Introduktion

Erkendelse af analogier mellem forskellige faggrene eller omformulering af teorier ved udnyttelse af duale aspekter har medført nogle af de mest bemærkelsesværdige fremskridt i videnskabens historie. Fra den individuelle disciplins synspunkt hidrører fastlæggelsen af en analogi eller en dual fra en erkendelse af en strukturel symmetri i den teoretiske formulering af det aktuelle problem. Matematisk er begreberne en analogi og en dualitet nært tilknyttet de gruppeteoretiske begreber isomorfi og automorfi.

---

*) lektor, lie. techn., Stærkstrømsafdelingen, Danmarks tekniske Højskole, Lyngby. Manuskript august, 1967.

Matematisk programmering blev, i sin oprindelige form af aktivitetsanalyse, udviklet som en kvantitativ generalisering af Wairas' økonomiske ligningssystem. Matematikere og i særlig grad elektroingeniører har ofte bestræbt sig på at formulere elektriske netværksmodeller af økonomiske problemer. P. O. Pedersens model af en produktionsfunktion fra 1935 er et typisk forsøg. Andre eksempler er Koopmans og Reiter's (Koopmans, 1951), Enke's (Enke, 1951), Tustin's (Tustin, 1957) og Dennis' (Dennis, 1959). Et fælles karaktertræk for alle disse arbejder er, at de elektriske netværksanalogier fremkommer ved en heuristisk undersøgelse af ligningerne for de individuelle økonomiske modeller. Formålet med denne artikel er (1) at opstille en analogi mellem de grundlægende love for fysik og økonomi og (2) at bruge denne grundlæggende sammenhæng til at etablere en elektrisk analogi af Walras' system og dermed af det matematiske programmeringsproblem.

Det økonomiske produktionsproblem

Fra det økonomiske synspunkt er det et af de alvorligste kritikpunkter ved den matematiske programmeringsmodel af Walras' system, at den udover muligheden for koefficientvariationer (d. v. s. parametrisk programmering) ikke sikrer substitutionalitet. Imidlertid er det, som Ivar Jantzen understregede i sit grundlæggende arbejde fra 1924 (se også: Jantzen 1939 og 1954; Brems 1952 a og b), meget mere realistisk at erstatte den konventionelle økonomiske produktionsanalyse med en formulering i to trin.

Det første, valg af teknik, er det heuristiske problem at etablere de kausale logisk-fysiske og tidsmæssige forbindelser, som for den aktuelle produktion specificerer sammenhængen mellem produktionsfaktorerne og aktiviteterne: nemlig de tekniske koefficienter, udbudskurver for produktionsydclserog efterspørgselskurver. Dette er et typisk åbent konstruktionsproblem,for hvilket en optimal løsning ikke kan defineres. Alle ndringeri ovenfor specificerede systemkonfiguration opfattes som valg af en ny teknik. Dette betyder, at man i stedet for at substituere produktionsfaktorerog definere tekniske koefficienter som specificerede funktionerai faktorpriserne erstatter én specifik systemkonfiguration eller teknik med en anden. Udover at være nær normal ingeniørmæssig praksis, har denne formulering den yderligere fordel, at alle forhold, der medfører stigendeudbytte, når der ses bort fra virkningen af disses udelelighed, er indbefattet i substitueringen af teknik. Dette er den grundlæggende tanke, der ligger bag Jantzen's højere tekniks lov (Schneider, 1934; Zeuthen,

1955). Matematisk er fastlæggelsen af en teknik ud fra et regnemaskinemæssigtsynspunkt nært tilknyttet simulationsprocesser. Det såkaldte Planning-Programming-Budgeting-Systern(PPBS), der er udviklet af USA's forsvarsministerium, er en anden systematisk formulering, der er tilknyttet fastlæggelsen af en teknik (Jackson og Reed, 1965).

Det andet trin, optimal produktion med en given teknik, er det analytiske problem at bestemme ekstremumstilstanden af en given produktions systemkonfiguration. Dette er et veldefineret matematisk problem, som kan formuleres i Walras' ligningssystem med limitationale produktionsfaktorer og faste tekniske koefficienter. Ser man bort fra begrebet udelelighed, giver denne model konstant eller aftagende udbytte. Problemet at fastlægge den optimale produktion med en given teknik kan således identificeres med en matematisk programmeringsmodel. For de tilfælde hvor der må tages hensyn til udelelighed, formulerede Jantzen i den berømte harmonilov (Jantzen, 1924) de karakteristiske egenskaber ved, hvad der senere er blevet kendt som den optimale løsning på heltalsprogrammeringsproblemet. I moderne vendinger kan denne lov udtrykkes: »Hvis en aktivitet i et produktionssystem er baseret på brugen af en række forskellige ikke fuldt delelige faktorydelser, opnås den mest harmoniske koordination (d. v. s. den størst mulige udnyttelsesgrad af alle de forskellige involverede ydelser) kun i de tilfælde, hvor antallet af enheder af produktet, der er resultatet af aktiviteten, er et fælles multiplum af ydelsernes til rådighed stående kapacitet, hver divideret med den faste tekniske koefficient«. Det skal her tilføjes, at Brems i sin diskussion af Jantzen's harmonilov (Brems, 1952 a) foregreb heltalsprogrammeringen ved at bruge diagrammer, der illustrerer helstalsgitterpunkter, d. v. s. punkter hvis koordinater er heltal.

I denne artikel skal vi alene beskæftige os med formuleringen af en given tekniks elektriske analogi, således at der, når der ses bort fra udelelighed, kan ske en fastlæggelse af den optimale produktion ved denne teknik som ekstremumstilstanden for analogmodellen.

De grundlæggende forudsætninger

Det væsentligste kendetegn ved Walras' system er, at det er en makroskopisk dynamisk model af mikroskopiske statistiske fænomener. I fysik bliver lignende makroskopiske anvendelser af en dynamisk teori på mikroskopiske statistiske fænomener brugt ved formuleringen af termodynamiske problemer og i den elektriske netværksteori. Etableringen af en fysisk analog til Walras' økonomiske system må derfor begynde med en sammenligning mellem de fysiske og økonomiske sæt af statistiske forudsætninger.

En eksplicit erkendelsc af et grundlasggende konsekvcnt sset fysiske forudsaetninger udvikledes i forbindelsen med undersegelsen af materialers molekulaere og atomistiske opforsel (Lindsay og Margenau, 1936; Callen, 1960). De okonomiske forudsaetninger blev formuleret analytisk som et saet ideelle betingelser, hvis opfyldelse betegnes som fuldkommen konkurrcnce (Zeuthcn, 1955; Henderson og Quandt, 1958). En skematisk sammenligning kan opstilles pa folgende made:

Det er indlysende, at det ikke er muligt at skabe en entydig korrespondancemellem
de to sæt forudsætninger. I det ovenstående skema er det
snarere tiltænkt at samle de økonomiske forudsætninger i klasser med så

lille overlapning som muligt og derefter jævnføre hver af disse klasser med en af de fysiske forudsætninger. Forudsætningerne er søgt delt op på en sådan måde, at 1 og 2 refeirerer til tilfredsstillelsen af de probabilistiske postulater; 3 og 4 til gyldigheden af de direkte makroskopiske målinger som et kvalitativt udtryk for de statistiske fordelinger; og 5 til muligheden for ved hjælp af en invariant, additiv skalar (energi eller effekt) at kunne etablere en kvantitativ sammenhæng imellem det mikroskopiske og det makroskopiske synspunkt. Resultatet af denne fremgangsmåde giver, som det ses, en tilfredsstillende basis for skabelsen af en sammenhæng mellem fysikkens og økonomiens grundlæggende love.

De grundlæggende fysiske love

Den grundlæggende teoretiske struktur, som klassisk mekanik, elektrisk netværksteori og termodynamik (eller mere korrekt, termostatik) bygger på, erkendes fra et makroskopisk synspunkt under de nævnte forudsætninger lettest ved at betragte termodynamikken. Her er hele teorien udviklet fra to grundlæggende love, der generelt kan udtrykkes som:

1. lov: Invariansprincippet

2. lov: Det statistiske strømretningsprincip.

Igennem hele fysikkens historie har de to mest diskuterede og kritiserede af de tidligere nævnte forudsætninger været den, der angår henholdsvis isolation, og udbredelsestid kontra procesvarighed. En undersøgelse af økonomisk litteratur viser, at disse to emner også indirekte ligger bag en række diskussioner indenfor dette område. Der vil derfor blive givet en kort gennemgang af disse to forudsætninger set i forhold til de ovennævnte to love.

Den tanke, at der i et isoleret univers må være en invariant størrelse, foranderlig i form, men uforgængelig, blev først erkendt i 1693 af Leibnitz i forbindelse med studiet af massepunkter i et almindeligt gravitationsfelt. Matematisk blev den invariante størrelse skildret som en additiv skalar størrelse, den såkaldte energi. Efterhånden som yderligere typer af fysiske systemer blev betragtet, viste det sig, at dette invariansprincip gentagne gange ikke passede. I hvert eneste tilfælde var det imidlertid muligt at genskabe det ved at addere et nyt matematisk udtryk, der blev opfattet som »energibidraget« fra den resterende, og indtil da, ukendte del af det isolerede

Dybest set kan alle direkte fysiske målinger, i det mindste begrebsmæssigt,opløses i manipulationer eller operationer med to-terminal instrumenter.En særlig egenskab ved de direkte fysiske målinger er imidlertid, at de ikke kan foretages imellem systemer af forskellig fysisk art. For eksempel

eksisterer der ikke et instrument, hvis ene terminal kan forbindes til én af de elektriske klemmer på en elektromotor, samtidigt med at den anden forbindestil den mekaniske aksel. Invariansprincippet er derfor den eneste måde, hvorpå vekselvirkningen mellem sådanne systemer kan beskrives. Det matematiske udtryk for dette princip kan derfor betragtes som en tvangsbindingsligning mellem systemer af forskellig art. At dette virkelig er tilfældet illustreres ved, at den matematiske behandling af formeludtrykketfor dette princip i fysikken er nært beslægtet med behandlingen af sættet af tvangsbindingsligninger i klassisk mekanik.

