1. Omkostningsstatistikkens opgave er i første omgang at fordele periodens omkostnings på omkostningssteder. Blandt disse er nogle rene hovedsteder, eller blot hovedsteder, som regnskabsmæssigt aldrig afgiver ydelser til andre omkostningssteder, men hvis primære omkostning med tillæg af eventuelle sekundære omkostninger helt og fuldt umiddelbart overvæltes på de enkelte omkostningsbærere; andre er rene hjælpesteder, eller blot hjælpesteder, der er karakteriseret derved, at de regnskabsmæssigt altid afgiver ydelser til mindst eet af virksomhedens øvrige omkostningssteder, mens hjælpestedernes primære og eventuelle sekundære omkostning aldrig overvæltes umiddelbart på de enkelte omkostningsbærere; og endelig kan der være blandede hjælpe- og hovedsteder, eller blot blandede steder, der regnskabsmæssigt altid afgiver ydelser til mindst eet af de øvrige omkostningssteder, samtidig med at en del af det blandede steds primære og eventuelle sekundære omkostning altid umiddelbart belastes

2. Som bekendt opstår der et særligt problem ved fordelingen af hjælpestedernes primære omkostning på hovedsteder, såfremt der mellem to eller flere hjælpesteder foregår en gensidig udveksling af ydelser. Princippet i den interne afregning er jo, at afregningsprisen for den homogene ydelse, som ethvert omkostningssted i den gensidige udveksling afgiver, bestemmes ved betingelsen.

stedets primage omkostning
+ vaerdien af alle modtagne ydelser
= vaerdien af alle afleverede ydelser.

---

1) cand. oecon.

Vanskeligheden ligger nu som bekendt i, at overvæltningen af omkostningen fra for eksempel „egen kraftcentral" på hovedstederne ikke kan foregå, før end værdien af „reparationsværkstedets" ydelser til kraftcentralen er kendt, og denne værdi kan ikke bestemmes, så længe værdien af kraftcentralens ydelser til reparationsværkstedet ikke er opgjort. Vanskeligheden kan enten findes i omkostningsstatistikken²) eller i omkostningsbudgettet.

Overvæltningen af hjælpestedernes primære omkostning kan regne - mæssigt gennemføres på forskellig måde. To fremgangsmåder, betegnet ligningsmetoden og den successive fordelingsmetode, vil blive gennemgået og sammenlignet i det følgende³).

Ligningsmetoden.

3. Vi vil betragte en virksomhed, der regnskabsmæssigt er opdelt i n (> 1) hjælpesteder, som gensidigt udveksler ydelser, og k (> 1) hovedsteder,mens der indtil videre ses bort fra blandede steder. Det forudsættes,at der foreligger homogen produktion i hvert af de n hjælpesteder,og at virksomheden har opstillet en ydelsesstatistik som vist i skema 1, hvor tallene au angiver periodens ydelse fra omkostningssted

---

2) se for eks. Palle Hansen (red.), Håndbog i regnskabsvæsen, Kbhvn. 1952, s. 748-751, og E. Schneider, Industrielt Regnskabsvæsen, Kbhvn. 1945, s. 65-76.

3) Andre fordelingsmetoder, der bevidst ser bort fra den eksisterende udveksling, omtales af for eksempel Charles Ih. Devine, Cost Accounting and Analysis, N. Y. 1950, s. 50-51, oglh. Lang (ed.), Cost Accountants' Handbook, N. Y. 1954, s. 1000-1003. Disse metoder, der går ud fra RKW-skemaets princip (se nedenfor), adskiller sig gennem den rækkefølge, hvori omkostningsstederne opstilles.

nr. i til omkostningssted nr. j (i = 1, 2, • • • , n: j = 1, 2, • • • , n + k).
Omkostningssted nr. i har således i løbet af perioden ialt produceret

(1)

og heraf har dette hjælpested afleveret

(2)

enheder til de øvrige n + k omkostningssteder i virksomheden. Det bemærkes, at det af hensyn til den interne afregnings forløb er ligegyldigt, om ydelserne er konstaterede eller beregnede, eller om ydelserne er udtrykt i mængdeenheder, for eksempel persontimer, eller som forholdstal.

