I foljande artikel år avsikten att i. korthet beskriva en Monte-Carloteknik som anvånts for studier av foretagsekonomiska planeringsmodeller - i huvudsak avseende lantbruksforetag - samt att redogora for några preliminåra erfarenheter från detta arbete. Vid foretagsekonomisk planering inom lantbruket har lineår programmering (LP) erhållit omfattande utbredning (1, 2). Metoden har dårvidlag visat sig mycket anvåndbar, vilket emellertid inte hindrar att det i vissa fall vore en fordel att kunna beakta allmånnare samband ån som år mb" j ligt vid LP, liksom att erhålla heltalslosningar. Ett flertal olika metoder hårfor finnes i dag utarbetade (2), men ingen universalmetod tycks ha framkommit med vilken man samtidigt kan taga hånsyn till dessa båda krav.

Ett annat forhållande som under senare tid i allt storre utstråckning
kommit att influera den praktiska planeringen av lantbruksforetag gallerfrågan
om en eller flera målsåttningar. I Sverige anvånder man

---

1) Det arbete som beskrives i denna artikel påbor jades hosten 1964. Från och med årsskiftet 1965 f66 har anslag från Jordbrukets Forskningsråd mojliggjort att agr. stud. B. Hovmark kunnat anstållas for dataarbete och fortsatt programmering. Datamaskintid vid CDC-3600-anlåggningen i Uppsala har ståilts till forfogande av Statskontoret. Under hela denna tid har arbetet diskuterats med olika medarbetare vid Lantbrukshogskolans institution for Foretagsekonomi, Uppsala, såvål individuellt som vid seminarier. Sårskilt har institutionens foreståndare tf. professor U. Renborg stimulerat och på alia sått stott arbetet. Detta galler också tf. professor E. Johnsen och docent J. Odhnoff vid Foretagsekonomiska institutionen vid Lunds Universitetet. For detta år vi stort tack skyldiga.

2) Professor, Fysiska institutionen, Chalmers Tekniska Hogskola, Goteborg.

3) Agronom, Avd. for trådgårdsodlingens driftsekonomi, Lantbrukshogskolan, Alnarp.

vid praktisk planering oftast ett forenklat planeringsforfarande - HUVmetoden-, vilken år uppbyggd efter i huvudsak samma grundprincip som LP (3, 4). Forenklingen motiveras av att det oftast existerar ett flertal losningar nåra maximilosningen samt av att variationen i parametrarnaår så stor att ett forfinat planeringsforfarande ej år motiverat. I detta praktiska planeringsarbete har man efterhånd också allt mer uppmårksammat att foretagaren, for att fatta beslut om framtida driftsinriktning,oftast ej no jer sig med uppgift om det totala tåckningsbidragetsstorlek for olika tånkbara alternativ, utan åven onskar information om deras likviditets- och riskkonsekvenser. Dessutom beaktar foretagarenbeslutsfattareni stor utstråckning mer eller mindre svårkvantifierbara forhållande vid sitt val av alternativ. Exempel hårpå år alternativets konsekvenser ur arbetssynpunkt (bundenhet vid animalieproduktion, total egen arbetsinsats), liksom huruvida alternativet innehåller ur foretagarens synpunkt intressanta produktionsgrenar, m. fl. trivselsynpunkter. Det år dårfor ofta nodvåndigt att vid planeringen »arbeta med flera olika kriteriefunktioner«samt att presentera de utforda beråkningarna så att mojligheter erbjuds foretagaren att vålja den enligt hans samlade bedomninglåmpligaste driftsinriktningen. Vid planering enligt HUVmetodenkan dessa synpunkter beaktas.

