I. INDLEDNING

1) Lidt om en begrænsning ved statiske produktionsmodeller.

I den mikroøkonomiske produktionsteori er den statiske analyseform dominerende. Det er velkendt., at man med denne analyseform har kunnet illustrere fundamentale sider af virksomhedernes produktionsplanlægning. Virksomheden betragtes for en enkelt periode, der er så kort, at man kan se bort fra ændringer i virksomhedens faste anlæg. Ved at kombinere det givne faste anlægs ydelser med indsats af variable faktorer fremkommer periodens produktionsresultat. Modellerne viser, hvor mange enheder af forskellige varer, virksomheden vil producere, og med hvilken indsats af faktorer denne produktion vil foregå, alt under forudsætning af at virksomheden handler optimalt. Som optimalitetskriterium anvendes i reglen maksimering af periodens overskud. Modeller af denne type synes især velegnede til at illustrere (visse sider af ) massefabrikation.

En statisk produktionsmodel kan imidlertid kun omfatte tidløs produktioni
den forstand, at input og output vedrører samme periode, og der
kan ikke tages hensyn til den tidsmæssige koordination og rækkefølge af

---

*) Denne og en kommende artikel er indstillet til Zeuthen-prisen i efteråret 1968 (red.).

**) cand. polit.

indsatsen af input.¹) Problemer af denne karakter opstår imidlertid i forbindelsemed planlægning af projekter, idet det ved projekttypeproduktion er afgørende, at visse arbejdsoperationer eller delarbejder ikke kan udføres, før andre er tilendebragt.²) Der skal her forsøges en produktionsteoretisk systematisering og vurdering af en række modeller, der under betegnelsen netværksmetoder siden slutningen af 50'erne er udviklet og bragt i anvendelseved

Eksempler på projekter er anlæg af en motorvej, bygning af en bro, udvikling af et nyt våbensystem eller en ny vare, installation af nyt udstyr, reparations- og vedligeholdelsesarbejder, bygning af et skib, landsætning af mennesker på månen, opbygning af et nyt universitet.

2) Introduktion af begreber.

Indledningsvis fastlægges det betydningsmæssige indhold af en række
af de begreber, der anvendes i fremstillingen.

(a) Et projekt kan nedbrydes i en række mindre delarbejder, kaldet aktiviteter, der alle skal være udført, før projektet er afsluttet. Nogle aktiviteter kan udføres samtidigt, mens andre af »tekniske« grunde³) må udføres i en bestemt rækkefølge. Fastlæggelse af disse bånd kaldes en ordning af aktiviteterne. Placering af en aktivitet i tiden, dvs. fastlæggelse af dens igangsættelses- og afslutningstidspunkt, kaldes en tidsfæstning af aktiviteten. Når alle aktiviteter er tidsfæstet, haves en tidsplan (schedule). Ordning og tidsfæstning af aktiviteterne kaldes tilsammen for planlægning af projektet. Ordet kontrol anvendes om den overvågning og opfølgning al projektet, der finder sted under dets udførelse, fra den første aktivitet er startet, til den sidste er afsluttet. Kontrolfasen følger efter planlægningsfasen.

(b) Den mængde af ressourcer, der på et givet tidspunkt er indsat på udførelsen af en aktivitet, kaldes faktorintensiteten (v). Den hastighed (.v hvormed en aktivitet udføres, antages at være en funktion af faktorintensiteten. Funktionen kaldes aktivitetsproduktionsfunktionen. Hastigheden måles som den reciprokke værdi af det antal tidsenheder, der ville gå fra aktivitetens igangsættelse til dens afslutning, hvis denne hastighed var konstant i hele aktivitetens gennemførelsestid.

---

1) Jvf. Danøs afgrænsning af statiske produktionsmodeller i indledningen til Production Models« (04), p. 8-9.

2) Også ved tilrettelæggelsen af serieproduktion på samlebånd findes rækkefølgekrav, der må respekteres. Jvf. iøvrigt fodnote 4, side 102.

3) Nærmere diskussion heraf følger i afsnit 1T,4.

En analogi: En bil, der i et givet øjeblik kører 50 km i timen, kunne, hvis den holdt denne hastighed, tilbagelægge en strækning på 100 km i løbet af 2 timer eller halvdelen af vejstrækningen på 1 time (x — %). Kører den 25 km i timen, er den 4 timer om at køre de 100 km svarende til % af vejstrækningen pr. time (.v = %).

Faktorintensiteten for den ?'te aktivitet på tidspunkt t betegnes med
vektoren

hvor r er antallet af ressourcekategorier (maskintyper, arbejdskraft osv.).
Vektorens enkelte koordinater måler antallet af enheder af den pågældende
ressourcekategori (f. eks. 3 maskiner af type A, 4 lastbiler, 7 elektrikere).

Der eksisterer en aktivitetsproduktionsfunktion for hver aktivitet; funktionen betragtes kun i intervallet IT (i) hvor IT (i) og AT (i) betegner henholdsvis igangsættelses fidspunkt og afslutningsridspunkt for aktivitet nr. i.

(c) For lettere at kunne illustrere nogle af de egenskaber, aktivitetsproduktionsfunktionerne
tillægges i forskellige modeller, antages det, at der
kun er én ressourcekategori.

Modellernes fleksibilitet karakteriseres ved aktivketsproduktionsfunktionens,
f's, definitionsområde. Der vil blive sondret mellem 3 hovedtyper.

1) / defineret for v=vo (kun i et enkelt punkt)

2)- a^.v^.b (i et lukket interval)

3) - o<y<°° (for alle positive vaerdier)

Hvis i aktorintensiteten - og dermed produktionshastigheden - er konstant i intervallet IT (i) f AT (i), haves stationær produktionshastighed (fig. 1). Hvis v varierer inden for dette interval, haves ikke-stationær produktionshastighed (fig. 2). Hvis v kun er defineret for v = vo, implicerer dette selvfølgelig stationær produktionshastighed. I de fleste af de modeller, der behandles, er produktionshastigheden stationær.

Endvidere sondres der mellem deterministiske og stokastiske modeller. I en deterministisk model vil der til en given faktorintensitet (v) svare en bestemt produktionshastighed (x) (fig. 3). I en stokastisk model vil produktionshastigheden for en given faktorintensitet følge en sandsynlighedsfordeling (fig. 4).

II. ORDNING AF AKTIVITETERNE

1) Ordningsmatricen.

Den grundlæggende idé i netværksmodellerne er, at det antages, at der
eksisterer en række teknologiske bånd mellem de enkelte aktiviteter, der

består deri, at visse aktiviteter ikke kan udføres, før andre er færdige.
Eksempelvis kan man ikke lægge tag på et hus, før murene er rejst.

Disse rækkefølgekrav er ensbetydende med en ordning af aktiviteterne,
således at man for hver aktivitet kan opdele de øvrige aktiviteter i 3 mængder:

E(i) er mængden af aktiviteter, der følger efter aktivitet nr. i i net
værket

F(i) er mængden af aktiviteter, der må være udført, før aktivitet nr. i
kan begynde

P(i) er mængden af aktiviteter, der hverken går forud for eller følger efter aktivitet nr. i, og som derfor kan udføres samtidig med nr. i og anbringes »parallelt« med nr. i i netværket — i modsætning til aktiviteterne i E(i) ogF(i), der anbringes i »serie« med nr. i.

