Konvertering af annuitetslån.

1. I daglig tale bruges ordene konvertering og omprioritering hyppigt i flæng. Når der tales om omprioritering, forestiller man sig vel nok i reglen dels en ændring i betingelserne for to eller flere bestående lån med sikkerhed i samme pant, dels en udvidelse af den samlede lånesum med fremskaffelse af et kontant beløb for øje. Ved omprioritering kan der tillige være tale om, at een eller flere af de hidtidige kreditorer erstattes af andre. - Ved konvertering vil vi forstå en ændring af de betingelser, hvorpå et bestående lån er blevet optaget, på en sådan måde, at der ved ændringen fremkommer hverken kontant over- eller underskud. Konverteringsfænomenet kan således betragtes som et specialtilfælde af den mere omfattende omprioritering, nemlig hvor der kun findes eet lån, og hvor nettoprovenuet er lig med nul.

2. Formålet med at gennemføre en konvertering er hyppigt det at opnåen lavere terminsydelse, som så til gengæld kommer til at løbe over et forlænget åremål; motivet ligger altså i likviditetsbetragtninger. I det følgende vil vi dog gå ud fra, at formålet med konverteringen er nedsættelseaf

---

1) cand. oecon. Jeg bringer videnskabelig assistent Bent Gram Mikkelsen, Handelshejskolen i Kobenhavn, min tak for vaerdifulde bemserkninger til manuskriptet til naervaerende arbejde.

sættelseafden effektive rentefod, og vi vil alene beskæftige os med
sædvanlige kredit- og hypotekforeningslån (annuitetslån)2).

3. Låntagers problem ved konvertering er det, at han står over for valget mellem to finansielle transaktioner. På den ene side kan han betale det bestående låns terminlige bruttoydelse i dette låns restløbetid. Og på den anden side kan han - mod at optage et nyt lån, hvis nettoprovenue går til indfrielse af det bestående låns restgæld - betale det nye låns terminlige bruttoydelse i dette låns samlede løbetid. Den følgende analyse har til formål at belyse dette valgproblem.

4. Der skal indferes folgende symboler:

H = lanets hovedstol

Rm = lanets restgaeld, umiddelbart efter at den m'te terminsydelse
er betalt,

m = konverteringstidspunktet, umiddelbart efter at den m'te
terminsydelse er betalt,

n = lanets lobetid i terminer,

Y = bryttoydelsen,

y = nettoydelsen, d.v.s. bruttoydelsen med fradrag af fondsbidrag,

k = kurs pr. 100 kr. hovedstol,

r = lanets palydende rentefod,

i = lantagers subjektive kalkulationsrentefod (opgerelsesrentefod),

a-|; = nutidsvaerdien af den efterbetalte annuitet pa 1 kr. i n
terminer, opgjort til rentefoden i.

Hvor disse symboler er forsynet med et mærke, for eksempel ri, refererer
symbolet til det nye lån, hvortil der eventuelt konverteres; i modsat
fald, for eksempel n, refererer det til det bestående lån.

5. Kapitalværdien af låntagers ydelser i henhold til det bestående lån
kan - set ud fra låntagers synspunkt - opgøres til beløbet

idet der herved ses bort fra en mulig forkortelse af restløbetiden ved
tilskrivning af reservefondsandele. - Ved at konvertere opnår låntager
et nettoprovenue af det nye lån på beløbet

---

2) der kan iøvrigt henvises til Thorkil Kristensen m. fl., Haandbog i Kredit- og Hypotekforeningsforhold, Kbhvn. 1944, især kapitlerne om »Konverteringsproblemer«, »Beregning af effektiv Rente« og »Ændringer i Laaneforholdet«, alle i bind 11.

mens han til gengæld må købe obligationer til indfrielse af det bestående
låns restgæld til et beløb af

Endelig må låntager afdrage og forrente det nye lån i ri terminer ved
hjælp af bruttoydelsen y pr. termin. Kapitalværdien af låntagers betalinger
ved konvertering kan herefter opgøres til3)

Her er der ligeledes set bort fra reservefondstilskrivninger såvel som fra
omkostninger og indskud.