Udtrykt mere specifikt er energi potentialet for mekanisk arbejde. Principielt kan ethvert energiudtryk skrives som produktet af to størrelser, f. eks. kraft og forskydning. Vekselvirkningen mellem et arbitrært system og dets adskilte omgivelser, der tilsammen udgør et isoleret univers, bestemmes ved først at tage differentialet af invariansligningen, der, når der tages hensyn til fortegn, består af en sum af to produkter. Fra dette differential kan udskilles en undersum udelukkende bestående af de udtryk, der indeholder differentialerne til det udvalgte sæt af uafhængige parametre, der repræsenterer systemet og omgivelsernes uafhængige påvirkninger eller kilder. Hvis den udskilte undersum viser sig at være et totalt differential af en bestemt funktion, er der fundet en såkaldt tilstandsfunktion. I fysikken defineres en tilstandsfunktion som en enkelt-værdifunktion, der er afledt fra de grundlæggende naturlove, og hvis værdi på et givet tidspunkt udelukkende afhænger af systemets tilstand og ikke af forudgående hændelser. Til sammenligning bygger den klassiske mekaniske inddeling af tvangsbindingsligninger i holonome og ikke-holonome (dvs. integrable og ikke-integrable) på en lignende erkendelse af totale differentialer (Lanczos,

Det er et velkendt fænomen, at et energiudtryk i en tilstandsfunktion kan afhænge implicit af tiden. Således er kinetisk energi f. eks. en funktion af hastigheden, dvs. den tidsafledede af forskydningen. I den klassiske mekanik har megen diskussion imidlertid været koncentreret om muligheden for, at den totale energi skulle være eksplicit afhængig af tiden. I disse tilfælde vil energien naturligvis ikke bevares. Det blev derfor normalt antaget, at energiens tidsvariationer var af en sådan karakter, at der ved passende transformationer, der i princippet bestod af en addition af tiden t til de mekaniske variable, kunne defineres en ny invariansligning og dermed en ny tilstandsfunktion.

I den elektriske netværksteori afhænger energiomsætningen i kilder og
dissipative elementer eksplicit af tiden. Af denne grund er invariansprincippetfor
elektriske netværk siden Maxwell (Maxwell, 1891) blevet angivetsom

givetsomeffektudtryk, hvor effekten er den tidsafledede af energien. Det bemærkes, at effekt principielt defineres som produktet af to tidsafledede størrelser (f. eks. elektrisk strøm og spam ding). Senere opdagedes det (Millar,1951), at Maxwell's formulering kun gjaldt i det lineære tilfælde, og der blev derfor indført to nye »effekt«-tilstandsfunktioner, der er analoge med dem, der blev benyttet i klassisk mekanik. Disse to tilstandsfunktioner, »content« og »co-content«, vil blive defineret og brugt senere i denne artikel. Det vil på dette sted væn; tilstrækkeligt at nævne, at et stort flertal af de effektive, men fysisk set ofte vanskeligt forståelige, moderne netværksmetoderpå simpel måde kan forklares ud fra disse to effektudtryk (Franksen, 1965).

Når invariansprincippet udtrykkes ved på den ene side energi og dennes tidsafhængighed og på den anden side sætningen om isolation, er det nært tilknyttet problemet omkring anvendelse af de ovennævnte tilstandsfunktioner til fastlæggelse af ligevægtstilstanden. De variable, der indgår i en tilstandsfunktion, er alle makroskopiske. Disse variable og den tilsvarende tilstandsfunktion er imidlertid kun defineret, hvis systemet mikroskopisk set er homogent, hvilket betyder, at det kontinuert ændres fra én mikroskopisk ligevægtstilstand til en anden. I hver mikroskopisk ligevægtstilstand vil systemets ydre påvirkninger ophæve hinanden, hvilket medfører, at systemet også makroskopisk vil være i ligevægt. Alt i alt vil en beskrivelse af et statistisk system udtrykt ved makroskopiske tilstandsfunktioner ske i form af en række ligevægtstilstande; om det er muligt elltr umuligt på denne måde at beskrive et statistisk, system med en makroskopisk dynamisk teori udtrykt ved ligevægtstilstande afhænger af effektiviteten af overgangsmekanismen på det mikroskopiske eller atomistiske niveau. Den tidligere nævnte udbredelsestid er den karakteristiske overgangsegenskab i denne forbindelse.

Principielt er udbredelsestiden et mål for den tid det tager for systemet at gå fra én ligevægtstilstand til en anden for at tilpasse sig en ændring i omgivelserne. Udbredelsestiden er i virkeligheden en tidskonstant i betydning af eksponentiel afhængighed for udbredelsen på det mikroskopiske niveau. Derfor kan for et givet system med en given udbredelsestid kun ændringer, der finder sted over tidsrum, der er meget længere end udbredelsestiden, beskrives ved makroskopiske målinger som en række af ligevægtstilstande. På den anden side svarer ændringer, der sker i tidsrum, der er kortere end udbredelsestiden, til en række mikroskopiske uligevægtstilstande, for hvilke det ikke er muligt at definere meningsfyldte makroskopiske

Indenfor termodynamikken er udbredelsestiden så stor, at ændringerne

må ske »uendeligt langtsomt« for, at de kan defineres makroskopisk gennemligevægtstilstande. Dette medfører, at systemet til ethvert tidspunkt er i en kvasistationær tilstand. Termodynamik er derfor i virkeligheden termostatik, i hvilken alle betragtede ændringer er kvasistatiske, forstået sådan, at de kan beskrives som en ordnet række statiske ligevægtstilstande, af hvilke ingen involverer hastigheder eller tid.

I den elektriske netværksteori er udbredelseshastigheden i modsætning til det ovenstående i størrelsesordenen lysets hastighed. Indenfor mange anvendelser kan man derfor benytte en repræsentation ved diskrete parametre med uendelig udbredelsestid i den aktuelle problemformulering. De involverede tilstandsfunktioner henføres alle til effekt (dvs. energiens ændringshastighed), hvis sum er nul for et netværk med diskrete parametre, når det opfattes som et isoleret system. Dette betyder, at netværket til ethvert tidspunkt er i en ligevægtstilstand karakteriseret ved opfyldelsen af Kirchhoff's love. Det understreges imidlertid, at ligevægtstilstandene ikke er statiske, men dynamiske stationære eller ekstremum tilstande. Ved at benytte effekt i stedet for energi i problemformuleringen er det dynamiske problem imidlertid reduceret til et statisk på en måde, der fuldstændig svarer til brugen af d'Alembert's princip i den klassiske mekanik. Dette betyder selvfølgelig ikke, at det dynamiske problem kan løses ved hjælp af statiske metoder. De dynamiske ligninger, der udtrykker den øjeblikkelige makroskopiske systemtilstand, er blot blevet udledt ved statiske ligevægtsb e t ragtninger.

Det bemærkes, at denne formulering udtrykt ved øjeblikkelige stationære;
tilstande ikke indebærer noget om systemets stabilitet i tid.

Betragter man den anden lov, det statistiske strømretningsprincip, skal det først understreges, at denne lov ikke er absolut sikker, men kun yderst sandsynlig. I termodynamikken fandt man, på grundlag af Joule's grundlæggende forsøg, at det for et isoleret system, hvis der er specificeret to tilstande, altid er muligt at forene dem gennem et antal mekaniske ndringer; at det ikke altid er muligt at definere ændringer, der fører systemet både frem og tilbage. Denne eksperimentelt fundne asymmetri eller irreversibiltet, der er kendt som termodynamikkens anden hovedlov, har fået adskillige formuleringer. Den almindeligst brugte er sandsynligvis, at et isoleret systems entropi søger mod et maksimum. I denne artikel vil Glausius' formulering, der er langt mere anvendelig fra et interdisciplinært synspunkt blive benyttet. I almindelige vendinger kan anden lov udtrykkes: en strøm løber kun fra højere til lavere potential.

Som et eksempel på denne kvalitative, men entydige lov betragtes friktioneni
forbindelse med forskydningen af et mekanisk system. Ved forskydningafgives

skydningafgivesder energi på grund af friktionen, hvilket vil sige at energien fra en form (mekanisk energi) inkluderet i systemanalysen konverterestil en form (varme), der ikke er inkluderet i systemanalysen. Et fortegnsskifte for forskydningen vil ikke medføre fortegnsskifte for den dissipativeenergikonvertering. Ideelle kilder er dualer til dissipation, da energi her konverteres fra en form, der ikke er inkluderet i systemanalysen, til en form inkluderet i systemanalysen. Taget sammen er dissipation og kilder ensbetydende med en entydig kausal orientering, som anden lov er et mere generelt udtryk for.

Måling og dertil knyttede begreber

Principielt er økonomiske målinger orienteret mod en beskrivelse af psykologiens og sociologiens tidsafbængige biologiske fænomener. Behovstilfredsstillelse og lignende emner fra den økonomiske teori betragtes imidlertid som liggende uden for det nærværende interesseområde, hvorved dette begrænses til udelukkende at omhandle det tekniske-økonomiske problem at styre en produktion.

I denne forbindelse skelnes mellem to grundlæggende former for målinger: målinger af priser og målinger af mængdestrømme. Begge stammer fra den økonomiske teori for udbud og efterspørgsel, hvor, som det senere vil blive påvist deres indbyrdes afhængighed som påvirkninger på en produktion er givet i form af udbuds- og efterspørgselskurver. I denne forbindelse er det tilstrækkeligt at sige, at de er bestemt som øjebliksværdier.

Måling er den eneste forbindelse mellem den fysiske virkelighed og en hertil svarende teoretisk model. De teoretiske begreber, som kan henføres til hinanden ved hjælp af matematikens abstrakte regler, stammer således fra målinger. I fysikken gives de teoretiske begreber mening i forhold til virkeligheden ved at fortolke grundbegreberne repræsenterende målingerne på én af to forskellige måder. Begge afhænger af tid og sted, men adskiller sig ved at være orienteret mod målingens henholdsvis kvalitative og kvantitative egenskaber. Disse to synspunkter benævnes her det operationelle og det symbolske synspunkt.

Det operationelle synspunkt er karakteriseret ved, at de målte begreber gives mening ved at henføres til de veldefinerede manipulationer, der skal udføres af iagttageren for at gennemføre de tilsvarende målinger. Dette er ensbetydende med, at målinger kvalitativt klassificeres ved, at de fortolkes ud fra det sæt operationer, der udgør den aktuelle måleprocedure.

Principielt kan der, afhængigt af den måde hvorpå måleinstrumentet
i det mindste begrebsmæssigt bruges, skelnes mellem to forskellige slags
målinger. En transvariabel (across-variable) måles ved at instrumentet

samtidigt tilknyttes to forbindelsespunkter i systemet, uden at dettes forbindelserskæres op. Eksempler på transvariable er spænding, forskydning, rotation og temperatur. Det bemærkes, at det ene forbindelsespunkt kan være et fast referencepunkt, som det f. eks. er tilfældet ved måling af knudepunktsspændinger, forskydning af masser i et gravitationsfelt og i økonomi priser. En intervariabel (through-variable) måles i modsætning hertil ved at skære systemet op i det aktuelle forbindelsespunkt og indsætte instrumentet i opskæringspunktet. Eksempler på intervariable er elektrisk strøm, mekanisk kraft, drejningsmoment og varmestrøm. I økonomien må strømme af resourcer og varer karakteriseres som intervariable.

Fra et matematisk synspunkt kan operationelt definerede målinger af en arbitrær observerbar egenskab opfattes som elementer af den samme matematisk gruppe. For at klassificeres som målinger må elementerne i det mindste tilfredsstille en binær ækvivalensrelation. Hvis elementerne kun tilfredsstiller denne relation, siges de at blive målt på en nominel skala (ækvivalensskala). Hvis elementerne ud over den binære ækvivalensrelation også tilfredsstiller en binær ordnende relation, siges de at være målt på en or anende skala. Det bemærkes, at den resulterende ordning af et sæt målinger i en rækkefølge forudsætter en topologisk orientering af tid og rum. Operationelt definerede målinger tilfredsstiller ikke en binær operation som f. eks. additionsreglen. Målingerne kan imidlertid give afgørende vidnesbyrd for mulighederne for at postulere en sådan operation.