Mot bakgrunden av vad ovan sagts om krav på planeringsmodellens flexibilitet och om såttet att presentera erhållen information har vi funnit det vara av intresse att undersoka huruvida en »Monte-Carloteknik« baserad på slumptalsgenerering vore tillåmpbar på dylika problem. En teknik av detta slag har i olika versioner anvånts for att maximera en funktion av flera variabler under hånsynstagande till givna bivillkor, d. v. s. våsentligen samma problem vid lineår programmering.₄) Vid Monte-Carlo-analys kan man emellertid bortse från LP-metodens krav på bl. a. linearitet (eg. proportionalitet) och delbarhet. Detta gor Monte-Carlo-metoden sårskilt låmpad om de ingående sambanden år komplicerade och då heltalslo'sningar onskas. Dessutom ligger det i Monte-Carlo-teknikens natur att flera kriteriefunktioner kan beaktas samtidigt samt att ett flertal olika losningar erhålles (se nedan).

Beskrivning av den använda metoden.

Vad vi hår kallar Monte-Carlo-teknik har såsom nåmnts tilåmpats
tidigare bl. a. for att maximera en funktion av flera variabler (5, 6, 7).

4)

och dår titß^titB^ och bk år konstanter.

I sin enklaste form innebår metoden att varje variabel slumpmåssigt tilldelas ett varde inom ett givet intervall, varefter funktionsvårdet beråknas. Detta upprepas ett stort antal ganger och det basta resultat som erhålles utgor losningen. Denna metod kallas av Brooks for »simple random« (6, 7). Om bivillkor forekommer maste man givetvis forst testa om dessa år uppfyllda, och om så ej år fallet forkastas losningen. Om antalet variabler år stort och funktionssambanden ej alltfor snabbt varierande, kan man vånta sig att det existerar ett mycket stort antal kombinationer av de ingående Vciriablernas varden, vilka ger funktionen i fråga varden nåra maximum. For att hitta en av dessa kombinationer kan det dårfor vara tillråckligt att prova endast en mycket ringa bråkdel av alia mojliga kombinationer, forutsatt att letandet gores på ett slumpmåssigt sått. Metoden år uppenbarligen speciellt låmpad om man i forstå hand icke onskcir beståmma funktionens absoluta maximum utan år tillfredsstålld med ett varde over en given nivå.

Ett exempel på Monte-Carlo-metodens användning inom fysiken

Det kan kanske vara av intresse att inleda beskrivningen av Monte- Carlo-tekniken med ett exempel från fysiken, dår denna teknik nyligen kommit till anvåndning (8): Man onskar konstruera en s. k. »multipolmagnet«med hogsta mojliga fåltstyrka under beaktande av vissa bivillkoravseende kostnad, vikt m. m. Fåltstyrkan år starkt beroende av magnetpolernas exakta utforammg, vilken kan beskriv as av ett antal parametrar. Att beståmma det optimala vårdet av alia dessa parametrar med konventionella metoder skulle vara synnerligen tidsodande. En ytterligare komplikation i detta fall år att ett av sambanden, nåmligen jårnets magnetiseringskurva, endast år givet i grafisk form, varfor analytiska metoder ej utan vi dare kan tillåmpas.. Med hjalp av en enkel Monte-Carlo-metod visade det sig emellertid mojligt att snabbt hitta ett flertal losningar av allt att doma mycket nåra maximum. Det kan givetvis vara svårt att med såkerhet avgora om en losning ligger nåra det maximum som man inte kånner. Men om losningarna i toppen ligger vål samlade och de ingående sambanden ej år alltfor oregelbundna, år det mycket osannolikt att en våsentligt båttre losning existerar. I ett praktiskt fall som detta år vidare osåkerheten på grund av gjorda approximationerså stora att det saknar mening att pressa losningen over en viss grans, forslags vis 5 % från toppen. Med andra ord år varje losninginom detta intervall lika intressant. I stållet for att soka den enligt modellen absolut basta losningen år det dårfor av storre varde att erhållaett

hållaettantal losningar nåra maximum att val ja mellan for att man skall kunna ta hånsyn till faktorer som ej beaktas vid uppstållandet av ekvationerna, såsom svårigheter vid tillverkningen. Analogierna mellan detta tekniska problem och ekonomisk foretagsplanering år uppenbara. Det forefoll oss dårfor naturligt att prova en liknande metod åven i detta senare fall.

