1. Problemstilling.

Vi tænker os, at en handelsvirksomhed bl. a. forhandler produktionsudstyr og langvarige forbrugsgoder, som sælges på forskellige markeder, hvor renteniveau og konkurrencevilkår er forskellige. Der er dog det fælles for de nævnte markeder, at det er nødvendigt at sælge på afbetaling.

Virksomheden ønsker regelmæssigt rapporter om den økonomiske virksomhed.
Disse rapporter skal bl. a. indeholde beregning af den effektive
rente p. a., der er opnået ved afbetalingssalgene, og det forlanges,

1) at beregningerne er foretaget på ensartet grundlag, og

2) at personalet kan foretage beregninger let og hurtigt, d. v. s.
uden anvendelse af vanskeligt tilgængelige matematiske formler
eller rentetabeller.

Problemet består herefter i at udarbejde en instruktion i overensstemmelse
med de stillede krav.

2. Eksempel.

Som et eksempel fra den pågældende virksomhed kan tages en maskine,
der er kalkuleret således:

---

1) Undervisningslcder i Aktieselskabet Det Østasiatiske Kompagni, lir. meir.

Det ses af kalkulationen, at afdragstiden er 42 måneder, hvorfor det
10.645
enkelte månedlige afdrag bliver = 253,45 kr.

Handelsavancen andrager i eksemplet 58 V 2 % af kostværdien, men tallet er i denne forbindelse mindre interessant, fordi det er rentabiliteten af selve af betalingstransaktionen (finansieringsfunktionen), der ønskes belyst. Der må derfor foretages en sammenligning mellem den samlede afbetalingspris og kontantsalgsprisen. Forskellen svarer til finansieringstillægget, nemlig 2.095 kr. Dette beløb andrager 24 V2 % af kontantsalgsprisen -f- udbetalingen, men proeenten er ikke et udtryk for den effektive rente p. a., netop fordi summen af investeringsbeløbet og finansieringstillægget - 10.645 kr. - hjembringes over 42 måneder. Beregningen af de 24^l f2 % er imidlertid nyttig i det efterfølgende og vil derfor blive kaldt finansieringstlllægsprocenten, for hvilken symbolet r vil blive anvendt.

Da den effektive rente p. a. er et mål for det årlige procentvise overskud,
som tilfalder kapitalejeren, er det nødvendigt at betragte summen af kostværdi
og handelsavance som investeret kapital.

Handelsavancen skal jo ikke som kostværdien medregnes ved en beregning af virksomhedens kapitalbehov, men den må ved rentabilitetsberegninger betragtes som investeret egenkapital — eventuelt hele den investerede egenkapital, såfremt kostværdien 100 % kan finansieres med f. eks. kassekredit. Dette argument holder også, selvom valget for sælgeren ikke står mellem at opnå kontantsalgsprisen straks eller afbetalingsprisen fordelt over en række måneder, fordi konkurrencen nødvendiggør af betalingsformen.

I eksemplct er kapitalbehovet (dct belob, der kraever kapitaltilforscl)
kostvaerdien -r- udbetalingen, d. v. s. 5.045 kr. Under den forudssetning,
at der er fremmedkapital investeret, kan det have interesse at beregne de
faktiske udgifter til forrentning af denne fremmedkapital. Lad os for
simpelheds skyld forudsaette, at afbetalingssaelgeren hos sin bank er i stand
til at finansiere hele kapitalbehovet til 7 % p. a., og at la.net tilbagebetales
med kobers aldrag, der 100 % anvendes til dette formal. Den samlede
5.045
lanetid bliver under denne lorudsaetning - = 20 maneder, og dc
5 253,45
5.045 + 253 0,07
faktiske renteudgifter vil andragc (— —) 20 • = 309 kr.,
idet parentesen angiver lanets gennemsnitsvaerdi. Nettofortjenesten pa finansieringen
bliver derefter 2.095 -f- 309 = 1.786 kr.

Denne nettofortjeneste andrager 35 % af låneprovenuet, men dette tal

må anses for uinteressant, fordi 1) bankens rentekrav er kendt, og 2) det
ikke er normalt at sætte nettofortjenesten i forhold til fremmedkapitalen,
men kun til egenkapitalen.

Derfor vil der i det følgenide blive set bort fra finansieringsformen, og
udgangspunktet bliver således finansieringstillægget i % af hele den investerede
kapital, altså den ovenfor omtalte finansieringstillægsprocent.

