Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, Bind 33 (1969)Måleteoretiske overvejelser ved løsning af et konkretArtiklen omhandler et mindre, praktisk OR-arbejde, som skal ses i relation til følgende begra;nsninger. Dels var arbejdets varighed fastsat til ca. tre måneder. Dels omfattede analysen kun serviceafdelingen som en del af virksomhedens samlede problemkompleks. Efter en indledende systemanalyse behandles hovedproblemet: Arbejdet med at tilpasse en kømodel til virksomhedens servicefunktion. John Nilsson **) Side 167
IndledningDet problem der
skulle undersøges var, udtrykt meget generelt, om
Den foreliggende
opgave kunne tænkes løst på to principielt forskellige
1. Gennem analyse
af servicefunktionen at finde frem til åbenbare eller
2. Ved analyse og
dataindsamling at konstruere en model, som af bilder
Denne grove
principielle opdeling blot for at skitsere den måde
problemetblev *) Artiklen er baseret på udsnit af analysen for Maskinfabrikken HAKA A fS, og den knytter sig til artiklen: Erik Johnsen, »Anvendelse af en multimålsætningsmodel til styring af en virksomheds servicefunktion«, Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, nr. 1, 1969. **) civilingeniør, Metodeforskningsgruppen, Det økonomiske Forskningsinstitut, Handelshøjskolen i København. Side 168
(beslutningsgrundlaget), og en
række forslag til forbedringer blev anbefaletvedrørende
Indledende problemanalyseHvilke kendte
OR-modeller kunne tænkes benyttet på nærværende problem,
En vaskemaskine placeret et eller andet sted i landet vil ikke vaske, som husmoderen ønsker det. Hun meddeler virksomheden det, og denne skal sende den montør, der arbejder i området, ud for at se på vaskemaskinen. Montøren kan normalt ikke komme dagen efter, da der er andre kunder i hans område, som står i kø for service. Længden af den kø, der venter på service, er bl. a. bestemt af følgende faktorer: Antal servicekald
pr. dag i hele landet. Det antal
servicebesøg, en montør kan udføre pr. dag. Antal servicekald
pr. dag er en faktor, som virksomheden ingen indflydelse
Antal montører i
landet er selvfølgelig en af virksomhedens
handlingsparametre. Med en given montørstab kan den gennemsnitlige kundeventetid (Wq) reduceres, hvis man på en eller anden måde er i stand til at forøge det gennemsnitlige antal service-besøg pr. dag (,«). En effektivisering af den givne montørstab. Det er oplagt og fristende at angribe problemet her. Den tid en montør bruger til et servicebesøg, er summen af en køretid til kunden fra forrige kunde og en netto servicetid (reparationstiden på stedet). Ændringer, der kunne nedbringe enten køretiden og feller nettoservicetiden, ville formindske bruttoservicetiden (br.serv.), og følgelig forøge det gennemsnitlige antal servicebesøg pr. dag. Derfor blev følgende ændringer overvejet til formindskelse af køretiden. Nettoservicetiden, i det væsentlige et udtryk for montørernes dygtighed, betragtes som givet. 1. iEndring af
omradeinddelingen. En montor arbejdede indenfor et
bestemt En analyse af værdien af en ophævelse af områdegrænserne ville blive for omfattende til at kunne afsluttes indenfor tidsrammen. Tanken mødte desuden modstand hos montørerne, der var interesseret i at arbejde med faste kunder og foretage rettelser på eget arbejde. Side 169
2. Et oplagt teoretisk OR-problem ville være at linde den bedste måde at placere en montør indenfor et givet område, og at finde den korteste daglige kørerute, når et givet antal kunder i området beder om service (»The Travelling Salesman Problem«). Udbuddet af montører var ikke så stort, at ledelsen havde mulighed for at få en montør, der netop boede på det for området optimale sted. Endvidere ville ansættelse af en ny montør medføre, at et område skulle deles, og en evt. tidligere optimal montørplacering ville ikke længere være opmål. En optimal daglig
ruteplanlægning løst ved lineær- eller dynamisk
programmering Kømodellen.En montør kørte indenfor et bestemt område rundt til kunderne, som var faste. Kunne en én-kanal kømodel afbilde situationen? Tilsyneladende ja. Ganske vist var det ikke kunderne, der bevægede sig hen til servicestedet, men principielt var problemerne ens. Næste skridt var derfor ved dataindsamling at få kendskab til de to uafhængige variable A og f* i kømodellen, d. v. s. 1. det gnst.
