1. INLEDNING

Under sin tid som ledare for Foretagsekonomiska Institutionen vid Handalshogskolan vid Åbo Akademi vidareutvecklade professor Borge Barfod den dynamiska modeli, som han skapade redan under sin tid i Ålborg och som han kailade epsilonprocessen.¹) Professor Barfod planerade en fortsatt utveckling av modellen speciellt betråffande explicit utformning av de exogena faktorernas inverkan på modellens fasta parametrar. Dessa planer avbrots emellertid av hans plotsliga bortgang den 2 oktober 1968.

Avsikten var att forfattaren skulle bistå professor Barfod i utvecklingsprojektet fråmst genom utformningen av ett program for epsilonprocessen. Detta program publiceras i denna artikel och illustreras med exempel på TV-beståndets tillvaxt i Finland och speciellt ståderna i sydvåstra Finland. I samband harmed pekas på en del praktiska och teoretiska problem i samband med tillåmpningen av modellen i empiriska studier. Den primåra avsikten med detta arbete år ej att direkt berika teorin, ej heller att redovisa några empiriska forskningsresultat, utan fråmst att sprida information om en modell och dess anvåndningsmojligheter samt att peka på ett behov av ytterligare forskning och utveckling av ifrågavarande modell.

---

*) ekonomiemagister, tf lektor vid Handelshogskolan vid Åbo Akademi.

1) Se B. Barfod, a. a. [1] ss 46-58 samt B. Barfod och T. Saxen a. a.

2. EPSILONPROCESSEN

21. Utgånssituationen

Med hjalp av epsilonprocessen onskade Borge Barfod beskriva det dynamiska hiindelseforloppet mellan olika stationara tillstånd i en marknadsmodell. Anpassningsprocessens utveckling påverkas av endogena och exogena faktorer. I epsilonprocessen antas de exogena faktorernas inverkan vara konstant i tiden varav foljer, att modellens jasta parametrar år konstanta i tiden. Modellen innehåller ingen extern återkoppling, varfor enbart symtomatisk information låmnas betraffande inverkan av ett konglomerat av exogena faktorer. Till foljd hårav kan epsilonmodellen icke reservationslost anvåndas som prediktionsvektyg.

Epsilonprocessen beskriver penetrationsprocessen for en kapitalvara, varvid antas, att reinvestering icke sker. Penetrationen beskrivs som en stokastisk process dår information ges betraffande fordelningen mellan »ågare« och »icke-ågare« av kapitalvaran samt betraffande fordelningen på olika besittningskvantiteter. Genom en koppling mellan possesmedelvårdet och transitionssannolikheterna erhålles en variantrik och flexibel penetrationsekvation, som ar en differensekvation av forstå ordningen och (s(^s -f 1) graden.

Utgångspunkt for epsilonprocessen ar en i tiden fast population omfattande ett bestamt antal konsumtionsenheter C, samt en i tiden variabel population Yt omfattande antalet enheter av en kapitalvara som population C besitter vid tidpunkten t. Vid en viss tidpunkt kan en konsumentenhet befinna sig i ett av tillstånden

x=O, 1,. .., n

och under tidsintervallet dt kan en forandring ske salunda att konsumentenheten

Av dessa forbises alternativ 4) i modellen då ingen reinvestering antas intråffa. Alternativ 3) betecknas EoKo och alternativ 2) KiEo, som anger en negativ nyinvestering och alternativ 1) EiKo, som anger en positiv nyinvestering. De mot overgångstillstånden svarande transitionssannolikheterna

For dessa betingade sannolikheter galler

(2.1 )

Inom ramen for den s. k. lineara grannmodellen infors beteckningen a
for avanceringssannolikheten på lagsta tillvaxtnivå, dvs. a = so,i och b for
retarderingssannolikheten på tilvåxtnivån 1, dvs. b = ii,o.

Den lineara grannhypotesen kan hårefter skrivas som

(2.2)

(2.3)

(2.4)

Hårvid erhålles isostatsannolikheten ssx,x i (2.4) som differensen mellan
talet 1 och summan av (2.2) och (2.3). For avanceringskoefficienten a och
retarderingskoejjicienten b galler harvid

(2.5)

Possessfordelningen lean uttryckas med foljande blanco-funktion

(2.6)

och fordelningens medelvårde

(2.7)

kailas possessmedelvardet.