Matematisk beskrivning

Den Monte-Carlo-metod vi tillåmpat for foretagsekonomisk planering
skil jer sig på vissa punkter från den ovan beskrivna. Som underlag
for metoden ligger foljande modell.

En kriteriefunktion - i forekommande fall flera funktioner - år given

(1)

dår Xi år omfattningen av den z:te aktiviteten. Denna funktion kan ha praktiskt taget godtyckligt utseende och kan åven vara av icke-analytisk natur. Av de Nst aktiviteterna år Kst oberoende - ges slumpmåssig omfattning oberoende av varandra - medan de återstående (N~K)st år beroende och givna av sambanden

(2)

Bivillkoren antages vara av formen

(3)

(4)

Variablerna kan - men behover ej nodvåndigtvis - vara begrånsade till heltal. Ch, Am, Bm och bk år konstanter, av vilka Ca kan vara positivt eller negativt medan de ovriga år icke-negativa. Givetvis skall Am ej medtagas i ekv. (3) om motsvarande omfattning xt år lika med noll.

Bivillkoren innehåller således endast de oberoende aktiviteterna. Om åven beroende aktiviteter ingår, elimineras dessa med hjalp av sambanden (2), så att bivillkoren blir av formen (3). I princip kan givetvis åven mer komplicerade bivillkor handhas med Monte-Carlo-metoden. Med den speciella teknik vi anvånder oss av (se nedan) skulle emellertid ett annat utseende hos bivillkoren innebåra en avsevård komplikation. I de fiesta praktiska fall torde dock (3) vara tillfyllest. (Det bor observeras att vid LP-analys maste samtliga Am vara noll).

Den har anvanda Monte-Carlo-metoden arbetar nu pa foljande satt
(se fig. 1 och fig. 2).

I. Av de K oberoende aktiviteterna utvåljes en aktivitet på ett slumpmåssigt sått och ges en slumpmåssigt vald omfattning inom givna grånser. Dårefter kontrolleras att samtliga bivillkor (3) år satisfierade. Om så icke skulle vara fallet, minskas omfattningen av den ifrågavarande aktiviteten så mycket som erfordras for att samtliga bivillkor skall vara uppfyllda. Om omfattningen dårvid blir mindre an den faststållda minimigrånsen, sattes omfattningen till noil. Proceduren fortsåttes tilis ett på forhånd beståmt antal aktiviteter kommit med i losningen (med omfattning > 0) eller tilis samtliga aktiviteter genomgåtts.

11. Dårefter genomgås samtliga tidigare utvalda aktiviteter ytterligare
en gang i samma ordning och kompletteras till den omfattning bivillkoren

111. Med hjalp av sambanden (2) beråknas omfattningen av de be
roende aktiviteterna.

IV. Slutligen beråknas kriteriefunktionernas varden.

Stegen I-IV kan illustreras med hjalp av fig. 2, avseende ett traditionellt produktmixproblem med två produkter, xi och x%. Dessa kan forekomma i omfattningar mellan xi min och xi max resp. #2 min och X2 max. Bivillkoren antages for enkelhets skull representerade av rata linjer AB, CD och EF. Av de två produkterna våljes exempelvis X2 forst och ges slumpmåssigt omfattningen X2. Dårefter ges x\ t. ex. omfattningen x\. Vi hamnar då på punkten P i diagrammet. Bivillkoren år då uppfyllda. Vid den i steg II beskrivna kompletteringen erhåller x% maximalt varde med hånsyn till restriktionerna d. v. s. #2". xi kan nu ej okas, utan punkten Q utgor losningen i detta fall. Om i stållet xi i forstå omgangen hade erhållit vårdet xi", hade restriktionerna overskridits. Vårdet på xi minskas då till x{" och punkten S utgor losningen. Någon komplettering kan ej goras i detta fall. For de olika losningarna beråknas dårefter kriteriefunktionernas varden.