Ordningen af aktiviteter4) kan udtrykkes ien ordningsmatrix OM,
hvis elementer er defineret således

Som illustration betragtes et simpelt projekt bestående af 7 aktiviteter,
a, b, c, . . . , g. De teknologiske bånd mellem aktiviteterne tænkes givet
ved ordningsmatrieen

---

4) Ved projekttypeproduktion eller enkeltbygningsproduktion skal aktiviteterne udføres én, og kun én gang. Ved serieproduktion skal aktiviteterne udføres én gang for hver enhed, der produceres. Problemet ved serieproduktion er at foretage en opdeling af arbejdsoperationerne i grupper, således at produktionen kan foregå jævnt. Om dette henvises til litteraturen om samlebåndsbalancering, f. eks. Ignall, E. J.: »A Review of Assembly Line Balancing« i Journal of Industrial Engineering, juli-aug. 1965, vol. 16, nr. 4, p. 244-54. Når den samme arbejdsoperation skal udføres flere gange, opstår der problemer med estimationen af produktionshastigheden p. gr. af indlæringseffekten. Se herom Hugsted, R.: »Treningseffekten og planleggningen av byggearbeider«. Særtryk 112 fra Norges byggforskningsinstitutt, Oslo 1965.

Ordningsmatricen ses at være skæv-symmetrisk, idet OMa — —OMa. Det følger naturligvis af, at hvis aktivitet nr. j følger efter nr. i, så må aktivitet nr. i komme før j. Denne egenskab ved ordningsmatricen betyder, at man kun behøver at finde elementerne i trekanten over eller under diagonalen, så følger den anden trekant af matricen umiddelbart.

Matricen kan forenkles ved at indfore ma^ngden af nsermest forudgaende
aktiviteter forud for aktivitet nr. i defineret som
NF(i) = F{i)\Hi, hvor H\ ={k eF(i)\3jeF(i) [keF(j)]} og
maengden af naermest eftcrfolgende aktiviteter efter aktivitet nr. i defineret

NE(i) = E(i)\H-2, hvor Hz ={ke E(i)\3j e E{i) [keE(j)]} og
omdefinere elementerne i ordningsmatricen saledes

Der indføres skrivemåderne i<j, hvis je E(i) og i j, hvis jt NE(i)

I det lille eksempel fra p. 102 bliver den således omdefinerede ordningsmatrice

Grundet det ringe antal aktiviteter bliver forenklingen ikke særlig fremtrædende
her i eksemplet; men det er klart, at hvis aktivitetsantallct bare
er noget større, bliver forenklingen betydelig.

Den information, der ligger i ordningsmatricen, kan omsættes grafisk til
et netværk. Netværker kendes i 2 hovedtyper. Den oprindelige type var et
såkaldt pilediagram, en nyere type er blokdiagrammet.

2) Pilediagrammet.

Pilediagrammet er opbygget af punkter og orienterede liniestykker
(o: pile). En pil symboliserer en aktivitet. Enhver pil begynder i et punkt
og ender i et andet. En aktivitet kan ikke starte,, før de aktiviteter, der

munder ud i dens begyndelsespunkt, er afsluttet. Punkterne i netvaerket
symboliscrer saledes kontrollerbare hcendelser i produktionsforlobet af typen
»aktivitcterne a, b, c, . . . afsluttet, klar til at begynde pa aktiviteterne
i, j, k, . . .«.

I fig. 5 er ordningsmatricen fra p. 102 omsat til et pilediagram. Hændelserne er nummereret fortløbende, således at en hændelse, der i netværket går forud for en anden, har et lavere nummer. Aktiviteterne identificeres i pilediagrammet ved deres begyndelses- og slutpunkt. Således betegnes f. eks. aktivitet c med (2,5).

Det ses, at der foruden de egentlige aktiviteter (der er tegnet fuldt optrukne)optræder nogle nye aktiviteter, h og h (tegnet stiplet). Disse aktiviteter har det været nødvendigt at indsætte for på entydig måde at omsætte ordningsmatricens information til et pilediagram. Af ordningsmatricenp. 103 ses det, at aktiviteterne e og g har nøjagtig de samme aktiviteter som nærmest forudgående og nærmest efterfølgende aktiviteter. De skulle derfor have samme begyndelses- og slutpunkt og dermed samme aktivitetsbetegnelse. For klart at identificere de to forskellige aktiviteter er den logiske aktivitet h indsat. Endvidere er det nødvendigt at indføre en logisk aktivitet i det tilfælde, hvor to aktiviteter har nogle, men ikke alle fælles som nærmest efterfølgende aktiviteter. Aktivitet b har således d, e og g som nærmest efterfølgende aktiviteter, mens c kun følges af e og g. Man kan ikke lade b og c munde ud i samme punkt og lade d, e og g starte herfra, da man så ville indføre det »falske« rækkefølgekrav, at d følger

efter c. En logisk aktivitet fra fr's endepunkt til <;'s endepunkt løser problemet.De
logiske aktiviteter, også kaldet »dummies«, har selvfølgelig intet
tids- eller faktorforbrug.

3) Blokdiagrammet.

En af de væsentligste fordele ved blokdiagrammet er, at de logiske aktiviteter undgås. I blokdiagrammet symboliseres aktiviteterne ved kasser eller blokke, og rækkefølgekravene mellem aktiviteterne udtrykkes ved pile mellem kasserne. Det tidligere eksempel ses i fig. 6 som blokdiagram.

Fordelen ved, at de logiske aktiviteter er unødvendige, er dels, at man
opnår en mere sikker repræsentation af rækkefølgekravene5), dels at beregningsarbejdet

De forskellige repræsentationer af ordningen tjener forskellige formål. Ordningsmatricen egner sig som input for datamaterne; de kan jo ikke »læse« netværker. Netværkerne er et godt visuelt referencegrundlag for dem, der er implicerede i projektet. Ved den praktiske anvendelse af netværksmetodervil alene det at få projektet nedbrudt i aktivitet⁶) og få disse

---

5) Aa. Fjosnc (08) refererer et amerikansk forsøg med de to netværkstyper, der viste, at der opstod langt færre fejl ved netværkskonstruktion i blokdiagramform end i den traditionelle pilediagramform. Brugen af logiske aktiviteter er i praksis ikke så helt nem og giver ofte anledning til, at der sniger sig »falske« rækkefølgekrav ind.

6) Nedbrydningsgraden og de organisatoriske problemer ved anvendelsen af netværksmetoder diskuteres ikke nærmere, se herom f. eks. Karlsson, T. (13): Nåtverksplanering, kap. 7.

ordnet i el netværk ofte bidrage til at nedbringe omkostningerne ved projektetsudførelse.

4) Er ordningen af aktiviteterne teknisk eller økonomisk bestemt?

