Et eksempel til belysning af begrebet statistisk ligevægt

1. Formålet med nærværende artikel er at yde et beskedent bidrag til belysning af begrebet statistisk ligevægt i tilknytning til en stærkt forenklet kømodel. Med dette formål for øje betragter vi i det følgende et „system", som opsøges af „kunder", der ønsker at blive „ekspederet" i systemet. Systemet har følgende egenskaber (se fig. 1):

1) Der er 1 ekspedient i systemet. Ekspedienten kan kun ekspedere 1 kunde ad gangen, og hver kunde skal kun ekspederes 1 gang af ekspedienten. Færdigekspederede kunder forlader systemet, så snart ekspeditionen er afsluttet.

2) Kunder, som ved ankomsten til systemet finder ekspedienten ledig,
henvender sig straks til denne for at blive ekspederet.

I systemet er der plads til 1 ventende kunde (den maksimale kølængde er 1). Kunder, som ved ankomsten til systemet finder ekspedienten optaget (med ekspedition af en kunde), tager opstilling i „køen", hvis der er plads i denne på ankomsttidspunktet, og forbliver i køen, indtil ekspeditionen kan finde sted. Så snart ekspeditionen af den i systemet værende kunde er afsluttet, rykker kunden i køen frem og bliver ekspederet.

Kunder, som ved ankomsten til systemet finder begge pladser i systemet
(ekspeditionspladsen og ventepladsen i køen) optaget, afvises, d. v. s.
forlader straks systemet uden at blive ekspederet.

---

*) Professor ved Aarhus Universitet.

3) Ekspeditionstiden pr. kunde er eksponentielt fordelt, idet sandsynligheden for, at en ekspedition, der er i gang (herunder specielt netop påbegyndt) på et vilkårligt tidspunkt T, afsluttes i løbet af de følgende h tidsenheder, er bh -f- o(h), hvor b er en positiv konstant. Sandsynligheden for, at en igangværende ekspedition ikke afsluttes i løbet af de følgende h tidsenheder, er følgelig I — bh — o(h). Middelekspeditionstiden pr. kunde er l fb tidsenheder.

Kundeankomsterne til systemet er tilfældigt fordelt i tiden (poissonfordelt), idet (a) sandsynligheden for, at der indtræffer netop 1 kundeankomst til systemet i løbet af et vilkårligt tidsinterval (T, T + h) af længden h tidsenheder, er ah + o(h), hvor a er en positiv konstant, og (b) sandsynligheden for, at der indtræffer mere end 1 kundeankomst til systemet i løbet af et vilkårligt tidsinterval (T, T + h) af længden h tidsenheder, er o( f?■). Sandsynligheden for 0 kundeankomster i intervallet (T, T + h) er følgelig 1 — ah — o{h). Det gennemsnitlige antal kundeankomster pr. tidsenhed til systemet er a.

Trafiktilbudet til systemet (defineret som det gennemsnitlige antal
kundeankomster pr. middelekspeditionsperiode) er A — alb erlang.1)

2. Systemet siges at befinde sig i tilstanden n i et givet tidspunkt f. når der i dette tidspunkt crn kunder i systemet. I nærværende eksempel må systemet i ethvert tidspunkt enten befinde sig i tilstanden 0 (ingen kunder i systemet, ekspedienten ledig, ingen ventende kunde i køen) eller i tilstanden 1 (1 kunde i systemet, ekspedienten optaget, ingen ventende kunde i køen) eller i tilstanden 2 (2 kunder i systemet, ekspedienten optaget, 1 ventende kunde i køen).

