Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, Bind 29 (1965)Tidsspærring og kundespærring i et køsystem.Niels Chr. Knudsen *) 1. I det følgende betragtes et køsystem med M(M 1) parallelforbundne ekspedienter og køpladser til N-M ventende kunder (N M). Systemet betegnes for kortheds skyld med (M, N-M). Hver af de M ekspedienter kan kun ekspedere én kunde ad gangen, og hver til systemet ankommende kunde, som opnår at blive ekspederet, skal kun ekspederes én gang og forlader straks efter ekspeditionens afslutning systemet. Kunder, som ved
ankomsten til systemet finder mindst én ekspedient
Kunder, som ved ankomsten finder alle M ekspedienter optaget, tager opstiling i køen, hvis der er plads i denne, og forbliver i køen, indtil ekspedition kan finde sted (tålmodige kunder). Så snart en af de M ekspedienter bliver ledig, rykker en af dt ventende kunder frem og bliver ekspederet. Der forudsættes intet om kødisciplin, d. v. s. den rækkefølge, hvori ventende kunder ekspederes. Kunder, som ved
ankomsten til systemet finder alle N-M køpladser
Kundeankomsterne til systemet tænkes at følge en vilkårlig, stationær fordelingslov med gennemsnitlig a kundeankomster pr. TE. At ankomstfordelingen er stationær vil sige, at de til fordelingens karakteristik nødvendige parametre - herunder specielt det gennemsnitlige antal ankomster pr. TE - antages at være i tiden uforanderlige størrelser. Ekspeditionstiden pr. kunde følger ligeledes en vilkårlig stationær fordelingslov med en gennemsnitlig ekspeditionstid på l fb TE pr. kunde. Ekspeditionstiden pr. kunde forudsættes identisk fordelt for samtlige M ekspedienter. *) cand. oecon., amanuensis ved Aarhus Universitet. Side 194
Det forudsættes endvidere, at ankomstprocessen og ekspeditionstiderne er stokastisk uafhængige. Der ses således f. eks. bort fra et tilfælde, som let kan tænkes at forekomme i praksis, nemlig at ekspedienterne arbejder hurtigere, d. v. s. nedsætter den gennemsnitlige ekspeditionstid pr. kunde, i perioder, hvor kundetilstrømningen er relativt intens. Det foran anførte
om systemets indretning og funktion kan illustreres
![]() Fig. 1. Det forudsættes,
at systemet er af en sådan art, at det kan komme 2. Ved tidsspærringen forstås den brøkdel af tiden, i hvilken systemet i det lange løb er spærret for tilgang af nye kunder, fordi alle ekspedienter og evt. køpladser er optaget. I en model af den her omhandlede art vil tidsspærringen være lig med ligevægtssandsynligheden, Pn. . >! Ved kundespær ringe ?i forstås derimod sandsynligheden for, at en til systemet ankommende kunde afvises. Kundespærringen kan for praktiskeformål fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb afvises af systemet, fordi alle ekspeditionspladser og evt. køpladser 1) Om statistisk ligevægt, se f. eks. D. R. Cox and W. L. Smith, »Queues«, London 1961, s. 33 ff. 2) Et specialtilfælde af den ovenfor beskrevne model (med poissonfordelte kundeankomster og eksponentielt fordelte ekspeditionstider) er behandlet i Svend Fredens, »En kømodel«, Erhvervsøkonomisk Tidsskrift 1960, s. 161 ff. Side 195
i systemet er
optaget i ankomsttidspunktet. Kundespærringen betegnes
Hvis kundeankomsterne til systemet er tilfældigt fordelte i tiden (poissonfordelte), er kunde- og tidsspærring identiske, d. v. s. P« = Pn. For andre ankomstfordelinger end netop poissonfordelingen gælder identiteten Pa = Pn derimod ikke, og der knytter sig derfor en betydelig interesse til et generelt udtryk, som gør det muligt at bestemme Pa ved hjælp af systemets ligevægtssandsynligheder, Pn (n = 0, 1, . . . , N). Et sådant udtryk
kan udledes ud fra følgende betragtning: Antallet af
optagne ekspedienter i systemet er en stokastisk
variabel ![]() Af-1 N ![]() (>)• a Side 196
3. 1 nogle
eksempler vises nedenfor beregningen af Pa ved hjælp af
(a) Poissonf or
delte kunde ankomster og eksponentielt fordelte ekspedi
1) For system (M,
N-M) gælder, at E = A (I-Pn) 3) hvilket indsat ![]() der viser, at
systemets kundespærring er lig med tidsspærringen i
overensstemmelse 2) let rent
ventesystem, d. v. s. system (Af,00), har man E= A.'6)
![]() hvilket stemmer
overens med, at der ikke forekommer afvisning i et
(b)
Erlangfordelte kundeankomster. Erlangfordelte
kundeankomster af r'te orden (med parameteren a) ![]() (2) (t>o) hvor r er et
positivt, helt tal og a en positiv konstant. Det
gennemsnitlige I dette
ekstmpel vises, hvorledes man ved hjaelp af (1) kan
beregnc 3) Svend Fredens, anf. arb. s. 167, tabel 1. Side 197
ditionstider.4)
Dernæst sammenlignes anvendelsen af formel (1) med
Det betragtede
system (1, 0) kan befinde sig i tilstandene 0 og 1, og
![]() (3) Da E = Pi, får
man umiddelbart ved anvendelsen af (1): ![]() (4) hvor
lighedstegnet kun gælder for r — 1, d. v. s. for