Konverteringen er nu fordelagtig, såfremt

0)

For en fuldstændigheds skyld skal det nævnes, at kursen på det bestående
lån jo ikke kan overskride 100, idet der i så fald ville blive tale om
kontant indfrielse.

Nu er det imidlertid forudsat, at konverteringen ikke medfører et
kontant nettoprovenue. Dette indebærer, at

(2)

som indsat i fordelagtighedsbetingelsen (1) giver

(3)

6. Ud fra denne sidste formulering - og i overensstemmelse med, hvad sund fornuft fortseller een - ma der i hvert fald vaere visse ufordelagtige konstellationer mellem pa den ene side om terminsydelsen i det bestaende lans resterende terminer stiger, falder eller er usendret, og pa den anden side om restlabetiden vokser, falder eller er uaendret. For eksempel er en konvertering, hvor bruttoydelsen i de kommende n-m terminer stiger (d. v. s. hvor Y < Y'), under alle omstaendigheder ufordelagtig, safremt lanets restlobetid ogsa stiger (d. v. s. safremt ri > n-m). - Omvendt er der abenbart visse konstellationer mellem den aendrede bruttoydelse i det bestaende lans resterende terminer og den asndrede restkbetid, der i henhold til (3) er nodvendige betingelser for fordelagtig konvertering. Disse kan opgeres saledes:

---

3) Det forudsættes, at de to transaktioner opgøres til samme kalkulationsrentefod.

I mindre bruttoydelse og forlænget løbetid,

II større bruttoydelse og forkortet løbetid,

samt - for fuldstændighedens skyld -

111 samme bruttoydelse og forkortet løbetid og

IV mindre bruttoydelse og uændret løbetid.

Alle andre sammensætninger af ændring i bruttoydelse og løbetid
fører til ufordelagtig konvertering. - Tilfældene 111 og IV fører altid til
fordelagtig konvertering.

Tilbage står derfor dels tilfælde I, hvor låntager opnår en reduktion i ydelserne i de første n—m terminer, mod at han til gengæld i hver af de resterende ri — (n—m) terminer betaler ydelsen Y' (se figur 1); og dels tilfælde 11, hvor låntager får en stigning i ydelsen i de første n terminer, men slipper til gengæld for ydelsen Y i hver af de resterende n—m—n terminer.

I praktiske konverterings overvej eiser tænkes der vel nok især på tilfælde I (figur 1). Men der er imidlertid i teorien ikke nogen grund til at se bort fra tilfælde 11, såfremt man ikke søger konvertering ud fra likviditetsmæssige betragtninger, men alene har en reduktion af den effektive rentefod for øje.

7. Figur 1 fremviser billedet af en egentlig lånetransaktion, hvor indbetalingernekommer
før udbetalingerne - respektive hvor besparelserne
kommer før merudgifterne. Det fremgår umiddelbart af figuren, at bespareisernei

spareiserneide første n— m terminer skal være af en vis mindste størrelseog varighed for at kunne kompensere merudgiften i de sidste ri — (n —m) terminer. Besparelsens størrelse og varighed må være desto større, jo større vægt låntager lægger på de fremtidige merudgifter, d. v. s. jo mindre den subjektive kalkulationsrentefod er.

Omvendt fremviser figur 2 billedet af en egentlig investering*). Her må tilsvarende besparelsen i de sidste n—m—n terminer være af en vis mindste størrelse og varighed for at kompensere merudgiften i de første n terminer. Men besparelsens størrelse må her omvendt være desto større, jo mindre vægt låntager tillægger de fremtidige betalinger, d. v. s. jo større kalkulationsrentefoden er.

8. Den besparelse, respektive den merudgift, der fremkommer umiddelbart efter konverteringens gennemførelse, hænger selvsagt sammen med bl. a. kursen på det bestående og det nye låns obligationer. For at belyse dette forhold nærmere, vil vi nu indføre den forenklende forudsætning, at vi i det følgende ser bort fra de terminlige fondsbidrag for såvel det bestående lån som for det nye lån.