Vad som skiljer den hår anvånda Monte-Carlo-metoden från den ovannåmnda »simple random« år således fråmst att omfattningarna for aktiviteterna anpassas till de givna bivillkoren, varigenom man undviker olågenheten att behova forkasta losningar, vilka efter att rent slumpmåssigt tilldelats omfattningar ej uppfyller bivillkoren. Den i steg II beskrivna kompletteringen medfor dessutom att varje losning hamnar på begrånsningssfåren, d. v. s. ingen aktivitet kan okas i omfattning utan att någon annan maste reduceras. Denna teknik blir specieilt enkel om bivillkoren år av den lineåra typen (3) och endast innehåller de oberoende variablerna.

Flerstegsprocess

Om antalet aktiviteter år stort kan det med den ovan beskrivna metoden taga lang tid att hitta en losning tillråckligt nåra maximum. For att forbåttra metodens effektivitet hårvidlag kan man anvånda sig av en flerstegsprocess, dår metoden successivt anpassas på basis av erfarenheter från tidigare korningar. I de praktiska fall som hittills analyserats har foljande anpassningsprocesser befunnits mycket effektiva,

a) intervallreducering och b) viktfaktorer samt c) kombinationer dårav.

Intervallreducering innebår att aktiviteternas variationsområden succesivt reduceras, om det visar sig att mojliga aktivitetsomfattningar i losningarna over en viss nivå år i huvudsak koncentrerade till endast en del av i problemet ursprungligen angivna intervall. (Se vidare nedan).

Vikt faktor er innebår att i steg I ovan samtliga aktiviteter ej val jes ut med samma sannolikhet utan i proportion till de viktfaktorer de åsatts. Detta medfor att vissa aktiviteter har storre sannolikhet att våljas på ett tidigare stadium an andra. På grund av det sått programmet arbetar får dylika aktiviteter också storre sannolikhet att komma med i stor omfattning, medan aktiviteter som valj es vid en senare tidpunkt som regel endast kan komma med i ringa omfattning eller ev. inte alls, enar resurserna då ofta år hårt utnyttjade. Om en viktfaktor sattes lika med noil for en aktivitet kan den givetvis ej komma med i losningen. Genom att forse mindre lonsamma aktiviteter med liten viktfaktor (men > 0) kan man emellertid forsåkra sig om att de ej blockerar andra aktiviteter utan endast kommer in på slutet i den mån resurserna det medger. Ett sått att beståmma dessa viktfaktorer diskuteras nedan. Man kan emellertid också tånka sig att rangordna aktiviteterna efter tåckningsbidrag per enhet av olika begrånsade resurser, eller att låta beslutsfattaren intuitivt foreslå såvål viktfaktorer som intervallreducering.

En dylik flerstegsprocess har vissa likheter med en av Brooks beskriven metod, kallad »shrinkage random« (5, 6, 7). Denna utgor en modifiering av »simple random« pa sa satt att det omrade som undersokes minskas gradvis omkring den dittills basta funna losningen. Processen fortsattes tills ingen vasentlig forbattring erhalles. Denna metod - liksom ovriga av liknande slag som vi funnit beskrivna i litteraturen - gar huvudsakligen ut pa att snabbast mojligt finna extremvarden (maximum eller minimum) hos en given funktion. Den av oss utvecklade metoden har emellertid en delvis annan malsattning, namligen att i forsta hand ge en sa. fullstandig bild som mojligt av de losningar som ligger over en viss niva (vid maximeringsproblem). I detta fall ar det uppenbart att intervallreduceringar och andra flerstegsprocesser maste anvandas med stor forsiktighet. Detta diskuteras vidare i samband med det praktiska exemplet nedan.

Ett praktiskt exempel.

