Nogle økonomiske problemer i fordelingen af hjælpesteders omkostning på hovedsteder i omkostningsstatistikken.

1. Omkostningsstatistikkens gennemførelse og afslutning rummer tre hovedproblemer. For det første problemet om, hvilke forudsætninger er impliceret i udparcelleringen af værdien af de enkelte omkostningsarter på omkostningssteder; for det andet de forudsætninger, der ligger i den interne afregning mellem omkostningsstederne; og endelig for det tredie hvilke forudsætninger af teknisk og økonomisk art man implicerer i overvæltningen af hovedstedernes samlede omkostninger på de enkelte omkostningsbærere.

I det følgende vil diskussionen alene omfatte den interne afregning af hjælpestedernes omkostninger, idet visse sider af omkostningsstatistikkens anvendelighed med henblik dels på økonomiske kalkuler og dels på ansvarskontrollen vil blive belyst ud fra en simpel afdelingsmode! med tilhørende taleksempel²).

---

*) Jeg bringer professor Svend Fredens min tak for råd og vejledning ved detle arbejdes gennemførelse.

1) Cand. oecon., økonomichef, Aktieselskabet Søren Wistoft &: Co.'s Fabriker.

2) Se Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, 1958. s. 129

2. Den betragtede virksomhed omfatter 4 afdelinger, nemlig to hjælpesteder - kraftcentral og reparationsværksted - og to hovedsteder, kaldet A og B. Virksomheden har for en bestemt tidsperiode, for eksempel en måned, i en yddsesstatistik opgjort ydelserne

fra hjælpested nr. i til sted nr. j. Den samlede produktion i hjælpested
nr. i betegnes som

Taleksemplets ydelsesstatistik fremgår af skema 1. Idet kraftcentralens og reparationsværkstedets primære omkostning har været 600 kr., henhv. 1100 kr. i den betragtede periode, findes afregningspriserne for kraft, pi, og for reparationsydelse, p2, som løsningen til ligningssystemet

(1)

Idet afregningspriserne herefter bliver pi=o,l9 og p2=6,44, foregår den
interne afregning som vist i skema 2.

Med henblik på den følgende diskussion vil det være hensigtsmæssigt
at beregne de tekniske koefficienter

der angiver det antal mængdeenheder fra sted nr. i, der gennemsnitligt

medgår til produktion af 1 mængdeenhed i omkostningssted nr. j. Disse
tekniske koefficienter udgør

Der medgår altså for eksempel 4 kWh til hver reparationstime. Det er
herved antaget, at produktionen i hvert af de to hovedsteder har udgjort
10 mængdeenheder af hovedstedernes færdigprodukt.

3. Vi vil nu gøre den forudsætning, at størrelsen af de tekniske koefficienter er uafhængige af produktionsomfangets størrelse og sammensætning; den mængde, som for eksempel kraftcentralen skal præstere til reparationsværkstedet, forudsættes altså at variere ligefrem proportionalt med reparationsværkstedets samlede produktion ('Produceret ialt').

Herefter vil vi rejse det spørgsmål, hvorledes tallene i ydelsesstatistikken ændres, såfremt et af hovedstederne kræver en ekstra mængdeenhed fra et af hjælpestederne. Undersøgelsen af dette problem sker lettest i to trin, idet vi først vil undersøge, hvorledes hjælpestedernes samlede produktion ændres, hvorefter det skal undersøges, hvorledes denne produktionsstigning fordeler sig på ydelsesstatistikkens omkostningssteder.

Det antal mængdeenheder, zij, hvormed den samlede produktion i
hjælpested nr. i må forøges, såfremt hovedstederne ønsker en yderligere
mængdeenhed fra hjælpested nr. j, kan som bekendt3) beregnes som

---

3) Se for eksempel P. Nørregaard Rasmussen, Studies in Inter-sectoral Relations, København og Amsterdam, 1956, s. 39.

hvor E angiver snhedsmatricen og A matricen

1 taleksemplet fis således

Disse størrelser kan udledes ved følgende ræsonnement. Vi vil for eksempel søge det antal kWh, zn, hvormed kraftcentralens samlede produktion ændres, såfremt produktionen i virksomheden stiller krav om et yderligere kraftforbrug på 1 kWh. - I første række kræves jo 1 kWh. Men hertil kommer en række indirekte virkninger. 1 kWh kræver en yderligere produktion i reparationsværkstedet på A2l persontimer, hvortil medgår A2iAt2 = 0,02 kWh. Samtidig kræves der i kraftcentralen selv A_n =0,025 kWj ekstra, hvortil medgår yderligere AuAn = 0,001 kWh. etc. Som den endelige virkning af disse reperkussioner får man. at zu = 1,048 kWh. Den indirekte virkning udgør altså 4,8 %.

