1. En forbemærkning.

Følgende, der er en specielt simpel model til belysning af et kvalitetsvariationsproblem, prætenderer ikke at være et videnskabeligt indlæg i dette emneområde, men blev formuleret nærmest med pædagogisk sigte som støtte for kursoriske tilføjelser i tilknytning til lærebogsfremstillinge n¹) ved undervisningen ved Handelshøjskolen i Aalborg og gengives her i samme skikkelse.

Det er velkendt, at spørgsmålet om variation af et produkts kvalitet første gang blev trukket ind i den økonomiske teori på mere systematisk måde af amerikaneren E. H. C kamberlin i 1932, uden at en egentlig kvantitativ behandling dog dengang syntes mulig af forfatteren selv - en opfattelse, som Chamberlin senere har modificeret (Quarterly Journal of Economics 1953), ligesom den litteratur²), oprindeligt inspireret af

---

*) Professor, leder af Institutet for Driftsøkonomi og Statistik ved Handelshøjskolen i Aalborg.

1) Bjarke Fog og Arne Rasmussen, Driftsøkonomi I, 1958, pag. 266 og flg.

2) Kvalitetsbegrebet blev nærmere udformet i kvantitativ retning af nærv. forf. i 1936 (Forenet produktion af kvalitetsændring, NTTØ); sammesteds omtaltes et konkret tilfælde af kvalitetsvariation indenfor den vegetabilske olieindustri, hvor der forelå substitution mellem 2 kvalitetsbestemmende produktionsydelser. Tilfældet blev oprindeligt beskrevet af de tyske kemikere H. Pick og R. Kraus i 1932. Hans Brems har i en række afhandlinger givet værdifulde bidrag til teorien om kvalitetsvariation, se f. eks. „Produktkvaliteten målt ved de tekniske koefficienter". Det Danske Marked, 1957 og heri anførte literaturhenvisninger. Emnet er også berørt af Arne Rasmussen, Pristeori eller parameterteori, 1955. En ret omfattende bibliografi findes hos Chamberlin, „The Theorv of Monopolistic Competition", sidste udgave 1957.

Chamberlin, der voksede frem omkring emnet, har tydeliggjort, at problemetingenlunde er uegnet for kvantitativ analyse med de heraf flydendestore fordele med henblik på udformning af modeller, der som led i en normativ driftsøkonomisk teori, kan få vejledende betydning for overvejelser ved afgørelser i praksis, hvor spørgsmål om at finde frem til optimale kvaliteter som et led i hele salgspolitiken, jo spiller en stor og voksende rolle.

Begrebet kvalitet står for konsumenten af almindelige konsumgoder ofte i en vag og udflydende betydning som indbegrebet af en række forskellige egenskaber, eller også tænkes nærmest på en enkelt egenskab som dominerende for, hvad man opfatter som varens kvalitet. Kvalitet betyder imidlertid slet og ret egenskab, og en vare besidder derfor normalt mange kvaliteter. Ved kvalitetsvariation forstås derfor ændring af en eller flere specificerede egenskaber. Langt de fleste egenskaber kan kvantificeres, d. v. s. gøres tilgængelige for målinger enten direkte (styrke, hårdhed, virkningsgrad, strækevne o. s. v.), eller mere indirekte, f. eks. ved blandingsforholdet af visse stoffer, der er ingredienser i færdigvaren. Det nedenfor beskrevne tilfælde er eksempel på det sidste.

Kvalitetsvariationer af et produkt kan være (a) utilsigtede eller de kan
være (b) tilsigtede som bevidst led i virksomhedens politik.

Utilsigtede variationer kan være (al) stochastiske eller (a2) systematiske, d. v. s. tilfældige eller ske som følge af specificerbare årsager (dårlige råstoffer, sløseri, fejl ved tekniske anlæg m. v.). Det er de utilsigtede kvalitetsvariationer, der er genstand for teorien om statistisk kvalitetskontrol.