Om possessfordelningen vid en given tidpunkt ar kånd och om a och b
år kanda kan den lineåra grannmodelles ekvationssystem skrivas som

(2.8)

For possessmedelvardet erhålles

(2.9)

Ovan betraktades a och 6 som konstanta i tiden. Utgående från en attraktionshy_potes antas avanceringskoefficienten vaxa i tiden och utgåeende från en deteriorationshy_potes antas att retarderingskoefficienten blir storre och inverkar som en broms på utvecklingen.

En enkel och plausibel specifikation av attraktionshypotesen år antagandet
att det råder ett lineart samband mellan logaritmerna for posssessmedelvårdet
och avanceringssannolikheten. Detta antagande ger

(2.10)

Motsvarande antagande for deteriorationshypotesen ger

(2.11)

22. Epsilonmodellen

For den fortsatta framstållningen antas

(2.12)

Om specifikationerna av attraktions- och deteriorationshypoteserna infors
i (2.8) och (2.9) erhålles det ekvationssystem som styr epsilonprocessen,
nåmligen

och

(2.14)

Epsilonprocessen konvergerar mot ett stationart jamviktslåge. Det stationåra
possessmedelvårdet erhålles som

(2.15)

Hela possessfordelningen konvergerar mot binominalfordelningen då
t -*- °°. Hårvid fås den stationåra possessfordelningen som

(2.16)

dår

For avancerings- och retarderingskoefficienterna erhålles de stationåra
vårdena

(2J7)

och

(2.i8)

då

och

Kurvan for possessmedelvårdet, jfr ekv. (2.14) har en inflexionspunkt,
vårs ordinata i en diskontinuerlig process ligger i nårheten av och i en kontinuerlig
process exakt i

(2.19)

Nettotilvåxten av positiv och negativ nyinvestering erhålles som

(2.20)

och tillvåxtraten eller den procentuella tillvaxten per tidsenhet som

(2.21)

23. Epsilonprocessens efterfrågeutveckling

Emedan epsilonmodellen år utformad som en stokastisk process kan
nettotillvaxten t^t +i uppspjålkas i dels ett positivt element, som anger tillkomsten
tEt + i och dels ett negativt element som anger avgången tKt+i, dvs.

(2.22)

I (2.22) anger tEt+i efterfrågan under tidsintervallet mellan tidpunkterna f och t+ 1, medan tKt +i anger bortfallet eller 'utvecklingsbromsen' under motsvarande tidsintervall. E och K kan separeras ur (2.20) genom att 0 och a turvis sattes = O, varvid vi får

(2.23)

och

(2.24)

vilket for nettotillvaxten sålundager

(2.25)

Då possessmedelvårdet går mot en stationår nivå foljer att åven nettotillvaxten
maste nårma sig 0 for t -*- °°, varvid tillkomsten av »nya kopare«
bor vara i jåmvikt med avgången av »gamla kopare«, dvs.

(2.26)

Om den stationåra efterfrågan uttryckes som bråkdel av det stationåra
possesmedelvardet fås

(2.27)

dvs. den stationåra efterfrågan i procent av det stationåra beståndet år lika
med den stationåra retarderingskoefficienten.

3. EPSPR - EN ALGORITMSKISS

31. Funktionssystemet.

I det foljande redogors for en algoritm, EPSPR, med motsvarande program for epsilonprocessen. Algoritmen startas med definition av de fasta parametrarna samt possessfordelningen vid initialtidpunkten, t = 0. Harefter foljes step by step epsilonprocessens ekvationssystem, varefter de stationåra vardena beråknas, såsom framgår av fig. 3.1.

32. EPSPR-programmet

EPSPR-programmet år skrivet i FORTRAN och gjort i fråmsta hand for IBM 1130, dock med tanke på att programmet skall kunna koras åven på andra maskiner efter utbyte av styrkort. Av programmeringstekniska skal har vissa beteckningar åndrats i jåmforelse med i avsnitt 2 och i algoritmskissen anvånda beteckningar. Detta torde emellertid icke forvirra låsaren i hogre grad då programutskriften direkt foljer algoritmskissen. I programutskriften gives de stegvis uppnådda vårdena vid siden av de stationåra vårdena for att underlåtta en direkt analys och jåmforelse vid korningen.

