1. Klassificeringsprohlemet

Enhver, der beskæftiger sig med afsætningsøkonomiske problemstillinger, det være sig som praktiker eller teoretiker, vil med korte mellemrum stå over for spørgsmålet: Hvorledes skelner jeg mellem forskellige grupper af efterspørgere? En besvarelse af dette spørgsmål vil nemlig være forudsætningen for en rationel løsning af en lang række afsætningsøkonomiske beslutningsproblemer.

Som eksempler på beslutningssituationer, hvor dette klassificeringsproblem
opstår, kan nævnes følgende tre eksempler:

Eksempel 1. Ved salg af kostbare forbrugsvarer (f. eks. swimming pools) eller produktionsmidler (f.eks.maskiner), hvor salgsindsatsen i stort omfang er af personlig art, er det værd på forhånd - d. v. s. før man indleder salgsarbejdet over for den enkelte kundemulighed — al; kunne bedømme sandsynligheden for, at netop denne kundemulighed vil optræde som effektiv efterspørger af varen, idet dette vil være afgørende for, om det med de store omkostninger, der er forbundet med den enkelte salgsindsats, vil kunne betale sig at foretage henvendelse til netop denne kundemulighed. Dette må foruden af købssandsynligheden afhænge af omkostningerne ved salgsindsatsen og af varens dækningsbidrag.

---

*) cand. mere, amanuensis ved Institut for Markedsøkonomi, Handelshøjskolen i Århus.

Den almindelige fremgangsmåde i sådanne tilfælde er, at købssandsynligheden antages at være en funktion af en række egenskaber ved kundemuligheden f. eks. i swimming pool-tilfældet hans indtægt, hans sociale stilling, hans haves størrelse, etc. Man søger da på grundlag af en bedømmelse af en række af sådanne sociale og økonomiske variable at klassificere kundemuligheden som effektiv efterspørger eller ikke effektiv efterspørger. Eksempel 2. Når et forsikringsselskab modtager en forsikringsbegæring, søger man på grundlag af de i begæringen givne oplysninger at placere forsikringstageren i én af flere risikoklasser som grundlag for præmieberegningen, idet man hverken ønsker, at forsikringstageren kommer til at betale for lille præmie i forhold til risikoen, hvilket vil være en dårlig forretning for selskabet, eller at han skal betale så stor en præmie, at han forsikrer i et andet selskab eller undlader at forsikre.

Eksempel 3. Når en reklamekampagne eller anden salgsfremmende indsats for en mærkevare skal planlægges, er det af væsentlig betydning for såvel udformningen af budskabet som for mediavalget, at man er i stand til på grundlag af socio-økonomiske variable at skelne mellem grupper af efterspørgere. Eksempler på sådanne grupperinger er

a) Købere af en vare opdelt efter det oftest købte varemærke.

b) Loyale kontra mindre loyale købere af et varemærke.

c) Kobere af en vare opdelt efter den type forretning, hvori den
enkelte kober fortrinsvis foretager sine indkob.

Det failles træk ved disse og utallige andre problemstillinger af lignende
art, der forekommer inden for afsætningsøkonomien, er, at man er interesseret
i på grundlag af måling af en række variable (f. eks. indtægt, alder
etc.), der er tilknyttet et element (f. eks. en kundemulighed), at klassificere
dette element som tilhørende én af flere i forvejen definerede populationer.
Skal del: have nogen mening at benytte sådanne målinger på det enkelte
element som grundlag for en klassificering, må man naturligvis have gjort
sig nogle tanker om, hvilke måleresultater man med rimelighed kan forvente,
hvis elementet tilhører en bestemt population. Dette kan lidt mere
formelt udtrykkes derved, at sandsynligheden - i form af en tæthedsfunktion
for fremkomsten af ethvert muligt sæt af måleresultater på det enkelte
element, betinget af at elementet stammer fra populationen Tir, er
kendt for alle r. Foretages der måling af p forskellige variable ved hvert
element, er de til hvert univers knyttede tæthedsfunktioner altså
sionale, medens den foretagne observation kan betragtes som en søjlevektor
i p dimensioner:

(1)

Store bogstaver betegner lier som overalt i det følgende vektorer eller
matricer.

