Mens et lager meget ofte er blevet opfattet og behandlet som en isoleret enhed, er det tanken her at betragte lageret som et led i en produktionskæde. I praksis kan det være meget vanskeligt at angive alle de faktorer, der øver indflydelse på et produktionssystem, og at fastlægge enten et analytisk eller et empirisk udtryk for de enkelte faktorers indvirkning. For imidlertid at afklare nogle af de begrebsmæssige vanskeligheder, der opstår, når man indlader sig på at studere et produktionssystem nærmere, vil det være klogt mange gange at starte med at opstille en meget simpel model. Når man har fundet frem til en løsning, som med de stærkt forenklede antagelser er optimal, kan modellen

1. Problemformulering.

Den opgave, som i det følgende vil blive søgt løst, går ud på at konstruere et styringssystem for et emne, som gennemløber en række operationer. Problemet kendes inden for serieproduktion, hvor et produkt som regel består af adskillige emner,, der hver for sig må igennem en række operationer. I det følgende vil vi betragte et enkelt emne.

En stationær produktion betragtes, dvs. at efterspørgsel, leveringstid
og operationstider er deterministiske og konstante. Produktionen omfatteret
enkelt emne, som tænkes at skulle gennemløbe en række operationerpå

---

*) Civilingeniør, Driftsteknisk Institut, Danmarks tekniske Højskole. (Manuskript modtaget juli 1965).

nerpåforskellige maskiner. Forud for den første operation er anbragt et råvarelager og efter den sidste et færdigvarelager. Endvidere kan der anbringes et antal mellemlagre. Idet der tages hensyn til lageropbevaringsomkostninger,opstillingsomkostninger for de enkelte operationer og omkostninger ved at have kapital bunden i emner under fremstilling søges fastlagt 1) en optimal placering af mellemlagre for denne række af operationer og 2) den bedste seriestørrelse imellem lagrene.

For hver operation er der givet opstillingsomkostninger og omkostninger ved at binde kapital i emner under bearbedning og på lager. Ud fra Wilson's formel, som senere vil blive benyttet - omend i en ændret udgave, kan den optimale seriestørrelse fastlægges for hver operation, idet man tænker sig mellemlagre indskudt imellem alle operationer. De herved bestemte seriestørrelser vil variere fra operation til operation. Spørgsmålet er nu, om det vil kunne betale sig at fjerne et mellemlager imellem to operationer. Herved spares omkostninger til lagerhold, men de øvrige omkostninger stiger, fordi den fælles seriestørrelse adskiller sig fra de to optimale, der blev bestemt hver for sig. Motivet til at oprette et lager imellem to grupper ligger altså i forskellige seriestørrelser for de to grupper. Eftersom modellen er deterministisk, kan sikkerhedsmotivet udelades.

De mulige kombinationer af mellemlagre vil, hvis antallet af operationer ikke er beskedent, være talrige, hvorfor det vil være et stort arbejde først at finde frem til de mulige placeringer og dernæst at udregne de hermed forbundne omkostninger. Ved hjælp af dynamisk programmering kan en optimal politik for placering af mellemlagre bestemmes, samtidig med at en fælles seriestørrelse for operationer imellem disse mellemlagre fastlægges.

Til brug for den endelige løsning opstilles de relevante omkostninger, der knytter sig til en enkelt række operationer uden noget mellemlager indskudt, men med et lager forud for og et efter operationerne. En fælles seriestørrelse for denne række vil blive bestemt.

2. Bestemmelse af en fælles seriestørrelse for N operationer imellem to lagre.

Indledningsvis må afgrænses det system, hvis variable øver indflydelse
på fastlæggelse af den fælles seriestørrelse.