Den unøjagtighed, som derved indføres i de følgende overvejelser, er overordentlig ringe, og den retning, som fejlen trækker i, kan tilmed bestemmes: Besparelsen og merudgiften formindskes nemlig med samme beløb pr. termin, og det indebærer, at såfremt en konvertering er fordelagtig (ufordelagtig), når man ser bort fra fondsbidrag, vil den være det så meget desto mere, hvis man tager hensyn til disse beløb.

Ved således at se bort fra fondsbidrag og alene betragte de terminlige
nettoydelser i stedet for bruttoydelserne kan (3) skrives som

(4)

Det gælder nu, at

som indsat i (2) giver

Løser vi denne ligning med hensyn til y og indsætter det udtryk,

---

4) Man kan i stedet sige, at tilfadde I (II) er et eksempel pa en investering af type II (I); denne sondring bygger jo netop pi, om indbetalingerne »gennemsnitligt« kommer far eller efter udbetalingcrnc. Se for eks. E. Schneider, Investering og Rente, Kbhvn. 1944, p. 15.

som da fremkommer, i (4), kan betingelsen for fordelagtig konvertering
under de gjorte forudsætninger skrives som

(5)

Den maksimale (minimale) kursspænding, der må være til stede, for at en konvertering til et lån med en lavere (højere) pålydende rentefod skal kunne betale sig, afhænger således af fem størrelser, nemlig (a) restløbetid og (b) pålydende rentefod for det bestående lån, (c) samlet løbetid og (d) pålydende rentefod for det nye lån, samt endelig (e) låntagers subjektive kalkulationsrentefod.

9. Figurerne 3 og 4 tjener til at belyse denne afhængighed, idet ordinaterne angiver den maksimale kursdifference i procent af kursen på det bestående lån, når den subjektive kalkulationsrentefod og det bestående låns restløbetid er af en vis størrelse. Deter herved forudsat, at det nye låns samlede løbetid ri =120 terminer, og at konverteringen indebærer en formindskelse af den pålydende rentefod på V2 % p. a., nemlig fra 5V₂ til 5, henholdsvis fra 5 til 4V₂ % p. a.

Af disse figurer fremgår for det første, at sammenhængen mellem den maksimale kursdifference og restløbetiden for det bestående lån beror på størrelsen af kalkulationsrentefoden i forhold til den pålydende rentefod. Der gælder nemlig den regel, at såfremt den pålydende rentefod, r, for det bestående lån er større (mindre) end kalkula-

Abcisse: Restløbetid for det bestående lån. - Ordinat: Maksimal kursdifference i pct. af kursen på det bestående lån. - Parameter (i): Subjektiv kalkulationsrentefod. - Ordinatværdierne yderst til højre tager hensyn til omkostninger m. v. på 5 %, jfr. tekstens punkt 11.

tionsrentefoden, i, vokser (aftager) den maksimale kursdifference med
stigende restløbetid. Er derimod netop r=i, er den maksimale kursspænding
uafhængig af restløbetiden5).

Dernæst fremgår det af figurerne, at ved en given kalkulationsrentefod, i, er den maksimale kursspænding desto større, jo mindre den pålydende rentefod, r, for det bestående lån er. Dette gælder især for korte restløbetider.

Endelig fremgår det af figur 3 og 4, at den maksimale kursspænding vokser med en stigning i kalkulationsrentefoden. Især ved korte restløbetider er den maksimale kursspænding overordentlig følsom over for kalkulationsrentefodens størrelse; en ændring heri på blot 1 % påvirker den maksimale kursspænding med omkring 6 % ved en restløbetid på 60 terminer.

10. Deter måske denne sammenhæng, der springer mest i øjnene. Forholdet er jo nemlig herefter det, at den korrekte fastlæggelse af opgørelsesrentefoden - der vel hører med til investeringskalkulens sværeste opgaver - er helt afgørende for kalkulens udfald.

