En kømodel.

1. I køteorien behandles visse sider af de processer, der opstår, når et
nærmere defineret „system" opsøges af „kunder", som ønsker at blive
„ekspederet" af de til systemet hørende „ekspedienter".

Systemets virkemåde afhænger bl. a. af kundeankomsternes fordeling
i tiden og af ekspeditionstiden pr. kunde. Hvis kundetilstrømningen til
systemet foregår fuldstændig regelmæssigt med nøjagtig -— tidsenhed
a
i
mellem kundeankomsterne, og ekspeditionstiden pr. kunde, —, er konb

stant fra kunde til kunde, kan systemets tilstand i ethvert tidspunkt i
bestemmes entydigt. Er f. eks. —>—, vil processen forløbe som vist
a b
i nedenstående figur 1, hvor de lodrette liniestykker markerer kunde-12

ankomsterne (i tidspunkterne 0, —, — o. s. v.), og de stærkt optrukne
a a
i
vandrette liniestykker (af længden —) angiver ekspeditionstiden pr.
b
kunde.

---

*) Professor, Aarhus Universitet.

Een ekspedient vil her kunne overkomme at ekspedere samtlige kunder,
uden at der opstår kødannelser i systemet. I de første — tidsenheder
efter hver kundeankomst vil systemet befinde sig i tilstand 1 (1 kunde
i systemet, ekspedienten optaget), og derefter i tilstand 0 (ingen kunder
i systemet, ekspedienten ledig) i de følgende — -— tidsenheder, indtil
a b
den næste kunde ankommer til systemet, hvorefter dette igen befinder
sig i tilstand 1 i de følgende — tidsenheder o. s. v.

Systemer med fuldstændig regelmæssig kundetilstrømning og konstant ekspeditionstid kan i regelen på fuldt tilfredsstillende måde beskrives ved hjælp af en deterministisk model. Det normale vil imidlertid være, at kundetilstrømningen til systemet foregår mere eller mindre uregelmæssigt (varierende tidsafstand mellem kundeankomsterne), og at ekspeditionstiden varierer fra kunde til kunde. I så fald vil som hovedregel kun en del af de til systemet ankommende kunder opnå at blive ekspederet straks ved ankomsten til systemet (dette forudsætter mindst een ledig ekspedient på ankomsttidspunktet). Resten af kunderne må enten forlade systemet uden at blive ekspederet eller tage opstilling i en kø af ventende kunder, og systemets tilstand i ethvert tidspunkt kan sædvanligvis kun beskrives i sandsynlighedstermer: sandsynligheden for at systemet befinder sig i tilstanden n (n kunder i systemer.), sandsynligheden for, at netop n af de M ekspedienter i systemet er optaget af at ekspedere, sandsynligheden for, at der befinder sig netop n kunder i køen o. s. v. Det er køteoriens opgave at bestemme disr.e sandsynligheder (og en række forskellige størrelser, der kan udledes heraf) under givne forudsætninger m. h. t. systemets struktur, kundetilstrømning og ekspeditionstid pr. kunde.

2. Det forudsættes i det følgende, at kundeankomsterne til systemet er tilfældigt fordelt i tiden (poissonfordelt), eller nøjagtigere udtrykt: (a) sandsynligheden for, at der ankommer netop 1 kunde til systemet i løbet af h tidsenheder er ah + o(h), hvor a er en positiv konstant, og (b) sandsynligheden for, at der ankommer mere end 1 kunde til systemet i tidsintervallet her o(h). Sandsynligheden for 0 kundeankomster til systemet i løbet af h tidsenheder er følgelig 1 — ah — o(h).