Psykofysik og teorien for behovstilfredsstillelse er videnskabelige områder, indenfor hvilke teoretiske modeller etableres ud fra operationelt definerede målinger (Samuelson, 1938; Stevens, 1959; og Baumol, 1965). Den generelle filteori, der ligger bag konstruktionen af integrerede databehandlingssystemer, er et andet område, baseret på operationelt definerede målinger (Orchard-Hayes, 1959; Franksen og Rømer, 1963).

Det symbolske synspunkt er karakteriseret ved, at de teoretiske begreber gives mening ved at blive udledt fra postulater, hvis gyldighed ikke kan bevises, men som erfaringsmæssigt er i overensstemmelse med virkeligheden. Et sæt postulater som kan bruges ved den kvantitative identifikation af teoretiske begreber med observerbare egenskaber er følgende tre.

Første postulat vedrører forholdet, om den teoretiske model er baseret på kausalitet eller sandsynlighed. Som tidligere nævnt kan en makroskopisk måling opfattes som en repræsentation af såvel en deterministisk som en probabilistisk observerbar egenskab. Valget afhænger af den resulterende teoris samlede overensstemmelse med virkeligheden (Papoulis, 1964).

Det andet postulat introduceres for at tillade fastsættelse af fællesbegreber,der
udtrykker identitet mellem operationelt forskellige størrelser

(Bridgman, 1927 og 1936). Det symbolske synspunkt erkender ikke, at en oprindelig observerbar størrelse, efterhånden som måleobjektets fysiske størrelse tiltager, ophører med at eksistere og derfor må erstattes med en anden observerbar størrelse, der operationelt er forskellig fra den første. Et eksempel på dette forhold er begrebet længde, som både bruges til at beskriveastronomiske længder, tekniske længder og atomare længder.

Det tredie postulat vedrører antagelsen om kontinuitet eller i det mindste stykkevis kontinuitet. Kontinuitet er en matematisk idealisering, som målinger i kraft af selve deres natur ikke kan bekræfte. Betingelsen for at introducere kontinuitet ligger i den operationelle erkendelse af afgørende vidnesbyrd for muligheden af at postulere eksistens af en binær additionsregel. Det er på denne måde muligt at repræsentere de teoretiske begreber ved metriske, symbolske størrelser som, i det mindste indenfor visse områder, er anvendelige til numeriske beregninger.

Sidestillet med kontinuitetsforudsætningen er di]] er entiabilit et s] or udsætningen. Sidstnævnte forudsætning har forbindelse med begreberne ekstensive og intensive variable, der stammer fra termodynamikken. Ekstensive variable er her direkte proportionale med systemets masse eller størrelse, hvilket intensive variable ikke er. Indenfor økonomien betragtes analogt mængder af varer eller resourcer som ekstensive variable, mens tidsa]ledede som priser eller strømme a] varer eller resourcer er intensive variable.

En vurdering af de operationelt definerede målinger, transvariable og intervariable, ud fra et matematisk syn på deres fortolkning som metriske størrelser giver følgende resultater. Afhængigt af, om den metriske måleskalaindebærer kendskab til et absolut nulpunkt eller ej, skelnes mellem en ]orholdsskala og en intervalskala (Stevens, 1959). Forholdsskalaen er karakteristisk ved at have et absolut nulpunkt, således at den er invariant overfor transformationer af typen x = ax. I modsætning hertil er intervalskalaenkarakteriseret ved ikke at have noget absolut nulpunkt, således at intervalskalaen er invariant overfor transformationer af typen x = ax + b. Erfaringen viser, at direkte måling af en intervariabel, f. eks. en varestrøm eller -mængde altid baseres på en forholdsskala. På den anden side baseres direkte målinger af en tiransvariabel normalt på brugen af intervalskalaer. Fastlæggelse af nulpunktet eller referencepunktet for målingaf elektriske knudepunktsspændinger eller økonomiske priser er derfor et spørgsmål om, hvad der er tilvant eller praktisk. Det bemærkes imidlertid,at differenser på intervalskalaer kan måles på en forholdsskala. F. eks. er spændingsfaldet over en elektrisk komponent (defineret som differensenmellem to knudepunktsspændinger) eller stigningen i økonomisk

værdi langs en aktivitet (bestemt som differensen mellem to priser) transvariablc målt på en forholdsskala. I fysikken opfattes transvariable målt på en intervalskala generelt som skalære potentialer, mens intervariable målt på forholdsskalaer opfattes som vektorer. Den arbitrære retningsreference,der tillægges en intervariabel parameter, er en operationelt defineretpositiv orientering mellem de to forbindelsespunkter brugt ved bestemmelsenaf den tilsvarende transvariable parameter.

Efter således operationelt at have defineret de grundlæggende målinger samt symbolsk at have formuleret deres tilsvarende begrebsmæssige abstraktioner er det muligt at fremsætte de grundlæggende afhængigheder eller love. Det er klart, at den teoretiske formulering af grundlæggende love baseres på erkendelsen af strukturelle egenskaber, der er invariante overfor visse veldefinerede ændringer (Weyl, 1952). For matematisk at vise denne invarians i struktur eller form tilstræbes den størst mulige symmetri i den teoretiske formulering, idet der fuldstændig ses bort fra den fundamentale betydning som direkte målinger, der danner basis for de forskellige enhedssystemer, har indenfor eksperimentel praksis. Eksempler på en sådan anvendelse af symmetribegrebet som et teoretisk formuleringsværktøj er Maxwell's brug af matematisk formelsymmetri i forbindelse med hans formulering af elektromagnetismens grundlæggende love (Campbell, 1921) og brugen af avancerede gruppeteoretiske begreber indenfor moderne kvantemekanik.

Det bemærkes, at en teoretisk formulering baseret på symmetri eller strukturvarians ikke nødvendigvis beskriver, hvad der bogstavelig talt eksisterer. Formålet med en teori er at organisere observationer til en rationel helhed. De fleste af de hidtil fremsatte deterministiske teorier, bortset fra den elektriske netværksteori, tager sigte på at give en rationel beskrivelse af systemer med få men komplicerede elementer. For disse teorier har geometrien været det matematiske værktøj, som bedst gav det rationelle helhedsbillede. I dag stiler man imod teoretisk at beskrive systemer med et meget stort antal elementer, hvis egenskaber er simplificeret ved at blive karakteriseret som naturlove af nedenfor behandlede art. Hovedvægten ved beskrivelse af disse systemer lægges herigennem på målingerne. Målinger kan, som vi tidligere har set, defineres som beskrivelse af observationer' ved hjajlp af tal i overensstemmelse med en regel, der angiver den pågældende måleskalas art. Tal og derigennem aritmetiske ideer og begreber bliver derfor den afgørende egenskab ved opstillingen af et rationelt helhedsbillede. Det er dette forhold, der ligger til grund for den ovennævnte fremhævelse af symmetribegrebet og dets strukturelle begrebsafledninger i den moderne algebra.

Som et passende udgangspunkt for formuleringen af den økonomiske
produktionsteori ud fra symmetribegrebet vil her blive brugt følgende organisation
af økonomiens grundlæggende målinger:

Forklaringen på de variable i dette skema følger umiddelbart af den foranstående diskussion af de grundlæggende målinger. Det bemærkes imidlertid, at i økonomi er den ekstensive transvariable, der er tidsintegratet af prisen, normalt ikke defineret. Indenfor elektromagnetismen er denne variabel den magnetiske flux. Det må derfor forventes, at denne variabel under ceteris paribus betingelser har karakter af penge betragtet som kapital (Zeuthen, 1955).

Et af de mest overraskende forhold indenfor fysik og økonomi er, at alle de grundlæggende relationer eller love afledes af en simpel ligefrem eller omvendt proportionalitet mellem en transvariabel og en intervariabel parameter. Det synes oplagt, at dette forhold har sin oprindelse i den tidligere nævnte to-terminal egenskab ved vore måleinstrumenter.

Under lineære forhold eller ceteris paribus forudsætninger er Ohm's lov et fysisk eksempel på ligefrem proportionalitet mellem en intensiv transvariabel og en intensiv intervariabel. Den til loven svarende proportionalitetskonstant kendes i dette eksempel som modstanden. Grænseværdierne for dennes størrelse er nul og uendelig, og disse værdier benyttes sammen med en angivelse af én af de variable ved specifikationen af en ideel kilde. I praksis holder forudsætningen om linearitet sjældent. I stedet betragtes ofte kun differentielle ændringer om et givet arbejdspunkt.

Indenfor økonomien er eksempler på denne type af relationer efterspørgsels - og udbudskurver, som er en énentydig sammenhæng mellem intensivevariable, hvor de sidste endvidere kræves at være ikke-negative. Kurverne antages for lineære indenfor både kvadratisk og lineær programmering,hvor den sidstnævnte fremgangsmåde udmærker sig ved at udnytte kurver parallelle med enten prisaksen (ideel udbudskurve) eller med strømaksen(ideel

aksen(ideelefterspørgselskurve). Analogt med grænsetilfældene for Ohm's lov kan en ideel udbudskurve og en ideel efterspørgselskurve betragtes som henholdsvis en ideel intervariabel eller strømkilde og en ideel transvariabel eller priskilde.

Traditionsmæssigt defineres og bestemmes udbuds- og efterspørgselskurver ud fra totalkurverne som gennemsnitskurver. I fysikken er i modsætning hertil alle naturlove såsom Ohm's lov marginalkurver, og gennemsnits- eller totalkurvcr bruges aldrig. Det er klart, at der i lineær programmering, hvor der kun benyttes ideelle udbuds- og efterspørgselskurver som omtall ovenfor, ikke er forskel på gennemsnits- og marginalkurver. Imidlertid er matematisk programmering, som det let kan vises ved numeriske eksempler fra kvadratisk programmering (Franksen, 1957), og som det er hævdet af økonomer, et værktøj til marginalanalyse (Dorfman m. fl., 1958; Schneider, 1966). Det må derfor i lighed med fysikken konkluderes, at de grundlæggende økonomiske relationer, der skal bruges i matematiske programmeringsm o_deller, er marginale udbudskurver og marginale efterspørgselskurver.