Hvis det forudsættes, at lageromkostningerne er en lineær funktion af den gennemsnitlige lagerbeholdning, og at forholdet imellem to på hinanden følgende seriestørrelser er et helt tal, vil det blive vist, at en fælles seriestørrelse kan bestemmes optimalt for en række operationer,

hvor der forud for den første operation og efter den sidste findes et mellemlager, uafhængigt af, hvilken seriestørrelse der vælges før det første mellemlager og efter det sidste. Dette forhold, som er formuleret i nedenstående theorem, bevirker, at vi kan forenkle udregningerne og begrænse det relevante system. I stedet for at betragte alle operationer mellem råvarelager og færdigvarelager og bestemme en række seriestørrelserfor hver gruppe af operationer, som er afgrænset af mellemlagre, under eet, så kan bestemmelsen opdeles på en sådan måde, at en optimal seriestørrelse for en gruppe operationer fastsættes for sig uafhængig af de andre seriestørrelser. Vi kan skematisk vise en gruppe operationer, for hvilke en fælles optimal seriestørrelse ønskes bestemt, som følger

Theorem:

Hvis lageromkostningerne er en lineaer funktion af den gennemsnitlige lagerbeholdning, vil en fgslles seriestorrelse for en gruppe operationer, der er afgrsenset af mellemlagre*), kunne bestemmes optimalt uafhaengigt af de foregaende og efterfolgende operationers seriestorrelse.

Bevis for Theorem.

Der indføres følgende betegnelser:

A = antal producerede enheder pr. år.

ci = lageromkostningsfaktoren (% pr. år).

Pi= emnets værdi ved 1. mellemlager (kr./stk.).

P2= emnets værdi ved 2. mellemlager, P2 > Pi.

(en enhed, som opbevares på 1. mellemlager et år, påføres lageromkostningerne
ci • Pi).

Det forudsættes, at — = m og — = m, hvor m og m er positive
heltal.

q A
Tiden, i hvilken der aftrækkes q emner, er —, mens — angiver an-
A o q
tal bestillinger pr. år, hver på q enheder. Idet h står for den tid (i år),
en serie på Qi får lov til at ligge på 1. mellemlager, før et aftræk på
q enheder finder sted (og tilsvarende for £2), vil de årlige lageromkostninger
for de to lagre blive

Da funktionen for de samlede relevante lageromkostninger ikke indeholder produktled {Qi-q eller q-Qz), vil alle led der indeholder Q\ og Q2 udgå ved diffetiation med hensyn til q. Under de givne forudsætninger kan en optimal værdi af q således bestemmes uafhængigt af Qi og Q2.

Modellens omkostninger.

Det system, der betragtes, kan skitseres som tidligere vist

og omfatter således to mellemlagre og N operationer, der ligger imel
lem de to lagre.

Der introduceres tre omkostningstyper: bestillingsomkostninger, lageropbevaringsomkostninger
og omkostninger for kapital bunden i emner i
arbede.

Bestillingsomkostninger (igangsætningsomkostninger) for hver operation
bn{q) - for n= 1, 2, ... , N - kan være en funktion af q; men
vil ofte være konstant i visse intervaller af q. Idet der skal produceres
A emner pr. år, bliver de årlige bestillingsomkostninger

Lageropbevaringsomkostninger forudsættes at være en lineær funktion af kapitalen bunden i lagrene. Idet h og te kan sættes til nul for en optimal tilpasning af bestillingerne (leveringstiden forudsættes også at være deterministisk og konstant), og de led, der afhænger af Q\ og Q% ikke har nogen interesse, bliver de for bestemmelse af q relevante lageromkostninger - iflg. Theoremet:

Af udtrykket for l[q) kan der drages en interessant konklusion, som dog mere har teoretisk og begrebsmæssig interesse end praktisk betydning. Hvis nemlig et lager efterfølges af et andet inden for en virksomhed, så skal i udtrykket for produktionsværdien kun indsættes stigningen i produktionsværdi siden det foregående lager. Dette understreger, at der må udvises forsigtighed, når man ønsker at anvende en udviklet lagermodel på et lager i en produktionsvirksomhed, hvor der som regel er flere lagre i serie.

Omkostninger for kapitalbinding af emner i arbejde er den omkostning, som er vanskeligst at bestemme, fordi der indføres nogle størrelser, som i almindelighed vil variere. I denne model forudsætter vi imidlertid, at alt forløber stationært og deterministisk, og at emnerne i en serie samlet transporteres fra operation (maskine) til operation (maskine).