antal servicekald pr. dag pr. montor (A), samt
fordelingen 2. det gnst.
antal servicebesog pr. dag pr. montor (") eller snarere
den I den klassiske
énkanal kømodel forudsættes I at være poissonfordelt og
Var det muligt at få data for disse variable i det historiske materiale, virksomheden sad inde med, eller ville det kræve, at man i en tid fremover indhentede oplysninger, som ikke var led i den daglige rutine? Eller mere generelt formuleret: I hvor høj grad skulle man vælge at modificere sin model, så de forhåndenværende oplysninger kunne benyttes, fremfor at indsamle netop de data, som man har lært skal benyttes i ens teoretiske model? i Af historisk
materiale fandtes i serviceafdelingen kopier af de
rapporter, Antallet af
rapporter i en periode viste derfor det faktiske antal
servicebesøgi Side 170
besøget
(nettoservicetiden). Køretiden beregnedes som
differencen mellem Af en dags
eksempelvis 5 rapporter kunne beregnes de 5
nettoservicetider, Til de 5 besøg
måtte svare 5 bruttoservicetider. Den 5. køretid
bestemtes Bestemmelse af x og u.Antallet af servicekald pr. dag (X)(X) var ikke registreret noget sted, og det var derfor umuligt at finde fordelingen af X. Men hvis der indenfor et givet område ved en måneds begyndelse venter 15 kunder på service, og køen er uændret ved månedens afslutning, da må antallet af servicebesøg i måneden have været lige så stort som antallet af servicekald. Værdien af f blev derfor målt som det gennemsnitlige antal servicebesøg, da systemet var i ligevægt. Det blev forudsat, at servicekaldene kom tilfældigt ind og dermed, at X var poisson-fordelt. Da X blev fundet som det gennemsnitlige antal servicebesøg i perioden, kunde det se ud til, at X = f i, og dermed at kundekøen ville vokse i det uendelige. Det uafhængige (i må findes som 1 divideret med bruttoservicetiden. Måles ,u i antal besøg pr. dag og bruttoservicetiden i inin., er det nødvendigt at kende arbejdsdagens længde i minutter for at kunne finde f/ fra bruttoservicetiden. Hvordan kommer man nu videre, når det viser sig, at arbejdsdagens længde langt fra er konstant. Ikke alene varierer den fra dag til dag for den enkelte montør, men den gennemsnitlige arbejdsdags længde var også forskellig montørerne imellem. Arbejdsdagens
længde i minutter (arb.d) blev indført som ny uafhængig
Det gennemsnitlige
antal servicebcsøg pr. dag blev så fundet indirekte
![]() Forudsætningen om
uafhængighed mellem X og f u i kømodellen var Kom der en periode med travlhed og mange servicekald, sendte man flere rapporter ud til montørerne, og disse klarede dette ekstra pres ved at arbejde hurtigere og feller holde en længere arbejdsdag, d. v. s. at de øgede deres f u. I stille tider (X lille) formindskede montørerne deres serviceaktivitet,mere eller mindre übevidst (formindskede ju ). Denne hypotese om afhængighedmellem Side 171
hængighedmellemju og I syntes at
finde støtte i ledelsens erfaring: Ligegyldigtom Den situation, hvor montøren intet kendskab har til kundekøens længde, og hvor han har fået tilsendt et så stort antal rapporter, at han har mulighed for at udfylde hele sin arbejdsdag, vil svare til den situation, hvor fi er uafhængig af X. I travle perioder foreligger en sådan situation. Grundet
afhængigheden mellem I og f j. var egentlig testning af
modellen De til brug for kømodellen nødvendige data blev hentet fra historiske montørrapporter. Andre på montørrapporten relevante oplysninger blev samtidig registreret. Materialet blev behandlet statistisk for hver montør, og udover beregning af gennemsnit og spredning udregnedes fordelingens skævhed. Med hensyn til »resultater« fra denne statistiske behandling skal henvises til artiklen af Erik Johnsen. Blot skal her resumeres nogle ndringer, det blev anbefalet virksomheden at foretage på serviceafdelingen, som den fungerede i dag, med henvisning til den udarbejdede statistik. 1. Man bør undgå
montører, der fungerer som specialister på en bestemt
2. Montøren bør
forynes med ekstra rapporter for at udfylde sin
arbejdsdag 3. Det for tiden
eksisterende montør-reservedelslager problem må løses.