Under disse forudsætninger er sandsynligheden Sn(i) for, at der indtræffernetop

træffernetopn kundeankomster i løbet af t -tidsenheder givet ved poissonfordelingen

Det gennemsnitlige antal kundeankomster i tidsintervallet t er at. Den
ovenfor indferte konstant a kan felgelig fortolkes som det gennemsnitlige
antal kundeankomster pr. tidsenhed, og den gennemsnitlige tidsafstand
mellem kundeankomsterne er — tidsenhed.
a

Med hensyn til ekspeditionstiderne forudsættes det, at sandsynligheden for, at en igangværende ekspedition afsluttes i løbet af de følgende h tidsenheder er uafhængig af ekspeditionens hidtidige varighed, eller nøjagtigere udtrykt: sandsynligheden for, at en igangværende ekspedition afsluttes i løbet af de følgende h tidsenheder er bh + o(h), hvor b er en positiv konstant. Sandsynligheden for, at en igangværende ekspedition ikke afsluttes i løbet af de følgende h tidsenheder er følgelig 1 - bh- o(h).

Under denne forudsætning er sandsynligheden S(t) for, at en igangværende
ekspedition endnu ikke er afsluttet efter t tidsenheders forløb,
givet ved eksponentialfordelingen

Middelekspeditionstiden pr. kunde er — tidsenheder. Konstanten b er
altsa den reciprokke vasrdi af middelekspeditionstiden.

3. I den følgende fremstilling betragter vi en kømodel med følgende
egenskaber (fig. 2):

a) Der er M ekspedienter i systemet (M 1). Hver kunde skal kun ekspederes af een ekspedient („parallelforbundne" ekspedienter), og hver ekspedient kan kun ekspedere een kunde ad gangen. Færdigekspederede kunder forlader systemet, så snart ekspeditionen er afsluttet.

b) Kunder, som ved ankomsten til systemet finder mindst een ekspedient
ledig, bliver straks ekspederet af en af de ledige ekspedienter.

I systemet er der plads til N — M ventende kunder. (Den maksimale
kølængde er N — Af). Kunder, som ved ankomsten til systemet finder
alle Af ekspedienter optaget, tager opstilling i køen, hvis der er plads i

denne på ankomsttidspunktet, og forbliver i køen indtil ekspeditionen
kan finde sted. Såsnart en af de M ekspedienter bliver ledig, rykker
en af kunderne i køen frem og bliver ekspederet.

Kunder, som ved ankomsten til systemet finder alle N — M pladser
i køen optaget, afvises (d. v. s. forlader systemet uden at blive ekspederet).

c) Kundeankomsterne til systemet er tilfaeldigt fordelt i tiden (poissonfordelt)
med gennemsnitlig a ankomster pr. tidsenhed. Ekspeditions-1

tiden pr. kunde er eksponentiel med en middelekspeditionstid pa — tidsb

enheder pr. kunde.

De til systemet ankommende kunder patrykker ekspedienterne i systemeten
vis arbejdsbyrde („trafik") A, hvis sterrelse naturligt males
ved produktet af det gennemsnitlige antal kundeankomster a pr. tidsenhedog
middelekspeditionstiden — pr. kunde, altsa A—— hvilket
b b
udtryk ogsa kan fortolkes som det gennemsnitlige antal kundeankomster
pr. middelekspeditionsperiode. Trafikenheden kaldes 1 erlang. At et systempatrykkes
(eller „tilbydes") en trafik pa A erlang er altsa ensbetydendemed,
at der gennemsnitlig indtraeffer A kundeankomster pr. middelekspeditionsperiode.(Er
det gennemsnitlige antal kundeankomster pr.

time f. eks. a = 10 og middelekspeditionstiden pr. kunde — = — time,
bliver trafiktilbudet A = 5 erlang).

4. Systemt siges at befinde sig i tilstanden n i et givet tidspunkt t, nar der i dette tidspunkt crn kunder i systemet (n = 0, 1, 2, , N). Det kan vises, at de tilsvarende tilstandssandsynligheder Po, Pi, P2, ■ ■ ■ ■, Pn, nar systemet befinder sig i statistisk ligevaegt, er givet ved

Tilstandssandsynlighederne Pn kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af tiden, i hvilken systemet befinder sig i hver af de mulige tilstande n. Med udgangspunkt i disse sandsynligheder kan man beregne en række forskellige størrelser, der hver for sig tjener til karakteristik af systemets virkemåde („effektivitet") ved givne værdier af „parametrene" A, M og N — M (jfr. tabel 1):

(a) Sandsynligheden B for at en kunde afvises fra systemet (fordi alle N pladser i dette er optaget på ankomsttidspunktet). Da kundeankomsterne indtræffer på tilfældige tidspunkter (uafhængig af systemets tilstand), kan afvisningssandsynligheden B også fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb afvises af systemet.

