Om den effektive rentefod i en lånetransaktion

1. Ved løsningen af opgaver i rentesregningen vil man hyppigt kunne komme ud for at skulle bestemme rentefoden (den »effektive« rentefod) i en given lånetransaktion. Denne opgave løses som bekendt i princippet derved, at man opstiller en balance over de i lånetransaktionen indgående betalinger, hvori den übekendte er rentefoden i eller visse simple funktioner af denne, f. eks. diskonteringsfaktoren v = (1 4- O"¹- Vibemærker her, at der består en eenentydig sammenhæng mellem rentefoden i og diskonteringsfaktoren v, idet der til enhver i 4= 0 svarer en bestemt værdi af diskonteringsfaktoren v, og omvendt til enhver endelig værdi af v svarer en bestemt rentefod z.

I de fleste praktiske tilfælde vil afviklingen af et låneforhold strække sig over længere tid, hvad der medfører, at den übekendte (f. eks. i eller v) i regelen vil forekomme i ret høje potenser i balancen. For et almindeligt kreditforeningslån af annuitetslånetypen med en løbetid på 60 år er balancen således af 120. grad, idet man har²)

hvor k betegner den kurs (køberkursen), til hvilken lånet optages, og y betegner den halvårlige ydelse pr. 100 kr. hovedstol. Under disse omstændigheder Ligger det nær at spørge, om man uden videre kan gå ud fra, at balancen kun har een rod, som man kan fortolke som den søgte rentefod. For praktiske formål vil det i almindelighed være tilstrækkeligt at fastslå, om balancen kun tilfredsstilles af een positiv rod, idet denne da for praktiske formål kan fortolkes som den søgte effektive rentefod, og vi skal i overensstemmelse hermed i det følgende

---

1) cand. oecon., Århus Universitet.

2) Se f. eks. Svend Andersen: Finansiering, København 1945, s. 59.

udlede en regel, der tillader os at fastslå, at der i praktisk talt alle tilfælde, hvor der er tale om låneforhold, der er baseret på forud fastsatte gensidige ydelser, findes een og kun een positiv rentefod, der tilfredsstiller

2. At en låntager modtager kredit betyder i praksis i regelen to ting. Det betyder for det første, at låntageren, efter at have modtaget den aftalte ydelse (de aftalte ydelser) fra långiveren, til gengæld herfor på et senere tidspunkt eller en række senere tidspunkter skal præstere en eller flere modydelser til långiveren; kredit består altså i regelen i modtagelse af ydelser mod senere modydelse. For det andet er kreditsituationen i praksis aorma.lt karakteriseret ved, at låntageren skal tilbagebetale mere til långiveren end han i sin tid har modtaget fra denne, d.v.s. at summen af debitors modydelser i henhold til den mellem parterne indgåede lånekontrakt normalt er større end summen af kreditors ydelser; deter disse; »merbeløb«, der — uanset under hvilket navn de enkelte ydelser går i lånekontrakten — repræsenterer forrentningen af lånet¹).

Når der er tale om lån med forud fastsatte gensidige ydelser, vil man vistnok i praksis vanskeligt kunne* komme ud for tilfælde, hvor de to nævnte betingelser ikke er opfyldt. De fleste af de i praksis forekommende lånetyper hører til denne gruppe af lån. Anderledes stiller sagen sig i de tilfælde, hvor der er "tale om lån i løbende regning (f. eks. kassekredit), idet disse vel i almindelighed, for hele lånets løbetid betragtet under eet, opfylder den sidste, men derimod i regelen ikke den første af de nævnte betingelser; lån af denne type falder uden for nærværende undersøgelses rammer.

3. Vi antager i det folgende, at kreditor i henhold til den mellem parterne trufne laneaftale skal prsestere ydelserne aO,a₀, a_lt a₂, ,am i tidspunkterne tO,t₀, t_lt t₂, , t_m, hvor t₀ </,<t2 < < t_m, og at debitor til gengaeld har ibrpligtet sig til at prsestere modydelserne bO,b₀, b_ltb₂, ,bn i tidspunkterne T_o, T_x, T₂, , T_n, hvor T_O<T_X< <T2 < < T_n, jfr. fig. 1, hvor kreditors ydelser pa saedvanlig made er afbildet over tidsaksen og debitors modydelser under denne. I det folgende tsenker vi os for simpelheds skyld tidsskalaen valgt saledes, at £₀ = 0. Der er naturligvis intet til hinder for, at en eller flere af de med a eller b betegnede betalinger kan have vaerdien nul.

---

1) Hvis låneforholdet er etablere: gennem en »mellemmand« (f. eks. en kredit- eller hypotekforening), kan den effektive rentefod være forskellig for de to parter i låneforholdet, idet f. eks. debitor afgiver visse ydelser, som ikke kommer kreditor (kasseobligationsejeren) til gode, ligesom lånet i så fald kan vsere af forskellig karakter set fra låntagers og långivers synspunkt.