Beskrivning av problem och modeli

Monte-Carlo-tekniken har hittills testats på planeringsproblem rorande6 olika foretag. Vi har hår valt att belysa metoden utifrån ett planeringsfall avseende ett lantbruksforetag i nordvåstra Skåne (»Slåttarod«).Som framgår av matrisen (tab. 1) galler problemet att kombineramaximalt 9 vegetabilie- och 11 animalieproduktionsgrenar till låmpliga driftsformer. Begrånsningar år hårvidlag foretagets tillgångligaresurser

ligaresurser(rad 1-7) samt vaxtfoljdsrestriktioner (rad 8-10). Samtliga bivillkor innehaller har proportionella samband av den typ som forekommervid LP, d. v. s. koefficienterna Am i (3) ar noil. Dessutom anges for varje aktivitet den minsta omfattning som tillates i det fall aktivitetenar med i en 16'sning, detta for att eliminera ointressant sma omfattningar(rad 19). Aven en ovre grans anges for aktivitetens omfattning (rad 20). Denna betingas dels av vaxtfoljdssyripunkter (akt. 1-7), dels av tillgangliga resurser (akt. 8-18). Slutligen innehaller matrisen koefficienternaCji i ekvationerna (2), vilka binder Scimman aktiviteter som producerar respektive forbrukar samma produkter (rad 11-18). I dessa ekvationer ingar aven inkops- och forsaljningsaktiviteter for produkternaifraga, (akt. 21-26). Dessa liksom de foderproducerande aktiviteterna(akt. 19-20) ar beroende aktiviteter. Tackningsbidraget utgor den enda kriteriefunktionen i delta fall och antages vara av den enkla formen

(5)

Koefficienterna ti anges 6 verst i matrisen. For inkops- och forsåljningsaktiviteterna (akt. 21—26) anges såvål forsåljnings- som inkopspris. Det ovre tåckningsbidraget galler for omfattningar > 0 (forsåljning) och det nedre for omfattningar < 0 (inkop). Problemet har behandlats som ett heltalsproblem.

Som framgått av foregående avsnitt kan man med låtthet gb'ra problemet mera realistiskt genom inforande av arbetsforbrukningsparametrar m. m. av typen A + Bx (se ekv. (3)), tåckningsbidrag som varierar med aktivitetens omfattning, kvantitetsrabatter, etc. Sådana korningar har genomforts och erbjuder inga sårskilda svårigheter. Hår har emellertid som illustration valts ett exempel vilket åven kan analyseras med LP-metoden. (Motsvarande LP-matris år av storleken 32 X 25 och kan lått erhållas genom vissa omåndringar av Monte-Carlo matrisen. LP-losningen ger tåckningsbidraget 98751 kr och framgår av tabell 3).

Analysförfarande - flerstegsprocess

Den ovan angivna matrisen år av sådan storleksordning att en flerstegsprocessmed såvål intervallreducering som viktfaktorer låmpligen anvåndes. Intervallreduceringen har vanligen foretagits så att de nya intervallen satts lika med variationsvidden for aktiviteten i losningar vilka erhållit ett tåckningsbidrag over en viss nivå i en inledande kortarekorning, i detta exempel satt till 92000 kr. Viktfaktorerna har dels

beståmts som antalet losningar i procent av samtliga forekommande over samma nivå vilka innehåller aktiviteten ifråga ( f>-viktfaktorer), dels som dessa viktfaktorer i kvadrat Qb²-viktfaktorer). (Lika viktfaktorerfor samtliga aktiviteter benåmnas 1-viktfaktorer).

Som framgår av tabell 2 år effekterna av flerstegsprocessen påtagliga. Dver tåckningsbidraget 92000 erhålles proportionsvis 20-25 ggr. fler losningar och i de hogsta tåckningsbidragsintervallen år okningen ånnu storre. Medeltalet for maximalt erhållet tåckningsbidrag okar också samtidigt som variationsvidden minskar. Motsvarande analyser har genomforts på andra problem varvid effekter av samma storleksordning