3. Udledning af en let anvendelig formel for beregning af effektiv rente.

Det forudsættes, at det solgte antal maskiner er konstant pr. måned, og at kunderne overholder de aftalte betingelser. Begynder man på et givet tidspunkt at sælge den i eksemplet omhandlede maskine, vil den investerede kapital vokse indtil den 42'nde måned fra salgets start. Herefter bliver den stationær, og den »stationære« investerede kapital (K_s) kan udregnes ved hjælp af formlen

hvor k = kontantsalgsprisen, u == udbetalingen, a = antal solgte maskiner
pr. måned og n = antal måneder i afdragsperioden.2)

Efter definitionen af begrebet effektiv rente p. a. må denne kunne udledes
ved hjælp af ovenstående formel således:

idet f = finansieringstillægget pr. maskine, og brokens nævner angiver den »stationære« investerede kapital. Formlen er kun anvendelig under de ovennævnte forudsætninger og efter den 42'nde måned (i dette eksempel) fra salgets start. Det ses, at

---

2) Formlens udledning kan ses hos Børge Barfod: »Om afbetalingssystemets virkninger på kapitalbehov og omsætning«, Handelsvidenskabeligt tidsskrift 1954, og er også omtalt hos A. Geel Andersen: »Kapitalbehov og salgskredittid«, Erhvervsøkonomisk Tidsskrift nr. 4, 1964. Normalt anvendes formlen til beregning af de stationære udestående fordringer, men i nærværende artikel er formålet at beregne den »stationære« kapital, som fortjenesten skal sættes i forhold til. Det må bemærkes, at K_s er en fiktiv regnestørrelse, som i praksis vanskeligt kan finde anvendelse til andet formål end det her tilsigtede. Dette skyldes dels de rigoristiske forudsætninger, dels at den regnskabsmæsige behandling i praksis af det indtjente overskud in. v. næppe vil føre frem til en krediteret sum i overensstemmelse med f£_g-formlen.

2 • r ■ 12
formic n dcrfor kan skrives , d. v. s. den cffcktivc rente p. a.
»+ 1
beregnes som den dobbelte finansieringstillsegsprocent gauge 12 (d. v. s.
antal afdrag pr. ar) og divideret med det samlede antal afdrag + 1.

I vort eksempel vil ovenstaende formel give en effektiv rente p. a. pa 13,7 %. Taenker vi os, at der saelges 5 maskiner pr. mined, vil den arlige fortjeneste andrage 5 • 12 • 2.095 = 125.700 kr. Den »stationaere« invcsterede kapital bliver

13,7 % af den således beregnede kapital giver imidlertid 125.920 kr.,
altså lidt mere end ovenfor beregnet, hvilket antyder, at den effektive
rente beregnet på denne måde er lidt overvurderet.

Når dette er tilfældet, skyldes det, at der ved beregningen ikke er taget tilstrækkeligt hensyn til tidsforskydningerne mellem ind- og udbetalinger. Dette svarer principielt til de approximative metoder, der i udstrakt grad anvendes ved beregning af en investerings rentabilitet, nemlig annuitetsmetoden og den såkaldte simple afkastningsgrad, der af samme grund har en tilbøjelighed til at vise for gunstigt et billede af rentabiliteten. Det sande billede fås kun frem ved anvendelse af de matematiske metoder, tilbagediskonteringsmetoden eller den interne rentefods metode.

Også ved salg på afbetaling er det derfor nødvendigt at ty til rentes
rente beregninger for at få det »sande« udtryk for rentabiliteten frem.

4 Beregning af den »sande« effektive rente p. a.

Da en række af lige store månedlige afbetalingsafdrag netop danner en
efterbetalt annuitet, kan den »sande« effektive rente pr. måned - i det
følgende kaldet: i — beregnes efter formlen

hvor tælleren på venstre side angiver den månedlige investering, og y det
enkelte månedlige afdrag pr. maskine. o c;en

enKeiie maneaiige aiarag pr. masKine. o crn
I vort eksempel har liffninffens venstre side vaerdien — =
S>s3 45
33,73446442. '

Ved opslag ien rentetabel3) for n=42 ses det, at den månedlige rente

---

3) Simon Spitzer: »Tabellen fiir die Zinses-Zinsen — und Renten-Rechnung«, Wion 1911. Afsnittet »Barvvert der nachschiissigen Rente 1, IV«.

må ligge mellem 1,010 % og 1,125 %. Ved lineær interpolation kan det let beregnes, at den til cifrene svarende forskel er 0,053 %, hvorfor den .søgte månedsrente må være 1,063 %. Efter sædvanlig fremgangsmåde omregnes dette til årsbasis efter rentes rente formlen. Idet den »sande« effektive rente p. a. kaldes i', er

eller i eksemplet 100 (1,0106312 -1)= 13,6 % p. a.