Lad r_n{q) betegne kapitalbindingsomkostningerne for produktion i arbejde pr. år for den rø'te operation. Det antages, at r_n(q) er en funktion af den tid, emnet opholder sig ved operationen, og af emnets produktionsværdi på dette tidspunkt. Der indføres følgende betegnelser:

pn = emnets produktionsvaerdi efter den rc'te operation, (kr./stk.).
Herved forstas i almindelighed de palobne variable omkostninger.

tvn= den tid, et parti pa q emner ma vente f*or den nte operation pa
at blive bearbejdet.

ton= opstillingstiden ved den n'te operation for et parti pa q enheder.

tsn = styktiden ved den rc'te operation for et parti på q enheder.
Både ton og tsn kan være en stykviis konstant funktion af q, idet f. eks.
overgang fra drejebænk til revolverbænk vil ændre tiderne.

I den tid, emnerne venter på at blive bearbejdet, er der i virkeligheden tale om en lagring. Men da emnerne efter den rc'te operation tænkes transporteret samlet til næste operationssted, er der ikke tale om anbringelse på et egentlig, fysisk lager. Omkostningerne ved, at der ialt går tvn+ton tidsenheder fra det øjeblik, hvor sidste emne i serien blev færdig ved den (n— l)'te operation, og til bearbejdningen ved den ntc operation begynder, bliver

hvor cP er omkostningsfaktoren (% pr. tidsenhed). Såfremt det antages,
at produktionsværdien vokser lineært under selve bearbejdningen, vil
kapitalbindingen under bearbejdningen være

Da alle emner i serien q venter tsn-q tidsenheder, bliver omkostninger
ved kapitalbinding under selve bearbejdningen

De samlede kapitalbindingsomkostninger, når et parti på q emner passerer
den n'te operation, bliver

Da et parti på q enheder årligt bestilles Ajq gange, bliver de årlige
kapitcdbindingsomkostninger for den n'te operation

Når alle N operationer gennemløbes, bliver de totale årlige kapitalbindingsomkostninger

De samlede årlige relevante omkostninger bliver da

Eftersom der kun i udtrykket for K findes én handlingsparameter, nemlig
q, kan en optimal værdi af q bestemmes ved differentiation af K med
hensyn til q.

Det kan imidlertid være rimeligt først at se lidt på udtrykket for K. Det bemærkes, at tv_n og to_n ikke indgår i noget led, der afhænger direkte af q. Lad os antage, at tv_n og to_n er konstante i visse intervaller af q. Da vil de afledede med hensyn til q være nul, og vi kan i denne forbindelse se bort fra disse to led, sålænge vi befinder os i et af disse intervaller.

Endvidere vil bn(q) i mange tilfælde være en konstant funktion af q.
Hvis dette antages, kan felgende betegnelse indfores

Endvidere indfores

og det vil kunne ses, at Pn angiver det dobbelte areal under den nedenfor
viste kurve.

Under disse forudsætninger, (1) tvn og ton er stykvis konstante og
(2) bn(q) er uafhængig af q), vil en differentiation af K give

Det må naturligvis forudsættes, at den krævede maskinkapacitet er
til stede, hvilket matematisk kan udtrykkes

idet de angivne tider er malt i ar.

Som et eksempel på, hvor store afvigelser der opnås ved at benytte
ovenstående udtryk i stedet for Wilson's formel, antages en jævn stigningi

ningiproduktionsværdien i gennemløbstiden og samme maskin- og
operatørtid pr. emne for operationerne. Man får da

Endvidere antages det, at der er 10 operationer i rækken, og at hver
maskine i gennemsnit benyttes 1 f5 af året til det pågældende emne, og
yderligere at ts {to-\-tv)jq. Da fås

for ci = cP fås

Hvis Pi = iP2, fås

2
Dersom man bolder fast ved ffwnson - mens man burde vselge qw -
1/13
lider man herved et ekstra tab pa 18 %, bestemt ved