Det næste problem er nu, hvorledes en stigning i den samlede produktion
af kraft, respektive reparationstimer, vil fordele sig over virksomhedens
hoved- 3g hjælpesteder. Mere koncist udtrykt søger vi tallene

der angiver det antal mængdeenheder, der i den betragtede tidsperiode ydes fra hjælpested nr. i til sted nr. j, når gennemførelsen af produktionen i virksomhedens hovedsteder kræver 1 yderligere mængdeenhed fra hjælpested nr. k, samtidig med at hovedstedernes forbrug fra virksomhedens øvrige hjælpesteder er uforandret. - Lad os her se på for eksempel kraftcentralen.

Tænker man sig indledningsvis hovedstedernes forbrug af reparationsydelser uforandret, mens deres forbrug af kraft vokser med 1 kWh i den betragtede tidsperiode, fordeler den samlede stigning på zn= 1,048 kWh sig åbenbart på følgende måde: (a) Forbruget af kraft i hovedstedet, for eksempel nr. 3, vokser med yi3.i=l kWh. (b) Kraftcentralens eget forbrug af kraft vokser med

uår hovedstedel forbruger 1 yderligere kWh. samtidig med at hovedstedernesforbrug

stedernesforbrugaf reparationsydelser er uforandret, (c) Og endelig
vokser under samme omstændigheder reparationsværkstedets kraftforbrugmed
resten, d. v. s.

Tænker man sig dernæst hovedstedernes forbrug af kraft uforandret, mens reparationsforbruget i hovedstedet, for eksempel nr. 3, vokser med 1 h i den betragtede tidsperiode, fordeles den samlede stigning i kraftforbruget, zi2 = 4,321 kWh, på følgende måde: (a) Hovedstedets kraftforbrug er uforandret, yis.2 = 0 kWh. (b) Kraftforbruget i kraftcentralen vokser derimod med

når hovedstederne forbruger 1 yderligere h, samtidig med at deres kraftforbrug er uforandret, (c) Og endelig vokser reparationsværkstedets kraftforbrug under samme omstændigheder med resten af den samlede stigning, d. v. s.

På tilsvarende måde kan man undersøge, hvorledes den samlede stigning i reparationsværkstedets produktion, Z2l og Z22, fordeles på omkostningssteder ved en forøget efterspørgsel efter kraft, henholdsvis reparationsydelser i virksomhedens hovedsteder. Herved får man

Tallene i de to første linier har dimensionen kWh pr. tidsenhed, mens
dimensionen i de to sidste linier angiver et antal persontimer pr. tidsenhed.

På grundlag af de foregående oplysninger om produktionens struktur er det nu muligt at belyse visse sider af omkostningsstatistikkens anvendelighed som redskab i virksomhedens økonomiske kalkuler, ligesom man kan få et indblik i nogle af de forudsætninger, som ansvarlighedskontrollen hviler på.

4. Det første prDblem vi skal undersøge er følgende: Når produktionen i et af virksomhedens hovedsteder vokser med 1 enhed af færdigvaren i den betragtede tidsperiode, (a) med hvilket beløb vokser da hjælpestedernes samlede primære omkostning, og (b) hvorledes fordeles dette beløb på virksomhedens hovedsteder i henhold til omkostningsstatistikkens interne afregningsmetode?

(a) Lad os betragte hovedsted A. Man vil umiddelbart gå ud fra, at da omkostningen i henhold til skema 2 har udgjort kr. 693,79 ved en produktion på 10 mængdeenheder, vil summen af hjælpestedernes omkostning forøges med kr. 69,38 ved en produktionsstigning i afdeling A på 1 enhed.

For at undersøge dette, vil vi opstille ydelsesstatistikken i henhold til den forøgede produktion; før produktionsstigningen udgjorde ydelsen fra sted nr. i til sted nr. j au enheder, mens den som følge af produktionsstigningen nu bliver

For eksempel vokser kraftcentralens reparationsforbrug med 130 yis.i +
7 V21.2 = 0,84 persontimer pr. tidsenhed. Ydelsesstatistikken fremgår
herefter af skema 3.