Indenfor fysikken er relationer med omvendt proportionalitet altid et produkt af en transvariabel og en intervariabel, og værdien af produktet er en additiv skalar. Denne resulterende skalar er energi eller effekt, dvs. ændringshastighed for energi. Formuleringen af den ovenfor nævnte første lov for et isoleret system baseres udelukkende på skalarer fremkommet ved sådanne produkter. Gennem termodynamikken og moderne teknisk forskning indenfor elektromekaniske systemer er det blevet erkendt, at energi er en funktion af et sæt uafhængige ekstensive parametre. Endvidere har den sidstnævnte forskning afsløret, at energi skal defineres som integralet af en intensiv parameter med hensyn til en ekstensiv parameter (Cherry, 1951; Franksen, 1965). Denne definition er naturligvis i overensstemmelse med de termodynamiske konsekvenser, hvor den intensive parameter defineres som den partielt afledede af den indre energi med hensyn til de uafhængige ekstensive parametre (Callen, 1960). Idet der blev lagt vægt på symmetrien i den teoretiske formulering af elektromagnetiske problemer, viste det sig praktisk at introducere dualen til energi, den såkaldte co-energi, der defineres som integralet af en ekstensiv parameter med hensyn til en intensiv parameter. Termodynamikkens forskellige energitilstandsfunktioner sammensættes af energi- og co-energiudtryk. Principielt er energi og co-energi udtryk for et systems muligheder for at udføre mekanisk arbejde. Sidstnævnte defineres som mekanisk kraft multipliceret med forskydningen i kraftens retning, dvs. en intensiv intervariabel multipliceret med en ekstensiv

En yderligere udvikling, introduceret af Maxwell i hans berømte »varmeteorem« (Maxwell, 1891) er brugen af effekt som en tilstandsfunktion. Effekt defineres som produktet af en intensiv transvariabel og en intensiv intervariabel. For at teorien også skulle omfatte ikke-lineære systemer introduceredes senere i stedet for effekt to beslægtede funktioner, content og co-content (Millar, 1951). Begge disse funktioner defineredes fuldstændig analogt med definitionerne af energi og co-energi. Content defineres derfor som integralet af en intensiv transvariabel med hensyn til en intensiv intervariabel, mens co-content defineres som integralet af en intensiv intervariabel med hensyn til en intensiv transvariabel.

Inden for økonomien stammer de tilsvarende relationer med omvendt proportionalitet mellem to faktorer fra den konventionelle bestemmelse af udgifter og profit. Med henblik på brugen af disse begreber til definition af økonomiske tilstandsfunktioner som forsøgt af Samuelson (Samuelson, 1952 & 1960) vil her blive givet en kort gennemgang af den økonomiske analogi til de ovenfor introducerede fysiske begreber.

Økonomisk energi og co-energi kan introduceres udtrykt ved priser, f;,
i pengeenheder og mængder, q, i fysiske enheder. Specifikt er energien, U,
og co-energien, U', defineret som

(1)

og

(2)

Den praktiske brug af disse begreber er imidlertid ret begrænset, da de sandsynligvis kun kan benyttes i lukkede Leontiefsystemer, hvor der ikke findes primære faktorer eller slutkonsumenter (i den elektriske netværksterminologi udtrykkes dette ved, at systemet er konservativt uden kilder og dissipation).

Økonomisk content og co-content er på den anden side af afgørende betydning, eftersom det ved hjælp af disse to begreber er muligt at formulere økonomiske tilstandsfunktioner i enhver henseende fuldstændig analoge med fysikkens. Udtrykt ved priser, p, i pengeenheder og strømme, i, i fysiske enheder defineres, med strømmen, i, som uafhængig parameter content K, som

(3)

og med prisen, p, som uafhængig parameter, co-content, K', som

(4)

Matematisk programmcring er et okonomisk vaerktoj baseret nrcsten udclukkcnde pa content og co-content tilstandsfunktioner afledt ud fra marginale udbuds- og eftersporgselskurver. I lineaer programmering, hvor ideclle udbuds- og efterspergselsfunktioner betragtes, udtrykker co-content tilstandsfunktionen produktionsfaktorernes totale varierende omkostninger, mens content tilstandsfunktionen repraesenterer totalindtsegten. I andre typer matematiske programnieringsproblemer vil det dog norm alt ikke vacrc muligt at give disse tilstandsfunktioner en tilsvarende, intuitiv sinipel fortolkning.

Ligevægtsbetingelser

I den fysiske terminologi er alle de ovenfor beskrevne målinger, fysiske såvel som økonomiske, makroskopiske gennemsnit af mikroskopiske, statistiske fænomener. Hovedformålet med den tidligere gennemgang af forudsætningerne var at sikre gyldigheden af de makroskopiske målinger gennem en entydig repræsentation af disse statistiske gennemsnit. Mikroskopiske tilstande, der tilfredsstiller dette sæt af forudsætninger, betegnes mikroskopiske ligevægtstilstande. Det er indlysende, at et system under det specificerede sæt forudsætninger vil ændres kontinuert fra én ligevægtstilstand til en anden. I hver af disse mikrotilstande vil de ydre påvirkninger imidlertid ophæve hinanden, hvis den homogene fordeling opretholdes. En makrotilstand kan derfor kun defineres som repræsenterende mikroskopiske ligevægtstilstande, hvilket vil sige, at enhver makrotilstand, der kan defineres ved makroskopiske målinger, kan opfattes som en stationær eller ekstremum tilstand fra den klassiske mekaniks synspunkt.

Det væsentligste forhold i forbindelse med makroskopiske dynamiske beskrivelser af fysiske systemer (f. eks. elektriske netværk) og økonomiske systemer (f. eks. Walras') er, at sådanne beskrivelser kun kan udtrykkes ved ligevægtstilstande eller stationære tilstande. En vigtig følge af denne iagttagelse er, at det er muligt direkte ud fra de aktuelle makroskopiske målingers °rundeffenskaber at etablere et sæt nødvendige o^ tilstrækkelig: betingelser for ligevægt.

Den første og derfor nødvendige betingelse for ligevægt stammer fra den
klassiske mekanik. Her siges et statisk system at være i ligevægt, hvis det er
i hvile. For et statisk system er vektorsummen af alle ydre og indre kræfter

lig nul. Denne betingelse er imidlertid kun nødvendig, da den også tilfredsstillesaf et ikke-accelcreret mekanisk system i translatorisk bevægelse. Ved for et system i bevægelse at betragte højre side af Newton's bevægelseslov (»kraft gange acceleration«) som en ny »inertikraft« og indføre denne »kraft« i vektorsummen af de andre kræfter, udstrakte d'Alembert anvendelighedenaf denne statiske ligevægtsbetingelse til også at gælde dynamiskeforhold. Principielt er kræfter, ligesom elektriske strømme, intensive intervariable. Den analoge nødvendige betingelse i den elektriske netværksteorier derfor Kirchhoff's knudepunktlov, der siger at summen af de elektriskestrømme i et knudepunkt er nul. I almindelighed kan den nødvendige betingelse for et dynamisk systems ligevægt derfor udtrykkes således, at intensive intervariable målt på en jorholdsskala har summen nul i et knudepunkt(knudepunktsloven).

I den økonomiske teori for dynamiske systemer¹ er det velkendt, at de involverede strømme tilfredsstiller denne nødvendige betingelse (Zeuthen, 1955). Det interessante er imidlertid, at dette normalt fortolkes som en betingelse for statisk ligevægt. d'Alembert's princip ændrer formuleringen af et dynamisk problem til at va^re statisk; men dette betyder ikke, at det dynamiske system bliver statisk, eller at dynamiske problemer kan løses ved hjælp af statiske metoder. Samuelson synes i sit korrespondance princip, som er en fuldstændig analog*) til d'Alembert's princip, som den eneste at have erkendt, at dynamiske problemer kan reduceres til statiske fra et formuleringssynspunkt (Samuelson, 1947). Det generelle økonomiske problem, komparativ statik, som Samuelson betegnede det teoretiske arbejde, der stammer fra hans korrespondanceprincip, er derfor ikke et statisk problem. Siden alle indgående variable er intensive, og de tilsvarende tilstandsfunktioner alle refererer til effekt, drejer det sig tværtimod om et dynamisk problem, men det er formuleret ved hjælp af statiske metoder. Den kendsgerning, at tilgrundliggende mikroskopiske fænomener er statistiske, tvinger den makroskopiske model til at va^re i øjeblikkelig ligevægt. Men dette indebærer kun, at det økonomiske system på ethvert tidspunkt er i en stationær eller ekstremum tilstand. Problemet komparativ dynamik (Samuelson, 1947) er at undersøge om et system et stabilt i tid, forstået sådan at det oprindelige sæt forudsætninger holder, efterhånden som de ydre påvirkninger ændres i tid (Granger & Hatanaka, 1964).

---

*) Sainuelson's korrespondanecprineip er i virkeligheden noget mere omfattende end d'Alembert's lov, idet det også indebærer en transformation af en tidsafhængig energifunktion til en tidsinvariant effektfunktion, der kan danne udgangspunkt for definitionen af den økonomiske tilstandsfunktion (Franksen, 1967).

Den til den ovenstående nødvendige betingelse svarende tilstrækkelige betingelse for ligevægt er behandlet i den elektriske netværksteori, hvor den er kendt som Kirchhoff's maskelov. Denne lov siger, at summen af elektriske spændinger rundt i en lukket maske eller vej er nul. Trent påpegede senere (Trent, 1955), at denne lov indenfor mekaniken har en analogi, som indtil da var overset, nemlig at en almindelig summation af forskydninger forsvinder langs en lukket vej. I begge tilfælde baseres formuleringen af denne betingelse på, at den gælder for transvariable målt på en forholdsskala, hvor disse transvariable er afledt fra målinger på en intervalskala. Det er væsentligt at lægge mærke til, at det er arten af den oprindelige måleskala, der betinger formuleringen af ligevægtsbetingelsen. I almindelighed er den den anden og tilstrækkelige ligevægtsbetingelse for dynamiske systemer, at summen af transvariable målt på en forkoldsskala er nul langs en lukket vej (maskeloven).

Den økonomiske analog til denne betingelse er, at summen af priser
omformet til værdistigninger (prisdifferenscr) er nul langs en lukket maske
eller vej.

I økonomisk teori såvel som i elektrisk netværksteori holder disse to betingelser, knudepunktsloven og maskeloven, til ethvert tidspunkt, naturligvis forudsat at det tidligere specificerede sæt af forudsætninger er opfyldt, således at der kan defineres meningsfulde makroskopiske målinger. Produktion er en tidskrævende proces. Den mest kritiske forudsætning er derfor kravet om en tilstrækkelig lille udbredelsestid.

Økonomiens tidsbegreber, udtrykt ved adjektiverne kortsigtet og langsigtet, hvor sidstnævnte fleksibelt forbindes med den tid som firmaets politik, besiddelsesforhold og forpligtelser strækker sig over, mens førstnævnte refererer til en i forhold hertil meget kortere periode, har rødder langt tilbage i økonomiens historie. Sammenlignet med definitionen af det fysiske tidsbegreb som en af de grundlæggende uafhængige variable, synes disse økonomiske tidsbegreb at sigte på en tidsbeskrivclse, som, indenfor det betragtede tidsinterval, sikrer at udbredelsestiden for det aktuelle delsystem er meget mindre.