Vi betragter altså elementet karakteriseret ved vektoren X som en - i statistisk forstand — tilfældig observation fra én af de givne populationer. Spørgsmålet er da: Når en vektor X er observeret, fra hvilken population stammer da det pågældende element?

Inden for en videnskab som antropologien har man ganske tilsvarende problemer, idet man dér ønsker på grundlag af måling af fysiske egenskaber ved et individ at placere det racemæssigt. Allerede i 1920'erne begyndte man at angribe dette problem med det statistiske va^rktøj og en lang udvikling har ført til fremkomsten af en speciel teknik multipel diskriminantanalyse, der er anvendelig ved løsningen af dette problem.

Siden da har teknikken efterhånden fundet anvendelse inden for den psykologiske og sociologiske forskning, medens den har været ret ukendt uden for disse ret snævre fagområder. Der er imidlertid ingen grund til at den multiple diskriminantanalyse ikke også skulle kunne finde anvendelse inden for de mange andre områder, hvor klassificeringsspørgsmålet spiller en lignende rolle.

Bemærk, at antallet og arten af populationer er fastlagt i forvejen. Det er ikke hensigten at finde de mest hensigtsmæssige klassificeringskriterier, men udelukkende at finde frem til den mest hensigtsmæssige klassificering af et eller flere elementer i en af flere i forvejen definerede populationer.

2. Definition af diskrirninantfunktionen

Antag, at et element enten kan tilhøre populationen m eller populationen 7i2. Klassificeringen afhænger af den observerede vektor X. Vi ønsker at opstille en regel, således at elementer, der er karakteriseret ved en bestemt mængde vektorer X, vil blive klassificeret som tilhørende n\ og ellers som tilhørende 712.

Vi kan forestille os de enkelte elementer afbildet som punkter i et p-

dimensionalt rum. Observationerne falder da mere eller mindre som to
punktklynger - eller som to f^-dimensionale tæthedsfunktioner i det kontinuerte
tilfælde, som vi herefter vil holde os til.

Da de to tæthedsfunktioner (eller punktklynger) imidlertid er overlappende (i modsat tilfælde ville klassificeringen jo give sig selv, når X er konstateret), ønsker vi at trække en grænse i det rum, eller - mere nøjagtigt udtrykt - vi ønsker at opdele rummet i to områder således, at hvis en observation falder i området R\, klassificeres den som tilhørende ti\, og falder den i Rz, klassificeres den som tilhørende 712. Da tæthedsfunktionerne som sagt er overlappende, er det umuligt at undgå, at nogle observationer vil blive anbragt på den »gale« side af grænsen, men vort formål er at finde en procedure for valg af Ri og i? 2, der er mest mulig »hensigtsemæssig«.

Vor klassificeringsprocedure vil altså få form af en funktion af den
observerede vektor X, således at denne funktion antager vidt forskellige
værdier alt efter, om det pågældende element er placeret i Ri eller R2.

En sådan funktion kaldes en diskriminantfunktion. Vi vil her for en
nemheds skyld kun beskæftige os med lineære diskriminantfunktioner, men
andre funktionstyper kan naturligvis også tænkes.

Diskriminantfunktionen vil kunne skrives:

(2)

Proceduren vil da vserc den, at de pa et element foretagne malinger
indsaettes i udtrykket (2).

Hvis D b klassificeres elementet som tilhorende m.
Hvis D < b » » » » m.

Vor fastlæggelse af områderne Ri og R 2 og dermed vor klassificeringsprocedure vil altså afhænge af »vægtene« a\,a2. .. ai. ..av samt af konstanten b. Det gælder altså om at fastlægge disse størrelser »hensigtsmæssigt«.

Bemærk, at ligningen D = b fremstiller den plan, der deler det p-åimensionale
rum i de to halvrum Ri og R2.

Vi har i dette afsnit skitseret problemløsningen i tilfældet med kun to populationer og vil også i det følgende begrænse os hertil. En generalisering til r populationer (r > 2) medfører ikke principielt nye problemer, kun mere regnearbejde, idet vi må arbejde med flere diskriminantfunktioner .¹ )

---

1) Der henvises til (1) i litteraturlisten.