(b) Sandsynligheden D for at en kunde først opnår at blive ekspederet efter en vis ventetid i køen. (Dette forudsætter, at alle M ekspedienter er optaget og at der er mindst een ledig plads i køen på ankomsttidspunktet); D kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb kommer til at vente kortere eller længere tid i køen, inden de bliver ekspederet.

(c) Sandsynligheden S for at en kunde bliver ekspederet straks ved ankomsten til systemet. (Dette forudsætter mindst een ledig ekspedient på ankomsttidspunktet); S kan for praktiske formål fortolkes som den brøkdel af kunderne, som i det lange løb opnår at blive ekspederet straks ved ankomsten til systemet.

(d) Det gennemsnitlige antal ventende kunder L i køen (den gennemsnitlige

(e) Kundernes gennemsnitlige ventetid V i køen. Den gennemsnitlige
tid kunderne tilbringer i. systemet er V + middelekspeditionstiden —.
b

(f) Det; gennemsnitlige antal optagne ekspedienter E. Da det gennemsnitlige antal kunder under ekspedition under de ovenfor opstillede forudsætninger er lig med det gennemsnitlige antal beskæftigede ekspedienter, er det gennemsnitlige antal kunder i systemet L -\- E. Størrelsen E kan fortolkes som den gennemsnitlige tid pr. tidsenhed, de M ekspedienter er optaget med at ekspedere kunder; den gennemsnitlige udnyttelsesgrad pr. ekspedient er derfor E : M.

Størrelserne B, D, S, L, V og E er i tabel 1 (jfr. tillige det numeriske
eksempel i tabel 2) beregnet under tre forskellige forudsætninger m. h. t.
den maksimale kølængde, nemlig:

Model I. Den maksimale kølængde er et positivt endeligt tal (1 <^
.V — M < °°). Der er her tale om et kombineret af visnings-ventetidsstraksekspeditionssystem,
idet sandsynlighederne B, D og S alle er > 0.

Model 11. Den maksimale kølængde N — M er 0. Systemet er et afvisnings-straksekspeditionssystem. (B og S er > 0, og D = 0). Denne model er oprindelig opstillet af A. K. Erlang med henblik på dimensionering af telefonanlægl).

Model 111. Den maksimale kølængde N — M = °°. Systemet er et
ventetids-straksekspeditionssystem. (D og S er > 0, og B — 0). Også
denne model er oprindelig udarbejdet af A. K. Erlangl).

Modellerne II og 111 er naturligvis specialtilfælde af model I.

5. I det følgende skal der nu i korte træk gøres rede for nogle praktiske
anvendelser af modellerne I, II og 111.

---

1) A. K. Erlang: Losning af nogle Problemer fra Sandsynlighedsregningen af Betydning for de automatiske Telefoncentraler, Elektroteknikeren 1917.

Model I. Det britiske luftfartsselskab BOAC har ladet foretage en køteoretisk analyse med henblik på at bestemme det økonomisk optimale antal reserveluftfarløjer, som kræves til at overholde fartplanen med en vis given sikkerhed. Antallet af reservefartøjer afhænger bl. a. af sammenbrudssandsynligheden for de i drift værende maskiner, reparationsteknikken, antallet af beddinger på værkstedet og en række andre faktorer²).