Tilsigtede variationer kan opdeles i 2 typer. Vi kan benævne dem (bl) stationære og (b2) evolutoriske. Overvejelserne kan ske indenfor rammerne af en given teknisk viden og tage sigte på at tilpasse mængderne af visse kvalitetsbestemmende produktionsydelser, hvis virkninger på en eller flere af færdigproduktets egenskaber kan have videre virkning på produktets afsætning, eventuelt anvendelsesområde m. v. Selvom en tilsigtet kvalitetsvariation ikke har virkninger overfor afsætningen, kan der foreligge et økonomisk optimeringsproblem, hvis de kvalitetsbestemmende ydelser er tekniske substitutionsfaktorer, jvnf. olieeksemplet, note 2. Disse variationer under konstant teknisk viden betegner vi stationære.

Men ved kvalitetsvariation kan også tænkes på begrebet produktudvikling, hvor man bevidst stræber henimod ændring i den tekniske viden ved teknisk målforskning med sigte på nye metoder, anvendelse af nye råstoffer m. v. for at opnå forbedrede kvaliteter, eventuelt så radikale kvalitetsændringer, at man vil tale om udvikling af nye varer. Det er evolutorisk kvalitetsændring. De vil forløbe i fremadskridende retning, d. v. s. normalt være irreversible, idet man i reglen ikke vil vende tilbage til fremstilling af kvaliteter på basis af tidligere tekniske forudsætninger. I modsætning hertil vil de stationære kvalitetsændringer normalt være reversible, idet de kan svinge frem og tilbage efter skiftende priser og efterspørgselsforhold.

2. Problemets formulering.

Til en vares fremstilling anvendes - foruden andre produktionsfaktorer - to kvalitetsinfluerende faktorer, U og V. De kan anvendes i forskellige blandingsforhold. Meget af U i forhold til V giver produktet en „hOJ" kvalitet i koberens vurdering. Meget af V i forhold til U vurderes som „lav" kvalitet.

Kvaliteten af færdigproduktet betegnes q og måles ved mængdeforholdet
u : v.

U og V øver desuden indflydelse på kvantiteten af færdigproduktet, idet vægtsummen af de 2 kvalitetsinfluerende faktorer konstant andrager 10 % af færdigvarens vægt. Størrelsen 10 % eller 0,10 betegnes den tekniske sumkoefficient.

Færdigvaren kan ikke uden på afgørende måde at ændre grundpræg
fremstilles i en „lavere" kvalitet end 1 del U og 9 dele V og ikke i en
„højere" kvalitet end 4 dele U og 1 del V.

Af den kvalitets fremmende faktor U kan højst fremskaffes 20 vægtenheder
pr. TE. Den kvalitetshæmmende faktor U kan fås übegrænset.

Virksomhedens maskinelle anlæg kan maximalt præstere 300 vægtenheder
af færdigproduktet.

Færdigvarens pris er fast kr. 1,20. Priserne, som virksomheden giver
for U og V er også faste og henholdsvis 10 kr. og 1 kr.

Grænseomkostningerne for de ikke-kvalitetsinfluerende faktorer er
konstante kr. 0,20.

Efterspørgslen afhænger af kvaliteten q. Ved en statistisk analyse har

man fået kendskab til, at efterspørgslens elasticitet m. h. t. kvaliteten3)
er konstant og lig med 0,5. I den senere tid har man brugt blandingsforholdet4
dele U og 9 dele V og haft en afsætning på 80 pr. TE.