3. Hvad er kravet til en klassificeringsregel?

I almindelighed (d. v. s. i ortodoks »objektiv« statistisk teori) plejer man at udforme klasificeringsproceduren (diskriminantfunktionen) på en sådan måde, at de betingede sandsynligheder for de to typer af fejlplaceringer skal være så små som mulige og lige store.

Kaldes de to tæthedsfunktioner fi(X) og J2(X), kan dette lidt mere
formelt formuleres:

(3)

under bibetingelsen

(4)

Det er imidlertid ikke vanskeligt at forestille sig situationer, i hvilke ovennævnte kriterium kan føre til uhensigtsmæssige resultater. F. eks. medfører denne procedure, at det forventede antal fejlklassificeringer ved klassificering af et bestemt antal elementer, f. eks. 10, er størst for de elementer, der tilhører den største population. Ligeledes kan man også let forestille sig situationer, hvor ulemperne ved den ene art fejlklassificeringer er betydelig større end ved den anden.

Disse bemærkninger afslører, at det kan være hensigtsmæssigt, at klassificeringsreglen
(= diskriminantfunktioneri) foruden at være en funktion
af vektoren X, også afhajnger af:

1) a priori-sandsynlighederne for, at et element skal tilhore liver af de to populationcr. Hvis der a priori - d. v. s. for malingerne foretages - er storre sandsynlighed for, at et vilkarligt element tilherer den ene population frem for den anden, vil man (alt andet lige) vsere mest tilbojelig til at klassificere elementet som tilhorende den population, der har storst a priori-sandsynlighed.

2) forholdet mellem offeromkostningerne ved de to former for fejlklassi-

ficering. Idet man (alt andet lige) vil være mest tilbøjelig til at klassificere
elementet i den population, hvor omkostningerne, dersom det

senere skulle vise sig, at klassificeringen er forkert, er mindst.

Set fra et beslutningsteoretisk synspunkt må tankegangen derfor være
følgende:

Hvis det har nogen mening at klassificere et element som tilhørende en af to (eller evt. flere) populationer, må det være, fordi der vil blive truffet forskellige beslutninger m. h. t. elementets »behandling«, alt efter om det klassificeres som tilhørende m eller nt. Ved en fejlklassificering vil man

derfor udsætte elementet for en forkert »behandling«, d. v. s. en behandling,der er forskellig fra den under de givne forhold optimale. Herved pådrager man sig nogle offeromkostninger (større omkostninger eller mindreindtægter), som ville være undgået, hvis den optimale behandling var foretaget.

I tilfældet med potentiel efterspørger fikke potentiel efterspørger vil en
fejlklassificering kunne medføre enten

1) at der indledes salgsarbejde over for en konsument, som ikke vil være
potentiel efterspørger, hvorved man pådrager sig forgæves salgsomkostninger,

eller

2) at man undlader at foretage salgsarbcjdc over for en potentiel cftcrsporgcr
og dervcd gar glip af et muligt daekningsbidrag.

I dette tilfælde vil det ikke være forblindet med større vanskeligheder at bestemme de af en fejlklassificering betingede offeromkostninger, medens det i andre tilfælde kan være et særdeles vanskeligt problem at formulere disse omkostninger i kr. Dette er heller ikke nødvendigt. Da — som vi senere skal bevise - det kun er forholdet mellem de to arter af omkostninger, der har betydning, kræves det kun, at de er ensbenævnte udtryk for graden af »uønskethed« af forkerte beslutninger som følge af forkerte klassificeringer.

Betegner P(m) og P(tz2) a priori-sandsynlighederne for, at et tilfældigt element skal tilhøre ni henholdsvis 712, og benyttes betegnelserne C{\ 2) og C(2|l) for offeromkostningerne ved at klassificere et element tilhørende Jl2 som tilhørende n\ henholdsvis offeromkostningerne ved at klassificere et element, der tilhører n\ som tilhørende 712, kan problemets offeromkostnings-matrix skitseres som følger:

Det må være et rimeligt krav til klassificeringsrcglen, at den på en eller anden måde minimerer disse omkostninger, således at de ved gentagen brug af klassificeringsreglen bliver så små som mulige. Dette kan lidt mere præcist udtrykkes som følger:

Vi ønsker at fastlægge vor klassificeringsregd på en sådan måde, at de
forventede offeromkostninger ved fejlklassificeringer minimer es, hvilket
formelt kan udtrykkes som følger:

(5)

En procedure, der fører til dette resultat, kaldes en Bayes' procedure. Vi vil senere se, at en procedure, der bygger på kriteriet (3-4) under visse, meget specielle forudsætninger vil være en Bayes procedure, men ellers vil vi benytte det Bayes'ianske synspunkt, som det er formuleret i (5).