Idet den primære omkostning i hjælpested nr. i betegnes som bi, defineres
de priser, pi, til hvilke den interne afregning foregår, som løsningen
til ligningssystemet

(3)

Spørgsmålet er nu, om man kan være sikker på, at dette ligningssystem kun har een løsning, eller om man kan risikere, at to eller flere sæt af afregningspriser vil kunne føre til en fuldstændig fordeling af hjælpestedernes omkostninger. Det er ligeledes et spørgsmål, om løsningen alene består af positive tal, eller om man i visse tilfælde vil nå frem til negative afregningspriser for hjælpestedernes ydelser.

For at belyse dette problem er det nedvendigt at fastsla, hvilke egenskaber skema 1 og dermed ligningssystemets koefficientmatrix besidder. Man bemaerker ferst, at hjaelpestedernes forbrug af egne ydelser, an, kun influerer pa afregningspriserne igennem sterrelsen af de primaere omkostninger. Man ser dernaest, at mindst een ay, (i,j = 1,2, • • • , n; i 4= j) i hver af skemaets n rsekker ma vaere positiv, thi i modsat fald indgik omkostningsstedet jo ikke i den gensidige udveksling af ydelser (jfr. bemaerkningerne om RKW-skemaet nedenfor). Af samme grund ma mindst een aij i hver af de forste n Sojler vaere positiv. Endvidere ma mindst een ai,n +j (i = 1, 2, ... , n; j = 1, 2, ... , k) i de sidste n + k sojler vaere positiv, thi i modsat fald afgav de n hjaelpesteder jo udelukkende ydelser til hinanden. Hertil kommer endelig, at enhver primaer omkostning, bi>o.

Det kan nu vises, at determinanten til ligningssystemets koefficientmatrix
altid er forskellig fra nul; indsætter man nemlig i determinanten
definitionsudtrykkene for cm (i = 1, 2, ... , n), viser det sig, at for n lige
(ulige) kan alle negative (positive) led forkortes væk, således at determinanten
er positiv (negativ), idet en nærmere undersøgelse tillige viser,
at ikke alle resterende led kan være nul ifølge de netop anførte egenskaber
i skema 1. Systemet (3) har altså4) een og kun een løsning, der
bestemmes som

(4)

hvor A er determinanten til ligningssystemets koefficientmatrix, og Bi er
determinanten hørende til den matrix, der dannes ved at erstatte den
i'te søjle i koefficientmatricen med vektoren} -f-bi, -f-D2, • • • , ~^bn}5).

Indsætter man nu i determinanten Bi definitionsudtrykkene for a\, jfr. ligning (2), ses det, at Bi altid er forskellig fra nul og har samme fortegn som determinanten A. Ligningssystemet (3) har derfor altid en og kun een løsning, der består af et positivt talsæt.

Der findes med andre ord eet og kun eet sæt af interne afregningspriser,
ved hvilke der opnås en fuldstændig fordeling af hjælpestedernes
omkostninger, og disse afregningspriser er altid positive.

4. Ligningsmetoden skal kort belyses ved et eksempel med to hjælpesteder,nemlig en kraftcentral og et reparationsværksted, og to hovedsteder,A og B. Kraftcentralens og reparationsværkstedets ydelser fremgåraf skema 2. Idet krftcentralens og reparationsværkstedets primære omkostning i perioden opgøres til 600 kr., henholdsvis 1100 kr., kan afregningsprisenfor

---

4) se for eks. R. G. D. Allen, Mathematical Analysis for Economists, London 1947, s. 484 (Cramers sætning).