1. Fremstil virksomhedens kvalitetsfaktor-diagram.

2. Find den optimale kvalitet.

3. Anstil betragtninger vedrorende graenseornkostningerne i optimalsituationen.

4. Angiv for den kvalitetsoptimale situation betingelsen for, at salgsprisen
er optimalt ansat.

---

3) Kvalitetselasticiteten er saledes her defineret som • —, hvor y er efterspurgt dq y kvantum af faerdigproduktet - eller i popular (ikke helt eksakt) version: Den procent, som efterspurgt kvantum asndres, hvis kvaliteten (i definerede betydning) sendres 1 %. Kvalitetselasticiteten kan defineres pa adskillige mader, der naturligvis forer frem til tilsvarende forskellige formuleringer af problemets ligevsegtsbetingelser. I anforte artikel af Brems lasgges de tekniske koefficienter til grund. Den i naervaerende artikei anvendte definition er ensbetydende med at male efterspergslens folsomhed ved den relative aMidring i forholdet imellem de tekniske koefficienter X^ og ?..) for U og V, der er funktioner af q, nemlig x ;-_q x- x I+q I+q Disse udtryk udledes pa lolgende made: De tekniske koefficienter er pr. definition u v l_x =— Og /..> =—. X X sum ogsa kan skrive« II = A]X Og V = 2gX endvidere liar man u u4-v—/•x og —=q v luses de 2 sidste udtryk m. h. t. u og v fas Axq kx u= og v= q+l q+l hvori u erstattes med X^x og v med X^x, hvorpa x kan forkortes bort. Summen af X] og x 2x₂ er kg den konstante sumkoefficient (i eksemplet = 0,10). Men kvalitetselasticiteten kan ogsa defineres og males med hensyn til kvalitetsomkof tningerne, - en mulighed der igen spalter sig i flere.

3. Problemets løsning.

Symboler:

x vægtkvantum af færdigvare produceret

u vægtkvantum af kvalitetsfremmende faktor

v vægtkvantum af kvalitetshæmmende faktor

q kvalitet

px færdigvarens pris

pu pris på U

pv pris på V

m grænseomkostningerne for alle andre faktorer end UogV

a tekniske sumkoefficient for kvalitetsfaktorerne

y efterspurgt vægtkvantum af færdigvare

d stykdækningsbidrag brutto, d. v. s. exclusiv udgifter til kvalitets
faktorerne

D totaldækningsbidrag brutto, d. v. s. exclusiv udgifter til kvalitets
faktorerne

C totaludgift til kvalitetsfaktorerne

N totalt dækningsbidrag, netto, d. v. s. alle ikke-faste omkostninger
taget i betragtning.

ep efterspørgslens elasticitet m. h. t. prisen

e«, efterspørgslens elasticitet m. h. t. kvaliteten

Det tekniske variations felt.

Diagram I. Enhver kurve, der forbinder sådanne mængdekombinationer af u og v, der medfører samme kvalitet, vil vi benævne en iso-kvalit. Strålen OA er iso-kvaliten for højst tænkelige kvalitet, jvnf. (1.3) med ulighedstegnet væk. Strålen OC iso-kvaliten for lavest tænkelige kvalitet, jvnf. (1.6). Slettes ulighedstegnet i (1.7) og sammenholdes med (1.5) fås

der fremstilles af linien BC, der angiver kapacitetsgrænsen.

Det indfrynsede areal OABG angiver herefter det tekniske variationsfelt.

Enhver stråle igennem nulpunktet er en iso-kvalit.

Enhver ret linie parallel med BC - indenfor variationsfeltet - forbinder
sadanne maengdekombinationer af U og V, der medferer samme
kvantitet.

4
ho-kvaliten OP tilsvarer til aktuelt fremstillede kvalitet, q = —.

Iso-kvanten DP er den aktuelle iso-kvant for y = x = 80. Skaeringspunktet
P imellem den aktuelle iso-kvalit og aktuelle iso-kvant bestemmer
det aktuelle forbrug af U og V.

Tænkte man sig indtegnet et tæt system af både iso-kvanter og isokvaliter kunne nomografisk aflæses resulterende kvantitet og kvalitet for enhver mængdeindsats af U og V, eller modsat vej resulterende forbrug af U og V for given kvantitet og kvalitet.

Præferencefunktionen.

Målsætningen er maximering af N. Præferencefunktionen er N som
funktion af u og v. Denne udledes således:

idet d = 1.

Sammenholdt med (1.5) fås

der angiver det totale dækningsbidrag brutto som funktion af u og v.

Endvidere

der angiver de totale udgifter til kvalitetsfaktorerne som funktion af
u og v.

Idet pr. definition N =D — C findes ved subtraktion af de 2 sidste
ligninger

Det skyldes det specielle valg af tal, at N ikke også kommer til at
afhænge af u.