Vi vil nu gøre den forudsætning, at den primære omkostning i hvert
hjælpested varierer proportionalt med hjælpestedets samlede produktion

('Produceret ialt'), hvorefter den primære omkostning i kraftcentralen vokser fra kr. 600 til kr. 624,97, mens den i reparationsværkstedet vokser fra kr. 1100 til kr. 1144,41. Den samlede primære omkostning er altså som følge af produktionsstigningen vokset med netop den gennemsnitlige omkostning i hovedsted A.

(b) Spørgsmålet er da, hvorvidt denne omkostningsforøgelse alene optræder i hovedsted A, eller om den influerer på det omkostningsbeløb, der i henhold til den interne afregning tilregnes hovedsted B i omkostningsstatistikken. Da forbruget af såvel kraft som reparationsydelser er uforandret i B, kan man i stedet spørge, om afregningspriserne, pi og p2, ændres som følge af produktionsstigningen.

Afregningspriserne udgør løsningen til systemet

jfr. skema 3. Dette ligningssystem kan imidlertid skrives som

Delte system har samme løsning som systemet (1), og de søgte afregningspriser er altså uforandret. Grænseomkostningen registreres derfor alene under hovedsted A, mens den del af den samlede primære omkostning, der tilregnes B, er uafhængig af produktionsstørrelsen i afdeling A.

Såfremt de gjorte forudsætninger af teknisk og økonomisk karakter faktisk er opfyldt i virksomheden, kan de omkostningsbeløb, der overvæltes fra hjælpesteder på hovedsteder, øjensynlig danne grundlag for omkostningsmæssige overvejelser i forbindelse med produktionens størrelse, idet den sekundære gennemsnitsomkostning i et hovedsted er lig med den sekundære grænseomkostning, ligesom størrelsen af den sekundære omkostning i eet hovedsted er uafhængig af produktionens omfang i et andet hovedsted.

5. Det andet problem, vi skal undersøge, drejer sig om omkostningsstatistikkens regnemekanik med henblik på omkostningskontrollen. Spørgsmålet er her, om en forbrugsstigning ud over budgettets forbrugstal for et bestemt omkostningssted alene henføres til dette sted i omkostningsstatistikken, eller om forbrugsstigningen influerer på det beløb, der tilregnes de øvrige afdelinger i henhold til omkostningsstatistikkens interne afregning.

Vi kan for eksempel tænke os, at virksomheden i sit budget regner med en produktion som angivet ved skema 1, og at registreringerne af regnskabsperiodens fakta viser, at hovedstedernes produktion og forbrugharsvaret til forventningerne alene med undtagelse af, at hovedsted A har haft et ekstra forbrug på 100 kWh i regnskabsperioden, mens de to hjælpesteders produktion, forbrug og primære omkostning netop er

ændret i overensstemmelse hermed: kraftcentralens forbrug af kraft er således vokset med 100 yn.i = 2,56 kKh etc., jfr. skema 5. Den primære omkostning i kraftcentral og reparationsværksted er vokset til henholdsviskr. 615,72 og kr. 1102.97. altså en stigning på tilsammen kr. 18,69 i forhold til budgettet.

Herefter gennemføres omkostningskontrollen således, at hjælpestederne godskrives for de faktiske ydelser, vurderet til de budgetterede afregningspriser — der jo er løsningen til ligningssystemet (1) - mens hovedstederne belastes for de modtagne ydelser, vurderet til samme afregningspriser.

Skal omkostningskontrollen hvile på et logisk grundlag, må man i vort eksempel i hvert fald forlange, at omkostningsstigningen fremtræder regnskabsmæssigt alene under hovedsted A, der har bevirket den forøgede omkostning, mens ingen del af den må optræde som en overeller underdækning i hjælpestederne.

Sammenligner man budgettet, skema 2, med regnskabet, skema 5, hvor den interne afregning er gennemført på grundlag af ydelsesstatistikken i skema 3, ses det, at omkostningsstigningen alene findes i regnskabet under hovedsted A; omkostningsstigningen beløber sig netop til afregningsprisen gange forbrugsstigningen. Hjælpestederne, hvis primære

omkostning er lig med normomkostningen - defineret som den faktiske primære omkostning med tillæg af den budgetterede afregningspris multipliceret med den faktisk afgivne mængde - fremviser derimod ikke nogen over- eller underdækning.

