I denna artikel behandlas, hur de slumpmåssiga variationerna i efterfrågan
påverkar tillgången på fårskvaror i en livsmedelsbutik. Begreppet
fårskvaror definieras nårmare nedan.

Förutsättningar.

Fb'rutsåttningarna år enkla. En butik får in mångden L (= levererat) från en central eller leverantor och denna mångd minskar under tiden fram till nåsta leverans med mångden x (= såld kvantitet). L kan vara lika stor som x (i så fall tar lagret slut fore nåsta leverans) eller storre an x (i så fall blir det en mindre mångd av L kvar). Dåremot kan L ej vara mindre an x, ty man kan ej sål ja varor, som man inte har. (Detta år dock moj ligt, om man antingen antar, att kunderna kommer tillbaka

---

1) Fil. lie, leder af O. R. afdelingen, AB. Volvo, Goteborg.

2) Fil. kand., Statistiska Forskningsgruppen, Stockholm.

3) Tekn. lie, civilekonom, Konsum, Stockholm.

senare och frågar efter samma vara igen, eller om efterfrågan noteras
som bestållning och expedieras, når varan kommit in. Då detta emellertidår
ovanligt for fårskvaror behandlas dessa fall icke hår).

Om L år storre an x, blir det som nåmnts en viss kvantitet kvar. Detta overskott antages forsvinna. Anledningen hårtill år, att fårskvaror i många fall icke går att sålja under nåsta forsåljningsperiod: det galler t. ex. småfranska och wienerbrod dagen efter hakningen. Antagandet innebår att alia perioder startar på identiskt samma sått, nåmligen med begynnelselagret L. Det innebår också, att de nedan givna formlerna och siffrorna icke galler for hållbara varor, t. ex. socker.

Till fårskvaror brukar man i dagligt tal råkna mjolk, grådde, brod. matfett, kott- och charkuteri varor, fisk, bar, frukt, gronsaker samt ågg. Det finns emellertid ytterligare några varor. som kan betraktas som fårskvaror, t. ex. malet kaffe, styckad ost och vissa sotsaker. Några fårskvaror har bara en dags hållbarhet (småfranska). Mjolk och limpa haller sig några få dagar, filmjolk upp till en vecka. Det finns emellertid också fårskvaror med en hållbarhet, som råknas i veckor, (frukt. ostyckat notkott). De har en så pass god hållbarhet, att restkvantiteten icke behover kastas, når nåsta leverans sker. Enligt definitionen ovan - restkvantiteten kastas vid nåsta leverans — år sådana varor alltså icke fårskvaror i egentlig mening: de intar en mellanstållning mellan fårskvaror och hållbara varor.

Forsåljningsperiodens långd spelar i princip ingen roll; vårdena nedan
galler for varor. som levereras dagligen. lika vål som for varor. som
levereras en gang per vecka eller var fjortonde dag.

Det kan i forstå ogonblicket tyckas, att om L = x, så går man icke miste om någon forsåljning. Till butiken levererad mångd svarar mot vad som efterfrågats. Verkligheten år emellertid mera komplicerad. Alia. som stått i butik, vet, att efterfrågan på en vara varierar. Hår avses den slumpmåssiga variationen från dag till dag (från vecka till vecka) och ej den såsongmåssiga variationen, t. ex. 6'kad forsåljning av filmjolk på sommaren. Aven om ra^fe/efterfrågan år 20 wienerbrod per dag i en liten brodbutik, så efterfrågas 24 en dag, 17 nåsta dag osv. Då efterfrågan icke år kånd for en viss dag till sin absoluta storlek i fb'rvåg, omvåxlar overskott och underskott i butiken åven vid rått avpassad bestållningskvantitet.

Ur forsåljningssynpunkt år var uunder skott (efterfrågad mångd storre ån tillgånglig kvantitet) av sårskilt intresse. Om man vill oka forsåljningeni en butik, år nåmligen ingen forsåljning låttare att erovra ån den, som tåcker en redan existerande efterfrågan. Når en kund kommer

in i en butik och frågar efter varor, som inte finns, år det till obehag
for kunden och medfor forsåljningskostnader utan att leda till forsåljning.