Principielt må den praktiske fremgangsmåde bestå i først at bestemme alle priser og fysiske mængders tidsvariation i det totale økonomiske system. For det andet må priser og strømme, analogt med hvad der kan kaldes Vagn Madsens variabilitetsprincip indenfor regnskabsvæsen (Madsen, 1963), grupperes i overensstemmelse med deres variationer som funktion af bestemte fysiske tidsintervaller (i uger, måneder eller år). Et økonomisk delsystem, svarende til et givet fysisk tidsinterval og defineret ved de relevantepriser og mængder, kan således betragtes som havende uendelig

hurtig udbredelse eller svar, hvis de totale værdier i tidsintervallet bruges til at repræsentere »øjeblikkelige« priser og strømme. Dette er ensbetydende med, at det fysiske tidsinterval opfattes som én enkelt økonomisk tidsenhed. På denne måde kan økonomiens dynamiske teori i form af matematisk programmering benyttes ved beskrivelsen af hvert af de økonomiske delsystemerdefineret ud fra variabilitetsprincippet.

Beskrivelsen af et således fastlagt økonomisk delsystem er det emne, der har interesse i denne forbindelse. Walras' model, og dermed de lineære og kvadratiske programmeringsmetoder, gælder kun for sådanne delsystemer. Det analoge elektriske netværk, der vil blive formuleret i det følgende, er derfor udelukkende: en model af sådanne systemer. I praksis må det totale økonomiske system beskrives ved hja;lp af et helt sæt af sådanne delsystemer eller netværk på hver sit niveau defineret ud fra forskellige tidsintervallængder. Det bemærkes imidlertid, at forbindelsen mellem to netværk på tilstødende tidsniveauer er sådan, at aktiviteter i netværket med det længste tidsinterval optræder som produktionsfaktorer i netværket med det korteste tidsinterval, hvis de to niveauer er direkte forbundet gennem

Økonomiens fundamentale love

Det grundlæggende i økonomien ved formuleringen af Walras' ligningssystem for et varemarked med fuldkommen konkurrence er beskrivelsen af et atomistisk eller mikroskopisk, isoleret system ved en dynamisk, makroskopisk teori. Ved at tilfredsstille forudsætningerne om fuldkommen konkurrence er det sikret, at den makroskopiske, dynamiske teori er meningsfuld. Normalt fås den mikroskopiske homogenitet ved at antage, at såvel foretagender som forbrugere udviser en konstant rationel opførsel. I særdeleshed antages det, at alle foretagender søger at maksimere deres profit, mens på den anden side forbrugerne maksimerer behovstilfredsstillelsen.

Idet vi ikke går nærmere ind på, hvorvidt dette er en realistisk antagelse,koncentrerer vi interessen om det faktum, at den kun er rettet mod betingelserne for et varemarked. Naturligvis kan antagelsen om mikroskopiskhomogenitet i en individuel produktion (i økonomisk betydning) tilfresstilles bedre ved at gennemtvinge intern standardisering etc. Fra en ingeniørs fysisk orienterede synspunkt ser det derfor besynderligt ud, at Walras' ligningssystem i økonomien formuleres direkte ud fra de ovenfor angivne forudsætninger for et konkurrerende marked. I særdeleshed fordi den matematiske programmering, der er udsprunget heraf, oftere benyttes til bestemmelse af den økonomisk optimale tilstand for en produktion.

Del Wairaske ligningssystem er helt klart en makroskopisk, dynamisk model, som kan anvendes generelt. Vi vil derfor her formulere de to grundlæggende love, analoge til fysikkens, hvorpå modellen er baseret, som dynamisk teori betragtet.

Imidlertid må man, før disse to love formuleres og diskuteres, gøre sig klart, at de og den dertil svarende dynamiske teori ikke nødvendigvis skal baseres på et sæt af statistiske forudsætninger. Klassisk mekanik kan tages som et analogt eksempel, hvor gravitationsfeltets retning blev opfattet som en deterministisk udgave af den tidligere angivne anden lov (Lindsay & Margenau, 1936). Det vil sige, at en dynamisk teori baseret på de to love også kan være anvendelig ved beskrivelsen af en produktion, hvor antallet af grundelementer er så lille, at et statistisk system ikke kan defineres.

Under forudsætning af et isoleret økonomisk system i form af et marked med fuldkommen konkurrence har tidligere økonomer opdaget en vigtig identitet, som siden er blevet kaldt Wairas' lov (Dorfman m. fl., 1958; Baumol, 1965). Per definition er enhver, som efterspørger en vare, forberedt på i bytte at yde den tilsvarende værdi i penge eller andre varer. På lignende måde kræver enhver, der sælger varer på et marked i bytte en hertil svarende værdi i penge eller andre varer. Det vil sige, at enhvers efterspørgsel og ydelse er underkastet en budgetbetingelse, som siger, at udgifter til varer modsvarer indtægter fra faktorydelser. Da dette er sandt for hvert enkelt individ, er det også sandt for individerne taget under ét. Derfor kan Walras' lov i ord formuleres således at den udtrykker, at for et isoleret økonomisk system må den totale værdi i penge af alle de enheder, der udbydes, være lig den totale pengeværdi af alle de efterspurgte enheder. Ifølge Baumol (Baumol, 1965) må denne sammenhæng, som er »little more than an accounting relationship«, være opfyldt uafhængig af systemets tilstand.

I den økonomiske teori udledes Walras' lov under forudsætning af proportionalitetslovens tilfredsstillelse ofte som en ligevægtsbetingelse for Walras' ligningssystem anvendt på et i ligevægt værende marked med fuldkommen konkurrence. Det synspunkt, som er anlagt i denne artikel, er, at Walras' lov udtrykker invariansprincippet for et isoleret økonomisk system. Med Baumol's ord: »It is difficult to imagine an economy in which this law does not hold«. Vi vil derfor betragte Walras' lov som økonomiens 1. lov. En matematisk formulering af denne lov vil blive foretaget i forbindelse med formuleringen af det Walraske ligningssystem.

For at nå frem til økonomiens 2. lov må vi igen ty til fysiske analogier.
Den såkaldte neo-klassiske teori for et varemarked med fuldkommen konkurrenceog
i endnu højere grad for en økonomisk produktion baserer sig

på forestillingen om rationel opførsel. På det mikroskopiske niveau er rationel opførsel ensbetydende med homogenitet. På den anden side må rationel opførsel på det makroskopiske niveau formuleres ved makroskopiske målinger, f. eks. strømme og priser. Det makroskopiske begreb for rationel opførsel vil derfor afvige fra det mikroskopiske.

Resultatet af makroskopiske målinger på et isoleret økonomisk system under veldefinerede påvirkninger er, at alle forandringer, som optræder, har ganske bestemte retninger. Det vil sige, at i en industriel produktionsproces er det umuligt at vende retningen af de fysiske strømme. I økonomiske termer vil det sige, at strømme altid vil gå i retning fra resourcer eller produktionsfaktorer mod efterspørgslen. Anvendelsen af betegnelserne input og output for de fysiske strømme illustrerer dette. Det kan uddybes på følgende måde. I økonomien er det fundamentale problem allokeringen af begrænsede midler til ønskede mål. Disse mål svarer til efterspørgsel som funktion af priserne. I et isoleret system vil det fra det makroskopiske synspunkt være naturligt at forsøge en produktion, hvis den tilsvarende strøm af aktivitet har en højere pris og dermed værdi ved stedet for produktionsfaktoren end ved efterspørgslen.

Vi har tidligere vist, at priser i fuldstændig analogi til elektriske knudepunktsspændinger var intensive transvariable målt på en intervalskala. Svarende hertil kan vi opfatte priser som økonomiske potentialer. Begrebet rationel opførsel formuleret som et statistisk princip for den makroskopiske strømretning kan derfor ses at: være analog til det statistiske princip for strømretning i fysikken. I ord kan økonomiens 2. lov derfor formuleres: En strøm vil kun gå fra en lavere til en højere pris.

En sammenligning af de to grundlæggende økonomiske love:

1. lov: Wairas' lov

2. lov: Strømretningen for rationel opførsel

med de tilsvarende to fysiske love viser, at de er helt analoge, bortset fra fortegnet i den anden lov. I terminologien for den elektriske netværksteori kan fortegnsskiftet for den økonomiske strøms retning forklares ved at sige, at vi i økonomien koncentrerer interessen om strømmene» inden i en spændingskilde« (Enke, 1951).

De grundlæggende postulater

På baggrund af den foregående diskussion er vi nu i stand til matematisk
at formulere økonomiens to grundla^ggende love eller postulater og de tilstandsfunktioner,
som kan udvikles udfra første lovs betingelser.

Det antages, at vi i det isolerede system har n limitationale ressourcer

eller produktionsfaktorer til rådighed. Da de alle er intensive intervariable,
opfatter vi dem som strømme. På matrixform, hvor index t står for transponering,skrives

(5)

De dertil svarende n produktionsfaktorpriser, som er intensive transvariable
målt på en intervalskala, skrives tilsvarende:

(6)

Lad os antage, at m efterspurgte produkter opfattet som strømme produceres
i følgende mængder:

(7)

og med de m markedspriser

(8)

Da det drejer sig om et lukket økonomisk system, kan den totale økonomiske
effekt i systemet eller Wairas' lov formuleres:

(9)

På dette punkt vil det være formålstjenligt kort at diskutere, hvorledes man kommer fra det matematiske udtryk for det økonomiske ligevægtsprincip til de økonomiske tilstandsfunktioner, som gælder også i det ikkelineære tilfælde med aftagende udbytte.

Først bemærker man, at en differentiel ændring i den totale effekt er
nul. Det vil sige, at man ud fra ligning 9 får:

(10)

som ved hjælp af ligningerne 5-8 kan skrives:

(11)

For det andet må man huske, at de to led i differensen i ligning 9 udtrykker vekselvirkningen mellem to uafhængige påvirkninger i det økonomiske system, nemlig udbud og efterspørgsel. En mulig tilstandsfunktion sammensat af leddene fra ligning 11 må derfor indeholde led for hver af disse påvirkninger. En måde at få en sådan underdeling er ved at skrive ligning 11 på følgende form:

hvor i den første parentes de uafhængige variable Xi og yj alle er strømme, (dvs. intensive intervariable), medens i den anden parentes vj og pi alle er priser (dvs. intensive transvariable). Med de definitioner af content og cocontent, der er givet i ligning 3 og 4, er det derfor nu muligt at angive en content tilstandsfunktion med strømme som de uafhængige variable:

(13)

og en co-content tilstandsfunktion med priserne som de uafhængige variable:

(14)

Fordelen ved de to fremsatte tilstandsfunktioner er, at man i det såkaldte
lineære programmeringstilfælde med ideelt udbud og ideel efterspørgsel
får: .

(15)

da alle yj og pi er konstante. Med andre typer af udbud og efterspørgsel kan andre tilstandsfunktioner sat sammen af leddene på en anden måde være mere nyttige, selvom dette sker på bekostning af den intuitiv tiltalende, økonomiske fortolkning.