I omtalen af netværksideen blev det nævnt, at de ved ordningen givne bånd mellem aktiviteterne var af teknisk natur. At i < j skulle betyde, at det simpelthen var teknisk umuligt at udføre j før i: selv om man var villig til at ofre store mængder ressourser (acceptere høje omkostninger), ville det ikke være muligt at udføre j før i. De rækkefølgekrav, man ved praktisk brug af netværksmodellerne indfører, er dog næppe alle af denne natur. Mange rækkefølgekrav indføres sikkert, fordi »sådan er man vant til at gøre« eller fordi planlæggeren har en fornemmelse af, at det er så meget billigere at udføre i før j, at det end ikke kan betale sig at overveje at udføre aktiviteterne i en anden rækkefølge. Gøres dette, indføres falske eller overflødige bibetingelser for tidsfæstningen af aktiviteterne. Strengt taget burde man kun medtage rækkefølgekravet i < j, hvis omkostningerne ved at begynde ), før i er færdig, er uendelig store. Hvis omkostningerne ved at begynde j før i blot er endeligt store, burde problemformuleringen ikke på forhånd udelukke denne mulighed. Det kunne jo være, at den omkostningsforøgelse, man fik ved ikke at tidsfæste i før ;', blev mere end opvejet af besparelser muliggjort af den større fleksibilitet i tidsfæstningen. I ingen af de eksisterende netværksmodeller er der imidlertid mulighed for at lade omkostningerne ved en aktivitets udførelse være afhængig al, hvilke andre aktiviteter, der er udført. Dette er en klar begrænsning ved modellerne og medfører, at end ikke de modeller, der formelt fremtræder som optimeringsmodeller, fuldt ud fortjener denne betegnelse. Der er i virkeligheden tale om en slags »betinget optimering«: Til et givet sæt rækkefølgekrav svarer én optimalløsning, til et andet en anden optimalløsning. Den praktiske anvendelse af modellerne bekræfter, at der ofte indføres overflødige rækkefølgekrav: Det anbefales ofte at prøve at »bytte om« på nogle aktiviteter for at opnå en større ressourceudjævning eller for ;;t undgå at overskride begrænsninger i de tilgængelige ressourcer.

Tidsfæstningen af aktiviteterne er et enormt kombinatorisk problem. Indførelse af rækkefølgekrav kan siges at være en (praktisk) måde at reducere antallet af kombinationsmuligheder ved at udelukke dem, der på forhånd anses for ikke at kunne komme i betragtning som optimale eller bare »tilfredsstillende« løsninger. At man herved kan komme til at udelukke kombinationer, der er bedre end nogen af de tidsplaner, der er mulige med det valgte sæt rækkefølgekrav, er indlysende. Denne begrænsning bør man have i erindring ved anvendelsen af de i det følgende beskrevne metoder.

I netværksmodellerne optræder rækkefølgekravcne som et sæt bibetingelser,
hvorunder den økonomiske optimering (el. »satisfiering«) foretages.

III. MÅLSÆTNINGSFORMULERING

Det generelle økonomiske problem involveret i netværksplanlægning er
aktiviteternes tidsfæstning og den deraf følgende allokering af ressourcer
over tiden.

I det følgende gives en generel formulering af det temporale ressourccallokeringsproblem
i forbindelse med projekttype produktion.

Et projekt kan anskues som en investering, der består af to faser: en produktionsfase og en ydelsesfase. Produktionsfasen, der varer, indtil alle aktiviteter er fuldført, medfører en række handlinger, der repræsenterer et offer for investoren. Ved at indsætte ressourcer på projektets gennemførelse giver investoren afkald på det forbrug, han kunne have haft, hvis han havde anvendt ressourcerne til øjeblikkelig behovstilfredsstillelse. Betegnes det mistede forbrug i periode t med xt, repræsenteres det samlede offer ved vektoren

hvor T er den sidste periode i produktionsfasen. Når projektet er fuldført, er det i stand til at afkaste ydelse. Det forbrug, der direkte eller indirekte muliggøres for investoren ved projektets færdiggørelse, kan udtrykkes ved vektoren

hvor L er det færdige projekts levetid (den kan evt. være °°). De to vektorer,
o og y, samles i vektoren

Det antages nu, at der eksisterer en nyttefunktion u(z), der angiver nytten
på tidspunkt 0 (før l.ste periode) af vektoren z. Det antages endvidere, at
denne funktion har »pæne« egenskaber, således at

hvor ut(xt) angiver nytten al xt, hvis xt blev flyttet frem til periode 1, og (l-\-d) er en diskonteringsfaktor bestemt af planlæggerens tidspræference. Hvis d > 0, har planlæggeren positiv tidspræference. Hvis d = 0, har planlæggeren ingen tidspræference.

I så godt som alle kendte netværksmodeller antages det, at man kan se bort fra tidspræferenceproblemet: man adderer f. eks. umiddelbart omkostninger fra periode 1 og periode t. Denne fremgangsmåde kan vel forsvares, når det drejer sig om ret kortvarige projekter, men er sikkert ofte et udtryk for, at planlæggeren er usikker over for skønnet over tidspræferencens størrelse og derfor vælger den nemmeste udvej: en diskonteringsfaktor lig én. Der vil i det følgende i et vist omfang blive forsøgt at tage hensyn til diskonteringsproblemet ved modellernes formulering.

Den planlæggende enheds målsætning antages at være maksimering af
u{z). Da xt for f T repræsenterer et offer, er ut(xt) <0 for t T.
Maksimanden kan derfor også skrives på formen

En tidsplan og den dertil hørende »forbrugsvektor« z er optimal, hvis u(z) u(z') for alle z. Projektet siges i overensstemmelse med den gængse investeringsteoretiske terminologi at være fordelagtigt, hvis u(z) 0. Det ses, at rent logisk kan man ikke afgøre, hvorvidt et projekt er fordelagtigt eller ej, før man kender den optimale tidsplan. Den optimale tidsplan kunne jo være den eneste, for hvilken u(z) var positiv.

Af ovenstående generelle målsætning afledes en række specielle, mere
operationelle målsætninger alt efter som forudsætningerne ændrer sig i de
forskellige produktionsmodeller i afsnit IV—VI.

IV. MODELLER MED ÜBEGRÆNSEDE RESSOURCER

Optimeringen foretages i dette afsnit udelukkende under netværksbibetingelserne (= rækkefølgekravene) og de bånd, som aktivitetsproduktionsfunktionerne lægger på planlægningen. Der vil først i senere afsnit (i en følgende artikel) blive taget hensyn til, om det ressourceforbrug, der kræves til en given tidsplan, medfører store svingninger i faktoranvendelsen over tiden, eller om begrænsninger i de tilgængelige ressourcer bliver overskredet.

Modellerne klassificeres efter den grad af fleksibilitet, de indeholder
med hensyn til aktivitetsproduktionsfunktionernes definitionsområde.

1) Aktivitetsproduktionsfunktionen defineret i et enkelt punkt.

1 disse modeller findes der ingen mulighed for at variere aktiviteternes
produktionshastighed og dermed deres gennemførelscstid ved at ændre
faktorintensiteten. Kun én faktorintensitet er mulig. Hvis den til denne

faktorintensitet svarende produktionshastighed er en bestemt værdi, haves
en deterministisk model; hvis produktionshastigheden følger en sandsynlighedsfordeling,haves
en stokastisk model (jvf. fig. 3 og 4).