Men åven overskott har betydelse. Enligt antagandet kastas nåmligen hela restkvantiteten. Det år ett fullt realistiskt antagande for många fårskvaror (wienerbrod) och ett partiellt realistiskt for andra (trimning av gronsaker). Overskott medfor forruster (svinn).

Till slut en reservation. Nedan antages, att efterfrågan varierar på ett fullt slumpmåssigt sått. Men om man jåmfor en butik med monopollåge med en i konkurrenslåge, år givetvis de slumpmåssiga variationerna mindre i monopolbutiken, dår kunderna tvingas att gora alia sina inkop. Under vissa forhållanden kan man alltså få mindre slumpmåssighet an vad som hår antagits. I andra fall kan den bli storre, nåmligen når åven såsongvariationer och tillfålligheter (hamstring infor omsåttningsskatt, kraftiga ovåder etc.) adderas till de slumpmåssiga variationerna.

Grundläggande matematisk-statistisk analys.

Som nyss framhållits, medfor slumpmåssigheten i efterfrågan, att butiker omvåxlande uppvisar varubrist (tomperioder) och varuoverskott (svinn) for fårskvaror åven når rekvirerad mångd (L) år lika med i genomsnitt efterfrågad mångd. Det forstå problem, som hår tages upp till behandling, år, hur man med hjalp av matematisk-statistisk analys skall beråkna den genomsnittliga storleken av underskott (eller tomperiod) respektive overskott vid olika stor rekvisition. Med utgångspunkt från de resultat, som erhålles vid losningen av detta problem, skall ytterligare två frågor belysas. Hur mycket kan svinnet minskas, om fårskvarornas hållbarhet okas? Hur mycket skall rekvireras, om man vill uppnå basta mojliga ekonomiska resultat?

Foljande beteckningar anvandes:

ingångsstorheter:

a = medelefterfrågan under en period

L == rekvirerad rnångd vid borjan av varje period

utgångsstorheter:

p = proportion av tiden som lagret står tomt = proportion av efterfrågan
som ej kan tillgodoses = relativt underskott

q = overskottet vid en periods slut i relation till medelefterfrågan

Av det ovan sagda framgar, att resultatet av kalkylerna vasentligen beror pa arten och storleken av variationerna i efterfragan fran period till period. Da empiriska data harom ej firms publicerade, har antagits, att efterfragan ar helt slumpmassig (sasongvariationer antages ej forekomma), vilket innebar, att den totala efterfragan under en period varierar enligt den s. k. Poissonfordelningen. Sannolikheten att efterfragan ar x enheter under en godtycklig period ar i sa fall lika med

(O

dår a = genomsnittlig efterfrågan under en period. Poissonfordelningen finns tabulerad av t. ex. Molina¹). Med hjalp av hans tabeller kan man beråkna sannolikheterna for olika storlekar av efterfrågan, om man kånner den genomsnittliga efterfrågan a.

Man kan formoda, att antagandet att en Poissonfordelning skall galla ger storre over- och underskott till resultat an vad som forekommer i praktiken. Skålet till denna formodan år, som ovan antytts, att om butiken betjånar en någorlunda fixerad kundkrets, kan man troligen råkna med en mindre variation från period till period an vad Poissonfordelningen

Under forutsåttningar att Poissonfordelningen galler, kan det relativa underskottet p resp. overskottet q beråknas på foljande sått. Betrakta en godtycklig period, låt x beteckna den verkliga efterfrågan under denna period och z ett eventuellt underskott vid periodens slut.