I beviset for det i begyndelsen af dette afsnit nævnte theorem er det blevet forudsat, at Q\ var delelig med q og q igen med Qs. Når en fælles seriestørrelse er blevet bestemt for hver gruppe operationer, kan der finde en tilpasning sted af de enkelte gruppers seriestørrelser. En sådan tilpasning kunne tænkes baseret på en afvejning af henholdsvis ekstraomkostninger hidrørende fra seriestørrelsernes afvigelser fra de optimale værdier og ekstraomkostninger ved, at seriestørrelsen i en gruppe ikke er delelig med seriestørrelsen i den følgende gruppe. Denne tilpasning viser sig at være et meget kompliceret problem, hvis løsning i det væsentlige må siges kun at have teoretisk interesse, fordi det beløb, der kan spares, ofte er mindre end den nøjagtighed, hvormed de samlede omkostninger kan fastlægges - betinget af übestemtheden for de indgående parametre. I Appendix er dette forhold nærmere belyst, og en iterationsmetode anvises, som ikke fra starten forudsætter nogen bestemt lagertype. I det foregående er omtalt den type, hvor Qi 2, men for at sikre en så bred optimal løsning på problemet med at placere så få mellemlagre som muligt, vil det ud fra et teoretisk synspunkt være ønskeligt, om man ogs undersøgte muligheden af at placere lagre af typerne: 1 < Qi/q < 2 og o<Qijq<\.

3. Placering af mellemlagre og bestemmelse af en fælles seriestørrelse imellem disse.

I det foregående afsnit er der blevet udledt udtryk for tre omkostningsfunktioner med henblik på at bestemme en fælles seriestørrelse for en gruppe operationer, som et emne skal gennemløbe. Disse omkostningsfunktioner kan nu benyttes til at fastlægge en optimal placering af mellemlagre for en række operationer. Udgangssituationen er følgende: Et emne skal bearbejdes på N maskiner (én operation pr. maskine). Efterspørgselen og operationstiderne er deterministiske og konstante. Mens det forudsættes, at der findes et råvarelager før den første operation, vil det ikke være nødvendigt at forudsætte et færdigvarelager efter den sidste operation, hvis der til hver mulig værdi af seriestørrelsen Qz er knyttet en omkostningsfunktion f(Ø2) hidrørende fra den påvirkning, emnerne er udsat for efter den JV'te operation

I tilknytning til angivelserne på skitsen nævnes det, at n henføres til den n'te operation efter råvarelageret, i angiver den operation, der - blandt de operationer, forud for hvilke et mellemlager er indskudt - ligger nærmest operation n, 1 i n. Fra den i'te operation og til den n'te findes der altså ikke noget mellemlager. Spørgsmålet er, om der efter den n'te operation skal indskydes et mellemlager. På forhånd kan det siges, at mellemlagre kan anbringes på 2^iV måder, hvilket forholdsvis hurtigt bliver et stort tal.

De i afsnit 2 benyttede betegnelser for omkostninger anvendes stort
set også her:

l[q) = lageromkostninger pr. år, når tilgangen til lager sker med
q emner pr. gang. Som tidligere forudsættes l{q) at være
en lineær funktion af deri gennemsnitlige lagerbeholdning.

rn(q) — kapitalbindingsomkostninger pr. år for emner under bearbedning
ved den rø'te operation, når seriestørrelsen er q.

bn{q) = bestillingsomkostninger (igangscetningsomkostninger) pr. ar
for den ntt operation, nar seriestorrelsen erg.

og

Den kriteriefunktion, som vælges, er summen af de tre ovenfor nævnte
omkostningstyper for det betragtede system, der består af N operationer,
et halvt råvarelager og et halvt færdigvarelager. Bestemmelsen af den

optimale placering af mellemlagre tænkes udført ved hælp af dynamisk programmering, hvorved problemet deles op i en sekvens af N beslutninger,der hver afgør, om der efter den betragtede operation (den rc'te) skal placeres et mellemlager eller ej*).