A. Den deterministiske model.

(a) Af de givne forudsætninger følger her, at der til hver aktivitet kan knyttes en skalar, der angiver det antal tidsenheder, det tager at udføre aktiviteten (med den givne faktorintensitet). Det bemærkes tillige, at forskellige tidsplaner under disse forudsætninger kun kan fremkomme ved at flytte aktiviteter i tiden under bevarelse af de konstante gennemførelsestider. Det skal nu vises, hvorledes den optimale tidsplan findes i dette tilfælde.

Definition: En tidsplan kaldes mulig (= feasible), hvis tidsfsestningen
af aktiviteterne ikke kraenker rakkefolgekravene givet ved
ordningsmatricen.

Først afgrænses en klasse af mulige tidsplaner, der betegnes de efficiente
tidsplaner.

Definition: En tidsplan er efficient, hvis enhver anden mulig tidsplans
projektgennemlWelsestid er mindst lige sa lang som denne
tidsplans.

Det karakteristiske for efficiente tidsplaner er, at projekttiden ikke forlænges mere end højst nødvendigt. Aktiviteter må ikke vente (unødvendigt) på færdiggørelsen af andre aktiviteter, der ved god planlægning kunne have været udført.

Forskellen mellem mulige og efficiente tidsplaner kan illustreres ved folgende lille eksempel: Betragt et projekt svarende til pilediagrammet i fig. 7 med gennemforelsestiderne anfort ved de respektive aktivitetspile. En mulig tidsfaestning af aktiviteterne ville vasre at udfore: dem i alfabetisk raekkefolge. Projektgennemforelsestiden ville da blive 10 tidsenheder. Denne tidsplan er imidlertid ikke efficient, da man tydeligvis kan forkorte projekttiden ved f. eks. at lade b starte samtidig med a. Projekttiden kan ikke gores kortere end max{(a^{Jrc),(b-}--d)}J} _rc),(b-}--d)} — max{4,6} = 6 tidsenheder. Alle tidsplaner, for hvilke T = 6, er I dette tilfaelde efficiente. Der findes flere sadanne, f. eks.

Tidsplan 1: a: 1. periode., b: 1.-4. periode, c: 2.-4. periode,
d: 5.-6. periode.

Tidsplan 2: a: 2. periode, b: 1.-4. periode, c: 4.-6. periode,
d: 5.-6. periode.

(b) Der skal nu vises en metode til afgrænsning af de efficiente tidsplaner,
kaldet den kritiske vejs metode (Critical Path A fethod).

Ved en vej i netværket forstås en sammenhængende kæde af aktiviteter fra projektstart til projektslut. Ved simpel addition af gennemførelsesti derne for de enkelte aktiviteter på en vej i netværket kan man finde længden af denne, idet der herved forstås den tid, det tager at udføre vejens aktiviteter i rækkefølge uden ophold mellem aktiviteterne. Da alle veje skal være gennemløbet, før projektet er afsluttet, bestemmes projektets samlede udførelsestid af den længste vej i netværket. Denne vej kaldes den kritiske vej. For de aktiviteter, der ligger på denne vej, er der intet valg, hvis man ønsker en efficient tidsplan: de må alle sættes i gang (og dermed også afsluttes) så tidligt som muligt. For de øvrige aktiviteter vil der derimod være et vist spillerum for tidsfæstningen (når det vel at mærke kun drejer sig om at afgrænse de efficiente tidsplaner).

I et lille netværk, hvor man let kan overskue alle de mulige veje i netværket fra projektstart til projektslut, lader den kritiske vej sig selvfølgelig nemt finde ved simpelthen at finde længden af hver vej i netværket og se, hvilken der er den længste.

I større og mere realistiske netværker er denne metode både usikker, fordi man let overser en mulig vej, og omstændelig, fordi der foretages unødvendige regneoperationer. Følgende rekursive ligningssystem, der også kan danne grundlag for et EDB-program, kan da anvendes:

Lad i et netværk opbygget efter pilediagrammetoden TT(i) betegne det
fidligste tidspunkt, hændelse nr. i kan indtræffe, hvis projektet starter på
tidspunkt 0, og t(i,j) betegne gennemførelsestiden for aktivitet (i,j). Projektetkan

jektetkantidligst være færdigt, når projektslui: med hændelsesbetegnelsenn
nås. Er projektstart hændelse nr„ 1, fås

(A.l)

Metoden består ganske enkelt i, at man regner sig frem fra hændelse til
hændelse i netværket under iagttagelse af den regel, at alle aktiviteter, der
ligger før en hændelse, skal være udført, før denne kan nås.

For alle efficiente tidsplaner vil projekttiden T være lig med TT(n). Hvis denne tid skal overholdes, må de enkelte hændelser senest være nået på bestemte tidspunkter. ST(i) betegner det seneste tidspunkt, hændelse nr. i må indtræffe, hvis T skal overholdes. Det findes af følgende rekursive ligningssystem

(A.2)

Her regner man sig baglæns fra hændelse til hændelse i netværket fra
projektslut til projektstart.

Da en aktivitet først kan sættes i gang, når den hændelse, hvorfra aktiviteten
udgår, er nået, findes aktiviteternes fidligste igangsættelses/idspunkter
TlT(i,j) som

(A.3)

De fidligste flfslutnings/idspunkter

(A.4)

Da en aktivitet senest må være afsluttet, når den hændelse, aktiviteten
munder ud i, skal være indtrådt, findes aktiviteternes seneste afslutningstidspunkter
SAT(i,j) som

(A.5)

De seneste zgangsættelses/idspunkter

(A.6)

(Hvis netværket er opbygget som et blokdiagram i stedet for et pilediagram,
ændres beregningerne en smule, men princippet med det rekursive
ligningssystem kan bevares).

De aktiviteter, for hvilke TlT(i,j) = SlT{i,j) (el. TAT(i,j) = SAT(i,j)), er kritiske, fordi der intet spillerum er for tidsfæstningen. Den positive differens mellem SlT(i,j) og TlT(i,j) angiver for en ikke-kritisk aktivitet størrelsen af spillerummet for tidsfæstningen.

Alle efficiente tidsplaner er karakteriseret ved, at igangsættelses- og afslutningstidspunkterne for de kritiske aktiviteter er lig de tidligste (=(⁼ seneste) igangsættelses- og afslutningstidspunkter fundet ved ligningssystemerne (A.l) - (A.6).

(c) Hvilken af de efficiente tidsplaner, der er den optimale, afhænger af graden af tidspræference. Hvis tidspræferencen er neutral (d = 0), er alle efficiente tidsplaner lige gode. Hvis tidspræferencen er positiv (d > 0), er den optimale tidsplan bestemt ved, at IT(i,j) = SIT(?,j) for alle aktiviteter, også de ikke-kritiske.

Ingen fornuftig planlægger ville imidlertid finde på at lade alle aktiviteter starte senest muligt, fordi han regner med, at han derved ville løbe for stor en risiko for at forsinke projektet. Men det er kun, fordi ingen i praksis fuldt ud tør forlade sig på en deterministisk model!