Det må her pointeres, at de to funktioner er antagne tilstandsfunktioner. Hvorvidt de virkelig er tilstandsfunktioner må bestemmes udfra betingelserne for den type af problem, som de repræsenterer. Matematisk er de valgte funktioner tilstandsfunktioner, hvis de indeholder led, der repræsenterer hver af de uafhængige påvirkninger, og hvis de med hensyn til de valgte uafhængige variable er fuldstændige differentialer. Tilstandsfunktionerne er derfor alene afhængige af systemets tilstand og ikke af den foregående historie, dvs. uafhængige af, hvorledes tiistandem er nået.

Økonomiens 2. lov om strømorienteringen introduceres normalt i økonomien
på følgende måde.

Det antages implicit til at begynde med, at strømmene, som repræsenterer udbudet, er orienterede positivt ind mod produktionsprocessen, og at strømmene der repræsenterer efterspørgsel er orienterede positivt ud fra processen. Ud fra denne orientering af input og output kan man derefter konkludere, at alle strømme i selve produktionen er orienteret positivt i retning fra udbudet til efterspørgslen.. På basis af de således valgte positive orienteringer sikrer man sig, at produktionsprocessen er fysisk irreversibel ved at antage, at alle strømme er ikke-negative.

(16)

(17)

Herefter må priserne gives en orientering. Da de måles på en intervalskala,vil
nulpunktet for priser kunne vælges arbitrært, og det betyder igen,

at prisernes fortegn kan vælges vilkårligt. Imidlertid antager man i økonomienaltid,
at faktorpriserne såvel som markedspriserne alle er ikke-negative:

(18)

(19)

Tilsyneladende er der her modstrid, og det kan være interesant at se, hvorledes
de to synspunkter kan forenes.

Strømmene af produktionsfaktorer ind mod og af efterspurgte varer ud fra produktionsprocessen repræsenterer omgivelsernes påvirkninger på denne. Produktionsprocessen er derfor vores system, som i et diskret antal punkter, benævnt terminaler eller knudepunkter, vekselvirker med omgivelserne. I elektrisk netværksterminologi kan disse knudepunktsvirkninger bestemmes enten som specificerede ækvivalente knudepunktskilder (f. eks. limitational produktionsfaktorstrømme) eller som specificerede knudepunktspotentialer (f. eks. vandret efterspørgselskurve). For at give mulighed for at kunne specificere priserne på knudepunkterne eller terminalerne for selve produktionsprocessen er det nødvendigt at vælge en reference for priserne uden for produktionssystemet. Det vil sige, at i et isoleret økonomisk univers, der består af produktionssystemet og omgivelsernes udbuds- og efterspørgselspåvirkninger, vælger vi som nul-reference for priserne omgivelsernes knudepunkt. Følger vi derefter normal praksis og sætter prisen på penge til »1«, passer ligningerne 18 og 19.

Under forudsætning af rationel opførsel er ovenstående en implicit formulering af økonomiens 2. lov. For det første har vi sikret os, at strømme kun kan optræde i retning fra udbud til efterspørgsel. For det andet, da alle priser er ikke-negative, vil det kun være rationelt at producere, hvis markedsprisen på de efterspurgte varer er større end priserne på ressourcerne. I det følgende afsnit vil dette synspunkt blive yderligere klargjort, i særdeleshed i forbindelse med formuleringen af det analoge elektriske netværk.

Walras' ligningssystem

Walras' ligningssystem daterer sig tilbage til begyndelsen af 1870'erne. Til trods for at det danner grundlaget for den moderne normative økonomi (Samuelson, 1953-54; Zeuthen, 1955; Dorfman m. fl., 1958; og Baumol, 1965), var det relativt ukendt indtil perioden mellem de to verdenskrige. Walras' system er en makroskopisk, dynamisk teori for mikroskopiske, statistiske fænomener i et isoleret system. De tidligere diskuterede forudsætninger er derfor tilfredsstillet således, at vi kan udvikle Walras' ligninger for ligevægt eller stationær tilstand udfra de to grundlæggende love og de fundamentale ligevægtsegenskaber for de dertil svarende makroskopiske målinger.

Hvis vi først ser på de til rådighed værende n limitationale produktionsfaktorer fra ligning 5, er det helt klart, at i en vilkårlig produktion vil der være nogle uudnyttede rester, da man ikke kan forvente, at enhver produktionsfaktor bliver udnyttet fuldt ud. På matrixform vil vi udtrykke den forbrugte del af de n produktionsfaktorer:

(20)

og de dertil svarende n übrugte rester

(21)

Begge sæt er ikke-negative, intensive intervariable eller strømme. Strømmene Y, Y' og R vil i ligevægt tilfredsstille knudepunktsloven, hvis området hvori vekselvirkningen mellem produktionsfaktorerne og produktionssystemet finder sted betragtes som et knudepunkt:

(22)

Det er til gengæld lidt vanskeligere at formulere den duale maskelov for ligevægtstilstanden for priserne. Svarende til de m markedspriser P (ligning 8) for de m strømme af efterspurgte produkter vil der være et sæt af m ikke-negative produktionspriser:

(23)

som ved at være en funktion af produktionsfaktorpriserne V fra ligning 6
angiver, hvad produktion koste.

Det er klart, at markedspriserne pi og produktionspriserne pi ikke er de samme. Da priserne er økonomiske potentialer, og da omgivelsernes efterspørgsels - og udbudspåvirkninger er givet som marginalkurver, vil vi bestemme det marginale tab eller den marginale omkostning, som fås af følgende differens:

(24)

Der vil normalt være to slags omkostninger til at karakterisere en produktionsproces. Begge slags involverer en givelse i penge af de til produktionen forbrugte ressourcer. Bogholderen på den ene side bestemmer normalt ajiskaffelsesomkostningen forstået som den mængde penge, der skulle betales, da resourcen blev anskaffet. Økonomen på den anden side introducerer offeromkostningerne. Offeromkostningen ved at anvende en ressource til et specielt formål er den fortjeneste, som ressourcen kan indtjene ved den bedste alternative udnyttelse.

For alle strømme af efterspurgte produkter kan differensen:

(25)

siges at udtrykke maskeloven for ligevægt. Heraf ses umiddelbart (Baumol,
1965), at hvert element li af:

(26)

er den marginale offeromkostning, der fås ved at forandre produktstrømmen
Xi én enhed ud fra ligevægtstilstanden.

For beslutningsformål er det økonomens offeromkostningsbegreb, der er det relevante, fordi en rationel beslutning må involvere sammenligningen af alternative handlinger med hensyn til en veldefineret reference, der er fælles for alle handlinger. Under antagelse af linearitet vil det bedste valg derfor være at benytte ligevægtstilstanden som reference, hvilket igen betyder, at alle offeromkostningerne U er ikke-negative. Dette stemmer med den velkendte økonomiske antagelse, at vi har nul ligevægtsprofit for et lukket økonomisk system i fuldkommen konkurrence.

En sammenligning af de ovenstående tilstandsligninger med de analoge fra fysikken viser den interessante forskel, at i økonomien har vi den yderligere betingelse, at alle de involverede variable er ikke-negative. Det vil senere blive diskuteret, hvorledes denne betingelse kan indføres i den fysiske analog.

Ved at indføre de to ligevægtsbetingelser, knudepunkts- og maskeloven
(ligningerne 22 og 25), i Walras' ligning (ligning 9) får vi:

(27)

I ligevægtsligningen er der to led XILXlL og R*V, der er af speciel interesse,
da de giver anledning til supplerende betingelser for økonomisk ligevægt.

Et vigtigt formål for Walras' system er ud fra de givne data at tillade en bestemmelse af, hvilke produktionsfaktorer der er frie (prisen er nul), og hvilke der er knappe (prisen er positiv) i ligevægtstilstanden (Zeuthen, 1955). Det er klart, at hvis der er en positiv rest, vil den pågældende produktionsfaktor være et frit gode, mens en produktionsfaktor vil være et knapt gode, hvis vi har en rest, der er lig med nul. For en produktionsfaktor har vi derfor, at produktet af prisen og resten vil være identisk nul:

(28)

Da samtidig både rj og Vj er ikke-negative, får man, at den supplerende
ligevægtsbetingelse for produktionsfaktorerne kan skrives:

(29)

Til trods for at denne betingelse blev formuleret af Zeuthen så tidligt
som i 1932, var det først meget senere i forbindelse med formuleringen

af lineære programmeringsmodeller., at man indså, at der måtte eksistere
en dual supplerende ligevægtsbetingelse for produktionsaktiviteterne.

Fra et økonomisk synspunkt udtrykker den duale ligevægtsbetingelse en rationel opførsel, fordi den bestemmer, hvorvidt en given aktivitet overhodet skal benyttes til at producere en vis mængde produkter. Det er klart, at det kun vil være rationelt at benytte en aktivitet, såfremt den marginale offeromkostning er nul; og omvendt, hvis der er en marginal offeromkostning, som er positiv, da vil det ikke være rationelt at producere:

(30)

Da vi igen har, at xi og h er ikke-negative, får vi, at den supplerende
ligevægtsbetingelse for produktionsaktiviteterne kan formuleres:

(31)

Ved at indføre de supplerende betingelser i ligevægtsformuleringen af
Walras' lov (ligning 27) får vi:

(32)

Denne formulering er særlig nyttig, da den giver en sammenhæng mellem
priserne på produktionsfaktorerne og priserne på produktionsaktiviteterne.

For en given teknik angives sammenhængen mellem den mængde, der benyttes af en given produktionsfaktor og den mængde, som produceres af en bestemt aktivitet ved den såkaldte tekniske koefficient. Af fysiske grunde må en teknisk koefficient nærmest opfattes som en slags mætningskurve, som også let ville kunne introduceres i vore analoge elektriske netværk. I praksis er sådanne kurver imidlertid normalt ikke kendte. Vi vil derfor antage linearitet og definere den tekniske koefficient ta som et konstant forhold lig med den mængde af den fte produktionsfaktor, der skal benyttes til at producere én enhed af det i'te produkt.

Ved at benytte en teknisk koefficient med værdien nul til at indikere, at der ikke er nogen fysisk sammenhæng mellem en produktionsfaktor og en aktivitet, kan vi formulere sættet af tekniske koefficienter som en matrix T med dimensionen (n X m) defineret ved:

(33)

I økonomien er det sædvanlig praksis at introducere teknisk substitution ved at lade hver af de tekniske koefficienter tn være en funktion af faktorpriserneVj. Jantzen's synspunkt, som anvendes her, er, at industriel praksis bedre repræsenteres ved at substituere én teknik med en anden. Det vil sige, at for en given teknik har vi ingen mulighed for substitution, men kun mulighed for at producere mere eller mindre af hver af de forskellige

fastlagte produktarter. Den resulterende uafhængighed af faktorpriserne er også bedre i overensstemmelse med, at værdierne af de tekniske koeffieienterer øjebliksværdier i den tidligere definerede økonomiske betydning. Denne konklusion baserer sig på, at strømmene opfattes som øjebliksværdieri definitionsligningcn (ligning 33).