Lad os starte med at betragte den sidste operation, n = N. Spørgsmålet er her, om det vil kunne betale sig at indføre et færdigvarelager efter den N'te operation. Omkostningerne vil imidlertid afhænge af, hvormange operationer der er indskudt efter det sidste mellemlager. Derfor må omkostningerne for den sidste operation udregnes som en funktion af den z'te operation, fordi det er den første operation efter det sidste mellemlager. Omkostningerne for de to alternativer må da sammenlignes for enhver værdi af parameteren, i, i intervallet 1 =O'^N.

a. Hvis der indføres et færdigvarelager umiddelbart efter den N'te operation må den seriestørrelse, der skal benyttes ved udregning af den N'te operations omkostninger fastlægges ved at opveje omkostningerne fra og med den ite operation til og med færdigvarelageret, dvs.

Den herved bestemte fælles optimale seriestørrelse for de N— i-f-1 operationer er den, der skal indgå i bestemmelsen af omkostningerne for den N'te operation. Eftersom der er indskudt et mellemlager (færdigvarelager) efter den N'te operation, kan en optimal værdi af Q2 fastlægges uafhængig af qN(i). De samlede omkostninger fra og med den N'te operation bliver da

b. Dersom der ikke indskydes et færdigvarelager efter den N'te operation,
må der fastlægges en seriestørrelse, q ud fra følgende udtryk

idet der ikke optræder nogen lageromkostninger udover dem, der kan være inkluderet i f(q). De samlede minimale omkostninger fra og med den N'te operation for alternativ b fås da ved at indsætte den ovenfor bestemte seriestørrelse, qq^r _N i følgende udtryk

---

*) Den her opstillede model har væsentlige træk tilfælles med en model, som J. T. Ross Jackson og Peter M. Pruzan har opstillet til bestemmelse af en optimal placering af inspektionsposter ved linieproduktion. løvrigt har Flemming Tamstorf i sit eksamensprojekt (1964) benyttet dynamisk programmering til placering af inspektionsposter,

Idet vi definerer

F_n(i) =de minimale relevante omkostninger pr. år for de operationer, der forløber fra og med den rate operation til og med færdigvarelageret, når der sidst var et mellemlager før den i'_te operation (1 i n), og når en optimal politik følges

fås

dvs.

for enhver værdi af i, 1 i iV.

Hvis man ønsker at se en analogi til de systembegreber, der bl. a. knytter sig til dynamisk programmering, kan man opfatte systemets tilstand ved den rc'te operation som det antal operationer, der går forud for det sidste mellemlager før operation n; dvs. i, 1 i n kan være systemets tilstandsvariable. Den beslutningsvaricibel, der knyttes til hver operations tilstand, kan her kun antage to værdier: a) der indskydes et mellemlager mellem operation n og (tz+l) og b) der indskydes ikke noget mellemlager mellem den rc'te og den (rc-j--l)'te operation.

Når vi går videre til den næstsidste operation, n = N— 1, bliver opgaven at bestemme, om der skal være et mellemlager umiddelbart efter den (JV—l)'te operation. Vi må altså sammenligne omkostningerne for de to alternativer for enhver værdi af vores parameter (tilstand) i, 1 <i<iV-l.

a. Hvis der indføres et mellemlager mellem den (iV—l)'te og den N'te operation, må den seriestørrelse, der skal benyttes ved udregning af den (N— l)'te operations omkostninger fastlægges ved at opveje omkostningerne fra og med den i'te operation til og med den (n— l)'te, dvs.

Herved bestemmes qN-i{i) for enhver værdi af i, 1 i N— 1. De
samlede omkostninger for de to sidste operationer, såfremt der indføres
et mellemlager efter den (N— l)'te operation, bliver da

idet Fn(N) - iflg. definitionen - er de minimale omkostninger for den
sidste operation, hvis der indføres et mellemlager umiddelbart før den
iV'te operation. I omkostningerne for den (N— l)'te operation er indsat

den seriestørrelse qN-i(i), som blev bestemt ved minimering af de samledeomkostninger
fra og med den i'te operation til og med den (IV — l)'te.

b. Dersom der ikke indskydes et mellemlager mellem den (N— l)'te operation og den 2V'te, er den fælles optimale seriestørrelse den samme som for den iV'te operation, # fv(i), fordi denne størrelse er fastlagt ved at opveje de samlede omkostninger for de iV+l - i sidste operationer. Vi får da

der optræder ikke lageromkostninger i forbindelse med den (N — l)'te
operation, da der ikke er indskudt noget mellemlager. De lageromkostninger,
der optræder efter den IV'te operation er medregnet i Fn(i).