B. Den stokastiske model.

(a) Den usikkerhed, der er forbundet med skønnet over aktiviteternes
gennemførelsestider, kan der tages hensyn til i en stokastisk model.

Ved forsknings- og udviklingsprojekter, hvor man kun i ringe grad kan støtte sine skøn på erfaringsmateriale, bliver usikkerheden selvsagt stor og behovet for en stokastisk formulering presserende. Ved udviklingen af de amerikanske Polaris-raketter anvendtes for første gang en stokastisk netværksmodel.Den teknik, der blev anvendt, blev døbt PERT (Program Evaluation and .Review Technique). Viden om denne metode er siden dens første anvendelse i slutningen af 1950'erne blevet spredt via publikationer

fra USA's forsvarsministerium, operationsanalytiske tidsskrifter7) og elektronregnemaskinefirmaer,der
forsøgte at sælge teknikken til deres kunder.

(b) I dette afsnit redegøres der først for den statistiske teknik i PERTmodellen.
Dernæst gives der et kort referat af den diskusion, der er opstået
om dens forudsætninger.

(a) PERT-beregningerne.

Gennemførelsestiden for aktivitet (i.,j), t(i>j), antages at følge en fordelingslov
p[t(i,j)]. Som oftest antages denne at være en beta-fordeling,
hvis tæthedsfunktion kan skrives som

hvor k er konstant, a og b er fordelingens skæringspunkter med if-aksen,
« og 0 er parametre, hvis indbyrdes størrelse afgør fordelingens skævhed.
Er a > f?, er fordelingen venstreskæv, for a < fi er den højreskæv.

For at kunne skønne over middelværdi og variaris i de enkelte fordelinger
skal planlæggeren vurdere længden af

o- den optimistiske gennernførelsestid for aktivitet (i,j)

p — den pessimistiske — — —

m - den sandsynligste

o skal vurderes således, at der højst er 1 % chance for, at t < o. p skal
vurderes således, at der højst er 1 % chance for, at t > p.

Som skøn over middelværdi og varians i fordelingen p(t) anvendes følgende

De fundne f (i,j)-værdier anvendes i de videre beregninger på samme
måde som t(i,j)-værdierne i den deterministiske model.

Den vej i netværket, for hvilken £ t {h}) er størst, betegnes som i den
deterministiske model den kritiske vej.

De tidligste og seneste tidspunkter for de enkelte hændelsers indtræden beregnes som før af ligningssystemerne (A.l) og (A.2), ligesom også aktiviteternes tidligste og seneste igangsættelses- og afslutningstidspunkter findes som før (af (A.3) - (A.6)).'

Vurderingen af usikkerheden på de beregnede tidspunkter foretages
ved at antage, at TT(n) er normal fordelt og estimere variansen ved

---

7) En væsentlig del af den videnskabelige diskussion omkring PERT er i USA ført i tidsskriftet Operations Research. For danske læsere er PERT f. eks. introduceret af Bent Andersen i Erhvervsøkonomisk Tidsskrift 1963, nr. 2.

2 var(t(i,j)) summeret over alle aktiviteter på den kritiske vej. Man kan da let finde, hvornår et projekt med en given sandsynlighed vil være afsluttet, eller hvor stor sandsynligheden er, for at projektet kan være afsluttetinden en given dato.

f?) Kritik og diskussion af PERT-teknikken.

Efter PERTs introduktion opstod der i begyndelsen af 60'erne en livlig diskussion omkring dens forudsætninger. Fulkerson (10), Clark (02), Healy (12) og Grubbs (11) ydede hver deres bidrag på specielle felter, mens MacCrimmon og Ryavec (16) gav den mest dybtgående og omfattende analyse og kritik af PERT-forudsætningerne.

MacCrimmon og Ryavec har forsøgt at beregne omfanget af de fejl, man begår, dels ved den behandling man giver de enkelte aktivitetsgennemførelsestiders sandsynlighedsfordelinger, dels ved beregningen af kritisk vej i netværket og usikkerheden herpå.

I afsnittet om gennemførelsestidernes sandsynlighedsfordelinger antages det, at den sande fordeling bør have følgende 3 egenskaber: (1) skære tidsaksen i2 ikke-negative værdier, (2) kun have én modus-værdi, (3) være kontinuert. Da andre fordelinger end beta-fordelingen også har disse egenskaber, undersøges det først, hvilken fejl man kan komme til at begå ved at bruge beta-fordelingen. Dernæst analyseres, hvilke fejl man kan komme til at begå ved at bruge (B.l) og (8.2) som approximationer for henholdsvis middelværdi og varians, hvis man accepterer beta-fordelingen. Under forudsætning af at beta-fordelingen og at approximationsformlerne ((B.l) og B.2)) godtages, undersøges det endelig, hvor stor en fejl man kan begå ved beregningen af t (^i,j) og var (t (i,^j)), hvis parameterskønnene (o, p og m) har en fejlmargin på 10-20 %. Selv om analysen især er af værdi ved den systematiske påvisning af fejlmuligheder, er det dog også værd at lægge mærke til størrelsesordenen af de fejlmuligheder, MacCrimmon og Ryavec har fundet: De viser sig i flere tilfælde at være op til 30 %.

Den beregning af kritisk vej, der foretages ved PERT, er heller ikke særlig heldig. Vi så, at den vej, for hvilken summen af de enkelte fordelingers middelværdier var størst, kaldtes den kritiske vej. I en stokastisk model har imidlertid enhver vej i netværket en vis sandsynlighed for at være den længste og dermed den kritiske.

Er der mange veje i netværket, vil disse sandsynligheder — også den største af dem - være meget små, således at det er sjældent, at den vej, der har størst sandsynlighed for at være den kritiske, også bliver det. Da formålet med at linde den kritiske vej er at udpege de aktiviteter, som man særlig bør være opmærksom på i kontrolfasen, kan det synes ret tilfældigt at koncentrere interessen om en mængde aktiviteter, der kun sjældent vil

være kritisk. Bedre ville det være, om man mere direkte - uden at finde
en vej i netværket - kunne udpege de aktiviteter, der havde størst sandsynlighedfor
at blive kritiske, dvs. forlænge projekttiden.

Selv om man skulle være interesseret i at finde den vej, der har størst sandsynlighed for at være kritisk, opnås dette ikke altid ved PERT-beregningen. Til bestemmelse af den kritiske vej udnytter PERT kun middelværdien af vejlængderne op til sluthændelsen og ikke variansen på disse. Herved kan PERT meget vel udpege en vej som kritisk, som ikke engang har størst sandsynlighed for at være det. Antag f. eks., at der i netværket er to veje, der er meget længere end de andre, og at disse to vejes middelværdi er omtrent lige store, men at variansen på den vejlængde, hvis middelværdi blot er lidt mindre end den andens, er meget større. PERT vil udpege vejen med den største middelværdi som den kritiske, mens den anden kan have større sandsynlighed for ikke at være fuldført på et givet tidspunkt.