Sandsynligheden for, at systemet befinder sig i tilstanden 0, 1 resp. 2 i tidspunktet t betegnes i det følgende med henholdsvis Po (t), Pi (t) og P2 (t). Idet h er et positivt tal, har man da ifølge sandsynlighedsregningens „enten-eller" og „både-og" regel

hvoraf ved omordning af leddene og division med h på begge sider af
lighedstegnet

---

1) Det ovenfor beskrevne system er et specialtilfælde af den i artiklen „En kømodel" (Erhvervsøkonomisk Tidsskrift 1960, s. 161 ff.) behandlede model (idet M = 1 og

Foretages dernæst grænseovergangen A -> 0\ fås heraf følgende system
af sammenhørende differentialligninger

(O

til bestemmelse af tilstandssandsynlighederne .Po(£), Pi(t) og f^(O- Det
gælder altså nu om at løse ligningssystemet (1) m. h. t. Po(t), Pi(t), P2(t).
Det kan vises, at den fuldstændige løsning til (1) er givet ved

(2)

(3)

(4)

hvor Ci og C% er integrationskonstanter, der kan bestemmes ved følgeride

a) Lad os antage, at systemet påbegynder sin virksomhed i tidspunktet
£=0 og at systemet i dette tidspunkt befinder sig i tilstanden 0, således
at Po(O) =l og P1(0)-P1(0)-/)2(0) =0. Af (2) og (4) fås da

hvoraf ved løsning m. h. t. & og C%

Lad nu Pno(t) betegne sandsynligheden for, at systemet befinder sig i tilstanden n (hvor rø=o, 1 eller 2) i tidspunktet t}>o under forudsætning af, at systemets initialtilstand (d. v. s. tilstanden i t=^o) er 0. Ved at indsætte ovenstående udtryk for Ci og C2 i (2), (3) og (4) finder man da

Af disse udtryk fremgår det dels at sandsynlighederne Poo(t), Pio(t) og
for at systemet befinder sig i en af de mulige tilstande 0, I eller 2
i et givet tidspunkt t, er en funktion af t, d. v. s. afhænger af den tid, der
er forløbet siden systemet påbegyndte sin virksomhed, og dels at de
nævnte tilstandssandsynligheder for t-*°° går imod hver sin af t uafhængige
grænseværdi, nemlig henholdsvis I f(I +A + A2), A f{\ +A+A2)
og A2A2 f(l +A + A2), idet eksponenterne -b{\ +A-'VA)t og -6(l+^4 +
] fA)t går imod —°° for f-»■«>.

b) Hvis systemets initialtilstand er 1 (d. v. s. =! og =
f)2(0) = 0), finder man med at indsætte £=0 i (2) og (4) og løse det hedved
fremkommende ligningssystem m. h. t. C\ og C2

Sandsynlighederne Poi(t), Pu(t) og P2i(t) for at systemet befinder sig i tilstanden 0, 1 resp. 2i tidspunkt t 0 under forudsætning af, at systemets initialtilstand er 1, kan da bestemmes ved at indsætte de ovenfor fundne udtryk for C\ og C2 i (2), (3) og (4) (jfr. oversigten i tabel 1). Også i dette tilfælde finder man, at tilstandssandsynlighederne afhænger af t og at de for t -*■ °° hver for sig går imod de samme af t uafhængige grænseværdier, 1 f(1-M²), A f(l+A + A2) resp. A2 f(l+A + A²), som i tilfælde (a).

c) Hvis systemets initialtilstand er 2 (d. v. s. f>2(o)f>2(0) =log Po(O) —
f>i(o)f>i(0) = 0). finder man på tilsvarende måde som ovenfor

hvorefter sandsynlighederne Po2(t), Pi2{t) og P22(i) for at systemet befinder sig i tilstanden 0, 1 resp. 2 i tidspunktet t |> 0 under forudsætning af, at systemets initialtilstand er 2, kan bestemmes ved at indsætte de fundne udtryk for Ci og C2 i (2), (3) og (4) (jfr. tabel 1). Også i dette tilfælde finder man, at tilstandssandsynlighederne afhænger af t og at de for t -* °° hver for sig går imod de samme af t uafhængige grænseværdier som i tilfældene (a) og (b).

