Rente og skat, metoder til beregning af netto-renten.

I fuldmægtig Tage Christiansens afhandling »Rente og skat« i tidsskriftets nr. 4 f1964
søges i afsnit 18 ligningen:

(1)

løst med tilnærmelse ved formlen

(2)

hvor 100 i = p % og 1435 kr. er den terminlige ydelse for et annuitetslån på 100.000
kr. med løbetid 120 terminer og lånerente 1 % pr. termin.

Den fejl, der begås ved at beregne rentefoden i efter formel (2), kan ikke umiddelbart

Ved (1) kapitaliseres en række ydelser begyndende med 1205 kr. pr. termin stigende til 2184 kr. pr. termin med en samlet sum på \ • 2205 • 120 + \ • 100.000 = 182.300 kr. Ved (2) kapitaliseres en konstant ydelse på 1435 kr. i 120 terminer, d. v. s. en sum af ydelser på 172.200 kr.

En matematisk påvisning af fejlgrænserne ved at anvende formel (2) vil ikke have
nogen praktisk interesse, da den korrekte ligning (1) kan omformes således, at den ved
nogle få tabelopslag kan løses med enhver ønsket nøjagtighed.

Højre side af (1) er udtryk for kapitalværdien - efter rentefod i - af ydelserne på
et annuitetslån på 100.000 kr. med lånerente 2 % pr. termin med fradrag af kapitalværdien
- efter rentefod i - af halvdelen af den rente, der betales på lånet.

Højre side af (1) kan derfor fortolkes som halvdelen af kapitalværdien af alle
ydelser på lånet med tillæg af halvdelen af kapitalværdien af alle afdrag på lånet.

Da afdragene på et annuitetslån vokser efter en geometrisk progression, er det en
simpel sag at kapitalisere dem særskilt. I det foreliggende eksempel er afdraget i
1. termin 205 kr., i2. termin 205 • 1,02 kr. ... og i den 120. termin 205 ■ 1.02119 kr.

Ligningen (1) kan herved sammentrækkes til:

(4)

hvor 100 i = p %.

Vil man bortskære ikke halvdelen, men kun en fjerdedel af lånerenten, skal (3) blot
ændres til:

(5)

Ved hjælp af en tabel over (I+i)120 finder man af (3), at netto-renten bliver 3,69 %
p. a. (2 gange den halvårlige rente), og af (4), at netto-renten bliver 5,08 % p. a.

Efter forfatterens tilnærmelsesformel (2) bliver resultatet henholdsvis 3,90 % og
5,20 % p. a.

Formlerne kan let modificeres til brug ved beregning af netto-renten i tilfælde af,
at lånet indfries kontant eller ved opkøb af obligationer.

Den her angivne metode til beregning af netto-renten kan, som det fremgår af (3) og (4), anvendes på ethvert annuitetslån. Ved beregningerne skal lånerenten ikke korrigeres efter m-skattens størrelse, da sidstnævnte kun påvirker koefficienterne til formlernes to led.

Forfatterens tilnærmelsesformel er korrekt for annuitetslån med m-skatteprocent 0 og giver derfor en god tilnærmelse for meget lave m-skatteprocenter. For en m-skat på 50 % kan tilnærmelsesformlen, som det fremgår af eksemplet, føre til en afvigelse på et par enheder på første decimal i netto-renteprocenten.

Det ræsonnement, der ligger til grund for forfatterens tilnærmelsesformel, vil derimod
for lån med faste afdrag - afdrag hvis størrelse af uafhængig af den betalte
lånerente - for alle m-skattesatser føre til det korrekte resultat.