poissonfordelte Man får altså, takket være de mere regelmæssige kundeankomster (i relation til poissonprocessen), der karakteriserer erlangprocessen, en bedre udnyttelse af ekspedienten (idet E = Pi er en voksende funktion af r), samtidig med at de ankommende kunders afvisningsrisiko mindskes (idet Pa er en aftagende funktion af r). En alternativ måde, der kan anvendes til beregning af Pa, er følgende: Man betragter et ankomsttidspunkt, T, hvor systemet vil befinde sig i tilstand 1. Sandsynligheden, Pa, for at den næste kunde, der ankommer til systemet i tidspunkt T-\-t (t^Z 0), afvises, er da: ![]() (5) idet e~bt er sandsynligheden for, at den iT igangværende (evt. netop påbegyndte) ekspedition endnu ikke er afsluttet i T+t, og f{t) dt er sandsynligheden for, at den »næste« kundeankomst indtræffer i tidspunktet T-\-t, idet f(t) er den i (2) anførte tæthedsfunktion for gammafordelingen af r'te orden. Udtrykket (5) gælder kun for eksponentielt fordelte ekspeditionstider, idet ræsonnementet forudsætter, at ophørssandsynligheden for en igangværende ekspedition er uafhængig af ekspeditionens hidtidige varighed. Desuden lader ræsonnementet bag (5) sig ikke anvende, når der er tale om et system med flere (parallelforbundne) ekspedienter eller et system med køpladser. I så henseende er (1) generelt anvendelig. 4) Modellen findes bl. a. diskuteret i P. M. Morse »Queues, Inventories and Maintenance*, N. Y. 1958, s. 47 ff. Side 198
Morse bestemmer
Pa ud fra et tredie synspunkt5): Idet vi med Fs betegner intensiteten i de mulige tilstandsændringer, som er ensbetydende med, at en til systemet ankommende kunde finder en ledig ekspedient, evt. en ledig køplads, og tilsvarende med Fa betegner intensiteten i de mulige tilstandsovergange, der repræsenterer situationer, hvor en til systemet ankommende kunde finder såvel ekspedienter som køpladser optaget (d. v. s. afvises), må det gælde, at ![]() hvor Ps =
sandsynligheden for, at en kunde opnår ekspedition. Da
![]() (6) Udtrykket i (6) lader sig ligesom (1) anvende også i det tilfælde, at system (1,0) udvides med et antal (parallelforbundne) ekspedienter og feller køpladser, ligesom det beregningsmæsige arbejde ved de to fremgangsmåder stort set er ens. (6) forudsætter imidlertid, at der er tale om erlangfordelte kundeankomster, idet der kun da vil være tale om en ændring i tilstanden i det »udvidede« system — der foruden det faktiske system omfatter en imaginær »modtagemekanisme« (erlangkanal) - hver gang en kunde afvises. For andre ankomstprocessers vedkommende kan man vel tænke sig, at der ikke vil være tale om sådanne tilstandsovergange, selv om en kunde afvises. Dette vil således være tilfældet, når kundeankomsterne til systemet er hyper-poissonfordelte. I dette tilfælde vil (1) også kunne anvendes. For et hvilket som helst køsystem (M, N-M) med parallelforbundne ekspedienter, hvor der gælder stationære og indbyrdes uafhængige fordelingslove for hhv. kundeankomster pr. TE og ekspeditionstid pr. kunde, kan afvisningssandsynligheden, Pa, beregnes ved hjælp af udtrykket i (1). (c)
Hyper-poissonfordelte kundeankomster. At
kundeankomsterne er en hyper-poissonproces af 2. orden
(med (7) ![]() (*>o) hvor p og q er
positive konstanter (p +q — 1), og hvor a ligeledes er
5) Anf. arb. s. 49 ff. Side 199
l—2pq 1
Da udtrykket for f{t) i (7) er symmetrisk i p og q, kan man nøjes med at betragte de tilfælde for hvilke 0 < p < 1 f2. Når 0 < p < 1 f2, vil kundeankomsterne være mere uregelmæssige end i poissonprocessen med parameteren a. Kundeankomsterne har en tendens til at indtræffe i »bundter«, jo mere udpræget desto mindre p er. I et rent
afvisningssystem med én ekspedient - system (1,0) - med
![]() (8) ![]() Da E = Pi, får
man ved anvendelse af (1) umiddelbart: ![]() (9) hvor
lighedstegnet kun gaelder for p — q = 1/2, d. v. s. for
poissonfordelte På grund af den kraftigere »bundtning« af kundeankomsterne (i relation til poissonprocessen), der karakteriserer hyper-poissonprocessen, får man en ringere udnyttelse af systemets ekspedient (idet Pi aftager med aftagende p i intervallet 0 < p < 1 f2), medens kundernes afvisningsrisiko øges (idet Pa vokser med aftagende p i intervallet 0 <p < 1 f2). 4. De to sidste eksempler viser tillige, hvorledes man ved hjælp af gamma- og hyper-eksponentialfordelingen kan generere ankomstprocesser,i hvilke variationskoeffici enten i ankomstintervallets fordeling (standardafvigelse : middelværdi) går fra 0 (ved de fuldstændig regelmæssigekundeankomster, d. v. s. for r-^°°) over 1 (poissonprocessen) 6) Denne model findes behandlet hos bl. a. Morse, anf. arb. s. 55 ff. Side 200
til ->°°
(for f?-»0 i hyper-poissonprocessen), idet
variationskoefficienten, ![]() (for
gammafordelingen af r'te orden) ![]() (for
eksponentialfordelingen) ![]() (for
hyper-eksponentialfordelingen af 2. orden) Tidsspærringen og kundespærringen i det rene afvisningssystem (1,0) kan, alt andet lige, opfattes som en funktion af V, hvor Pi = Pi (V) er en stadigt aftagende funktion af V, medens Pa = Pa (V) er en stadigt voksende funktion af V. Disse sammenhænge
er for trafiktilbudet, A — I, illustreret i nedenstående
![]() |