Ovanstående metodik kan emellertid medfora vissa icke onskvårda effekter. Som tidigare nåmnts år nåmligen vart huvudsyfte med undersokningenatt analysera de losningar som ligger over en for foretagaren acceptabel nivå, vilket vi anser bor ge intressant information for beslutsfattandet.Vid en successiv intervallreducering kan det intråffa att

vissa intressanta omfattningar ej råkar komma med i den korning som ligger till grund for intervallreduceringen varfor de blir eliminerade i fortsåttningen. Risken hårfor år såvitt vi kan bedoma mindre i ett fall som det hår behandlade, vilket uppfyller kraven for LP-analys. Begrånsningssfårenår då rent konvex (se fig. 2), och kriteriefunktionen, som i detta fall endast innehåller proportionella samband, se (5), har ett enda maximum. Vid successiva intervallreduceringar enligt ovan konvergerarområdet då mot detta maximum, forutsatt att tillråckligt många forsok gores (jfr. fig. 3). An våndes dåremot arbetsforbruksningsparametrarav typen A -j- Bx och feller kriteriefunktion av mera komplicerad typ kan flera maxima upptråda, och risken att man genom intervallreduceringeneliminerar ur tåckningsbidragssynpunkt intressanta 16sningarår troligen storre. Forhållandet kompliceras ytterligare om flera kriteriefunktioner skall beaktas samtidigt. Aven anvåndandet av viktfaktorerinnebår en viss risk for okontrollerad styrning av de erhållna losningarna. Då tidsbesparingen vid flerstegsprocesser kan vara betydande,år problemet nårmast en fråga om avvågning mellan kostnaderna for och fullståndigheten i den erhållna informationen. Stråvan att erhållafullståndig kunskap om mojliga »typer« av losningar på ur kriteriesynpunktintressanta nivåer bor ej leda till att man forkastar en metodvilken till forhållandevis ringa kostnad ger god information om stor del av dessa. En tvåstegsmetodik vilken innebår att man gor ett storre antal kortare helt oberoende korningar innehåilande ett forstå steg och en i programmet inbyggd intervallreducering och åsåttande av viktfaktorerfor andra steget medfor formodligen att ovannåmnda risker minskas. Slutligen skall tillåggas att man all tid har mojligheten att enbart anvånda enstegskorningar utan vare sig intervallreducering eller viktfaktorer. I jåmforelse med de ovannåmnda enkla Monte-Carloforfaranden(5, 6, 7) som i andra sammanhang anvåndes, innebår dock den hår anvånda metodiken åven utan flerstegsprocess en avsevård tidsbesparing. Det kan hår också nåmnas att vid korning på GDG 3600 av detta exempel erhålles i medeltal 20 losningar per sekund vilka samtligauppfyller bivillkoren. Då man med anvåndande av flerstegsanalys redan efter några tusen forsok oftast kan bilda sig en god uppfattning om planeringsproblemet (se nedan), haller sig således datamaskinkostnadenpå rimlig nivå. Eftersom kortiderna i stort sett stiger proportioneiltmed antalet aktiviteter (vid konstant antal bivillkor), år det uppenbartatt åven avsevårt storre problem kan analyseras till måttlig kostnad.

Erhållen information och analys härav

Vid en analys av ovanstaende slag erballer man med det for narvarande
anvanda programmet foljande information:

a. Losningen med hogsta tåckningsbidraget (se tabell 3).

b. Angivande av samtliga losningar over angiven utskriftsgråns (se
tabell 3).

c. Statistik over samtliga framråknade losningar. Losningarna grupperas dårvid efter tåckningsbidrag i olika grupper. For dessa grupper beråknas for varje aktivitet medelomfattning, max.- och min.vårde samt spridning kring medeltalet, i samtliga fall endast for omfattningar skiida från nolL Dessutom anges procentuella antalet losningar på resp. tåckningsbidragsnivå i vilka aktiviteten varit skild från noll. Motsvarande uppgifter framråknas åven for ej utnyttjade mångder av resurserna. Statistiken presenteras hår i diagramform (figur 3).

Analysen av erhållen information kan ske på t. ex. foljande sått. Med ledning av statistikens uppgifter om procentuella antalet losningar i vilka respektive aktivitet har en omfattning skild från noll kan aktiviteterna indelas i tre grupper. (Det bor observeras att denna indelning ej kan goras definitiv, eftersom metoden år en slumpmetod).

