Ledelse og Erhvervsøkonomi/Handelsvidenskabeligt Tidsskrift/Erhvervsøkonomisk Tidsskrift, Bind 23 (1959)En sannsynlighetsmodell for valg av kapasitetsstørrelse.Av Tor Rødseth 1) I økonomisk teori er spørsmålet om valg av produksjonsstørrelse på kort sikt inngående behandlet. Spørsmålet om hvor stor produksjon en skal basere seg på under en mere langsiktig synsvinkel kommer derimot mere sjelden frem. Det er uten videre klart at dette er et essentielt spørsmål i investeringsteorien. I den vanlige formulering betrakter vi kapasitetsproblemet som et spørsmål om optimal kapitalanvendelse. Vi skal her se på en modell hvor produksjonvolumet på lengere sikt er den eksplisitte variabel. Denne modellen illustrerer hvilke forhold som ligger bak valget av produksjonstørrelse, og dermed kapasitet eller kapitalanvendelse på lengere sikt.2) Vi betrakter produksjonen av en enkelt vare, og forutsetter svært enkle forhold (a) fast produktpris og (b) konstante variable kostnader pr. produktenhet. De faste kostnader tenker vi oss avhengig av den valgte kapasitet eller produksjonsstørrelse på lengere sikt. Videre tenker vi oss at etterspørslen er en diskret variabel. Vi får å gjøre
med følgende størrelser: X:
produksjonskapasitet på lengere sikt Di: etterspurt
kvantum i året i pi: pris pr.
produktenhet i året i bi: variable
kostnader pr. produktenhet i året i B: faste
kostnader pr. år. Vi antar nå at de
faste kostnader pr. år B, er en gitt funksjon av den
1) cand. oecon, Høyskolestipendiat, Norges Handelshøyskole. 2) En beslektet modeli brukt på et annet problem finnes i Churchman, Ackofi and Ainoff: Introduction to Operations Research, New York 1957. Side 232
Deter apenbart at
vi i dette tillellet kan tenke oss to slags ar" for
a) „gode år" hvor D X
b) „dårlige år" hvor
D<X. Det er videre rimelig å tenke seg at den aktuelle produksjon i bedriften vil oscilere mellom D og X, slik at produksjonen er X i gode år og D i dårlige år. Strengt tatt innebærer dette at en ser bort fra produksjon for lager. Forventet profitt
vil være i gode år: R = (p
- b) X - B (X) og i dårlige år:
R = (p - b) D - B (X). Vi kan så trekke inn sannsynlighetsfordelingen for D. Dersom denne er gitt vil det si det samme som at for hver gitt X kan vi finne sannsynligheten for at D er større eller mindre enn X. Vi får dermed sannsynlighetene P(D X) P (D < X).
og Begge disse to
sannsynlighetene er avhengige av den X vi velger, og
Vi kan nå
definere forventet profitt for bedriften for ethvert år
etter ![]() eller mere
spesifisert ![]() Dersom vi bytter ut
kapasiteten X med X+l får vi på tilsvarende mate
![]() Og bytter vi ut X
med X—l får vi tilsvarende: ![]() Side 233
Dersom X er den
optimale kapasitet, dvs. den kapasitetsstørrelse som
![]() og ![]() Nå er det
imidlertid lett å se at E (R,X), E(R,X+I) og E(R,X-1)
![]() Og ![]() Nå er jo
imidlertid ![]() og tilsvarende
![]() Optimalitetsbetingelsene kan
derfor skrives: ![]() og ![]() Når sannsynlighetsfordelingen for D er gitt, og likeledes den nødvendige kostnadsinformasjon er gitt, vil disse to betingelsene tilsammen bestemme den optimale produksjonskapasiteten. I det tilfellet da B (X) er en lineær funksjon ![]() får vi ![]() I dette tilfellet kan
de to optimalitetsbetingelsene kombineres og vi får
![]() Side 234
Dersom vi
spekulerer nærmere over B-funksjonen, er det nærlig
![]() dvs. B kan oppfattes som avhengig av rentefoten r, prisnivået for produksjonskapital, samt mengden av produksjonskapital. Denne siste størrelsen er igjen en funksjon av den ønskete kapasitet. Kapitalvolumet K kan tenkes relatert til den ønskete kapasitet på to mater: (a) ved en klassisk produktfunks jon må vi tenke oss at relas jonen mellom kapasitet og kapitalvolum er fremkommet ved en optimaliseringsprocess, slik at K er den minste størrelse en kan ha for gitt X. (b) ved en produksjonsstruktur af Leontief-typen eksisterer det en „one to one correspondance" melom X og K. Eksempel: La oss tenke oss at produksjon og etterspørsel bare kan angis i hele tusen. La oss videre tenke oss at stykkprisen p er 7 kr. og at variable enhetskostnader er konstant lik 4 kr. dvs. p—b =3 kr. Videre kan vi tenke oss at faste differansekostnader dvs. ![]() pr. tusen
enheter. Dvs. pr. enhet 2 kroner. Endelig har vi gitt
følgende ![]() Av
kostnadsinformasjonen har vi at ![]() Side 235
Ut fra
sannsynlighetsfordelingen ovenfor kan vi utlede
fordelingen Vi skal nå finne
en X slik at ![]() ![]() Av fordelingen
ovenfor ser vi at dette holder for X= 4000. Dette er
For fullstendighets skyld skal vi også se litt på det tilfellet da sannsynlighetsfordelingen P (D) ikke er gitt. I dette tilfellet får vi et generelt beslutningsproblem, og for å studere dette er det rimelig å ta utgangspunkt i payoff-matriksen i denne situasjon. Dette er ganske enkelt en opstilling av realisert profitt ved alle kombinasjoner av kapasitetsvalg og faktisk etterspørsel. Matriksen ser slik ut: ![]() I dette tilfellet
kan det tenkes flere ulike „decision criteria" for
kapasitetsvalget. a) maksimal
forventning ved like sannsynligheter b) minimax.
Side 236
Ut fra det sistnevnte kriterium blir åpenbart X=looo den gunstigste beslutning, siden Min (R) = 1000. Ved forventningsmaksimering ved likt sannsynligheter blir X=3ooo eller X=4ooo den beste beslutning, sider i begge tilfeller E (R) = 2000. Det apparat vi her har skissert kan, med nødvendige modifikasjonei tenkes brukt på to mater: For det første kan de danne grunnlag foi aktuelle beslutninger i bedrifter. Dessuten kan en med utgangspunkt i slike betraktninger tenke seg å teste hypoteser om investeringsadferd. Modellen blir
selvsagt mere komplisert om en trækker inn muligheter
|