5) tilstedeværelsen af de nævnte egenskaber er tilstrækkelig til, men ikke nødvendig for at finde netop een positiv løsning, jfr. således RKW-kontorammen.

regningsprisenforkraft, pi, og for reparationsydelser, p2, findes ved løsningaf
de to ligninger

(5.1)

(5.2)

hvoraf

Herefter foregår den interne afregning som vist i skema 3, hvor der
er set bort fra den primære omkostning i de to hovedsteder.

5. I det specielle tilfælde, hvor der foruden et antal hovedsteder kun
forekommer n — 2 hjælpesteder, er de to afregningspriser

Såfremt nu hjælpested nr. 2 intet har afleveret til hjælpested nr. 1, dvs. såfremt asi = 0, foreligger der åbenbart et eksempel på det såkaldte RKW-skema⁶), hvor der ikke finder nogen gensidig udveksling af ydelser sted. Indsætter man a2i = 0 i udtrykkene for pi og p2, fås

Og

der netop udtrykker RKW-skemaets afregningspriser. RKW-skemaet, der er karakteriseret derved, at alle elementer au (i,j ==1,2, • • • , n; i > j) under diagonalleddet i skema 1 er lig med nul, fremtræder altså som et specialtilfælde af det mere almindelige tilfælde, som hidtil er blevet behandlet⁷).

---

6) Reichkuratorium fiir Wirtschaftlichkeit, Grossere Wirtschaftlichkeit, Leipzig 1937.

7) „RKW-Skemaet har altså ingen generel Gyldighed", E. Schneider, anf. arb., s. 67.

6. Mens drøftelserne indtil nu alene har beskæftiget sig med rene hjælpesteder og rene hovedsteder, skal det nu vises, at de anførte sætninger bevarer deres gyldighed, såfremt et vist antal af virksomhedens omkostninsrssteder er blandede hjælpe- og hovedsteder.

Er for eksempel sted nr. 1 et blandet sted, kan man tænke sier. at værdien af den del af stedets samlede produktion, der umiddelbart skal overvæltes på de enkelte omkostningsbærere, krediteres sted nr. 1 og debiteres et tænkt omkostningssted, nr. n + k + 1, før denne vdelse overvæltes på omkostnin^sbærerne. Da afregningsprisen såvel for hjælpestederne som for de blandede steders ydelse bestemmes ved, at stedets primære omkostning med tillæg af værdien af alle modtagne ydelser netop skal udgøre værdien af alle afleverede ydelser, og da ydelsesstatistikken nu formelt fremtræder helt som skema 1, findes de søgfte afregningspriser som løsningen til ligningssystemet (3). Systemet har en og kun een løsning, nemlig det positive talsæt, der uds:ør afregningspriserne for hjælpestedernes og de blandede steders ydelser.

Den successive fordelingsmetode.

7. I stedet for en beregning af afregningspriserne ved hjælp af et ligningssystem som (3), beskrives i litteraturen⁸) en alternativ metode, der kan være lettere at håndtere i praksis. Det drejer sig om en iterativ fremgangsmåde til løsning af lineære ligningssystemer, og metoden vil her blive betegnet som den successive fordelingsmetode.

Til belysning af metoden vil vi her i første omgang betragte to hjælpesteder, nr. 1 og nr. 2, samt eet hovedsted, nr. 3. De to hjælpesteders primære omkostning i den betragtede periode udgør bi og D2; omkostningssted nr. 1 (2) har afleveret ai2 (asi) mængdeenheder til sted nr. 2 (1) og derudover til hovedstedet ar, (a23) mængdeenheder.

Hjælpested nr. 1 har altså ialt afgivet til de øvrige af virksomhedens
afdelinger

og nr. 2 har tilsvarende afgivet

division med ai, henholdsvis a.%, fås

og

---

8) se Ih. Lang, anf. arb., s. 1008 (Trial and Error Method'). Den af Lang (s. 1009) omtalte 'Method of Continued Distribution', der er identisk med, hvad Carl Th. Devine, anf. arb.. s. 48 kalder 'Attrition Method', og hvad Palle Hansen, anf. arb., s. 750, betegner som 'udvidet successiv fordeling', adskiller sig ikke fra Langs førstnævnte metode i sit principielle indhold, men kun med hensyn til den praktiske beregningsmåde.

hvor

(6)

For eksempel betegner brøken C2l den andel, som omkostningssted
nr. 1 modtager af den samlede mængde af ydelser, som sted nr. 2 afgiver
til virksomhedens afdelinger.