Detta program år dimensionerat for

r< 100 a < 99.999 d < 99.999 s < 99.999

I problem, dår N = 1 erhålles Ingen utskrift for possessfordelningen eftersom denna fordelning år given i form av possessmedelvårdet. Då iV > 1 erhålles utskrift angående possessfordelning per analystidpunkt samt den stationåra possessfordelningen.

33. Input-data-format

Datapacken består av 2 styrkort och 3 datakorttyper, rubrikkort, parameterkort
samt fordelningskort. For dessa korttyper galler foljande format

Rubrikkort

For IBM-1130 bestar input-packen av
Monitor Cold Start Card

f/ XEQ EPSPR
Case nr

Parameterkortet
Fordelningskorten
Blankt kort

4. NÅGRA EXEMPEL

Avsikten i detta avsnitt år dels att testa EPSPR-programmet och dels att
gc exempel på praktiska tillåmpningsmojligheter.

41. Barfod's exempel

I det tidigare anforda arbetet av Barfod och Saxen illustrerar Barfod epsilonprocessen med ett numeriskt exempel, se specieilt fig. 2 (I-XXIV). Samma exempel har korts med EPSPR-programmet och en del av utskriften visas i fig. 4.1. De for detta exempel erhållna kurvorna for possessmedelvardet, efterfrågan, avgången och tillvåxthastigheten visas i fig. 4.2.

42. TV-beståndets tillväxt i några städer i sydvästra Finland.

År 1964 redogjorde Borge Barfod²) for ett forstå utkast till epsilonprocessen och visade i samband harmed huru modellen kunde anvandas for att beskriva TV-beståndets tillvåxt i Danmark. Hårvid definierades TVbeståndet som antalet TV-licenser i relation till den totala befolkningen. En exakt likadan analys har åven gjorts for Finland³). len pro gradu avhandling har Alf-Erik Lerviks analyserat TV-beståndets tillvåxt i sydvåstra Finland och baserar hårvid sin analys på den log-normala fordelninge n₄). På basen av de statistiska uppgif_ter han i detta arbete uppsamlat dels betråffande antal TV-licenser och dels betråffande hushåll har det i fig. 4.3 angivna siffermaterialet sammanstållts. I de 5 forstå kolumnerna i lig. 4.3 anges observerade data medan de 3 sista kolumnerna innehåller 3 hypoteser per stad betråffande den stationåra nivån for possessmedelvårdet.

Ett av de storsta problemen i samband med tillåmpningen av en teoretisk
modell i praktiken galler estimering av parametervårdena. Genom en
omformning av ekvation (2.25) erhålles for nettotillvåxten

(4.1)

Genom att i (4.1) observera (2.15) samt att N = 1 erhålles

(4.2)

I (4.2) antas hårvid hogra membrum alltid vara 0. Hårvid foljer,
att mancokvoten kan definieras som

(4.3)

Då (4.3) beaktasi (4.2) erhålles

(4.4)

I fig. 4.3 har mancokvoten beråknats for 3 olika x-vården for varje stad. En viss uppfattning om de stationåra vårdena kan erhållas medelst en grafisk analys av observerade varden. Genom logaritmering av (4.4) erhålles.

---

2) Se B. Barfod, a. a. [1] ss 41-55.

3) Se A. Juppi, a. a.

4) Se A.-E. Lerviks, a. a.

(4.5)

Hypoteserna i fig. 4.3 har testats och £-, a- och /3-vardena har beniknats
pa basen av denna ekvation. Regressionsanalysen har utforts pa IBM 1130
pa basen av ett standard program for multippel linear regressionsanalys ur
SSP5). Som beslutsvariabel vid valet mellan de tre hypoteserna kan har
anviiridas korrelationskoefficienten och /-vardet. Emellertid bor harvid
observeras den information som residualerna ger. Salunda ger t.ex. for Abo
* *
x = 0.70 battre anpassning i EPSPR an x = 0.68 aven om den senare
ger hogra korrelationskoefficient och hogre signifikans. Orsaken hartill
finnes i residualerna, som ger battre resultat for x = 0.70.