4. Klassificering af et element i en af lo mulige populationer med vilkårlige, kendte tæthedsfunktioner

Vort formål er at vælge R.\ og Rz således, at (5) minimeres. For enhver
klassificeringsregel R* == (R*^Rt,) er de forventede offeromkostninger
som følge af fejlklassificering givet ved

(6)

af

(7)

fås

(8)

som indsat i (6) giver

(9)

(10)

Vi ønsker at minimere (1.0). Da C(1 [2) og P(712) er konstanter, opnås dette tydeligvis ved at fastlægge R% således at det indeholder alle de punkter, for hvilke C(2|l) P(m)fi(X)-C(l\2) P(m) fc{X) er negativ. Punkter, for hvilke dette udtryk er positivt tillægges da R\.

Vi definerer altså Ri og R2 som følger1):

---

1) Punkter, hvor C(2|l) Pin^f^X) - C( I|2) P(jr₂)/₂(X) =0, er her arbitrært tillagt R_v

(11)

Det vil ofte være mere hensigtsmæssigt at arbejde med forholdet mellem

(12)

I så fald kan (11) skrives

(13)

Det skal sluttelig nævnes, at den klassiske regel (3)- (4), som det umiddelbart
vil fremgå ved analog anvendelse af de her benyttede udledninger,
fører frem til klassificeringsreglen

(14)

der kun vil være en Bayes' procedure under forudsætningen

(15)

Specielt er forudsætningen opfyldt for

(16)

der formodentlig mere eller mindre bevidst ligger bag anvendelsen af den
klassiske regel.

Udtrykkene (13) giver en formel løsning af klassificeringsproblemet
uafhængig af tæthedsfunktionerne f\{X) og J2(X).

Af hensyn til løsningen af problemerne omkring anvendelsen af statistisketestprocedurer i forbindelse med diskriminantanalyse er det naturligvis påkrævet at kende disse tæthedsfunktioner, idet deres type og parametre dog eventuelt kan estimeres på grundlag af stikprøver fra hver af de muligepopulationer. Disse problemer er imidlertid kun nogenlunde grundigt gennemarbejdede for så vidt tæthedsfunktionerne er multinormale. Denne

forudsætning er også gjort i de indtil nu publicerede eksempler på anvendelseaf diskriminantanalyse på marketingproblemer. Vi vil derfor i det følgende give en kort introduktion til den multinormale fordeling og dernæstskitsere beregningen af diskrimiiiantfunktionen i det multinormale tilfælde.

5. Den multinormale fordeling

Den éndimensionale normalfordelings tæthedsfunktion kan som bekendt
skrives som følger:

(17)

hvor f.i er fordelingens middelværdi og o 2 dens variaris, medens c er en
konstant, der er valgt således, at integralet over f(x) bliver 1. Den statistiske
variabel x siges at være normal N(ju,o2).

Tæthedsfunktionen for den f »-dimensionale normalfordeling har en
analog form.

Skalar-variablen x erstattes med en søjlevektor:

(18)

Skalar-paramctren w, der angiver fordelingens middelværdi, erstattes
med søjlevektoren:

(19)

der angiver middelværdierne i de p marginalfordelinger.

I stedet for parametren o2o2 benyttes co-variansmatricen

(20)

hvor o,; for i\ i= j angiver co-variansen mellem den i'te og den f te variabel,
medens oa for i=j angiver variansen i den i'te marginalfordeling. Skrives
0,-; — 0~. for alle i = j, kan (20) skrives:

(21)

Endelig erstattes udtrykket

(22)

med

(23)

hvor T angiver, at vektoren er transponeret.

Den normalfordelings tæthedsfunktion kan således skri-

ves:

(24)

hvor c er en konstant, der er valgt således, at integralet over j{X) bliver 1.

