En forecast-metode for tidsrækker med loymæssig forskydning af sæsonfordelingen.

Et ofte forekommende forecast-problem er at opstille forecast-værdier
for en tidsrække, hvor der ikke foreligger information om de faktorer,
der bestemmer de fremtidige tidsrækkeværdier.

Mangelen på information kan skyldes, at sammenhængen mellem tidsrækkeværdierne og de bestemmende faktorer ikke er kendt, eller at sammenhængen vel er kendt, men at der på forecast-tidspunktet ikke foreligger tilgængelige, kvantitative oplysninger om de bestemmende faktorer.

Under sådanne omstændigheder er de tidligere opnåede tidsrækkeværdier
den eneste information, der står til rådighed ved opstillingen
af forecast-værier.

For tidsrækker med sæsonsvingninger benyttes ofte i praksis en enkel
forecast-metode, som f. eks. for salgstal kan tage følgende form:

Man har inddelt sæsonerne i et antal perioder, for hvilke der foreforetages salgsregistreringer. For udgangen af hver periode kan det opsummerede salg fra sæsonens begyndelse opgøres. Ved udgangen af en sæson kan de enkelte perioders opsummerede salg udtrykkes i brøkdele (eller procenter) af sæsonens samlede salg.

Befinder man sig i en endnu ikke fuldført sæson, beregnes et skøn over den aktuelle sæsons samlede salg ved følgende ræsonnement: det allerede effektuerede salg i den aktuelle sæson svarer til så mange procent af sæsonens samlede salg, som gennemsnittet af de procentiske andele, som er opnået i tilsvarende perioder i tidligere sæsoner.

---

*) Civilingeniør, amanuensis ved Handelshøjskolen i Århus.

Metoden kan ses udbygget med usikkerhedsmål på det opstillede skøn, idet man naturligt vil have mere tillid til skøn, som er fremkommet på basis af et gennemsnit af procentiske andele, hvor de enkelte bidragydere til gennemsnittet udviser ringe variation om gennemsnittet, end til skøn, hvor variationerne har været stort.

Indføres enrække symboler, kan den ovenfor anførte metode gives en
formel beskrivelse:

S [s, p] Tidsrækkeværdien (f. eks. salget) for den p'te periode i
den s'te sæson.
Tænkes sæsonerne inddelt i m perioder, gælder det, at
1 < p < m.
Foreligger der registreringer for n fuldførte sæsoner og
a perioder fra den aktuelle sæson, gælder det, at

eller

SS [s, p] Det opsummerede salg i den s'te sæson ved udgangen af
den p'te periode.
Det gælder åbenbart:

R [s,p, q] Forholdet mellem det opsummerede salg i den j'te sæson
ved udgangen af periode p og det opsummerede salg i
samme sæson ved udgangen af periode q.
Det gælder altså:

ER [p, q] Gennemsnittet af i^-vaerdierne i de « fuldforte ssesoner.

Altsa:

Metoden kan nu udtrykkes:

Skønnet over det samlede salg i den (w+l)'te sæson

Her vil funktionstypen og den stokastiske variabel være afhængig af
den valgte kombination af p, q og r.

hvor SS \n-\-\,a\ ifølge de indførte symboler betyder det realiserede salg i den aktuelle (løbende) sæson. 100 • ER [a,m] betyder den gennemsnitlige procentiske andel, som de første a perioders salg har udgjort af de tidligere n fuldførte sæsoner.

Det skal bemærkes, at E (SS [n+l,m]) ikke i almindelig er et centralt skøn, og fornøden statistik vurdering bør finde sted i hvert konkret tilfælde, hvor skønnet benyttes. En sådan vurdering foretages dog ikke altid i praksis.

Den information, som hentes om det fremtidige tidsrækkeforløb fra de tidligere konstaterede tidsrækkeværdier ved ovenstående metode, kan for et stort antal i praksis forekommende tidsrækker forøges ved benyttelse af en ændret metode.

Denne metode udnytter den kendsgerning, at det for mange tidsrækker gælder, at variationerne i sæsonfordelingen foregår med en vis større eller mindre lovmæssighed inden for de enkelte sæsoner. Tidsrækker der udviser denne lovmæssighed er ofte sådanne, hvis forløb er påvirket af meteorologiske forhold.

