Wq = 5.5 dag.

Dette resultat er nok uacceptabelt, og naturligvis ville man spørge,
hvor meget gennemsnitlig bruttoservicetid skulle reduceres med for at
holde Wq = 3.0 dage med det nye 1.

Af tabellen ses, at en reduktion af gennemsnitlig bruttoservicetid til
75 min. vil nedsætte Wq til 1.0 dag.

Konklusion.

Ovenfor er forsøgt fremstillet nogle af de problemer, som dukkede op
ved løsningen af en konkret, mindre OR-opgave.

Løsningen var dels forslag til forbedring af den eksisterende serviceafdeling,
dels en model af montør-kundeventetidskomplekset.

Modellen kan benyttes som tilnærmelse til at skønne over situationen i
hele landet, idet der så må regnes med en gennemsnitsmontør.

Egentlig testning af modellen blev overladt til virksomheden selv, da
de eksisterende data ikke var i stand til at give de uafhængige værdier af
\ og ii.

Til sidst skal nævnes, at knaphed på tid medførte, at det var nødvendigt at sortere hele problemkomplekset, udfra en mere eller mindre subjektiv vurdering, og kun gå i gang med at analysere de problemer, som blev anset for de væsentligste, og som var mulige at analysere indenfor tidsrammen.

Referencer:

Johnsen, Erik, »Anvendelse af en multimålsætningsmodel til styring af en virksomheds
servicefunktion«, Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, nr. 1, 1969.

Morse, P. M., »Queues, Inventories and Maintenance«, ORSA nr. 1, New York, 1958.

Sasieni, M., Yaspan, A. & Friedman, L., »Operations Research: Methods and Problems«,
Wiley, New York, 1958.