Ogsa forudsaetningen om, at TT(n) skulle fedge en normalfordeling,
kan kritiseres. Lad der vaere givet k veje op til hamdelse n: vi, V2 . •„ Vk.
Laengden af den i'ic vej, fa, er en stokastisk variabel. Under forudsaetning
af uafhaengighed mellem de enkelte f (?,;')-fordelinger (hvilket for ovrigt
er ret tvivlsomt) vil fa ved anvendelse af den centrale graensevasrdisaetning
vaere normalfordelt, hvis der er mange aktiviteter pa vej nr. i. Da alle veje
op til haendelse nr. n skal vaere tilbagelagt, bliver projekttiden TT(n) =
Max {fa}. Selv om fa er normalfordelt, folger imidlertid ikke heraf, at
alle k
TT(n) ogsa er det, idet maximum af flere normalfordelte variable ikke
selv er en normalfordelt variabel.

Endvidere skal det nævnes, at det er blevet vist, at; PERT undervurderer
projektgennemførelsestiden8), samt at de vurderinger, man får af usikkerheden,
er afhængige af, hvorledes projektet er opdelt i aktiviteter9).

G. Afsluttende bemærkninger til afsnit IV,I.

De aktivitetsproduktionsfunktioner, der ligger til grund for de ovenfor refererede GPM- og PERT-modeller, kan karakteriseres som degenererede, derved at de kun er definerede for en enkelt faktorintensitet. Dette kræver en kommentar. Produktionsfunktionens definitionsområde kan enten være indskrænket ved, at der rent teknisk ikke er mulighed for mere end én faktorintensitet, eller definitionsområdet kan være økonomisk bestemt, dervedat

---

8) Jvf. Fulkerson (10); PERT-estimatet er mindre end eller lig den sande værdi.

9) Jvf. Healy (12).

vedaten højere faktorintensitet giver samme eller lavere produktionshastighed.I
begge tilfælde vil vi for simpelheds skyld sige, at produktionsfunktionenkun
er defineret i et enkelt punkt.

Aktivitetsproduktionsfunktioner som de ovenfor omtalte vil kun i visse, formentlig få, tilfælde illustrere planlæggerens valgmuligheder. Det må antages, at der ved udførelsen af de fleste aktiviteter vil være en vis mulighed for at vælge mellem flere faktorintensiteter og dermed få en hurtigere eller langsommere gennemførelsestid for aktiviteterne. Modeller, der tillader sådanne valgmuligheder, behandles i de næste afsnit.

Anvender planlæggeren en af de modeller, der er beskrevet i dette afsnit (IV,1), i tilfælde, hvor modellerne i de næste afsnit (1V,2 og 3) egentlig er en bedre beskrivelse af valgmulighederne, kan løsningen sjældent ventes at være optimal.

2) Aktivitetsproduktionsfunktionen defineret i intervallet a v b.

Modeller af denne type er først formuleret af Kelley (14) og Fulkerson
(09).

Der erindres om, at i hele afsnit IV, hvor übegrænsede ressourcer forudsættes at være til rådighed for projektets gennemførelse, er aktivitetsproduktionshastigheden stationær i hele intervallet {IT,AT). (Se fig. 1). Grunden hertil er, at ændringer af produktionshastigheden under aktivitetens udførelse må antages at være forbundet med omkostninger. Da motivet til at ændre produktionshastighed kun kan være at udjævne ressourceforbruget over tiden eller at undgå at krænke ressourcebegrænsninger, er der selvsagt ikke her grund til at foretage omkostningskrævende ændringer i produktionshastigheden undervejs. Stationær produktionshastighed bliver således en egenskab, som på forhånd kan tillægges optimalløsningen og anvendes i den videre analyse.

A. Sammenhængen mellem produktions- og omkostningsfunktion.

Den stationære produktionshastighed medfører, at aktivitetsproduktionsfunktionen er ensbetydende med en funktionel sammenhæng mellem faktorintensitet og aktivitetsgennemførelsestid. Den til den størst mulige faktorintensitet, b, svarende gennemførelsestid er den hurtigst mulige og betegnes H(i,j). Den til a svarende gennemførelsestid kaldes den »normale« og betegnes N(i,j). Omkostningerne ved en aktivitets udførelse, C(i,j) er en funktion af v og t(i,j). Da v imidlertid via produktionsfunktionen og forudsætningen om stationær produktionshastighed er en funktion af t(i,j), kan C (i,j) udtrykkes som en funktion alene af t(i,j). Denne funktion er defineret i intervallet [H(i,j),N(i,j)],

dC
Almindeligvis antages funktionen at have den egenskab, at < 0,
dt
således at en forkortelse af aktivitetens gennernførelsestid medfører stigende
omkostninger ved aktivitetens udførelse. C måles i kr. (og ikke i kr.
pr. tidsenhed). De positive grænseomkostninger ved forkortelse af en
aktivitet kan under ret rimelige forudsætninger om indkøbsforholdene for
v vises at følge af, at elasticiteten i aktivitetsprodtiktionsfunktionen, defidx

neret som • —, er mindre end I10),,I10),,
dv x

Prisen for benyttelse af 1 faktorenhed i 1 tidsenhed kaldes q, og denne
pris antages at være udefra given for den planlæggende enhed. Da er
C(i,j) = qXvXt(i,j).

Hvis t(i,j) skal forkortes med 1 %, kræver dette, at v forøges med mere
end 1 %, når produktionselasticiteten som forudsat er mindre end 1. Da
q er konstant, vil C(i,j) herved øs,es, eftersom v stiger mere, end t(i,j) faldC

der. Altså er — < 0. Ræsonnementet forudsætter, at der kun er tale
dt
om små ændringer på grænsen.

I det følgende antages C == C(t) at være eller kunne approximeres
med en lineær (el. stykvis lineær) funktion som vist i fig. 8.

---

10) En anden årsag kunne være overarbejde. Dette er dog ret svært at indpasse i modellen. Dels bliver der et problem med fortolkningen af t, og dels er det svært at forene overarbejde med übegrænsede ressourcer.

B. Beregning af de aktivitetsdirekle omkostninger (TCa).

(a) Dc omkostninger, der direkte kan henferes til de enkelte aktivitctcr, kaldcs dc aktivitctsdirektc omkostninger (TCa = 21 C(i,j)). Dissc vil afhaenge af projekttiden T. Det skal nu vises, hvorledes de minimale aktivitetsdirckte omkostninger for en given vaerdi af T kan bestemmes, saledes at en kurve, der viscr sammenhaengen mellem TCa og T, kan udledes.

For parametrisk T, dvs. for én T-værdi ad gangen, findes

(1)

eller da k(i,j) er konstant

(la)

under bibetingelserne

(2)

(3)

I ,u • i
I netværksbetinSelsernc

(4)

(5)

} aktivitetsproduktionsfunktionsbibetingelserne,
jvf. fig. 8.

I et eksempel med m hændelser og n aktiviteter vil man få m-\-n variable, hvoraf dog kun de n indgår i maksimanden, og 3n+ 1 bibetingelser. For hver værdi af T fås et nyt lineær programmeringsproblem. Skal et sådant løses ved en sædvanlig L.P.-algoritme, f. eks. Simplex-algoritmen, indføres yderligere 3n+l restvariable, og man får da 4n + m+l variable og 3?z-H bibetingelser. For netværker af praktisk forekommende størrelse bliver antallet af variable og bibetingelser så stort, at problemet end ikke lader sig løse på elektronregnemaskine på denne måde.

