(1) Lad der være givet et system, der i en relevant beskrivelse kan
indtage n forskellige, hinanden udelukkende, tilstande. Tilstandsmulighederne
vil f. eks. kunne nummereres 1, 2, 3, ... n.

Eksempel 1

Et ekspeditionssystem med 1 betjeningsplads (ekspedient) og 2 ventepladser
(køpladser) kan indtage følgende 4 forskellige tilstande:

Da det her findes hensigtsmæssigt at lade tilstandsnummeret angive
det antal kunder, der befinder sig i systemet, er tilstandene i fig 1 nummereret
0, 1, 2 og 3.

Da de 4 tilstande beskriver systemet udtømmende, vil dette altid befinde sig i en af disse. Der kan således ikke forekomme en tilstand, hvor betjeningspladsen ikke er besat samtidig med, at en eller begge køpladser er besat, idet det forudsættes, at betjeningspladsen momentant vil blive besat fra ventepladserne.

---

*) Civilingeniør, amanuensis ved Handelshøjskolen i Århus.

Vi vil således endvidere kunne konkludere, at betjeningspladsen altid
vil være besat, såfremt der er kunder i systemet.

(2) Lad det endvidere være givet, at sansynlighederne for overgang
fra en vilkårlig tilstand til en vilkårlig anden tilstand i løbet af et givet
tidsinterval (h) er kendte (men ikke nødvendigvis forskelig fra 0).

Man kan da betegne de kendte sandsynligheder pij, hvor første fodtegn angiver den tilstand, hvorfra overgangen sker, og det andet fodtegn angiver den tilstand, hvortil overgangen sker. Det gælder for såvel i som ;', der er uafhængige af hinanden, at de kan antage alle de værdier, som angiver de relevante tilstandsmuligheder.

I det specielle tilfælde, hvor j = i, vil pu betegne sandsynligheden
for, at det betragtede system forbliver i tilstand i inden for tidsintervallet

Eksempel 2.

Set i relation til det i eksempel 1 angivne system vil pi,o betegne sandsynligheden for, at systemet, efter at have befundet sig i tilstand 1 ved begyndelsen af tidsintervallet f i, vil befinde sig i tilstand 0 ved slutningen af tidsintervallet h.

Det bemærkes, at det således er uden betydning for beskrivelsen,
hvilke andre tilstande, systemet eventuelt måtte have antaget i intervallet

(3) Lad det yderligere være givet, at de enkelte overgangssandsynligheder
alle er afhængige af det betragtede tidsinterval h på følgende
måde:

hvor pu angiver sandsynligheden for overgang fra tilstand i til tilstand

; i løbet af h tidsenheder.

hi angiver en til pu knyttet konstant (la 0).
h angiver det betragtede tidsinterval.

O (li) angiver en funktion med egenskaben lim — 0 (andre egenh-*-o

skaber har ingen betydning i denne forbindelse).

Betragtes et tidsinterval t, som opdeles i m lige lange intervaller, vil
t
disse delintervaller have længden h = —.
m

Man har herved sandsynligheden for overgang fra tilstand i til til
stand j i intervallet h som:

og sandsynligheden for, at der ikke sker overgang fra tilstand i til tilstand
;' i løbet af tidsintervallet f/ som:

samt sandsynligheden for, at der ikke sker overgang fra tilstand i til
tilstand j i noget af de m delintervaller, som:

der gælder for alle valg af m (heltal),, specielt også når m vokser over
alle grænser.

Sidstnævnte sandsynlighed betegner netop sandsynligheden for, at
der ikke sker overgang fra tilstand i til tilstand ; i intervallet t. Vi har
da, at:

idet

Sandsynligheden for, at der sker overgang fra tilstand i til tilstand
j i tidsintervallet t bliver nu:

og den tilsvarende sandsynlighedstæthed

Vi ser således, at forudsætning (3) medfører, at de enkelte overgangssandsynligheder
bliver eksponentielt fordelt.

Betragter vi specielt et uendeligt lille tidsinterval dt, vil sandsyn
ligheden pu antage værdierne:

Forudsættes det, at det betragtede system har opnået statistisk lige
vægt, vil det gælde, at:

hvor

Pj betegner sandsynligheden for, z.t systemet er i tilstand ;' ved
slutningen af intervallet dt.

P, betegner sandsynligheden for, at systemet er i tilstand i ved
begyndelsen af intervallet dt.

Pi—Pi betegner ligevsegtssituationen.