Mere generelt har man

(3.1)g

(3.2)g

(3-3)g

(3-4)g

hvor

I det aktuelle tilfælde fås h = 0 og k = 9 og (3.4) fremstiller da specielt
et system af lodrette linier, jvnf. diagram 11, der er tegnet i større
målestok end I og med udeladelse af det tekniske variationsfelt.

Markedsfunktionen.

I den aktuelle situation P pa diagram I er v = 5 og praeference-13

funktionens vaerdi 0; totaldaskningsbidraget netto er her derfor 9 • 5
= 49 . Praeferencefunktionen antager sin sterstevcerdi N -- 243 i
13
variationsfeltets hjerne C, hvor v = 27.

Hvis der forela en saerlig knaphedssituation for den fremstillede faerdigvare,
hvor forbrugerne maske ville kappes om at kebe varen uanset
i
hvor slet kvaliteten var, ville den optimale kvalitet blive —; virksom-9

hedens kapacitet ville blive fuldt udnyttet og det optimale punkt blive
variationsfeltets hjarne C med nettodaekningsbidraget 243. En smuk
„krigsgevinst" i sammenligning med 49. Optimeringsproblemet ville da
vaere lost som et yderst enkelt problem i linecer programmering. Efterspergslens
kvalitetselasticitet ville i en sadan situation vaere naest til 0.

I den aktuelle situation reagerer forbrugerne derimod overfor kvalitetsændringer,d.
v. s. elasticiteten er større end 0. Ifølge problemets forudsætningerer

udsætningererden konstant og efterspørgslen som funktion af kvaliteten
har da denne form

a er en konstant, der bestemmer niveauet af den tilsvarende kurve.

Ved indsaettelse af eq = 0,5 og det aktuelle salg 80 og aktuelle kvalitet
—,jvnf. (2.7) fas

der bestemmer niveaukonstanten a til 120

Den konkrete kvalitetsefterspørgselsfunktion bliver herefter

Tabuleret for nogle få værdier af q fås

(4.3)

Tilpasningen må opfylde betingelsen x = y, d. v. s. planlagt produceret kvantum og planlagt kvalitet må netop kunne absorberes af markedet ved den givne pris. Vi kan derfor sætte x i stedet for y i (4.3). Tabellen giver os herefter en række samhørende værdier af fremstillet kvantum og fremstillet kvalitet, som netop er markedsabsorbente.

Vi vil nu kalkulere forbruget af hver af kvalitetsfaktorerne for angivne
markedsabsorbente værdisæt af x og q.

Kalkylen kan udføres nomografisk som tidligere nævnt ved at tegne

de 8 til tabellens tal svarende iso-kvanter og iso-kvaliter. Mere nøjagtigtkan
beregningen ske numerisk på grundlag af iso-kvantligningen.

og iso-kvalitligningen

Løses ligningerne m. h. t. u og v fås

Ved indsaettelse af de markedsabsorbente vaerdisaet af x og q i (4.4)
far vi

(4.5)

Tabellen fortsætter med numerisk løsning af optimeringsproblemet.
C er u gange prisen 10 plus v gange prisen 1. Det totale netto-dækningsbidrag
antager maximum 54 for q = 1 og x = 120.

I diagram II ses løsningen grafisk. Den parabolske kurve er tegnet på grundlag af værdierne for u og v i (4.5). Vi vil kalde denne kurve for den markedsabsorbente kvalitetsfaktorkurve. Enhver konstellation af u og v, der ikke ligger på denne kurve, vil enten give en produktion, der er for stor i forhold til efterspørgslen eller en produktion, der er for lille til at tilfredsstille markedet. Optimum findes i punkt Q, hvor præferencefunktionen er tangent til den markedsabsorbente kvalitetsfaktorkurve.

Grænseomkostningerne.

Med salgsprisen fast og kvaliteten variabel som i problemstillingen ovenfor, må optimalsituationen være karakteriseret ved, at salgsprisen, der da bliver sammenfaldende med grænseindtægten, bliver lig med de samlede grænseomkostninger. Af disse repræsenterer ikke-kvalitetsfaktorernekr. 0,20. Resten, nemlig prisen 1,20 minus 0,21, altså kr. 0,99 må derfor være grænseomkostningen til kvalitetsfaktorerne i optimalsituationen.Dette bekræftes ved en differensomkostningsberegning på (4.5), hvis man sammenligner nabosituationerne til optimalsituationen med mængderne 90 og 160 og samlede kvalitetsomkostninger 38,16 og

108,16. Man ser. at omkostningstilvækst divideret med mængdetilvækst
netop er 1,00 kr.