Indsættes den sidstnævnte ligning, som definerer de tekniske koefficienter,
i ligevægtsformuleringen af Walras' lov (ligning 32), fås:

(34a)
cllcr

(34b)

Da denne ligning gælder for ethvert af de ikke-negative Xi, har man i
ligeva*gt:

(35a)
eller

(35b)

Dette resultat kan sammenlignes med det tilsvarende, velkendte økonomiske resultat (f. eks. Dorfman, m. fl., 1958), som kan udledes på følgende måde. Indfører man i Walras' ligning (ligning 34a) udtrykket for P' fra maskclovcn (ligning 25), får man:

(36a)
eller

(36b)
eller

(37)

hvor lighedstegnet i den sidste ligning kun gælder, nål L er nul. Fordelen
ved anvendelsen af ligning 35b er altså, at man undgår alle de übehageligheder,
som normalt følger af ulighedstegnct i ligning 37.

Det næste trin i formuleringen af Walras' ligevægtssystem er al introducere de tekniske transformationer (ligningerne 33 og 35b) i knudepunktsog maskelovene (ligningerne 22 og 25). Først sammenholdes strømmene af produktionsfaktorer med strømmene af produkter, og ud fra ligningerne 22 og 33 finder vi, at Ugevægt for strømmene kan skrives:

(38)

Multiplicerer man R foran i denne ligning med en enhedsmatrix c 5« af
dimensionen (n X n), kan man i stedet for skrive:

(39)

Sammenholdes derefter produktionsfaktorpriserne med produktpriserne, får vi ved hjælp af ligningerne 25 og 35b, når man som ovenfor multiplicerer L foran med en enhedsrnatrix å_m af dimensionen (m X m), at ligevægt for priserne kan skrives:

(40)

En sammenligning af ligevægtsligningcrne 39 og 40 med den sædvanlige formulering af det matematiske programmer i ngsproblem viser, at disse ligninger er identiske med de, der kendes som henholdsvis de primale og de duale sidebetingelser med slack-variablernc R og L (Dorfman m. fl. 1958; Baumol, 1965) indført.

Det sidste trin i formulering af Walras' system er at give de funktionelle sammenhænge mellem strømme og priser. I økonomien har disse sammenhænge deres udspring i begreberne en efterspørgselsfunktion og en udbudsfunktion (Zeuthen, 1955; Henderson & Quandt, 1958; og Baumol, 1965).

En efterspørgselsfunktion er en »black box« øjebliksbeskrivelse af markedets svar (i form af strømmen af det efterspurgte produkt) på et sæt inputvariable såsom pris, kvalitet, etc, I forhold til et produktionssystem er en efterspørgselsfunktion en af de externe påvirkninger, som repræsenterer et gennemsnit af forbrugernes tidsbegrænsedc, sociologiske og psykologiske

I Walras' system tager man alene hensyn til produktets markedspris. I overensstemmelse med den tidligere diskussion af marginale kontra gennemsnitskurver repræsenterer vi derfor her markedet med en marginal efterspørgselskurve:

(41)

som, udtrykt i øjebliksværdier, er det økonomiske postulat for den »direkte proportionalitet« mellem en Intensiv intervariabel og en intensiv transvariabel. På et givet tidspunkt og under forudsætning af linearitet er den marginale efterspørgselskurve analog med Ohm's lov for et elektrisk netværk, hvis dette inkluderer ideelle kilder i de forskellige grene (Franksen, 1967). Efterspørgselskurven er et udtryk for transformationen af økonomisk effekt fra en form (markedet)., som ikke er inkluderet i analysen til en form (produktionen), som er inkluderet i analysen.

I praksis antager man normalt, at den marginale efterspørgselskurve har
en negativ hældning, hvis den tegnes med den ikke-negative pris pi som
ordinat og den ikke-negative strøm x% som abscisse.. Specielt vil vi her antagefor

tageforat kunne tillade benyttelsen af content eller co-content tilstandsfunktionen,at
den enten er en enkeltværdifunktion af xi og skærer pi-aksen,
eller at den er en enkeltværdifunktion af pi og skærer Xi-aksen.

Økonomisk kan man fortolke disse to antagelser ved at sige, at den
marginale efterspørgselskurve antages at skære i det mindste én af akserne.

En fuldstændig analog argumentation kan gennemføres for udbudsfunktionen
med det resultat, at man får en marginal udbudskurve:

(42)

som har positiv hældning i samme type koordinatsystem. Også her antages
det, at den marginale efterspørgselskurve opfylder betingelserne om at skære
i det mindste én af akserne og om at være en enkeltværdifunktion.

En sammenligning af Walras' ligningssystem med den sædvanlige formulering af det matematiske programmeringsproblem (se f. eks. Koopmans, 1951; Dorfman m. fl., 1958; eller Baumol, 1965) afslører det interesante forhold, at et modstykke til programmeringsproblemets objektfunktion fattes i Walras' system. Kun gennem den senere erkendelse og tilføjelse af Walras' lov (ligning 9) blev Walras' ligningssystem komplementeret på en sådan måde, at objektfunktioner i form af økonomiske tilstandsfunktioner kunne udledes for systemet. For eksempel svarer det primale, lineære programmeringsproblem til en bestemmelse af ekstremum for content tilstandsfunktionen ligning 13 (med ligning 15 indsat) under sidebetingelserne ligningerne 39, 17 og 19, mens det duale, lineære programmeringsproblem svarer til en bestemmelse af ekstremum for co-content; tilstandsfunktionen ligning 14 (med ligning 15 indsat) under sidebctingelscrne ligningerne 40, 16 og 18.

Det analoge elektriske netværk

Tegninger har altid været et af de vigtigste hjælpemidler til at udvikle og fremstille ideerne bag en ingeniørmæssig konstruktion. De kan variere fra rå skitser over detaljerede lystryk af maskinelementer til abstrakte funktionsdiagrammer af elektriske systemer. Men logikken og overensstemmelsen i konstruktionen er altid anskueliggjort ved hjælp af tegninger.

Det er klart, at man kun kan bruge abstrakte diagrammer ved konstruktionen af et økonomisk system. En sådan anvendelse blev allerede tidligt foregrebet af Ivar Jantzen, skønt han kun beskrev sine tanker om produktionssystemet i ord (Jantzen, 1924, 1939 og 1954; Brems, 1952a og b).

Nå en given teknik benyttes i en forenet produktion, er det en teknisk
nødvendighed, at hver af de enkelte produktionsfaktorer benyttes simultant
ved fremstillingen af de forskellige produkter. Jantzen indså, at ydelserne

til produkterne af hver produktionsfaktor, det såkaldte sted, skulle installeresi parallel. Tager man derefter et efterspurgt produkt som udgangspunkt,får man begrebet en aktivitet (eller bedrift i Jantzeirs terminologi) ved at gå baglæns gennem produktionen til hver af de individuelle produktionsfaktorer,der er benyttet ved fremstillingen af det produkt. En aktivitet blev opfattet som en serieforbindelse af alle de faktorydelser og dermed steder, der skulle til for at producere det specifikke efterspurgte produkt. Man bemærker, at forestillingen om et produktionsfaktorsted kombineret med begrebet om en aktivitet, der får en ydelse fra denne faktor, implicerer, at aktiviteten er entydigt forbundet til én af stedets parellelle ydelser. Først senere indså man (Brems, 1952a), at den eksakte identitet i denne entydige sammenhæng netop var Wairas' tekniske koefficient(ligning

Jantzen har herved givet os en fuldstændig beskrivelse af W airas' ligningssystem i form af et abstrakt funktionsdiagram. Ved hjælp af et eksempel skal vi desuden vise, at Jantzen's beskrivelse også er et fuldstændigt billede af de analoge elektriske netværk. For at kunne foretage en sammenligning med den normale fremgangsmåde ved matematisk programmering, vil vi tage et simpelt, men vcldokumenteret eksempel fra litteraturen (Dorfman m. fl., 1958).

En hypotetisk automobilfabrik fremstiller to forskellige produkter: personbiler
og lastbiler. Virksomheden er organiseret i 4 afdelinger:

Pladcvaerksted Motorsamlevaerkst cd Personbilsfaerdiggerelse Lastbilsfccrdiggorelsc.

Figur 1 viser organisationen og den maksimale månedlige kapacitet. I et fysisk tidsinterval på én måned inden for en længere periode af kontinuert produktion er produktionskapaciteterne for pensonbils- og lastbilssamlebåndene i størrelsesordenen adskillige tusinde. Vi kan derfor med god rimelighed forudsætte, at udbredelsestiden er så kort, at vi økonomisk kan regne månedens totalværdier som øjebliksværdier af intensive variable for et lukket produktionssystem med simultan tilpasning mellem de fire afdelinger. Figur 2 forsøger at vise den funktionelle afhængighed mellem disse øjebliksstrømme i produktionen.

Fra et økonomisk synspunkt er hver af de fire afdelinger stedet for en limitational produktionsfaktor med en vis kapacitet. For pladcværkstedets vedkommende svarer maksimum eller 100 % kapacitet til en månedlig produktion af enten 25.000 personbiler eller 35.000 lastbiler eller en eller anden passende kombination af personbiler og lastbiler. Da vi tidligere ved

definitionen af de tekniske koefficienter antog en lineær sammenhæng mellemfaktorydelsen og den mængde, der produceres af et produkt, betyder det, at der benyttes 0,004 % af kapaciteten for at producere en personbil, og at 0,000286 % af kapaciteten benyttes til at producere en lastbil. En passendekombination, som fuldstændig udnytter afdelingens kapacitet, kan derfor f. eks. være 15.000 personbiler repræsenterende 60 % af kapaciteten og 14.000 lastbiler repræsenterende 40 % af kapaciteten.

De øvrige tekniske koefficienter er fundet på tilsvarende måde, og resultaterne
er angivet i figur 3.

Svarende til produktionen af personbiler og lastbiler har vi to aktiviteter. Efterspørgselsfunktionerne, som definerer de to aktiviteter, er nettoindtægterne for henholdsvis personbiler og lastbiler, dvs. salgsprisen minus variable omkostninger pr. enhed af hvert produkt.

Som omtalt tidligere svarer af måletekniske grunde en økonomisk strøm af faktorer eller produkter til en elektrisk strøm og priserne i det økonomiske system til elektriske knudepunktsspændinger. Imidlertid er der ikke fuldstændig overensstemmelse mellem priser og knudepunktsspændinger på grund af strømmenes naturlige retninger i de to systemer. Fysikkens henholdsvis økonomiens anden lov siger nemlig, at i et elektrisk netværk går strømmen fra en højere til en lavere knudepunktsspænding, men i det økonomiske system strømmen går fra en lavere pris til en højere pris. En fuldstændig overensstemmelse kan derfor fås, f. eks. ved at skifte fortegn på potentialerne i et af systemerne. Arbitrært vælger vi her at transformere alle priser til negative priser, som vi vil kalde negpriser, før vi vil etablere det analoge elektriske netværk. Det betyder, at i det analoge netværk vil de ikke-negative økonomiske priser optræde som ikkc-positive knudepunktsspændinger. Dette valg er intuitivt tilfredsstillende, da man hermed får, at ikke-negative strømme i det økonomiske system vil repræsenteres ved ikke-negative strømme i det analoge elektriske netværk.