Sått vidare:

pz — sannolikheten att underskottet vid periodens slut år z.

q., = sannolikheten att efterfragan under perioden ar lika med x.
(r/r ar lika med uttrycket i formel (1))

Då år

---

1) Molina, E. C: „Poisson's Exponential Binomial Limit". New York 1942

For det relativa medelunderskottet fås

For Poissonfordelningen galler emellertid [se (1)], att

(2)

Betråffande overskottet galler, att om initiallagret (L) okas med underskottet,
råcker detta i det långa loppet precis till efterfrågan (a) och
overskottet. Hårav fol jer att

eller (efter division med medelefterfrågan a):

(3)

Med hjalp av ovannåmnda tabellverk kan alltså såvål p som q tabuleras
for olika varden på L och a.

Resultat.

Siffervården på relativt underskott (relativ tomtid) och relativt overskott
vid leveransperiodens slut for olika varden på medelefterfrågan a
och den rekvirerade mångden L framgår av tabeli 1.

Anvåndningen av tabeli 1 skall klargoras med några exempel.

Om man i en brodbutik beståller 10 wienerbrod varje dag och efterfrågan i genomsnitt också år 10, år butiken enligt tredje kolumnen i tabellen utan wienerbrod 12,51 % av forsåljningstiden. Den omståndigheten, att en kund kommer in sent på eftermiddagen och finner, att butiken år utan wienerbrod, beråttigar i och for sig inte till omdornet, att for litet tas hem. De dagar, då den bestållda kvantiteten råcker till, uppstår det ett overskott, som i genomsnitt uppgår till 12,51 % • 10 = ] ,25 wienerbrod per dag.

Om butiken ar utan wienerbrod 12,51 % av tiden, betyder det, att i
arenomsnitt var dvs. var attonde kund icke kan kopa wienerbrod.
12,51
Fb'rsaljningen skulle bristdagar kunna okas med 14,3 %, om man forutsatter,
att de kunder, som icke far onskad brodsort, i stallet gor inkop
pa. annat stalle.

Ett sått att undvika, att så mycket som var åttonde kund blir utan begård vara, år att ta hem flera wienerbrod ån 10 per dag. Av tabellen framgår, att om man tar hem L — 12 eller 14 wienerbrod i stållet for 10 per dag vid a = 10, så blir var nittonde resp. var femtiotredje kund utan. Okar man till 18 wienerbrod per dag* blir endast fyra kunder om året utan wienerbrod. Att ta hem mer ån som i genomsnitt går att sålja år dock otånkbart i praktiken; svinnet våxer på ett skråmmande sått (se Vid bedomning av siffrorna i bor man veta, att 0,5-1 % svinn anses vara normalt for mjukt brod i Sverige. I USA år motsvarande siffra hogre, omkring 5 %. Detaljhandelsmarginalen for livsmedel år i Sverige 14-16 % (ev. återbåring frånråknad).

Av tabellen framgår, att de slumpmåssiga variationerna betyder mindre i stora butiker ån i små. Dkar medelefterfrågan från 5 till 10 enheter, sjunker tomtiden från 17,55 till 12,51 % dvs. med 5,0 %. Vid storre efterfrågan sjunker den långsammare; ytterligare fordubbling av efterfrågan sånker tomtiden med 3,6 resp. 2,6 %. Forst når man kommer upp till mycket stora kvantiteter, blir tomtiden obetydlig. Vid efterfrågan av 10.000 enheter per forsåljningsperiod - i fallet brod motsvarar detta nårmast efterfrågan vid ett bageri - år den 0,4 %.

Om en butik år oppen kl. 8.30-18.00 (= 9,5 timmar), år tomperioden for en foga efterfrågad fårskvara 22,4 % • 9,5 = 2,1 timmar. Butiken bor jar alltså bli dåligt sorterad omkring kl. 16.00. Yrkesarbetande husmodrar, som handlar på våg från arbetet, maste sålunda ofta bli utan onskad vara.

Förlängning av färskvarornas hållbarhet.

En okning av en fårskvaras hållbarhet innebår att medelefterfrågan blir storre, eftersom forsåljningsperioden gores långre. Enligt tabell 1 minskar både tomtiden och svinnet, då medelefterfrågan gores storre. For att tydligare kunna studera, hur detta sker, har tabell 2 beråknats. Formlerna (2) och (3) har anvånts åven for denna beråkning.