S. Sammenholder man nu funktionssættene [Poo(t), Poi(t), Po2(t)],
[Pio(t), Pu(t), Pis{t)] resp. [Pso(O, P*(t), Pæ(t)] i tabel 1, kan man
umiddelbart aflæse følgende:

a) Sandsynligheden Pnj(t) for, at systemet befinder sig i en given tilstand n (hvor n = 0, 1 eller 2) i et givet tidspunkt t (0 <^ t < «>), afhænger dels af systemets initialtilstand j (hvor j — 0,1 eller 2), og dels af den tid. der er forløbet siden systemet påbegyndte sin virksomhed.

b) For t-+ °" går de til enhver mulig tilstand n svarende tilstandssandsynligheder
Pnj(t) imod samme af systemets initialtilstand j og tiden
t uafhængige grænseværdi Pn:

(5)

(())

(7)

Når tilstandssandsynlighederne Pnj således er uafhængige både af systemets
initialtilstand ;' og af tiden t, siges systemet at befinde sig i statistisk
ligevægt. Et system, der har den egenskab, at det kan komme i
statistisk ligevægt (d. v. s. at lim Pnj(i) = P„ for alle i betragtning komt-+co

mende værdier af n og ;'), kaldes et ergodisk system.

Ifølge (5), (6) og (7) vil den statistiske ligevægt først indtræde for f -*■ °°, d. v. s. efter uendelig lang tids forløb. Da man imidlertid ved de praktiske anvendelser af køteorien normalt er henvist til udelukkende at arbejde med ligevægtssandsynlighederne Pn (i nærværende eksempel sandsynlighederne Po, P\ og Pi), er det af største praktiske betydning at undersøge, hvor hurtigt systemet nærmer sig den statistiske ligevægtstilstand, således at man med en for praktiske formål tilfredsstillende tilnærmelse kan benytte ligevægtssandsynlighederne Pn som udtryk for systemets tilstandssandsynligheder. Svaret på dette spørgsmål afhænger i almindelighed dels af systemets struktur (som vi her betragter som givet) og dels af „ankomstintensiteten" a og „ekspeditionsintensiteten" b (som tilsammen bestemmer trafiktilbudet A til systemet). I nedenstående tabel 2 er de i tabel 1 anførte tilstandssandsynligheder beregnet for en række forskellige værdier af t ved et trafiktilbud på A = 0,25 erlang, idet middelekspeditionstiden pr. kunde er benyttet som tidsenhed (d. v. s. b = 1). Af tabel 2 (og den tilsvarende grafiske fremstilling i fig. 2) ses umiddelbart, at systemet praktisk taget vil befinde sig i statistisk ligevægt efter en „indsvingningsperiode" på ca. 8-10 tidsenheder (middelekspeditionsperioder). Hvis middelekspeditionsperioden pr. kunde f. eks. er 3 minutter, vil systemet herefter praktisk taget være i statistisk ligevægt efter ca. 25-30 minutters forløb. Forudsætningen for at anvende ligevægtssandsynlighederne som udtryk for systemets tilstandssandsynligheder må naturligvis være, at indsvingningsperioden er relativt kort i forhold til systemets samlede funktionsperiode. (Hvis systemet er en detailforretning og indsvingningsperioden f. eks. er 25 timer, vil ligevægtssandsynlighederne være uden praktisk interesse, fordi forretningen forlængst vil være lukket, inden den statistiske ligevægt indtræder).

4. Såfremt man kun ønsker at bestemme ligevægtssandsynlighedernc Po, Pi og Pt (uden samtidig at bestemme sandsynlighederne Pnj{t) og indsvingningsperiodens længde), behøver man ifølge bemærkningerne ovenfor om den statistiske ligevægt blot at sætte P_n(t)=Pn (w=o, 1, 2) i ligningssystemet (1), idet man samtidig benytter relationen Po 4- Pi+P2 =1. Herved fås følgende lineære ligningssystem til bestemmelse af ligevægtssandsynlighederne Po, Pi og P2:

hvoraf

i overensstemmelse med (5), (6) og (7).