Ovenstaende ligningers indhold for 1 j n 'kan udtrykkes ved
hjaelp af falgende graph:

Eksempel 3.

En graph i ovennævnte udformning kan fortolkes således

Der er givet en række punkter - repræsenteret i fig. 2 ved en cirkel -
der er forbundet med en række pile. Til hvert punkt er knyttet en
variabel og til hver pil en multiplikator.

Værdien af en varia'bel i et punkt fastsættes som summen af de variable i udgangspunkterne for de pile, der ender i det betragtede punkt, idet de enkelte variable multipliceres med den multiplikator, der er knyttet til de tilsvarende pile.

angiver, at

angiver, at

I<i<n

angiver, at

angiver, at y =•- ax og z — by, hvoraf følger z — abx, som også kan
udtrykkes som:

Foreligger der således en graph til beskrivelse af relationerne mellem en række variable, kan man ved hjælp af nærmere fastlagte regler omforme disse relationer til afledede relationer. Som eksempel herpå har vi ifølge fig. 6 (se ovenfor), at y = ax og z = by medfører z = a-bx.

Som et yderligere eksempel på sådanne regler skal her anføres føl
gende simple regel:

angiver, at

De 'løse' pile angiver, at det anførte resultat er uafhængigt af, hvilke
pile der fører til og fra de to anførte punkter.

Udtrykket for y kan herefter omformes til:

der udtrykt i en graph ser således ud:

Graphen i fig. 9 vil direkte kunne omformes til graphen i fig. 8 ved
anvendelse af omformningsreglen.

Vender vi herefter tilbage til graphen i fig. 2, som udtrykker ligevægtsbetingelserne

kan denne graph omformes ved hjaslp af reglen i fig. 10 til:

som udtrykker relationen:

Indforer vi herefter pa = hjdt og benytter vi, at

d. v. s.

og videre, at

fås

og

der udtrykker, at safremt systemet er i statistisk ligevaegt, vil en given
tilstandssandsynlighed multipliceret med summen af overgangsintensiteterne
(lim = hi) fra tilstanden vasre lig med produ'ktsummen af
t-+°° t
overgangsintensiteterne til tilstanden multipliceret med de tilsvarende
tilstandssandsynligheder for udgangstilstandene.

Ovennævnte tilstandsrelationer, der som tidligere fremhævet forudsætter, at de enkelte overgangssandsynligheder er eksponentielt fordelte med hensyn til tiden (jfr. (3)), kan udtrykkes i en anden graphform, for hvilken der gælder specielle fortolkningsregler.

Den i fig. 12 anførte graph 'beskriver et system med n tilstande, idet
der af hensyn til oversigten kun er angivet de intensiteter, der svarer til
overgangssandsynlighederne til og fra tilstand ;'.

Graphen kan fortolkes således, at der for hvert punkt (cirkel) fås en relation mellem tilstandssandsynligheder og intensiteter, idet Pj gange sum af afgangsintensiteter = produktsum af tilgangsintensiteter og udgangssandsynligheder.

En nærmere analyse af de opstillede relationer vil vise, at én af
relationerne kan udledes af de øvrige, samt at der udover de fra graphen
udledte relationer eksisterer endnu en relation

der giver udtryk for det opstillede systems probalistiske natur

Konklusion

Indholdet i ovennævnte fremstilling vil herefter kunne koncentreres
i følgende konklusion:

Såfremt der foreligger et system med følgende egenskaber

1) Systemet antager i ethvert tidspunkt én og kun én af ialt n definerede
tilstande.

2) Overgangene fra en tilstand til en anden i løbet af et givet tids
interval er eksponentielt fordelt i tiden med en given intensitet.

3) Systemet kan opnå statistisk ligevægt.

vil relationerne mellem tilstandssandsynlighederne i ligevægtssituationen
kunne udtrykkes ved:

II
1) Ligningen 2 Pi = 1 samt
i=l

2) de relationer, der kan aflæses af en graph bestående af

a) n punkter (cirkler), til hvilke der er knyttet n tilstandssandsyn
ligheder,

b) en række pile, som forbinder de enkelte punkter, og til hvilke
der er knyttet overgangsintensiteter.

Et eksempel på opstilling og benyttelse af en graph af den her omtalte
karakter vises i dette nummer af Erhvervsøkonomisk Tidsskrift:
L. Printz: Om løsning af køproblemer.

Litteraturhenvisning

Svend Fredcns: Kotcori, Akademisk Boghandel

Philip M. Morse: Queues, Inventories and Maintenance

Ole Nielsen og Louis Printz: Markoff-kaeder