Fn-i{i) bestemmes da som følger

for enhver værdi af i, 1 i JV—l.

Af hensyn til de senere regninger sætter qN-i(i) lig med den seriestørrelse,
der indgår i det minimale af de to udtryk (enten a eller b),
og som således gælder for den (IV — l)'te operation.

For den tredie sidste operation, n = N—2 fås FN-2(i) på tilsvarende måde. Først udregnes en optimal seriestørrelse, qN-2(1) fælles for de (IV —2) - i+l operationer, der starter med den i'te og slutter med den (N-2)'te:

Heraf bestemmes qN-2(i), der benyttes i alternativ a,

Den optimale beslutning findes af folgende udtryk:

for 1 < i < N-2.

qN-2{i) sættes lig med den seriestørrelse, som benyttes ved den
(iV —2)'te operation iflg. den optimale beslutning.

Det bemærkes, at Fn-2(i) bl. a. udregnes på grundlag af Fn-i(}) dvs. at kun den minimale værdi af omkostningerne for de to sidste operationer har interesse og ikke, hvilken politik der føres ved disse to operationer, i overensstemmelse med princippet for dynamisk programmering.

Alment - for den n'te operation, n= 1, 2, ..., N- kan proceduren
beskrives på følgende måde:

Først udregnes

der for 1 i n bestemmer qn{i). Idet qn+i(i) angiver den seriestørrelse,
der ifølge den optimale beslutning for den (w+l)'te operation skal
anvendes ved denne operation, fås

for 1 i n.

Alternativerne a og b indebærer følgende:

a: Der indskydes et mellemlager mellem den nte og den (w+l)'te
operation.

b: Der indskydes ikke noget; mellemlager mellem den n'te og den
(w+l)'te operation.

På grund af produktets stigende vaerdi efterhånden som produktionsprocessen skrider frem, vil lageromkostningerne tiltage for voksende værdier af n. Det almindeligste vil da være, at q aftager for voksende værdier af n. Der kan imidlertid tænkes operationer med så store opstillingsomkostninger i forhold til de følgende operationer, at en q-værdi, som var mindre end dem for de følgende operationer, ville blive bestemt. Herved ville der opstå den i afsnit 2 omtalte lagertype 111. I Appendix er bl. a. nævnt, hvordan en iterationsprocedure kan udarbedes, der vil fastlægge en optimal placering af mellemlagre uanset hvilken type det drejer sig om. Proceduren starter som nævnt med at tillade q at antage alle mulige værdier uafhængig af forholdet til de tilstødende seriestørrelser. Ved dernæst at tage hensyn hertil kan en eventuel formindskelse af l(q) opnås. De lagre, der allerede ved 1. iteration er blevet placeret, vil forblive, idet en evt. besparelse af lageromkostningerne kun taler til gunst for at vedblive at have lageret. Derimod kan det tænkes, at det nu vil kunne betale sig at oprette et nyt lager - betinget af en formindskelse af lageromkosningerne.

4. Slutning.

Ofte ønsker man at bestemme, hvilke seriestørrelser der skal vælges
for et helt produkt, hvis bearbejdning kan opdeles i flere operationsrækker
som vist nedenfor

I fald der placeres et mellemlager efter hver operationsrække, kan en optimal placering af mellemlagre bestemmes for hver række for sig uafhængig af seriestørrelserne i de. andre operationsrækker - ifølge Theoremet i afsnit 2. Ønsker man imidlertid at undersøge, om mellemlageretefter

lageretefterf. eks. 1. og 2. operationsrække kan undværes, knyttes der til enhver mulig værdi af qs en omkostning, f(qs), der så indgår i bestemmelseaf den optimale placering for hver af de to rækker - som vist i afsnit 3. På denne måde kan den viste løsningsmetode udstrækkes til at omfatte et helt produkt.