Variabierne X siges at være normale N(/u,V). Det ses umiddelbart, at
for p == 1 fås den velkendte tæthedsfunktion for den éndimensionale normalfordeling

6. Klassificering i en af to mulige multinormale fordelinger med kendte parametre

Der er givet to multinormale fordelinger . fY(,m(1), F) og N(f.i^2\V)
med ens co-variansmatricer.

Den r'te tæthedsfunktion (r = 1,2) er:

(25)

og forholdet mellem tæthedsi'unktionerne er

(26)

hvilket kan skrives:

(27)

Omradet R\, for klassificering i ni, er den maengde af vektorcr X, for hvilke forholdet j\{X) jf-2(X) k_} hvor k vaelges hensigtsmaessigt, d. v. s. i overensstemmclse med det formal, der forfolges med den pagasldende klassificeringsregel (jfr. afsnit 3).

Da logaritmefunktionen er monotont voksende., kan vi omskrive (27)
i logaritmer og får da:

(28)

eller

(29)

Udtrykket ?(//(l) -f f^2)) er gennemsnittet af middeltalsvektorerne ide
to fordelinger. Kaldes denne størrelse f/ kan (29) skrives:

(30)

Da sidstc led pa venstre side er en konstant, kan vi benytte forste led
alene som vor diskriminantfiinktion. Det ses, at diskriminantfunktionen er
en lineaer funktion af den observerede vektor X. Vi skriver da (30) som

Som tidligere nævnt, må konstanten k ansattes »hensigtsmæssigt«. F. eks. vil en antagelse af det »ortodokse« kriterium for optimalitet for klassificeringsreglen: minimering af de betingede sandsynligheder for fejlklassificeringer føre til k — 1 (if. (14)), hvoraf følger, at In k = 0. (31) kan da skrives:

(32)

Med andre ord: Såfremt diskriminantfunktionen ved indsættelse af den observerede vektor X antager en værdi, der er større end eller lig med den værdi, den tager ved indsættelse af vektoren [*, der angiver gennemsnittet af f/⁽¹⁾ fg /i⁽²⁾, er det observerede element beliggende i i?i og klassificeres derfor som tilhørende n\.

I alle de praktiske anvendelser inden for marketingområdet, som er
offentliggjort, er benyttet k = 1, medens det - i de fleste tilfælde - betydelig
mere realistiske beslutningsteoretiske oplæg if. (13) må føre til at

(33)

indsættes i (31).

7. Klassificering i en af to mulige multinormale fordelinger, når parametrene skal estimeres

Der cr givet en stikprave Xi(1), Xz^ .... Arnl(1) fra n\ (X(l) cr
N(m(1\V)) og en stikprave X\&\ Xd® .... Xn2(2) fra ?i2 (Z('2) er
iV(//(2\F)). Pa grundlag af denne information onskes et element med
tilliorende malinger X klassificeret som tilhorende cnten n\ eller nt.

I modsætning til det i forrige afsnit behandlede tilfælde kender vi ikke
parametrene i de to fordelinger, men må estimere dem på grundlag af de to
stikprøver.

Maksimum-likelihood-estimatorerne for ju^ og er

(35)

medens maksimum-likelihood-estimatoren for den fælles co-varians-matrix
er:

(35)

hvor

(36)

Og

(37)

Ved indsættelse af (34) og (35) I (31) fås:

(38)

hvor

(39)

A
D kan da benyttes som en tilnasrmelse til den eksakte (men ukendte) diskriminantfunktion

A
Det vides ikke, om D er optimal, men det ma antages, at tilnaermelsen
A
er »god«, da fordelingen for D konvergerer mod fordelingen for D, nar
savel wi-^°° som 722-^°°, forudsat, at populationerne er übegraensede (eller
der udtrafikkes med tilbagelaegning).

8. Anvendelser af diskriminantanalyse inden for afsætningsøkonomien

Der er gennem de senere år fremkommet en del referater af praktiske anvendelser af diskriminantanalysen på afsætningsøkonomiske problemstillinger. Disse er hovedsagelig offentliggjort i amerikanske tidsskrifter, medens vi endnu har til gode at se et eksempel på teknikkens anvendelse i en dansk virksomhed.