Tabell 2 anger sambandet mellan å ena sidan det relativa overskottet (q), å andra sidan medelefterfrågan under en period (a) for ett och samma varde på det relativa underskottet (p). I tabellen har åven angivits den rekvisitionsmångd (L), som erfordras, for att man skall erhålla det fixerade genomsnittliga underskottet p.

Folj ånde exempel illustrerar anvåndningen av tabell 2. Antag, att en varas hållbarhet år 1 dag, att medelefterfrågan per dag år 20 enheter och att man vill hålla det relativa underskottet vid i genomsnitt 1 %. Då blir det relativa overskottet 32,2 %. Om hållbarheten kan okas till 2 dagar blir medelefterfrågan 40 enheter/period och det relativa overskottetminskar vid samma relativa underskott till 19,5 %. Om hållbarhetenokas

hetenokastill 5 dagar (medelefterfrågan 5 • 20 enheter) blir det relativaoverskottet
10,2 %.

Man har vissa mojligheter att forlånga hållbarheten hos fårskvaror; fråmst genom att kylforvara och genom att forpacka. Antag, att hållbarheten fordubblas genom en sådan åtgård. Man får då f6l j_ånde minskning i forsåljningssvinnet:

Av tabellen framgår, att svinnet minskas snabbast, når de rekvirerade mångderna år små. Kyldiskar och forpackning borde dårfor i forstå hand anvåndas i små butiker liksom for mera sållan sålda artiklar snarare an for stapelvaror.

Om efterfrågan på en fårskvara år liten, kan forpackning eller kylforvaring
tånkas bli lonande, ty vinsten i form av minskat svinn kan
tåcka kostnaderna for forpackningsmaterial resp. kylforvaring.

Optimal rekvisitionsmängd.

I tabell 2 ovan angavs den rekvisitionsmångd L, som erfordras, for att man i genomsnitt skall få ett givet underskott p. Med denna rekvisitionsmångd kan man alltså hålla underskottet under kontroll, men det år for den skull inte givet, att den så beståmda rekvisitionsmångden år den ur ekonomisk synpunkt basta mojliga. Den optimala rekvisitionsmångden bor framkomma som ett resultat av en avvågning mellan vinsten vid okad forsåljning och kostnaderna for kasserat overskott samt good-willsånkande underskott.

En sådan avvågning skall hår goras med hjalp av matematisk-statistiska
metoder. Beråkningarna har gjorts med f6l jånde forutsåttningar:

1) Efterfragan ar helt slumpmassig (samma forutsattning som vid
konstruktionen av tabell 1).

2) Efterfrågan påverkas ej av rekvisitionsmångden. Det kan vara etf orealistiskt antagande, ty om små mångder rekvireras och en kund ståndigt finner, att en butik år utan de varor han vill ha, flyttar han over till en annan butik.

3) Kalkylerna galler endast for varor med relativt stor medelefterfrågan (sag a > 50) och resultatet blir dårfor alltmer approximativt ju mindre denna storhet år. Det år hår mojligt att åven for små tf-vården genomfora exakta beråkningar, men dessa år komplicerade att utfora.

Matematisk härledning.

Vid en okning av rekvisitionsmångden vinnes två fordelar, nåmligen okad forsåljning och minskat underskott, medan en nackdel tillkommer, nåmligen o'kat overskott. Fb'ljande beteckningar infores utan att den precisa inneborden dårav nårmare forklaras:

c\ — vinsten av en forsåld enhet

c> = forlusten av en overskottsenhet

d\ — forlusten av en underskottsenhet

Den totala vinsten per period (v) i relation till medelefterfrågan (a)
blir då

dår f = forsåljningen i relation till medelefterfrågan.