Den »stationære« kapital kan derfor heller ikke andrage 919.125 kr.,
men 924.265 kr. Forskellen er netop rente og rentes rente af den investerede
kapital. Det sidstnævnte beløb benævnes C-, der udledes således:

12 • 5 (42 • 253,45 - 8.550)
eller i eksemplet = 924.265 kr.
r 13,6

Taelleren er multipliceret med 12, fordi i er udtrykt p. a.
Formlen for Cs kan udledes som felger: sselges a maskiner pr. maned,
ma saelgeren efter n maneders forlob ligge inde med a • n afbetalingskontrakter
af aldrene 0, 1, 2, .... fn—l) maneder. Fra dette tidspunkt er
tilstanden stationser, idet saelgeren pr. maned herefter modtager a • ny •y
kr. i afdrag, samtidig med at (k — u) a geninvesteres. Overskuddet bliver
da a • ny •y — (k — u) a pr. maned. Dette beleb kan betragtes som
manedlig forrentning pa en stationaer kapital af vaerdien

O)

Idet

(2)

Af indbetalingerne ved slutningen af den første måned er Co ■ i rente,
hvorfor kun a • y — Co • i kan anvendes til nedbringelse af sælgerens tilgodehavende.
Dette vil derfor andrage

Ved slutningen af den anden måned modtages igen a • y kr., hvoraf
Ci • i er rente, hvorfor vi får

(1 I i)« - 1
Heraf kan gcucrclt udlcdcs, at C« =Co(1 I i)n — a •y— —;—
i
men da kontrakterne or fuldt aiviklcde pa. tidspunktet n, ma Cn — 0,

hvoraf

(3)

hvilket udtrykker det samme som ligning (2). Ligning (1) kan herefter
udtrykkes således:

hvoral

(4)

Ved at indsætte (2) i (4) fås:

(5)

hvilket principielt svarer til den ovenfor anvendte formel, der i eksemplet giver resultatet 924.265 kr. Formel (5) kan i modsætning til den lettere anvendelige formel, der blev omtalt i afsnit 3, anvendes uanset om den stationære tilstand er indtrådt eller ej.

5. Problemløsning.

Det fremgar af det foraiistaende, at den »sande« effektive rente p. a.
2-/-12
i vort eksenipel cr 13,6 %, mcdeiis den lctLere anvendclige formel —
n -]- 1
- giver 13,7 %.

Man kunne derfor fristes til blot at instruere om at anvende den sidstnævnte formel, da differencen ikke forekommer særlig betydelig. Man bør imidlertid være meget forsigtig med at anvende den lette formel som tilnærmelse til den »sande« effektive rente, fordi forskellen stiger med forøgede værdier af n. Er iøvrigt den »sande« effektive rente relativt lav — f. eks. 12 % p. a. eller derunder, vil forskellen være mindre end 1, såfrcm f n blot er mindre end ca. 50. Er den »sande« effektive rente f. eks. 36 % p. a., bliver forskellen imidlertid ca. 7 svarende til n = 42 og ca. 13,5 for n = 84.

Her kan vi igen sammenligne med de approximative metoder for investcringsberegninger,hvor
overvurderingen af rentabiliteten vokser med

investeringens forventede levetid og rentefodens højde. På grund af formlenfor omregning af i til i', kan denne dog godt være højere end renten beregnet efter den approximative metode, når blot værdierne af n og r er tilstrækkeligt lave.

Såfremt den pågældende handelsvirksomhed ofte sælger med lange
afdragsperioder, kan man derfor ikke anbefale den »lette« løsning.

Det er heller ikke i overensstemmelse med den stillede opgave at instruere om anvendelse af annuitetsformlen i forbindelse med en rentetabel. Det er problemet med at interpolere I en sådan tabel, der er det vanskeligste, fordi selv mindre fejl i den effektive rente pr. måned kan blive betydelige, når renten omregnes til årsbasis.