Beregningerne foregår nu som vist i skema 4. I første trin, skemaets øverste del, lægger man til den primre omkostning i hjælpested nr. 1 produktet af brøken C2l og den primære omkostning i sted nr. 2. Denne sum, der betegnes bi^), indgår i andet trin, skemaets nederste del, hvor den multipliceres med brøken Cl2; adderer man til dette produkt den primære omkostning i hjælpested nr. 2, fremkommer en ny sum, der indgår i be-

regningernes tredie trin, øverste halvdel, etc. På tilsvarende måde går
man frem fra 1. trin, nederste halvdel, til 2. trin, øverste halvdel, tredie
trin, nederste halvdel og så fremdeles.

Beregningerne fortsættes nu i så mange trin, m, at forskellen i summerne i det m'te og det m-r- l'ste beregningstrin er mindre end et vist positivt tal, 0, hvis størrelse afhænger af den nøjagtighed, man ønsker i de primære omkostningers afregning.

Beregningerne må altså fortsættes, indtil såvel

(7)

som

(8)

Af det m'te beregningstrin i skema 4 fremgår det, at

(9)

og

(10

Ved hjælp af disse rekursionsformler kan bi(m) skrives som

ligesom

I udtrykket for for eksempel bi^^m' vokser exponenten til Cl2 (021) altsa med 1 i hvert andet led, nemlig i de led, hvori bi (bs) indgar. Det sidste led i hvert af disse udtryk falder dog bort, safremt antallet af trin, m, er et ulige tal.

Ulighederne (7) og (8) kan herefter, hvis m er lige, skrives som

(7a)

(8a)

mens man for m ulige får

(7b)

(8b)

Det fremgår heraf, at såfremt der finder gensidig udveksling sted mellem to omkostningssteder, er det antal trin, m, der skal til for at opnå en bestemt nøjagtighed i den successive fordeling, desto større, jo større procentvise ydelser, der indgår i den gensidige udveksling⁹). Ligeledes ses det, at antallet af trin vokser med størrelsen af de primære omkostninger og med den ønskede nøjagtighed.

8. Det skal herefter undersøges, hvorvidt den successive fordeling ved
to hjælpesteder, bortset fra den med metoden forbundne nøjagtighed
(tallet &), altid vil føre til samme resultat som ligningsmetoden.

den successive fordeling er beløbet

det tilnærmede udtryk for værdien af de ydelser, som hjælpested nr. 1
har modtaget fra nr. 2, mens man efter ligningsmetoden belaster sted

---

9) „The smaller the percentages applicable to other service departments the quicker the assignment is completed." Carl Th. Devine, anf. arb., s. 49 f.

nr. 1 med beløbet a2ip2. - Tilsvarende debiteres sted nr. 2 ifølge den
successive fordelingsmetode med

mens det tilsvarende beløb efter ligningsmetoden udgør ai2pi.
Betragter man nu bi^™"5"1), der kan skrives som

ses det, at bi^4"^ konvergerer mod en grænseværdi, når m vokser ud over
alle grænser, idet jo koefficienten C12C21 er et tal mellem 0 og 1. Denne
grænseværdi,

jfr. ligning (4) og (6). Herefter er

og da det tillige viser sig, at

forer den indbyrdes afreining af de primsere omkostninger mellem to hjaelnesteder, der udveksler ydelser, altsa til nojagtig samme residtat ved den successive fordelingsmetode som ved ligningsmetoden, safremt antallet af beregningstrin i den successive fordeling vokser ud over alle grcenser. I den forbindelse bemaerker man, at losningen ved successiv fordelin? som naevnt kan opnas med en hvilken som heist neiagtighed ved at vselge et tilstraekkelig stort antal beregningstrin, jfr. ulighederne (7) og (8).