1. »PLUS-aktiviteter« vilka nodvandigtvis maste inga i en losning for att den skall uppna ett tackningsbidrag vilket 6'verskrider en av fb'retagaren fixerad lagsta niva for ur hans synpunkt intressanta 16'sningar (antages har satt till 92000 kr), (ex. aktivitet 2, 5, (6), 7).

2. »MINUS-aktiviteter« vilka ej kan inga i en losning om denna skall
overskrida den fixerade nivan (ex. aktivitet 8, (9)).

3. »NOLL-aktiviteter« vilka kan men inte nodvendigtvis maste forekomma
i losningar over den fixerade tackningsbidragsnivan (ex.
aktivitet 1, 3, 4).

Efter denna indelning av aktiviteterna kan bl. a. två fall for fortsatt
beslutsfattande tånkas.

a. Beslutsfattaren finner de aktuella »PLUS- och NOLL-aktiviteterna« intressanta och overgår till att vålja bland olika kombinationer av dessa. (Tab. 3). Dårvid kan han gora sitt val mot bakgrund av i modellen ej beaktade kriterier.

b. For den håndelse foretagaren gårna onskar att någon viss »MlNUSaktivitet« skall forekomma i den losning han våljer, erhåller man utifrån statistiken uppgift om på vilken nivå losningar innehållande aktiviteten ifråga forst år mojliga. Om beslutsfattaren år beredd att sånka kravet på tåckningsbidrag till denna nivå presenterar man olika losningar vilka innehåller aktiviteten ifråga⁵). På analogt sått kan man forfara, om beslutsfattaren onskar att någon viss »PLUS-aktivitet« ej får forekomma.

Ur figur 3 kan aven annan information erhallas. Som framgar darav
konvergerar aktiviteternas variationsomrade vid stigande tackningsbidragmot
LP-16sningens omfattning. Detta ar en foljd av att i detta
exempel bivillkor och kriteriefunktion ar av den enkla typ som anvandesvid
LP-analys, varvid som ovan diskuterats, endast ett maximum
forekommer hos kriteriefunktion. Konvergensen sker cmellertid olika
snabbt, och for vissa aktiviteter ar hogst olika omfattningar mojliga
aven vid tackningsbidrag mycket nara maximilosningen (akt. 1, 2, 15,
16, 17). Det framgar ocksa att av de aktiviteter vilka ej finnes med i
LP-16sningen forekommer nagra i losningar med hoga tackningsbidrag
(akt. 1, 3, 14, 16, 18) och ofta i betydande omfattning (akt. 1, 16, 18).
Information av detta slag ar uppenbarligen av stort varde vid beslutsfattandet.Detta
galler aven den information over resursutnyttjandet
pa olika tackningsbidragsnivaer som erhalles ur tabell 4. (Uppgifter om
spridningen kring resp. aktivitetsomfattnings medeltal redovisas ej har,
da den huvudsakligen har intresse vid diskussioner om olika satt for
inter vallreducer ing).
I tabell 3 slutligen har angivits nagra olika losningar. Darav framgar
- liksom aven av fig. 3 - att »Slattarod« ar ett »flackt« problem satillvidaatt
de 15 utvalda losningarna med tackningsbidrag over 92000 kr

---

5) Olika sådana losningar kan snabbt erhållas genom att aktiviteten åsattes en hog viktfaktor och dårigenom tvingas in i ett flertal losningar (ex. losn. nr. 10, tab. 3). Man kan också åsåtta grupper av aktiviteter hoga viktfaktorer t. ex. i detta fall akt. 1-14. Genom att infora ett nytt bivillkor (3) med b_k =1 och A_ki =1 for i = 10-14 erhåller man losningar innehållande endast en av dessa aktiviteter (ex, lcisn. nr. 8, tab. 3).

tåcker in samtliga aktiviteter utom nr. 8. Det bor dårvid observeras att de i matrisen angivna minimigrånserna hindrar att ointressant små omfattningarkommer med. Av tab. 3 framgår också att antalet produktionsgrenarvarierar mellan 7 och 14 st. samt att skillnaden i insatt arbete mellan olika losningar kan uppgå till ca 500 mt. For ett familjeforetagsom »Slåttarod« kan uppgifter hårom såkert påverka valet av alternativ. Foretagaren torde också betirakta ett alternativ dår han sjålv producerar de smågrisar som skall uppfodas till godsvin (t. ex. nr. 5) som mindre riskfullt ån ett dår ttt stort antal smågrisar maste sål jas eller kopes på en marknad med stora prisrisker (t. ex. nr. 2).