Man kan herefter konkludere, at såfremt de gjorte tekniske og økonomiskeforudsætninger
faktisk er opfyldt i virksomheden, optræder

omkostningsstigningen regnskabsmæssigt alene der, hvor den er opstået.
Beror det forøgede forbrug derfor helt og fuldt på afdeling A, viser
omkostningsstatistikken, hvor ansvaret skal placeres.

6. Der foreligger nu den mulighed, at der ikke er ledig kapacitet til en produktionsudvidelse i en eller flere af virksomhedens afdelinger, og derfor rejser det spørgsmål sig, om det nu også er korrekt i de økonomiske kalkuler såvel som i omkostningskontrollen alene at se på de regnskabsmæssige omkostningsbeløb, således som de er betragtet i det foregående, eller om det faste anlæg i virksomhedens afdelinger ikke har en særlig værdi i sig selv.

Svaret på dette spørgsmål er kendt fra teorien om lineær programmering:
det faste anlæg vil have en særlig værdi, såfremt det er fuldt
udnyttet.

Lad os da betragte den samlede produktion pr. tidsenhed, ai, i hjælpested
nr. i. Udtrykt alene som funktion af produktionen i virksomhedens
hovedsteder kan den skrives som

For eksempel medgår der et vist antal kWh til hver enhed af færdigproduktet i afdeling nr. 3, nemlig AiBZu i forbindelse med kraftcentralens ydelser, og samtidig medgår der A23Z12 i forbindelse med reparationsværkstedets ydelse til afdeling nr. 3.

Vi antager nu, at den maksimale produktion pr. tidsenhed udgør 4000 kWh, 200 h, 23 mængdeenheder og 15 mængdeenheder i de fire betragtede omkostningssteder. Ud fra taleksemplets øvrige konstanter får man da for hver afdeling en begrænsningsligning

(I)

(II)

(III)

(IV)

Omdannes disse uligheder til ligheder ved indførelse af 4 ikke-negative
restvariable, rummer problemet 2 flere variable end begrænsningsligninger,og

ninger,ogen grafisk løsning bliver derved mulig, jfr. figur 1, hvor de fuldt optrukne linier hver for sig angiver den maksimale kombination (a33.a44), der med henblik på kapacitetsbegrænsningen i den betragtede afdeling er mulig.

Problemets optimale produktionsprogram afhænger som bekendt af dels de priser, som færdigproduktarterne afsættes til, dels de omkostninger, som de medfører. Antages det, at prisen pr. enhed af færdigvaren er 120 kr. for begge produktarter, og at den eneste omkostning, der løber på, er kraftcentralens kr. 0,15 pr. kWh og reparationsværkstedets kr. 5,50 pr. h, er virksomhedens præferencefunktion

Det optimale produktionsprogram bliver herefter 23 mængdeenheder i
afdeling 3 og 0,74 mængdeenheder i afdeling 4, hvortil medgår 4000
kWh og 194 h.

Da anlægget i afdelingerne 2 og 4 ikke udnyttes fuldt ud, kan der altså ikke tillægges disse nogen knaphedspris. Derimod viser den finale simplextabel for det lineære problem, respektive dets dual, at den betragtede tidsperiodes overskud ville være kr. 0,08 større, såfremt man kunne disponere over en ekstra kWh pr. tidsenhed, og kr. 13,81 større, såfremt produktionen i omkostningssted nr. 3 kunne forøges med 1 mængdeenhed pr. tidsenhed.

Det fremgår heraf, at et forøget forbrug af reparationsydelser koster virksomheden den regnskabsmæssige omkostning, således som den kan aflæses af omkostningsstatistikken; derimod medfører et forøget forbrug af kraftcentralens ydelser en omkostning i form af den gevinstændring, som fremkommer i forbindelse med den produktionsomlægning, som nødvendiggøres på grund af kapacitetsgrænserne.

Under disse omstændigheder er det altså ikke den regnskabsmæssige omkostning, men derimod den skyggepris, der opstår på grund af anlæggets knaphed, som man både i de økonomiske kalkuler og i ansvarlighedskontrollen må anse for den relevante omkostning.