Det fremgår imidlertid af annuitetsformlen, at i kun afhænger af 3
faktorer, nemlig

1) n

2) {k - u) a

3) ya

De to sidstnævnte kan kombineres i een faktor:

Dette er ensbetydende med, at den »sande« effektive rente alene afhænger af antallet af afdragsperioder og af finansierinfstillægsproccnten. Det må derfor være muligt at opstille en tabel, der direkte viser i varierende med forskelige værdier af n og r.

Dette problem loses Icttest ved anvendelse af cn simpel simulationsmodel.
Man kunne saledes saette Co til et tilfaeldigt tal, f. eks. 1000, lade
r variere med 1 % i difference fra 5 % til og med 50 % og lade n varierc
med 1 maneds difference fra 6 maneder til og med 48 maneder. Dcr kan
nu let udarbejdes cn tabel efter formlen
1000 n . 1000 f 10 r
idet repra;senterer y-vaerdierne.
1000+10/ n V }

Den fremkomne tabel testes nu med en rentetabel (f. eks. Spitzers), og
de nødvendige interpolationer foretages, hvorefter de fremkomne værdier
af i omregnes til i' efter den ovenfor anførte formel.

Det besværligste er dog stadig interpolationerne. Da rentefunktionen ikke er lineær, vil lineær interpolation medføre fejl, som man kun kan tillade sig at se bort fra, såfremt afstanden mellem rentesatserne i tabellen er tilstrækkeligt små, således som det er tilfældet i den ovenfor nævnte Spitzers rentetabel.

Imidlertid kan en tabel over værdier af i varierende med n og r også
udarbejdes uden brug af en allerede udarbejdet rentetabel. Idet vi sætter
a = 1, kan finansieringstillægsprocenten skrives

hvoraf

Det ses, at denne ligning har venstre side fælles med annuitctsformlen.
Når vi sætter ligningens højre side lig A, får vi

Med det formål at undersøge funktionsforløbet kan vi skrive

Ved at undersøge den første af ledede f (i) såvel som den anden af ledede
f"(?') for aktuelle værdier af A og n kan det konstateres, at ovennævnte:
funktion har det nedenstående indtegnede forløb:

I samme koordinatsystem ses indtegnet f(i) = i som en ret linie. Der vælges nu en tilfældig værdi af i kaldet i_n. I punktet in,f(in) tegnes kurvenstangent, hvis skæringspunkt med den rette linie giver værdien ii_{n +\} som første tilnærmelse til den søgte værdi af i. Dernæst tegnes tangenten til kurven i punktet in + \,f(in+i), og denne tangents skæring med den rette

linie giver værdien iin+2, som er en bedre tilnærmelse til det søgte i. Således
fortsættes, indtil i er fundet med den ønskede nøjagtighed.

Den matematiske fortolkning af den geometriske løsning er ligningen

sorn cr den almene formel for bercgning af /'.')

Eftersom

og den første afledcde er

kan disse værdier indsættes i den almene formel som følger:

eller

forlængelse med (1 + in)n+l fås

Med anvendelse af forkori elsernc
I+;„=,9og Sn+lSn+1 =T

T — S — in ■ n
kan sidstnaevnte ligning forcnkles til in+i =
A-T—n

Fremgangsmåden er den samme som på den grafiske afbildning, d. v. s. benyttelse af tangenten til kurven. Der vælges en værdi af i kaldet in, der indsættes i ligningen for ii_{n +\.} Resultatet indsættes igen, hvorefter vi finder in +2 o. s. v.. Da 4—5 gennemløb er tilstrækkeligt til at opnå den ønskede nøjagtighed, må metoden betragtes som en meget hurtig iterationsmetode, især såfremt udarbejdelsen af den endelige tabel over de årlige renter kan foretages ved hjælp af EDB. Et uddrag af tabellen bringes her:

---

4) Formlens udledning er kendt som Newton-Raphson metoden. Denne er beskrevet i Daniel D. MacCracken and William S. Dorn: »Numerical Methods and Fortran Programming«, N. Y. 1964, side 133 il.

Tabellen kan nu let anvendes, men må ledsages al en instruktion, der
bl. a. definerer finansieringstillægsprocenten som finaiisicringstilla^gget i %
af kontantsalgsprisen -f- udbetalingen.

Dette må være den praktiske løsning af den stillede opgave.