Eftersom forsåljningen år lika med rekvisitionsmångden (L) minskad
med overskottet fås

Vidare år enligt formel (3)

Genom insåttning fås hårigenom

1 detta uttryck år p en funktion av L. For stora varden på a overgår

Poissonfordelningen nåmligen i normalfordelning (med medelvårde a
och spridning V a), varfor man då approximativt har

L- a-I
dart = och
Va

(p = den normala frekvensfunktionen

$ = den normala fordelningsfunktionen.

Om antagandet om stora «-vården galler, blir alltså v en funktion
endast av variabeln L (t år enligt ovan en funktion av L):

Problemet år nu att beståmma rekvisitionsmångden L så, att vinsten v
blir så stor som mojligt. For att soka maximum av v deriveras med avseende
på L.

Det L-vårde, som maximerar v kan alltså losas ut ur ekvationen

(4)

dår

For att losa ut L maste man ha tillgång till en tabeli over den normala
fordelningsfunktionen <P. I tabell 3 ges några varden på <£ (t).

Resultat.

Den rekvisitionsmångd L, som i det långa loppet ger det basta mojliga
ekonomiska resultatet, dvs. den storsta vinsten, beståmmes av formel (4).
Framråkningen av L kan låmpligen ske på foljande sått.

1) Beståm kostnaderna a, C 2 och ca samt beråkna

2) Uppsok i tabell 3 det £-vårde som motsvarar

3) Beråkna med hjalp av det så funna L enligt formeln

Detta forfaringssått skall tillåmpas på foljande exempel: En brodbutik antages ha en genomsnittlig efterfrågan på 50 småfranska per dag. Overblivna småfranska forutsåttes vara osåljbara nåsta dag och returneras. Hur många småfranska skall butiken rekvirera per dag?

Priset på ett småfranska sattes = y. Vinsten per salt småfranska antages
utgora t. ex. c\ — 5 % av y.

Om ett småfranska blir over, forlorar man i stort sett inkopsvårdet.
I allmånhet år detal jhandelsmarginalen 14-16 %, varfor forlus ten blir
C 9 = cirka 85 % av y.

Om en kund forgåves frågar efter småfranska, uppstår lonekostnader, som år något mindre ån når forsåljning sker, dvs. es = cirka 8 % av y. Dåremot tages hår ej hånsyn till att butiken forlorar i good-will, når en kund blir utan efterfrågad vara.

Forst beråknas

och

Enligt tabell 3 år 0 (- 1,5) + 0,067 och & (- 1) = 0,159, varfor man
genom interpolering finner, att t = — 1,1 motsvarar 0 = 0,133.

Det optimala L-vårdet erhålles såsom

Trots att vi har en genomsnittlig efterfrågan på 50 småfranska per
dag, skall bara 42 bestållas. Orsaken år, att det år dyrt att kassera de
småfranska, som genom slumpmåssigheten i efterfrågan blir over.

Man kan fråga sig, om det lonar sig att ståndigt arbeta med en viss brist for att man overskottsdagar skall få liten mångd brod over. Av ovanstående exempel framgår, att det kan vara ekonomiskt lonande att imderforsorja en butik med fårskvaror. Det år dock knappast någon nyhet. Ett stort svinn i en butik maste leda till åtgårder, om ej butiken skall gå i konkurs.

For brodbutiker år det ett kant forhållande, att stort svinn medfor
nedskårningar i rekvisitionerna, varigenom butikerna kommer att stå
tomma viss del av dagen.

I anslutning till detta resonemang kan man fråga i vilka situationer det år ekonomiskt lonande att underforsorja en butik? Ett studium av formel (4) ger vid hånden, att underforsorjning (dvs. L < a) bor ske, då k > 1 eller

Butiken bor alltså underforsorjas, då kostnaden att kassera en enhet
år storre ån summan av vinsten och bristkostnaden for en enhet.

LITTERATUR:

Whitin, T. M.: „The theory of inventory management". Princeton 1953.

Arrow, K., Karlin, S., Scarf, H.: „Studies in the mathematical theory of inventory and
production". Stanford University Press 1958.

Copyright