9. Den successive fordelingsmetode skal nu kort belyses ud fra taleksemplet i punkt 4. I henhold til skema 2 udgør de 800 kWh, som kraftcentralen har ydet reparationsværkstedet 20,5 % af kraftcentralens samlede ydelse, og tilsvarende udgør reparationsværkstedets ydelser til kraftcentralen 10,3 % af reparationsværkstedets ydelser til andre omkostningssteder ('Heraf afgivet'), jfr. iøvrigt ligning (6).

Beregningerne foregår nu som vist i skema 5. I første trin, skemaets øverste halvdel, lægger man til kraftcentralens primære omkostning, 600 kr., produktet af brøken 0,103 og reparationsværkstedets primære omkostning på 1100 kr. Denne sum, der udgør 713 kr., indgår i 2' trin

(skemaets nederste del), idet summen af reparationsværkstedets primære omkostning og produktet af brøken 0.205 og de 713 kr. beløber sig til kr. 1246.23. Denne sum indgår nu i tredie beregningstrin i skemaets øverste halvdel, og så fremdeles. - På tilsvarende måde adderes i første trin, nederste halvdel, produktet af brøken 0.205 og kraftcentralens primære omkostning. Denne sum på 1223 kr. indgår i 2. trin, øverste del, etc.

Beregningerne er nu fortsat så langt, at summerne i to på hinanden
følgende beregningstrin ikke afviger fra hinanden mere end 6 = 0,50
kr., jfr. ligning (7) og (8), idet vi her ønsker en nøjagtighed i hele kroner.

Beregningerne er nu i 5. trin resulteret i, at kraftcentralen debiteres
for 129 kr., mens reparationsværkstedet debiteres for 149 kr., hvilket
svarer til resultatet ifølge ligningsmetoden, se skema 3.

10. Der skal her afstås fra en systematisk undersøgelse af den successive fordelingsmetode for det tilfælde, at flere end to arbejdssteder gensidigt udveksler ydelser, idet dog beregningsteknikken ganske kort skal omtales for n — 3 hjælpesteder.

De tre hjælpesteder kaldes nr. 1, nr. 2 og nr. 3, mens de øvrige omkostningsstederunder
eet betegnes som nr. 4. De samlede mængder af

ydelser, som er afgivet af hvert af de tre hjælpesteder til de øvrige omkostningsstederi
virksomheden er

Disse relationer bringes på brøkformen ved division med a\ og kan
derpå skrives på formen

Beregningerne foregår nu som vist i skema 6, hvoraf det fremgår, at
metoden er helt analog med den successive fordeling for to hjælpesteder.
Antallet af beregningstrin bestemmes ved den betingelse, at to på hin-

ånde følgende beregningstrin, med den ønskede nøjagtighed, giver samme

Spørgsmålet er nu, hvorvidt det er muligt at udtale sig om, hvorledes dtt antal trin, der skal til for at opnå en given nøjagtighed, varierer dels med størrelsen af de primære omkostninger og dels med størrelsen af de indbyrdes ydelser i de tre hjælpesteder. - Såfremt en ændring i en af

de procentvise ydelser modsvares af en tilsvarende ændring i ydelserne til et eller flere af de øvrige hjælpesteder, er det ikke i almindelighed muligt at forudsige noget om det nødvendige antal trin i iterationen. Derimod gælder følgende regel, som anføres uden bevis: Det antal beregningstrin,der skal til for at opnå en bestemt nøjagtighed i den successive fordelingsmetode ved tre eller flere hjælpesteder, vokser med en stigning i enhver procentvis ydelse fra hjælpestederne, hvor denne stigning modsvaresaf en nedgang i de procentvise ydelser til omkostningssteder, der står uden for den gensidige udveksling af ydelser. Ligeledes vokser antalletaf beregningstrin med enhver stigning i hjælpestedernes primære omkostning og med den ønskede nøjagtighed.