Bruttoservicetidens fordeling.Som før nævnt forudsættes bruttoservicetiden i standard én-kanal kømodellen at være eksponentialfordeli; (»lige mange korte og lange servicetider«). I håb om, at virkeligheden ville arte sig som modellen forlangte, undersøgtes sagen nøjere. Det fremgik dog tydeligt af den udarbejdede statistik, at der ingen meget små servicetider var. Næsten ingen ncttoservicetider var under en halv time. I OR-litteraturen
findes en mere raffineret og anvendelig én-kanal
kømodel. Kort om
Erlang-fordelingerne: Fordelingsfunktionen er *) Se appendiks. Side 172
![]() En funktion af
tiden t for f/ og k fast. For hver værdi af k
(l^A;<oo) For k = 1 får man
den specielle eksponentialfordeling og for k -> oo
På forhånd var det helt klart, at det ikke var muligt at benytte den samme Erlang-fordeling som model for alle montørers bruttoservicetid, da statistikken tydeligt viste, at montørernes gennemsnitlige bruttoservicetid var forskellig. Som bedste skøn over \j[x i den teoretiske fordeling valgtes naturligt montørens gennemsnitlige bruttoservicetid, som var beregnet på grundlag af dataindsamlingen. Det var at forvente, at bruttoservicetidsfordelingen for en montør ikke alene adskilte sig fra andre montørers fordelinger ved fordelingens gennemsnit (1 ffi), men også ved fordelingens k-værdi, som udtrykker, hvor varieret længden af servicetiden er. En montør, hvis fordeling har et stort A;, udfører sine servicebesøg med nogenlunde konstant bruttoservicetid. Hver enkelt montørs bruttoservicetid måtte altså undersøges. Problemet blev
angrebet på følgende måde: 1. Et foreløbigt
k blev bestemt for hver montør baseret på de hidtil
indsamlede ![]() Det på denne måde
bestemte k viste sig at variere for de forskellige
montører 2. En nøjagtigere
grafisk bestemmelse af k for tre montører med Å-værdier
Servicetiderne for en montør blev indtegnet på en slags histogramform. Hver måling for bruttoservicetid udgør en blok, og blokkene lægges ovenpå hinanden i størrelsesorden (se fig. 1 i appendiks). Ved denne fremgangsmåde fås en empirisk fordeling, der blev sammenlignet med den til Erlangfordelingen svarende teoretiske fordeling (So(t)) for forskellige værdier af k (se appendiks). Herved var det ikke vanskeligt at skønne over fordelingens Side 173
Det viste sig
mærkeligt nok, at de empiriske data for de tre montører
Den videre
arbejdshypotese blev derfor, at alle montørerne havde
samme Da de til grund for kømodellen indbyggede forudsætninger således med rimelig sikkerhed var opfyldt i det virkelige servicesystem, kunne man tillade sig at sige, at modellen var god, og benytte dens resultat for den gennemsnitlige ventetid Wq (se appendiks). Bemærk, at
modellen udtrykker en ligevægtssituation. Eksempler på anvendelse af modellen som beslutningsgrundlag.Den fundne kømodel er i stand til at give ledelsen værdifulde oplysninger om, hvad en ændring af de indgående aktiviteter, gennemsnitlige antal kald pr. dag, den gennemsnitlige bruttoservicetid og den gennemsnitlige længde af en arbejdsdag, vil medføre af ændring på den gennemsnitlige ventetid for kunder i montørens område. Bemærk, at det gennemsnitlige antal servicekald pr. dag egentlig også er en handlingsparameter. Antallet af servicekald pr. dag indenfor et område kan i nogen grad styres ved at ændre områdets størrelse, hvilket kan være tilfældet ved ansættelse af en ny montør. Eks. 1.