Er antallet af beddinger („ekspedienter") på værkstedet M og antallet af reserveluftfartøjer N, kan systemet, såfremt sammenbrudsintensiteten for de i drift værende maskiner er poissonfordelt og reparationstiden pr. maskine eksponentialfordelt, beskrives ved hjælp af model I, hvis man går ud fra den - noget urealistiske - forudsætning, at driften helt indstilles,når antallet af maskiner ude af drift (under reparation eller ventendepå reparation) overstiger antallet af reservefartøjer, idet tilstrømningenaf maskiner til værkstedet („kunder til systemet") i så fald helt ophører, så snart der befinder sig N kunder i systemet. Går man derimod ud fra den mindre rigoristiske forudsætning, at fartplanen reduceres, når antallet af maskiner ude af drift overstiger antallet af reservefartøjer,

---

2) ]. 'Taylor and R. R. P. Jackson i Operational Research Quarterly 1954. nr. 3, jfr. Ingeniøren 1957, nr. 26,

kan systemet beskrives ved hjælp af model 111, forudsat at selskabets
samlede luftflåde omfatter et tilstrækkelig stort antal maskiner.

Model 11. Det klassiske anvendelsesområde for denne model findes inden for telefonien: Et ledningsbundt med M trådpar („ekspedienter") belastes med en poissonfordelt trafik på A erlang (gennemsnitlig A opkald pr. middelsamtaleperiode). Abonnenter („kunder"), som ved opkald (ankomst til systemet) får optagetsignal, fordi alle M ledninger er optaget, antages at forlade systemet uden at blive ekspederet (abonnenten lægger røret på, når der gives optagetsignal; ingen kø af ventende kunder i systemet).Når trafiktilbudet A og antallet af trådpar M er givet, kan afvisningssandsynligheden B beregnes ved hjælp af den i tabel 1 anførte formel. I praksis anvendes Z?-formlen hyppigt som grundlag for dimensionering af ledningsbundter (og andre forbindelsesorganer), idet der trækkes så mange ledninger i bundtet, at B ikke overstiger et vist foreskrevet maksimum (f. eks. B <^ 0,01), jfr. tabel 33).3³).

Noget lignende vil gøre sig gældende, når det drejer sig om forholdenepå en parkeringsplads med M parkeringsfelter („ekspedienter"), forudsat at tilstrømningen af vogne („kunder") til pladsen er poissonfordelt.Er trafiktilbudet A (gennemsnitligt antal ankommende vogne pr. middelparkeringsperiode) og antallet af parkeringsfelter M givet, kan

---

3) Tallene i tabellerne 3 og 4 er hentet fra Arne Jensen: Moe's Principle, København 1950.

sandsynligheden for, at samtlige M parkeringsfelter er optaget, beregnes
ved hjælp af 5-formlen. Det gennemsnitlige antal optagne parkeringsfelterer
A (1 - B), jfr. tabel 1.

Endelig kan model II benyttes til behandling af visse specielle lagerproblemer.
Lad os antage, at (1) eftersporgslen efter en vare i en forretning
er poissonfordelt med en gennemsnitlig eitersporgsel pa a enheder
pr. tidsenhed, (2) forretningens varebeholdning, defineret som det
i forretningen vaerende lager -f antal enheder i ordre hos forretningens
leverandeir af varen, er konstant = M enheder, idet forretningen afgiver
en ordre pa 1 enhed til leveranderen, hver gang den saelger en enhed
til en af sine kunder; den gennemsnitlige leveringstid for varer i ordre
hos leveranderen er — tidsenheder, og (3) efterspergsel, der finder sted
b
pa. tidspunkter, hvor varelageret er udsolgt (M enheder i ordre hos leverandoren),
bliver ikke tilfredsstillet, idet kunderne ikke ensker at vente
pa varen til den kommer frem fra leveranderen. De M vareenheder kan
her betragtes som „ekspedienter". Anlaegger man det synspunkt, at en
ekspedient (vareenhed) er ledig, nar den befinder sig pa lager i forretningen
og optaget, nar den er i ordre hos leverandoren, bliver „trafiktilaa

budet" til systemet A = — erlang (gennemsnitlig eftersporgsel pr. midb

delleveringsperiode) og sandsynligheden for, at forretningen ikke vil
kunne tilfredsstille efterspergslen, fordi varelageret er udsolgt (alle M
ekspedinter optaget), vil vaere B = Pm. Det gennemsnitlige salg pr. tidsenhed
er felgelig a (I — B) enheder, og gennemsnitslageret i forretningen
(det gennemsnitlige antal ledige ekspedienter) er M A(l— B).
Hvis kunderne er villige til at afvente varens fremkomst fra leveranderen
(jfr. forudssetning (3) ovenfor, ma model II erstattes med model i
eller 111, idet systemet i sa fald tillader en ke af ventende kunder.