Fastholdes derimod kvaliteten, medens mængden varieres over salgsprisen, får man en anden grænseomkostning. Den er konstant for given kvalitet, men varierer med det niveau, hvorpå kvaliteten holdes konstant. Den beregnes som

Specielt i optimalsituationen bliver denne grænseomkostning 66 : 120
-f 0.20 = 0,55 + 0,20 = 0,75.

Er prisen 1,20 optimal?

Man kan søge en test på dette spørgsmål ved hjælp af optimalprisformlen
ved indsættelse af p = 1,20 og idet grænseomkostningen indsættes
med 0,75. Vi får da

Løses m. h. t. e fås e = —2,67. Dette tal angiver, hvad priselasticiteten skulle være, hvis prisen 1,20 skulle være optimal. Skønnes den sande priselasticitet at være numerisk større end 2,76, er prisen for høj; i modsat fald for lav.

4. En efterbemærkning.

I den situation, hvor både pris og kvalitet i ovenfor definerende betydning
er ført i optimum, kan den økonomiske ligevægtsbetingelse
blandt flere måder formuleres således

hvor p og q er de optimale værdier samt e_q og e_P de værdier, som de 2 elasticiteter antager i optimalsituationen. Betydningen af s er det beløb, der ofres på kvaliteten pr. solgt enhed. Det beløb som totalt ofres på kvaliteten er ikke den ovenfor i eksemplet beregnede værdi G = 66, men beløbet Q = 54, idet det samme kvantum af varen (120) i den teoretisksletteste

retiskslettestekvalitet ville have krævet et forbrug (nemlig af V) på
12 kr. Vi får derfor i eksemplet

Optimalsituationen kan nu testes ved hjælp af formlen ved indsættelse af e_q = 0.5, e_P = —2,67, p = 1.2 og q= 1, idet disse tal indsat også giver 0.45. Ligevægtsbetingelsens gyldighed betinges ikke af, at kvalitetselasticiteten som i eksemplet her specielt er formodet at være konstant.

Beviset for formlen vil senere fremkomme i et memorandum fra Institutet ved Handelshøjskolen i Aalborg som led i en almindelig redegørelse for ligevægtsbetingelserne for kvalitetsoptimalitet alene og i forbindelse (som ovenfor) med prisoptimalitet under forskellige forudsætninge r₄).

Den praktiske betydning af formler af denne art er ikke, at de kan danne grundlag for direkte beregning af de optimale størrelser, men ligger deri, at de kan anvendes som test på, om en given faktisk situation er i optimum eller ikke, hvis man er i stand til at skaffe sig tilstrækkelig gode statistiske skøn på de afgørende elasticiteter. Hvis en test viser ikke-optimalitet, vil beregningen være vejledende for, i hvilken retning tilpasning skal forsøgess).

---

4) Hans Brems har fundet frem til en interessant formulering af en ligevægtsbetingelse for pris og kvalitet samtidig i optimum i anførte afhandling, først trykt i The American Economic Review (Nr. 1, 1957). Erik Johnsen har i Det Danske Marked, 1959 nr. 3, p. 215, formuleret en speciel optimalitetsbetingelse for flere handlingsparametre.

5) Berørte punkt synes mærkværdigvis at have givet anledning til en vis uklarhed, siden nærv. forf. udledte en lignende - men ikke identisk - ligevægtsbetingelse for salgsindsats (En note om teoretisk tolkning af reklameprocenten, NTTØ 1944), analyseret af Arne Rasmussen (The Determination of Advertising Expenditure, The Journal of Marketing 1952), Joel Dean m. fl. i samme amerikanske tidsskrift, men misforstået af en svensk forfatter „Hur stort bor reklamanslaget vara?", Ekonomen 1958.