For en montør har
man følgende oplysninger Gennemsnitligt
antal servicekald pr. dag = 7.0 kald fdag
Hvor lang må
arbejdsdagen nødvendigvis være for at opretholde en
Modellens
ventetidsformel benyttes med arb.d som übekendt: arb.d
ca. Eks. 2.
Foren montør
kendes: A = 6.8 kald/dag. Hvilke værdier
for gennemsnitlig bruttoservicetid vil medføre, at køen
Benyttes den på
grundlag af ventetidsformlen udviklede tabel, får man,
Side 174
Eks. 3.
Følgende data er
aktuelle for en montør: Hvis Å steg til
5.9 kald fdag, hvorledes ville det ændre Wq? Fra tabellen: Wq
= 5.5 dag. Dette resultat er
nok uacceptabelt, og naturligvis ville man spørge,
Af tabellen ses,
at en reduktion af gennemsnitlig bruttoservicetid til
Konklusion.Ovenfor er
forsøgt fremstillet nogle af de problemer, som dukkede
op Løsningen var
dels forslag til forbedring af den eksisterende
serviceafdeling, Modellen kan
benyttes som tilnærmelse til at skønne over situationen
i Egentlig testning
af modellen blev overladt til virksomheden selv, da
Til sidst skal nævnes, at knaphed på tid medførte, at det var nødvendigt at sortere hele problemkomplekset, udfra en mere eller mindre subjektiv vurdering, og kun gå i gang med at analysere de problemer, som blev anset for de væsentligste, og som var mulige at analysere indenfor tidsrammen. Referencer:Johnsen, Erik,
»Anvendelse af en multimålsætningsmodel til styring af
en virksomheds Morse, P. M.,
»Queues, Inventories and Maintenance«, ORSA nr. 1, New
York, 1958. Sasieni, M.,
Yaspan, A. & Friedman, L., »Operations Research:
Methods and Problems«, Appendiks.En
servicefunktion med Erlang-fordelt servicetid kan
formelt repræsenteres Erlang-fordelingens k er lig
antallet af faser. Først når en
kunde går ud af sidste fase, kan en ny kunde træde ind i
Servicetidens
fordeling for en sådan formelt faseopdelt
servicefunktion ![]() Hvis den
akkumulerede fordeling kaldes F(t), udtrykker: ![]() sandsynligheden
for, at servicetiden er større end t. Tabeller over
So(t) for forskellige Erlangfordelinger er tabelleret i
Morse Den
gennemsnitlige ventetid (Wq) for det stationære
køproblem kan ![]() I det aktuelle
system indførtes arbejdsdagens længde (arb.d) som en ny
![]() ![]() ![]() Fig. 1. So{t): Sandsynligheden for, at servicetiden vil tage længere tid end tiden t. ![]() Fig. 2. Eksempler på Erlangfordelinger. ![]() Uddrag a] statistiske oversigter udarbejdet pa grundlag af det indsamlede datamateriale. ![]() |