Model Hl. Følgende eksempel er hentet fra en afhandling af G. Brigham:A Congestion Problem in an Aircraft Factory (Journal of OperationsResearch, 1955): I en flyvemaskinefabrik findes rundt omkring i værkstederne ca. 60 „boder", hvorfra en eller flere ekspedienter udleverer værktøj og materialer til de i værkstederne beskæftigede mekanikere. Arbejdsformændene i værkstederne klager over, at mekanikerne spilderfor megen tid med at stå i kø foran boderne, og forlanger derfor, at der skal ansættes flere ekspedienter i disse, for at ekspeditionerne

kan blive fremskyndet. Heroverfor gør virksomhedens ledelse gældende, at en forøgelse af antallet af ekspedienter vil betyde større faste omkostningerfor virksomheden. Problemet består i at afveje disse to synspunkterover for hinanden, eller m. a. o. at bestemme antallet af ekspedienterM i de enkelte boder således, at den samlede spildløn for mekanikere og ekspedienter under eet bliver mindst mulig.

En naermere undersegelse viste, at tilstremningen af mekanikere
(„kundetilstromningen") til de enkelte boder med god tilnaermelse var
poissonfordelt, og at ekspeditionstiden pr. mekaniker ligeledes med god
tilnaermelse kunne fremstilles ved eksponentialfordelingen. (Der er m.a.o.
tale om en komodel af den i figur 2 viste type. Brigham forudssetter dog.
at den maksimale kolsengde N—M er °°). Det optimale antal ekspedienter
pr. bod kan herefter beregnes pa felgende made: I en bod med M ekspedienter,
der tilbydes en trafik pa A erlang (gennemsnitlig a mekanikerankomster
pr. time, middelekspeditionstid pr. mekaniker — time) er det
b
gennemsnitlige antal optagne ekspedienter A og den gennemsnitlige
spildtid pr. time for de M ekspedienter er felgelig M — A timer. Mid-1

delventetiden (pr. mekaniker) i koen foran boden er V = —timer,
W b M-A
og da der gennemsnitlig indtraeffer a mekanikerankomster pr. time, bliver
a D
den gennemsnitlige spildtid pr. time for mekanikerne =
. b M—A
A
D = Lm, hvor Lm betegner det gennemsnitlige antal ventende
M — A
mekanikere i et system med M ekspedienter (jfr. tabel 1).

Forudsættes det, at såvel ekspedienter som mekanikere aflønnes med timeløn, og er timelønnen for ekspedienter og mekanikere henholdsvis wcw_e og Wm, bliver den samlede gennemsnitlige spildløn pr. time for mekanikere og de M ekspedienter:

Antallet af ekspedienter, M, i boden skal nu bestemmes således, at spildlønnen
pr. time, Cm, bliver mindst mulig. Betingelsen herfor er

og

der kan sammenfattes til

We
Når trafiktilbudet A til boden og forholdet w — - - mellem timeløn-
wm
nen for henholdsvis ekspedienter og mekanikere er givet, kan det økonomisk
optimale antal ekspedienter M i boden bestemmes ved hjælp af
ovenstående ulighed. Er trafiktilbudet f. eks. A = 1,5 erlang og forholdet
mellem timelønningerne w = 0,8, vil det være fordelagtigst at ansætte
M = 3 ekspedienter i boden (tabel 4). Ved udledningen af ovenstående
ligevægtsbetingelse er det forudsat, at den del af ekspedienternes tid.
der ikke anvendes til ekspedition af mekanikere, er spildtid. I praksis

vil der imidlertid ofte være mulighed for i en vis udstrækning at beskæftige ekspedienterne med andet arbejde imellem ekspeditionerne (f. eks. at modtage varer, holde orden på reolerne i boden o. s. v.), og foranstående beregninger må i så fald modificeres i overensstemmelse hermed.