Det kan nu vises, at enhver lånetransaktion, der opfylder de i foregående
afsnit nævnte to betingelser, altså

(a) sidste ydelse (am) fra kreditors side forfalder senest til betaling
samtidig med første modydelse (b0) fra debitors side (tm
o), og

(b) summen af debitors modydelser er større end summen af
kreditors ydelser

besidder følgende egenskaber (fig. 2):

1) der er een og kun een positiv rentefod, som tilfredsstiller balancen,

eller med andre ord, lånetransaktionen har een og kun een positiv
effektiv rentefod; denne rentefod betegnes i det følgende med i0;i0;

2) den til tidspunktet for lånetransaktionens påbegyndelse, f„ = 0, henførte nutidsværdi, C, af de til lånetransaktionen hørende betalinger (regnet med fortegn) er monotont voksende med voksende opgørelsesrentefod i i et rentefodsinterval, der strækker sig fra i = 0 og i hvert fald et stykke til højre for i = i₀ (i fig. 2 til i= *'_o + e).

4. Vi viser først, at enhver lånetransaktion, der opfylder de nævnte betingelser, har een og kun een positiv effektiv rentefod i= z"₀, eller hvad der åbenbart er ensbet3^rdende hermed, at der i intervallet o<y<l findes een og kun een værdi af diskonteringsfaktoren, der tilfredsstiller balancen. Med dette formål for øje bemærker vi, at balancen, idet vi benytter diskonteringsfaktoren u som übekendt, ved passende valg af tidsenheden kan skrives på formen af en algebraisk ligning i v,

00

Da der på venstre side af lighedstegnet i (1) kun forekommer eet fortegnsskifte, har denne ligning ifølge Descartes fortegnssætning¹) een og kun een positiv rod v= vO.v₀. Den hertil svarende værdi af rentefoden, som vi betegner med iO,i₀, bestemmes ved hjælp af ligningen

hvoraf

(2)

af u_o>O kan vi ifølge (2) foreløbig kun slutte, at z 0z₀ må være beliggende i intervallet —1 <z"_{0 <} 00. Det kan imidlertid vises, at z₀ under de i afsnit 3 opstillede forudsætninger må være positiv (0 <f 0f₀ < oo); ved indsætning af v = 1 og v = 0 i (1) fås nemlig under hensyn hertil

---

1) Denne ssetning udsiger bl. a., at antallet at positive, reelle redder i den efter potenser af den übekendte, x, ordnede algebraiske ligning fix) = a₀ + cijX + a,:r^J + + a_nx" = 0, er lig med antallet af fortegnsskifter mellem koefficienterne aO,a₀, a_l, a_t, ,an pa venstre side af lighedstegnet, eller et Hge anta.l mindre. F. eks. har den algebraiske ligning f(x) == 20x⁶ — 2a⁴ + 10;c³ — 2x^{2—2 —} 15 x + 100 = 0 enten 4, e//er 2 e//er 0 positive, reeUes redder. Hvis der — som i (1) — p& venstre side af lighedstegnet specielt kun forekomrner eet fortegnsskifte, har den algebraiske limning fix) — 0 een og kun een positiv, reel rod (nemlig en simpel rod) i x.

og, idet vi har sat £0 — 0

Nutidsværdien C skifter altså fortegn i intervallet 0 < v < 1, og da C er kontinuert, må roden v₀ være beliggende i dette interval, og heraf følger, at den til v₀ svarende rentefod iO,i₀, der er den søgte effektive rentefod, må være positiv. Da der endelig til v = v₀ kun svarer een rentefod, er det hermed bevist, at enhver lånetransaktion, der opfylder de ovenfor angivne betingelser, har een og kun een positiv effektiv rentefod, nemlig fO.f₀.

5. Vi viser dernæst, at nutidsværdien C af de til lånetransaktionen
hørende betalinger er monotont voksende med voksende opgørelsesrentefod
i intervallet 0 <^ i< z0 + e. Vi bemærker, at

(3)

og at C(t') ifølge bemærkningerne i afsnit 4 er <I 0 i intervallet r>o<li><ll,
altså

(4)

af (4) i forbindelse med forudsætningen (a) i afsnit 3 følger umiddelbart

eller anderledes skrevet

for v0 v <^ 1.

Af (3) sammenholdt med (5) følger endelig

for v0 <I v <^ 1 ,

der viser, at nutidsværdien C er en monotont aftagende funktion af v i intervallet v₀ <^ v <I 1, og følgelig en monotont voksende funktion af opgørelsesrentefoden ii intervallet o<li<L iO.i₀. Da C'(v) er kontinuert og C'(v₀) negativ, kan vi endvidere slutte, at nutidsværdien Ceren monotont aftagende funktion af diskonteringsfaktoren (en monotont voksende funktion af opgørelsesrentefoden) i hvert fald i en vis omegn til venstre for yf) (til højre for zO),,z₀),, og hermed er sætningen bevist.

---

1) Dette følger iøvrigt allerede af, at v₀ som tidligere anført er en simpel rod i ligningen (1).