Nedenstående artikler må betragtes som repræsentative med hensyn
til de problemer man på teknikkens nuværende stade angriber med diskriminantanalyse.
Numrene henviser til litteraturlisten.

Banks (L. 3) har benyttet diskriminantanalyse til at studere forskellene i
forbrugernes præferancer for forskellige varemærker på basis af forskelle
i produkternes egenskaber.

Buck (L. 4) er interesseret i at fastslå den relative vægt, der kan tillægges elleve forskellige socio-økonomiske variable som indikatorer for en husstands besiddelse af køleskab, og for dens besiddelse af gas- henholdsvis el-køkken, idet hans problem er at reducere antallet af forklarende variable. Bucklin (L. 5) har undersøgt forbrugernes valg af shopping-center som funktion af socio-økonomiske og demografiske kriterier.

Claycamp (L. 6) har studeret de sociale og økonomiske forskelle mellem
sparere, der benytter forskellige opsparingsformel-.

Evans (L. 7) har studeret, i hvilket omfang socio-økonomiske og psykologiske
faktorer bestemmer en husstands valg af bilmærke.

Frank, Masy & Morrison (L. 8) har behandlet problemet: Er det muligt på grundlag af en husstands socio-økonomiske egenskaber og dens købevanerat forudsige dens »villighed« til at acceptere et nyintroduceret varemærke?Det konkrete tilfælde drejede sig om introduktionen af en færdigmaletkaffe

maletkaffepå Chicagomarkedet, og forfatterne benyttede »Chicago Tribune«sforbrugerpanel
til fremskaffelse af de nødvendige data.
King (L. 9) har benyttet diskriminantanalyse til at vurdere forskellige
faktorers værdi som mål for et sælgerdistrikts »godhed«.

Massy (L. 10) har studeret lytternes valg af radioprogrammer baseret på
socio-økonomiske og demografiske kriterier.

I alle de i dette afsnit nævnte tilfælde er det forudsat, at normalitetskravet er opfyldt, således at diskriminantfunktionen får den i formel (31) afsnit 6 og (38) afsnit 7 nævnte form. I en del al eksemplerne er denne forudsætning dog ret problematisk, hvorfor de statistiske tests må tages med alt mulig forbehold.

Litteratur

En teoretisk behandling af den »ortodokse« diskriminantanalyse findes i

(1) M. G. Kendall:
A Course in Multivariate Analysis.
Griffin & Go. 1965. London.

En beslutningsteoretisk synsmade, hvori ogsa indgar en optimering af antallet af malinger
pa det enkelte element, er anlagt i

(2) IJaulIJauI E. Green:
Bayesian Classification Procedures in Analyzing Customer Chararteristics.
Journal of Marketing Research, Vol. 1 (1964) May, pp. 44-50.

Som exempler pa praktiske anvendelser af lineser diskriminantanalyse kan naevnes

(3) S. Banks:
The Relationship Between Preference and Purchase of Brands.
Journal of Marketing, Vol. 15 (1950), pp. 145 157.

(4) S.F.Buck:
A New Look at Old Data.
Papers, ESOMAR Congress 1966.

(5) Louis P. Bucklin:
The Concept of Mass in Intra-Urban Shopping.
Journal of Marketing, Vol. 31 (1667), October, pp. 37-42.

(('.) //. /. Clay camp:
Characteristics of Owners of Thrift Deposits in Commercial Banks and Savings
and Loan Associations.
Journal of Marketing Research, Volii. 2 (1965), pp. 163-170.

(7) F. B. Evans:
Psychological and Objective Factors in the Prediction of Brand Choice, Ford
Versus Chevrolet.
Journal of Busiess, Vol. 32 (1959), pp. 340-369.

(8) Frank, Massy and Morrison:
The Determinants of Innovative Behaviour With Respect to a Branded
Frequently Purchased Food Product.
Proceedings of American Marketing Association, December 1964.

(9) W.R.King:
Marketing Expansion - A Statistical Analysis.
Management Science, Vol. 9 (1963), pp. 563-573.

(10) W. F. Massy:
Discriminant Analysis of Audience Characteristic;;.
Journal of Advertising Research, Vol. 5 (1965), pp. 39-48.