---

5) Se 1130 Scientific Subroutine Package (1130 -CM- 02x) IBM H2O - 0252 -2.

For korrelationskoefficientens signifikansnivå erhålles6) for 7 frihetsgrader

bch for £-vardena erhalles

dvs. forutom Abo x = 0.80 erhalles signifikansnivaen 0.995 for hypotesarna.

EPSPR-algoritmen tillåmpades for att testa de uppstållda hypotesernas anpassning till observerade data. De modeller som ger basta anpassning anges i fig. 4.4 och for varje stad anges skilt i fig. 4.5-4.8 kurvorna for possessmedelvårdet, tillvåxthastigheten, efterfrågehastigheten och bortfallshastigheten. Såsom av dessa figurer framgår erhålles rått god anpassning aven om estimeringen av parametervårdena kan anses ge en symtomatisk kannedom om de exogena faktorernas inverkan på a och f?. Sålunda kommer t.ex. f? att utover det rena bortfallet vid estimeringen åven att erhålla andra egenskaper som gor att bortfallshastigheten K blir for stor, vilket speciellt framgår for hela landet. For hela Finland erhålles⁷)

---

6) Jfr. F. Mills a. a. s 305.

7) De statistiska uppgifterna ar hamtade fran Statistisk arsbok for Finland och fran A.-E. Lerviks a. a.

* En analys och hypotesprovning ger basta resultat for x = 0.20 och resultatet av EPSPR-korningen for hela landet visas i fig. 4.9 och fig. 4.10. Resultatet av derma korning ger vid handen en mycket god anpassning visavi possessmedelvardet och tillvaxthastigheten. Daremot ar den beraknade bortfallshastigheten hog i jamforelse med observerade data.

5. AVSLUTANDE DISKUSSION

Som av ovanstående exempel framgår ar epsilonprocessen mycket flexibel och ger en mycket god anpassning for possessmedelvårdet och tillvåxthastigheten. Sjålva possessfordelningen i epsilonprocessen har icke ånnu testats empiriskt. Ur analysen for hela landet framgår ovan, att bortfallet blir for hogt i jamforelse med de erhållna uppgifterna om uppsagda licenser. Orsakerna till att epsilonprocessens efterfrågeutveckling i detta fall icke overensståmmer med empiriska data år bl.a. att estimeringsprocessen ger som resultat en symtomatisk kånnedom av exogena faktorers inverkan, varav foljer, att i estimaten ingår aven annat ån de rena attraktionskoefficienterna och deteriorationskoefficienterna. Å andra sidan synes hår foreligga en definitionsmåssig svaghet i det att det stationåra possessmedelvårdet definieras som

varav framgår, att om f? = 0 och således bortfallet K = 0 så erhålles den
stationåra nivån 100 %. En dylik forutsåttning synes ej helt plausibel.

Epsilonprocessen tarvar ytterligare utveckling och hårvid bor speciell vikt låggas vid estimeringsprocesen for de fasta parametrarna samt beaktandetav reinvestering. For att epsilonprocessen skall kurmage fullgod information som prognosinstrument fordras att de exogena faktorernas inverkankan

verkankanexplicit observeras i processen. Detta låter sig icke gora med
hjalp av traditionella regressionsanalysmetoder men eventuellt genom att
inkoppla EPSPR-algoritmen i ett simuleringsprogram.

LITTERATUR

[1] Borge Barfod: Lidt om kvantitative modeller og deres anvendelse indenfor distributionsøkonomi.
Goteborg 1964.

[2] B. Barfod och T. Saxen: The epsilon process — part of a pattern for a dynamic
market model. The Swedish Journal of Economics, nr. 1 1967, ss 19-50.

[3] Anja Juppi: Televisioitten kysynta Suomessa, Liiketaloudellinen Aikakauskirja,
II 1967, ss 164-179.

[4] Alf-Erik Lerviks: En mikroekonometrisk analys av televisionens penetrationsprocess
i sydvåstra Finland 1958-1966. Pro gradu avhandling. Abo 1968.

[5] Frederick C. Mills: Statistical methods. London 1965.