Ligevægtssandsynlighederne Po, Pi, P2 kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af tiden, i hvilken systemet i det lange løb vil befinde sig i tilstanden 0, 1 resp. 2, når den statistiske ligevægt er indtrådt. Når systemet befinder sig i statistisk ligevægt har man derfor (jfr. tabel 3):

a) Sandsynligheden for, at en kunde opnår at blive ekspederet straks
ved ankomsten til systemet (uden ventetid i køen), er S—Po=

1 f(l+^4-4-^4²). Da kundeankomsterne til systemet indtræffer på tilfældigetidspunkter (uafhængig af systemets tilstand), kan S også fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb opnår at blive eksperetstraks ved ankomsten til systemet. Det gennemsnitlige antal „straksekspederede"kunder pr. tidsenhed er derfor aS, og den straksekspederedetrafik (d. v. s. det gennemsnitlige antal straksekspederede kunder pr. middelekspeditionsperiode) er AS=A/(l -\-A-\-A²)—Pi erlang.- Ifølgetabel 3 vil i det lange løb 76,2 % af de til systemet ankommende kunderopnå at blive ekspederet straks ved ankomsten til systemet, når trafiktilbudettil dette er A = 0,25 erlang.

b) Sandsynligheden for, at en kunde først opnår at blive ekspederet efter en vis ventetid i køen, er D=Pi —Af(l -{- A-\- A²). Størrelsen D kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb kommer til at vente kortere eller længere tid i køen, inden de bliver ekspederet. Det gennemsnitlige antal „forsinkede" kunder pr. tidsenhed er følgelig aD, og den forsinkede trafik (det gennemsnitlige antal forsinkede kunder pr.middeleskpeditionsperiode) erAD=A²/(l -\-A-\-A²) = f)₂ erlang. - Ved et trafiktilbud på 0,25 erlang vil i det lange løb 19,0 % af de til systemet ankommende kunder kommer til at vente i køen, inden ekspedition kan finde sted.

c) Sandsynligheden for, at en kunde afvises af systemet er B=P^— A2A² f{\ +A + A²). Størrelsen B kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb vil blive afvist af systemet. Det gennemsnitlige antal afviste kunder pr. tidsenhed er følgelig aB, og den afviste trafik (gennemsnitligt antal afviste kunder pr. middelekspeditionsperiode) er AB=A*/{l+A + A2) erlang. - Ved et trafiktilbud på 0,25 erlang vil i det lange løb 4,8 % af de til systemet ankommende kunder blive afvist af systemet.

d) Det gennemsnitlige antal ventende kunder i køen er L—P%—
A 2 f(l+A+A2).

e) Sandsynligheden for, at en til systemet ankommende kunde højst
kommer til at vente r tidsenheder (t^O) i køen, er

Kundernes middelventetid i køen er

Det bemærkes, at størrelsen V er middelventetiden for alle til systemet ankommende kunder (straksekspederede, forsinkede og afviste kunder). Sandsynligheden for, at en forsinket kunde højst kommer til at vente t tidsenheder i køen er G(r) =l ~-e^{~ bt}, og middelventetiden pr. forsinket kunde er

f) Ekspedientens udnyttelsesgrad (d. v. s. den brøkdel af tiden, i hvilken ekspedienten i det lange løb vil være optaget med ekspedition af kunder) er E=Pi+P2=A(l+A)/(l+A + A 2) = \-Po. ~ Ved et trafiktilbud på 0,25 erlang er ekspedientens udnyttelsesgrad 0,238. Ekspedienten vil m. a. o. i det lange løb komme til at tilbringe 76,2 % af sin tid med at vente på kunder, hvis han ikke kan beskæftiges med andet arbejde imellem ekspeditionerne.

g) Afgangen af færdigekspederede kunder fra systemet er tilfældigt fordelt i tiden (poissonfordelt), idet sandsynligheden for, at netop 1 færdigekspederet kunde forlader systemet i løbet af et vilkårligt tidsinterval (T, T+h) af længden h tidsenheder, er (Pl+P2) (bh+o(h)) + o(h) = a{\—B)h-\-o{h) og sandsynligheden for, at mere end 1 færdigekspederet kunde forlader systemet i løbet af et vilkårligt tidsinterval (T, T+h) af længden h tidsenheder, er o(h). Det gennemsnitlige antal færdigekspederede kunder pr. tidsenhed er a{\— B) = åci gennemsnitlige antal ikke afviste kunder pr. tidsenhed.