Fulkerson (09) har imidlertid udviklet en algoritme byggeride på »net\vork-flow« - der på en ret elegant måde finder optimalløsningerne. Det duale program til (la) - (5) kan omformes til et lineært cirkulationsproblem, hvorved vejen banes for brug af (en tillempet udgave af) »Outof-kilter«-algoritme n¹¹).

Eksempel på udledning af TC^-kurven: Uden at gå ind i algoritmens tekniske detaljer
er det dog muligt gennem et simpelt eksempel at vise nogle va;sentlige træk ved losningen
af ovennævnte problem. Lad der være givet følgende netværk

---

11) Den generelle »Out-of-kilter«-algoritme er bl. a. beskrevet af J. Krarup i Erhvervsøkonomisk Tidskrift 1966, nr. 3: »Om løsning af lineære cirkulationsproblemer«. Den specielt til dette problem tilpassede udgave heraf er bl. a. omtalt i S. E. Elmaghiaby: The Design of Production Systems, New York 1966, p. 113-30.

hvor tallene i hændelserne angiver disses numre og dermed bestemmer aktivitetsbetegnelserne,skalarerne
ved aktiviteterne angiver c(i,j) og søjlevektorerne ved aktiviteterne
angiver N(i,j) og H(i,j).

Hvis t(i,j)=N(i,j) for alle aktiviteter, fås 7T(4) =Max{ (3 +4+ 7), (3 + 8), (5 + 7)} = 14. T>l4 er der ingen grund til at betragte, da alle tidsplaner med T>l4 må være inefficiente: Man kan jo ved at anvende faktorintensiteten a svarende til N(i,j) for alle {i,j) altid forkorte T til 14. For T=l4 fås de minimale omkostninger ved at lade t(i,j) være lig N(i,j) for alle (i,j). Enhver forkortelse af aktiviteterne medfører højere omkostninger. Idet omkostningerne for T=l4 anvendes som udgangsniveau, gælder det nu om at forkorte T således, at omkostningerne for hver værdi af T stiger mindst muligt over udgangsniveauet.

T forkortes ved at forkorte den kritiske aktivitet, hvor »tiden kan købes billigst« dvs. hvor c(i,j) er mindst. Hvis der er flere kritiske veje, forkortes den mængde af kritiske aktiviteter, der giver den mindste omkostningsstigning (hvilket ikke behøver at være den billigste på hver af de kritiske veje. hvis nogle aktiviteter er fælles for flere kritiske veje; da er det muligt, at det bedre kan betale sig at forkorte nogle af disse fællesaktiviteter).

Den billigste kritiske aktivitet forkortes så meget, at enten en anden vej i netværket
også bliver kritisk eller dens forkortelsesmuligheder udtømmes.

I eksemplet er den billigste kritiske aktivitet (2,3). Den kan forkortes 2 enheder. Her
indtræffer begge tilfælde: Dens forkortelsesmuligheder udtømmes, og en anden vej,
nemlig (1,3,4), bliver også kritisk.

T kan således forkortes til 12 ved at: forkorte (2,3) med 2 tidsenheder. Dette medfører
en omkostningsstigning på 2Xc(2,3')—4.

Vejene (1,2,3,4) og (1,3,4) er nu begge kritiske og lig 12. Ved at forkorte den fælles aktivitet (3,4) bliver ATC_A = 10. Det er imidlertid billigere at forkorte (1,2) og (1,3), da dette giver z]T'C/_j =5+4=9. Herved kan projekttiden forkortes fra 12 til 11, men ikke mere, da (1,3) 's forkortelsesmuligheder hermed er udtømt.

De kritiske veje er stadig kun (1,2,3,4) og 1,3,4), idet (1,2,4) undgik at blive kritisk i denne omgang, fordi (1,2) blev forkortet. T kan nu billigst forkortes ved at forkorte (3,4). Herved forkortes begge de kritiske veje. T kan imidlertid ikke forkortes mere end fra 11 til 10 på denne måde, eftersom vejen (1,2,4) da også bliver kritisk.

Nu er alle vejene kritiske, og alle veje skal derfor forkortes. Da (1,3,4) kun kan forkortesved
at forkorte (3,4), må dette ske. Hermed er også vejen (1,2,3,4) forkortet
med 1 enhed. Da (1,2,4) imidlertid også skal forkortes, og dette billigst sker ved at forkorte(1,2),

korte(1,2),bliver (1,2,3,4) på denne måde forkortet med 2 enheder, og der skabes
plads til at udvide (2,3) med 1 enhed og dermed spare 2 kr. Den samlede omkostningsstigningved
at forkorte T fra 10 til 9 bliver således 10 +5—2 = 13.

Nu er alle veje 9. Forkortes (2,4) og (3,4), forkortes alle veje. Det ses, at T kan forkortes til 7på denne måde, før (3,4)'s forkortelsesmulighed er udtømt. Omkostningsstigningen herved er 2X 17 = 34. Yderligere forkortelse af T er nu ikke længere mulig, da iorkortelsesmulighederne på en kritisk vej, (1,3,4), er udtømt.

Den fundne sammenhæng mellem ATC^ og T er afbildet i fig. 10.

Kurven er stykvis lineær, fordi grænseomkostningerne er konstante mellem de Y'-værdier, hvor den mængde af kritiske aktiviteter, der forkortes, ændres. Endvidere er det let at indse, at kurven må blive konveks, dvs. »bøje opad i knækpunkternc«. Et knækpunkt indtraf jo, enten når den billigste aktivitets forkortelsesmuligheder var udtømt, og man derfor måtte til at forkorte den næstbilligste aktivitet, eller fordi en ny vej også blev kritisk, således at man også måtte til at forkorte den. (Et mere formelt bevis for disse egenskaber ved TC^-kurven er givet af Kelley (14), p. 307).

C. Bestemmelse af den optimale projekttid (Topt)

Den generelle nyttemaksimeringsmålsætning (p. 108) omformes til en
oinkostningsminimeringsmålsætning. Det sidste led i (111,1) fortolkes som
omkostningerne ved projektets udførelse. Disse omkostninger deles i

TCa: De aktivitetsdirekte omkostninger, dvs. omkostninger, som kan
henføres til de enkelte aktiviteter, f. eks. råmaterialer og arbejdsløn.

TCb: De aktivitctsindirekte omkostninger, dvs. omkostninger, dcr vcdrarer
projektet som helhed, i. eks. administration, ledelse, leje
af EDB-tid, finansieringsomkostninger.

jTC^-kurven udledes som vist i afsnit 1 V,2,8. Den vil altid være faldende
med stigende T. De aktivitetsindirekte omkostninger må antages at
være stigende med T.

Det forste led i (111,1) fortolkes her som tabct ved ikke at have fuldfort projektet pa et givet tidspunkt (TCc). Eksempler pa, omkostninger af denne kategori cr mistet daekningsbidrag for en erhvervsvirksomhed, der liggcr stille pa grund af reparation (her best ax projektet i at gennemfore reparationen), mistet markedsandel ved at komme senere end konkurrenterne med et nyt; produkt, samfundsokonomisk tab ved at fortssettc med faergetrafik, for en (Storebaelts-) bro er faerdig.