Ikke-negativiteten for de økonomiske strømme er opnået ved et arbitrært valg af positiv orientering af strømme i produktionen, hvor strømmene af faktorydelser er orienteret positivt ind imod og strømmene af efterspurgte produkter er orienteret positivt ud fra produktionsprocessen. I den elektriske analog må vi derfor introducere en lignende orientering af de tilsvarende elektriske strømme.

Det fuldstændige analoge elektriske netværk er givet i figur 4. En sammenligningmed »øjebliks«-repræsentationen på fig. 2 viser straks gyldighedenaf Jantzen's beskrivelse. Grenene 1-4 angiver de fire limitationale produktionsfaktorer Ij og de dertil svarende übenyttede rester f?, som tilsammengiver de fire uafhængige udbudspåvirkninger, der giver økonomisk

effekt til produktionssystemet gennem knudepunkterne AD. Til højre for hver af disse knudepunkter har vi et sæt af parallelle forbrug af faktorstrommefor hver af stederne, f. cks. stedet dannet af grenene 11 og 12. Knudepunktsspændingen på hvert af knudepunkterne A-D er negprisen for den tilsvarende produktionsfaktor. Alle pile angiver orienteringen af de simultane positive strømme og spændingsfald (fald i negpris) svarende til fysikkens 2. lov. Lodret illustrerer gren 7 og 8 de to aktiviteter, produktionenaf personbiler og produktionen af lastbiler, som i serie forbinder ydelsernefra de forskellige steder, der benyttes af de pågældende aktiviteter. De tilsvarende tekniske koefficienter er præsenteret ved omsætningsforhold for ideelle (lineære og tabsfri) transformere, som omsætter økonomisk effekt fra ydelserne til aktiviteterne. De to aktiviteter, grenene 7 og 8, får tilført økonomisk effekt gennem knudepunkterne E og F fra de to uafhængige markedspåvirkninger repræsenteret ved grenene 5 og 6. Disse grene illustrerde to uafhængige markedspriser (nettoindtægten) Ej og de positive marginale offeromkostninger Vj. »Kvadratet« rundt om hele netværket er det fælles externe referenceknudepunkt W, der blev omtalt i forklaringen på, hvorledes man opnåede ikke-negative priser (ligningerne 18 og 19). Når referenecknudepunktet introduceres på denne måde, opnår man ikke alene, at spændingsfaldet over hver gren kan udtrykkes ved en knudepunktsspænding(negpris), men også at netværket er isoleret på nøjagtig samme måde som det oprindelige økonomiske system.

En mere dybtgående beskrivelse vedrørende formuleringen af økonomiske
netværksanalogier og de beregningstekniske fordele, der er knyttet til deres
brug, er givet andetsteds (Franksen, 1967).

Konklusion

Formålet med denne artikel har været at belyse en grundlæggende, omend idealiseret økonomisk problemstilling fra en systemteoretisk synsvinkel. Specielt har vi benyttet termodynamiske analogier til at formulere et økonomisk system af fundamentale økonomiske begreber og postulater og elektriske netværksanalogier til at opstille de detaljerede systemmodeller og disses ligevægtsligninger. Det kan yderligere vises, at analysen af disse modeller kan gennemføres ved anvendelse af analogier fra den klassiske mekanik (Franksen, 1967).

I sin inderste kerne er økonomisk styring ensbetydende med konstruktionaf beslutningssystemer. Konstruktionsprocesser indebærer fastlæggelse af et flertal af mulige løsninger, af hvilke den bedst egnede udvælges. Jantzen's opdeling af den teknisk-økonomiske konstruktionsproces i »valg

af teknik« og »optimal produktion med en given teknik« tog sigte på at adskille den heuristisk prægede syntese til fastlæggelse af mulige systemkonfigurationerfra den analytisk prægede bestemmelse af den enkelte systemkonfigurations egenskaber. I denne artikel har vi explicit søgt at fremdrage fundamentale egenskaber ved det herigennem afgrænsede analytiskeproblemkompleks, idet vi benyttede os af nogle af de mest værdifuldeog levedygtige ideer, som videnskabelig stræben har frembragt inden for fysikken. Disse ideer ligger til grund for den ingeniørmæssige konstruktionaf tekniske systemer og betinger anvendelsen af nutidens avancerede beregningstekniske værktøjer. En påpegning af de samme ideers eksistens og betydning inden for økonomien åbner derfor en mangfoldighed af mulighederfor et frugtbart, tværfagligt samarbejde imellem ingeniører og økonomer.

Referencer

Baumol, W. J. (1965): »Economic Theory and Operations Analysis«. Sec. Ed., Prentice-
Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.

Brems, IT. (1952 a): En sammenligning mellem den gængse og den jantzen'ske onikostningsteori.
Nationaløkonomisk Tidsskrift. Bd. 90, 1952, 193-211.

Brems, H. (1952 b): A Discontinuous Cost Function. The American Economic Review.
Vol. 42, No. 4, 1952, 577-586.

Bridgman, P. W. (1927): »The Logic of Modern Physics«, 1927. Reprinted by The
MacMillan Co., New York, 1960.

Bridgman, P. W. (1936): »The Nature of Physical Theory*. Reprinted by Dover Publications,
Inc., New York.

Callen, H. B. (1960): » Thermodynamics ~ An Introduction to the Physical Theories
of Equilibrium Thermostatics and Irreversible Thermodynamics*. John Wiley & Sons,
Inc., New York.

Campbell, N. (1921): »What is Science?«, 1921. Reprinted by Dover Publications, Inc.,
New York, 1952.

Cherry, C. (1951): Some General Theorems for Non-Linear Systems Possessing Reactance.
Phil. Mag., Ser. 7, Vol., 42, No. 555, Oct. 1951, 1161-1177.

Dennis, J. B. (1959). »Mathematical Programming and Electrical Networks«. The Technological
Press of M.I.T. & John Wiley & Sons, Inc., Nev/ York.

Dorfman, R., Samuelson, P. and Solow, R. (1958): »Linear Programming & Economic
Analysis«. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York.

Enke, S. (1951): Equilibrium Among Spatially Separated Markets: Solution by Electric
Analogue. Econometria. Vol. 19, Jan. 1951, 40-47.

Franksen, O. I. (1965): Kron's Method of Tearing. Presented at the Fourth Pawn
Industry Computer Application Conf., Clearwater, Fla., May 1965.

Franksen, O. I. and Rømer, M. D. (1963): Information og Cifferregnemaskiner. Ingeniøren.
No. 7, April 1, 1963, 243-260.

Franksen, O. 1. (1967): Mathematical Programming in Economics by Physical Analogies.
Presented at the International Symposium on Mathematical Programming,
I'rinceton University. Aug. 1967.

Granger, C. W. J. and Hatanaka (1764): »Spectral Analysis of Economic Time Series«,
i'rinceton University Press, Princeton, N. J.

Henderson, J. M. & Quandt, A. E. (1958): »Microeconomic Theory. A Mathematical
Approach«. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York.

Jackson, Il'.I1'. S. and Reed, T. E. (1965): Programming —A context lor Decision-Making
in Government and Industry. Stanford Research Institute, Menlo Park, California,
Sept. 1965.

jantzen, 1.: (1924): Voksende udbytte i industrien. Nationaløkonomisk Tidsskrift. lid.
62, 1924, 1-78.

Jantzen, 1. (1939): »Basic Principles of Business Economics and National Calculation«.
Gad's Forlag, Copenhagen.

Jantzen, 1. (1954): Stage Unit Cost - Study of a Simplified Model. Presented at the
10th European Meeting of the Econometric Society, Uppsala, Sweden, August 1954.

Koopmans, C. (ed.) (1951): »Activity Analysis of Production and Allocation«. John
Wiley & Sons, Inc., New York.

Lanczos, C. (1949): »The Variational Principles of Mechanics«. Univ. af Toronto
i'ress, Toronto.

Lindsay, R. B. and Margenau, H. (1936): »Foundations of Physics«, 1936. Reprinted
by Dover Publications, Inc., New York, 1957.

Madsen, V. (1936): »Regnskabsvæsenets opgaver og problemer - I ny belysning«. Sec.
Ed., Gyldendal, Copenhagen.

Maxwell, j. C. (1891): »A Treatise on Electricity and Magnetism«. Vol. 1 & 11.
Third Ed. Reprinted in 1954 by Dover Publications, Inc., New York.

Millar, W. (1951): Some General Theorems for Non-Linear Systems Possessing Resistance.
Phil. Mag., Ser. 7, Vol. 42, Oct. 1951, 1150-1160.

Orchard-Hayes, W. (1959): General Data Files and Processing Operations. SHARE
Committee on Theory of Information Handling, Report TIH-1. Reprinted in:
General Information Manual, E 20-8040, IBM, N. Y., 1959.

Papoulis, P. (1964): The Meaning of Probability. lEEE Trans, on Education. Vol. E-7,
No. 2 & 3, June-Sept. 1964, 45-51.

Pedersen, P. O. (1935): Et produktionsdynamisk problem. Nordisk Tidsskrift for Teknisk
Økonomi, Serie nr. f, Sept. 1935, 28-48.

Samuelson, P. A. (1938): The Numerical Representation of Ordered Classifications and
the Concept of Utility. The Review of Economic Studies. Vol. VI, No. 1, Oct. 1938,
65-70.

Samuelson, P. A. (1947): »Foundations of Economic Analysis«. Harvard Economic.
Studies, Vol. LXXX, Harvard University Press, Cambridge, Mass.

Samuelson, P. A. (1952): Spatial Price Equilibrium and Linear Programming. The
American Economic Review. Vol. XLII, No. 3, 283-303.

Samuelson, P. A. (1953-54): Price of Factors and Goods in General Equilibrium. The
Review of Economic Studies. Vol. XXI (1), No. 54, 1953-54, 1-20.

Samuelson, P. A. (1960): Structure of a Minimum Equilibrium System. In »Essays in
Economics and Econometrics: A Volume in Honor of Harold Hotelling« by Ralph
W. Flouts (ed.)- Chapel Hill: University of North Carolina Press, 1960, 1-33.

Schneider, E. (1934): »Theorie der Produktion«. Julius Springer Verlag, Wien.

Schneider, E. (1966): Virksomhedsforskning — i går og i dag. Management. No. 9, Dec.
1966, 225-231.

Stevens, S. S. (1959): Measurement Psychophysics, and Utility. In »Measurement:
Definitions and Theories«, by Churchman, G. West and Ratoosh, P. (editors). John
Wiley & Sons, Inc., New York, 18-63.

Trent, H. M. (1955): Isomophisms between Oriented Linear Graphs and Lumped
Physical Systems. Journal of the Acoustical Society of America. Vol. 27, No. 3,
May 1955, 500-527.

Tustin, A. (1957): »The Mechanism of Economic Systems«. Sec. Ed., W. Heinernann,
Ltd., London.

Weyl, H. (1952): »Symmetry«, Princeton University Press, Princeton, N. J.

Zeuthen, F. (1955): »Economic Theory and Method«. Longmans, Green and Co., Ltd.,
London.