Spørgsmålet er da, om det er muligt at udtale sig noget om kalkulationsrentefodens størrelse i relation til konverteringsberegninger. Her må man erindre, at en konvertering i reglen kommer på tale, når kursen på det bestående lån nærmer sig pari, d. v. s. når det bestående låns pålydende rentefod nærmer sig markedsrenten. Men da kalkulationsrentefoden og markedsrenten må falde sammen, hvis konverteringsanalysen overhovedet skal have nogen mening, kan der i sådanne tilfælde altså være fornuft i at sætte r=i som et foreløbigt arbejdsgrundlag.

Under forudsætning af, dels at kursen på det bestående lån &=lOO,
dels at kalkulationsrentefoden, i—r, ændres betingelsen for fordelagtig
konvertering, (5), til

(6)

Ved konvertering til et nyt lån med en formindskelse på V2 % p- a. i den pålydende rentefod, må kursdifferencen herefter højst være omkring 8 % ved en løbetid for det nye lån på 120 terminer; er løbetiden kun 60 terminer, formindskes den maksimale kursdifference dog til omkring 5 %.

---

5) se Børge Sørensen, Beregning af effektiv Rente, i Haandbog i Kredit- og Hypotekforeningsforhold, Bd. 11, p. 408 f, hvor i sættes lig med f

Er der derimod tale om en konvertering, der indebærer en stigning
på V2 % p. a. i den pålydende rentefod, må kursdifferencen mindst
være omkring 8 %, såfremt n'=\2o, og for n=6o omkring 5 %.

11. Disse maksimale, respektive minimale kursdifferencer tager imidlertid ikke hensyn til indskud ved oprettelse af et nyt lån, omkostninger ved køb og salg af obligationer, stempling af pantebrev, vurdering af pantet samt eventuelt salær i forbindelse med konverteringens gennemførelse. Alle disse omkostninger vil hyppigt udgøre 2-3 % af det beløb, der skal konverteres. - Dertil kommer, at låntager naturligvis kun vil gennemføre en konvertering, der indebærer en konverteringsgevinst, og som ikke blot stiller ham lige så godt som før. Ordinaten til højre i figurerne 3 og 4 tager hensyn til omkostninger og ønsket konverteringsgevinst på tilsammen 5 % af kursværdien for det bestående låns restgæld.

Der ser herefter ud til at være ganske god overensstemmelse mellem på den ene side den regel, som her er udviklet ad renteteoretisk vej, og på den anden side den retningslinie, som man i praksis i vide kredse støtter sig til: at kursdifferencen ». . . skal være noget mindre end 4 Kurspoints for hver halve Procent, Renten nedsættes, for at Konverteringen kan betale sig«⁶). Forudsætningen for denne regels gyldighed er altså dels, at den subjektive kalkulationsrentefod er lig med det bestående låns pålydende rentefod, dels at det nye lån har en løbetid på omkring 120 terminer, og endelig dels, at man ønsker en kapitaliseret konverteringsgevinst på et par procent af det beløb, der skal konverteres.

12. Til slut kan der være grund til at understrege, at spørgsmålet om valg mellem alternative konverteringsmuligheder ud fra rentabilitetsovervejeiser må belyses ud fra til dels andre overvejelser end dem, der er anført ovenfor. - Sådanne valgsituationer vil kunne formuleres på følgende måde: (a) Find en fordelagtig konverteringsmulighed, for eks. ved hjælp af reglen om de 4 kurspoints, (b) Undersøg dernæst, om eventuelle andre konverteringsmuligheder er fordelagtigere end den fundne, for eks. ved sammenligning mellem kapitalværdierne af låntagers betalinger ved enhver af de ;' (^2) konverteringsmuligheder, d. v. s.

En nærmere undersøgelse af dette problem falder dog uden for dette
arbejdes rammer.

---

6) Haandbog i Kredit- og Hypotekforeningsforhold, Bd. 11, p. 36.