Den optimale projekttid bestemmes som den vaerdi af T, for hvilken
TC — TCa+TCb + TCc er minimum. Se fig. 11.

Til Topt svarer et saet t(i,j)-vaerdier bestemt ved udledningen af TCakurven.Derimod bestemmes der ikke umiddelbart nogen tidsplan. Imidlertidkan man danne en efficient tidsplan af det omtalte saet t(i,j)-vaerdier,da udledningen af TCi-kurven sikrer, at T ikke kan forkortes, uden at produktionshastigheden oges i nogle aktiviteter. Som vi tidligere har set,

er alle ci'ficientc tidsplaner optimale (de er lige gode), når der ingen tidspræferenceer.
Almindeligvis ses der bort fra diskonteringsproblemct i denne
type modeller.

Dette problem kan inddrages ved at fortolke hvert punkt på TC-kurverne som de til en given værdi af T hørende kapitaliserede omkostninger. Kapitalisering kan f. eks. ske ved at forudsætte, at de enkelte omkostningskomponenter fordeler sig jævnt over tiden og dernæst anvende en annuitetsformel til beregning af de kapitaliserede omkostninger på planlægningstidspunktet.

Til slut skal der trækkes et par forudsætninger for modellen frem, der
giver visse vanskeligheder ved dens anvendelse i praksis:

(1) Deter forudsat, at der er mulighed for kontinuert variation af v mellem a og bog dermed af t(i,j) mellem H(i,j) og N(i,j). Dette er selvfølgelig en idealisering" og et overdrevent udtryk for de faktiske variationsmuligheder, der utvivlsomt indskrænker sig til et vist antal heltallige værdier af v(2 mand, 3 mand osv.). Dette betyder, at den optimale tidsplan, vi finder i modellen, måske ikke lader sig realisere, fordi de dertil hørende værdier af t{i,j) svarer til absurde værdier af v (f. eks. 7% mand).

(2) Deter forudsat, at der er uafhængighed mellem omkostningskurverne for de enkelte aktiviteter: Omkostningerne ved at forkorte en aktivitet er uafhængig" af omkostninger ved at forkorte andre aktiviteter. Hvis to aktiviteter kan anvende samme varige produktionsfaktor, er denne forudsætning næppe realistisk. Et eksempel: Har man først anskaffet en ekstra maskine for at kunne forkorte en aktivitet, så vil den måske også kunne bruges til at forkorte andre aktiviteter, og da bliver grænseomkostningerne herved mindre end, hvis man ikke havde anskaffet maskinen i forvejen¹²).

3) Aktivitetsproduktionsfunktionen defineret for alle positive verdier (0 < v < ~)

Udvidelsen af definitionsomradet antages at medfere, at ogsa x kan
antagc alle positive vaerdier (v -> °° => x ->■ °°, v->0 => x-> 0). Nar produktionshastighcdencr
stationaer betyder det, at t(i,j)^-0 for x ->■ °°
og / (i,;) -> for x ->■ 0, da x=—./ (i,j) kan saledes ogsa. antagc alle
L
positive vaerdier. Omkostningerne C(i,j) vil variere saledes: for t(i,j) -*■ 0
fas C(i,j) -+ °° og for t{i,j) -*■(X 3 fas C(i,;J ->■ 0, hvis produktionselasticitetener
inindre end 1, thi da vil v altid konvergere staerkere end t(i,j)

---

12) Jvf. Bent Andersen (01), p. 91.

og dernied blive afgorende for konvergensen af C(i,j), nar v og t(i,j) konvergererhver
sin vej. Som for er < 0.

Modeller af denne type har næppe, særlig appel til praktikere, og der skal derfor ikke gås i detaljer med det oplæg, der på dette område er givet af Clark (03). Kun skal en enkelt konsekvens af modellen trækkes frem, fordi den kaster et interessant lys over, hvad det er, der »producerer« spillerummet for visse aktiviteters tidsfæstning i de tidligere modeller.

Clarks sætning: I den til en given projekttid svarende optimale tidsplan
er alle veje kritiske.

Det er let at indse hvorfor. Hvis der fandtes en ikke-kritisk vej, kunne man forlænge en eller flere aktiviteter på denne, således at spillerummet elimineredes. Ved forlængelse af aktiviteter spares altid omkostninger. Derfor kan en ikke-kritisk vej aldrig forekomme i en optimal tidsplan.

I en følgende artikel behandles modeller med begrænsede ressourcer, og
det diskuteres, hvorledes forbruget af ressourcer kan udjævnes over tiden.

Litteraturliste.

(01) Andersen, Bent: »PERT, et nyt ledelseshjæ)pemiddek< i Erhvervsøkonomisk Tidsskrift,
1963, nr. 2, p. 79-92.

(02) Clark, C. E.: »The Greatest of a Finite Set of Random Variables« i Operations
Research, marts-april 196.1, vol. 9, nr. 2, p. 145-62.

(03) Clark, C. E.: »The Optimum Allocation of Resources among the Activities of a
Network« i The Journal of Industrial Engineering, jan.-febr. 1961, vol. 12,
nr. 1, p. 11-17.

(04) Dano, Sven: Industrial Production Models. Wien 1966.

(05) Davis, E. W.: »Resource Allocation in Project Network Models - A Survey« i
The Journal of Industrial Engineering, april 1966, vol. 17, nr. 4, p. 177—88.

(06) DOD and NASA Guide, PERT COST, Systeins Design. Washington 1962.

(07) Elmaghraby, S. E.: The Design of Production Systems. New York 1966.

(08) Fjøsne, Aa.: Eksperimenter med nettverksplanleggning. Særtryk 134 fra Norges
Byggforskningsinstitutt, Oslo 1966.

(09) Fulkerson, D. R.: »A Network Flow Computation for Project Cost Curves« i
Management Science, vol. 7, 1961, p. 167-78.

(10) Fulkerson, D. R.: »Expected Critical Path Lengths in PERT Networks« i Operations
Research, nov.-dec. 1962, vol. 10, nr. 6, p. 808-17.

(11) Grubbs, F. E.: »Atternpts to Validate. PERT Statistics or on PERT««
i Operations Research, 1962, vol. 10, nr. 3, p. 912-15.

(12) Hcaly, T.: »Activity Subdivision and PERT Probability Statements« i Operations
Research, maj-juni 1961, vol. 9, nr. 3, p. 341-48.

(13) Karlsson, T.: Natverksplanering, Goteborg 1966.

(14) Kelley, J. E.: »Critical-Path Planning and Scheduling: Mathematical Basis« i
Operations Research, maj-juni 1961, vol. 9, nr. 3, p. 296-320.

(15) Krarup, J.: »Om losning af linea:re cirkulationsproblerncr« i Erhvcrvsokonomisk
Tidsskrift, 1966, nr. 3, p. 149-80.

(16) MacCrimmon, K. R. og Ryavec, C. A.: »An Analytical Study of the PERT-
Assumptions« i Operations Research, jan.-febr. 1964, vol. 12, nr. 1, p. 16-37.