Fortsatt arbete och sammanfattning

De resultat som presenterats ovan år endast preliminåra, och många problemstållningar återstår att penetrera. Detta galler nårmast effekterna av intervallreducering och viktfaktorer sårskilt for problem innehållande icke-proportionella samband. Metoden kommer vidare att testas på ett storre antal problem (foretag, blandningsproblem, dimensionering av maskinpark) av varierande storleksordning. Dessutom kommer anstrångningar att såttas in på behandlingen av vissa hittilis svårbemåstrade problemtyper, bl. a. sådana dår man onskar såtta en lågsta grans for en summa av aktiviteter (t. ex. vissa ur våxtfoljdsynpunkt fordelaktiga grodor) samt också sådana dår summan av inom foretaget producerade kvantiteter maste vara exakt lika med summan av de konsumerade kvantiteterna, d. v. s. då inkops- och forsåljningsaktiviteter ej år tånkbara. I det fortsatta arbetet kommer vi också att genomfora »specialiseringsanalyser« varvid effekterna av succesiv minskning av antalet tilllåtna aktiviteter i losningen undersokes, analyser med flera kriteriefunktioner, liksom i ovrigt en mera fullståndig genomgång av metodens mojligheter till beskrivning av den foretagsekonomiska verkligheten. Aven utvårderingen av erhållen information kommer att analyseras ytterligare.

Erfarenheterna från arbetet med Monte-Carlo-metoden vid foretagsekonomisk planering har varit uppmuntrande. Det torde emellertid ånnu vara for tidigt att mera generellt yttra sig om metodens anvåndbarhet Man vågar dock påstå att for problem av måttlig storlek och dår man onskar ett flertal olika heltalslosningar att vålja mellan, har metoden visat sig anvåndbar. Stort praktiskt varde bor metoden också ha for studium av modeller som ej kan behandlas med LP, d. v. s. innehållande icke-proportionella samband, flera kriteriefunktioner etc. Då den dessutom tycks innehålla många ånnu ej i detalj studerade utvecklingsmojligheter vågar man nog påstå att den hår beskrivna Monte-Carlometoden bor kunna vara ett låmpligt komplement till andra inom foretagsekonomin anvånda operationsanalytiska metoder, fråmst lineår programmering.

Litteraturförteckning

1. Heady, E. 0., Chandler, W., Linear programming methods. Michigan 1960.

2. Hutton, R. F., Operations research Techniques in Farm Management: Survey and
Appraisal. J. Farm. Econ. 47 : 1400-1414, Dec. 1965 (Artikeln innehåller en omfattande

3. Johnsson, H., Renborg, U., Såfvestad, V., Resultatmaximering i lantbruket. Medd.
fr. Jordbrukets utredningsinstitutt 3-59.

4. Renborg, U., HUV-metoden och dess anknytning till ovriga planeringsmetoder.
Nordisk jordbruksforskning 43 : 28-35. Sthlm. 1961.

5. Brooks, S. H., A discussion of random methods for seeking maxima, J. Oper. Res.
Soc. Amer. 6, No. 2, 1958.

6. Brooks, S. H., A comparison of maximum seeking methods, J. Oper. Res. Soc. Amer.
7, No. 4, 1959.

7. Flood, M. M. and Leon, A., A universal adaptive code for optimization, Space
Science Laboratory, University of California, Berkeley, International Working
Paper, No. 19, Aug. 1964.

8. Lindgren, 1., Optimum design of a jiixpole focusing atomic-beam magnetic-resonance
apparatus, att publiceras i Nuclear Instruments and Methods.