En subjektiv vurdering af om en korrelation af den nævnte art er til stede fås i praksis lettest ved at betragte en grafisk afbildning af de opsummerede tidsrækkeværdier inden for hver af de tidligere registrerede sæsoner udtrykt i procent af summen af tidsrækkeværdierne for hele sæsonen. Det vil sige R [s, p, m] for varierende s- og p-værdier.

Er der i en sådan afbildning en tendens til, at de opsummerede tidsrækkeværdier for de enkelte sæsoner har en ensidig beliggenhed i forhold til de øvrige afbildede opsummerede tidsrækkeværdier, f. eks. enten ligger over middel eller under middel, vil der være grund til at formode, at der er lovmæssighed i forskydningerne i sæsonfordelingen.

Den ovenfor nævnte mulighed for korrelation kan udtrykkes:

hvor f angiver en funktionstype og N angiver en stokastik variabel.

Idet £i?-udtrykkene begge opfattes som en konstant + en stokastisk
variabsl, fås:

og tilsvarende:

Tages forholdet mellem de to J?-udtryk fås:

Betragtes nu kun de specielle funktioner af R [s, q, m] og R [s, r, m],
der kan udtrykkes som fa{R [s,q,m]/R [s,r,m]), altså funktioner af

Foreligger der for en tidsrække registreringer af R [s, p, q] og R [s, q,r] for en række j-værdier og given kombination af p, q,r, er det muligt for en a priori valgt funktionstype at bestemme de i funktionen indgående konstanter samt fastlægge karakteren af den stokastiske

Eksempel:

Foreligger der registreringer af en tidsrække, hvor værdierne er månedssalg, kan der på basis af disse registreringer f. eks. opstilles sammenhørende værdier af forholdet mellem det opsummerede salg ultimo maj og det opsummerede salg ultimo april og forholdet mellem det opsummerede salg ultimo november og det opsummerede salg ultimo maj.

De to nævnte forhold er R [s, p, q] med p = 11 (november), q — 5 (maj) og R [s,q,r] med r = 4 (april), hvor s antager en række forskellige værdier, én værdi for hver sæson, hvorfra der foreligger registreringer.

Gruppering af de foreliggende punkter gør det nærliggende at vælge
funktionstypen som et anden grads udtryk, d. v. s.:

Anvendes mindste kvadraters metode, beregnes de i udtrykket indgåede

Afvigelserne mellem registrerede værdier af R [5, 11,5] og de tilsvarende
beregnede værdier giver mulighed for en vurdering af den
tidligere omtalte stokastiske variabel N's karakter.

De angivne Æ-værdier er afbildet

I det foreliggende tilfælde, hvor registreringsmaterialet stammer fra praktiske forhold, viser det sig, at den stokastiske del af udtrykket bliver af forholdsvis ringe betydning; der foreliger altså en tidsrække med udpræget lovmæssig forskydning af sæsonfordeling.

Den fastlagte sammenhæng mellem Æ-værdierne opfordrer i høj grad
til, at man benytter sammenhængen til forecast.

Foreligger der således for sæsonregistreringer til og med maj (q = 5), salg januar-maj divideret med salg januar-april, med stor sikkerhed viser den konstaterede sammenhæng, at man ud fra R [s, 5, 4], d. v. s. har kunnet beregne R [s, 11, s], d. v. s. salg januar-november divideret

med salg januar-maj. Idet nævneren i dette forhold jo er kendt (salg
januar-maj), kan videre beregnes salget januar-november og salget
juni—november.

I det viste eksempel er kun benyttet p = 11, q = 5, r = 4. Det er imidlertid klart, at hvis der foreligger en tidsrække med lovmæssig forskydning af sæsonfordelingen, vil andre kombinationer af p, q og r kunne behandles på lignende måde.

Dog vil det store antal kombinationsmuligheder givet et meget stort
beregningsarbej de.

I det foregående eksempel er sæsoninddeling måneder med januar som første periode. Det er klart, at beregninger kan foretages med andre inddelinger og med anden sæsonbegyndelse. Holder man fast ved månedsinddeling, vil det være af interesse at afprøve alle måneder som første måned, men dette vil 12-doble beregningsarbejdet, og det vil da være økonomisk uforsvarligt ikke at ladt beregningerne foretage på databehandlingsanlæg.

Det kan i den forbindelse nævnes, at der foreligger programmer til analyse efter den anførte model, hvor funktionstypen er kvadratisk, ligesom der findes programmer til forecast-beregninger for allerede analyserede tidsrækker.