B.
Den polytekniske Læreanstalt.
I. Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen samt almindelige
Afgørelser vedrørende Lærerstillingerne.
a. Ændring i Planen for Undervisningen i Matematik for Maskin-,
Bygnings- og Elektroingeniører.
1 den af det staaende Udvalg for Fagene til I. Del af Eksamen afgivne
Betænkning af 27. April 1914, som er gengivet S. 853—55, blev det frem-
harvet, at der fra forskellige Sider inden for Læreanstaltens Lærere var frem-
kommet Ønske om ved given Lejlighed at foretage en Revision af den sam-
lede matematiske Undervisning for Maskin-, Bygnings- og Elektroingeniører.
Desuden havde af udenforstaaende Telefondirektør Fr. Johannsen i Skrivelse
af 9. Juni 1914 til Læreanstalten berørt det samme Spørgsmaal.
Til at undersøge hvilke Ønske, der indenfor Ingeniørfagene næredes
med Hensyn til Matematikens Afgrænsning overfor disse Fag, nedsatte
Lærerraadet derefter under 17. September 1914 et Udvalg, bestaaende af
Professorerne H. Bache, Dr. P. C. V. Hansen, Dr. Johs. Hjelmslev, Dr.
C. Juel, A. Ostenfeld, P. O. Pedersen og P. Thygesen samt Docenterne Dr.
H. Bohr og J. Hartmann. Efter eget Ønske udtraadte Prof., Dr. P. C. V.
Hansen senere af Udvalget.
Udvalget afgav under 13. November 1914 følgende Betænkning:
»I Lærerraadsmødet d. 28. Maj 1914 blev der fra det staaende Udvalg
for 1ste Dels Fagene forelagt en Betænkning vedrørende Ordningen af Mate-
matikundervisningen ved Professor P. C. V. Hansens Afgang, i hvilken
Betænkning bl. a. var udtalt et særligt Ønske om en Revision af det mate-
matiske Kursus, en Revision, der fra forskellig Side inden for de i denne Sag
særligt interesserede Læreres Kreds i lang Tid har været under Overvejelse
og Forberedelse. Saaledes var der f. Eks. med denne Revision for Øje af
medundertegnede J. Hjelmslev paatænkt en Rejse til England og Frankrig
for at fremskaffe nøjagtige Oplysninger om Matematikens Stilling som Grund-
lag for den højere tekniske Undervisning i disse Lande. Denne Rejse har paa
Grund af Forholdene foreløbig maattet opgives. Og da den paatænkte Re-
vision atter kom paa Tale i Lærerraadsmødet d. 17. September 1914, foran-
lediget ved Forelæggelsen af en fra Hr. Telefondirektør Fr. Johannsen til
Universitetets Aarbog.	106
838
Den polytekniske Læreanstalt 1914 —15.
Læreanstalten indsendt Skrivelse af 9. Juni 1914, indeholdende en Henstil-
ling angaaende Ændringer i Matematikundervisningen, fremkom der i samme
Møde Forslag om med den ovennævnte Revision for Øje nu at nedsætte et
Udvalg, hvis Opgave det skulde være at tilvejebringe en saa nøjagtig For-
mulering som mulig af de Ønsker, der i Øjeblikket maatte være Anledning
til at gøre gældende fra praktisk Side med Hensyn til Ændringer i det Stof,
der gennemgaas i Læreanstaltens Kursus i Matematik for Maskin-, Bygnings-
og Elektroingeniører. Det LTdvalg, som derefter i det nævnte Møde blev ned-
sat, skal nu efter at have undersøgt Sagen herved tillade sig at forelægge
de Forslag, som Udvalget har udarbejdet som Grundlag for den fremtidige
Ordning af det nævnte Kursus.
Udvalget har for det første haft sin Opmærksomhed henvendt paa,
hvilke nye (eller delvis nye) Emner, det af Hensyn til Praksis maatte anses
for ønskeligt at faa inddraget i det normale Kursus i Matematik, og de væ-
sentligste af de Emner, som i den Henseende skal bringes i Forslag er føl-
gende: Approximationsmetoder til Integration af Differantialligninger;
Funktionsteori; videregaaende Teori for de Fourier'ske Rækker; Sandsyn-
lighedsberegning; Fejlteori.
Og for at aabne Muligheden for Optagelse af saadanne nye Emner har
det dernæst været nødvendigt at undersøge, hvilke Dele af det hidtil
medtagne Stof der kunde være Anledning til at indskrænke eller udelade,
i hvilken Henseende man særlig har søgt at udskyde saadanne Ting, hvis Plads
i Systemet væsentlig kun har haft sin Berettigelse gennem traditionelle
Undervisningsformer. Man foreslaar i saa Henseende f. Eks. at foretage
enkelte Reduktioner inden for den sædvanlige Behandling af Differential-
ligninger samt at udskyde visse Afsnit af Ligningernes Teori.
Men ad denne Vej alene vil det ikke kunne lykkes at skaffe Plads til
alle de nye Emner, som Hensynet til Praksis gør det ønskeligt at optage;
og at stille Krav om mere Tid end den, der ved det nu gældende Program
er stillet til Raadighed for det matematiske Kursus, vil man anse for en be-
tænkelig Sag.
Der har imidlertid vist sig endnu en Udvej, som ikke blot vil gøre det
muligt uden Forøgelse af Undervisningstiden at give det normale Kursus i
Matematik en saadan Afgrænsning, som vil være fuldt ud tidssvarende og
tilfredsstillende som Grundlag for de tekniske Fag i det Omfang, hvori disse
ved den nuværende Ordning foredrages paa Læreanstalten, men som tillige
frembyder den Fordel, at yde en i systematisk Henseende væsentlig bedre
Deling af Undervisningen end den, man hidtil har haft. Der er nemlig hidtil
for flere Emners Vedkommende blevet givet parallelt løbende Behandlinger
inden for de to Fag Matematik og deskriptiv Geometri, hvilke Behandlinger
i visse Henseender supplerede hinanden, men som det dog sikkert vil være
at foretrække at regulere saaledes, at kun eet af de nævnte Fag overtager de
paagældende Emner til fuldstændig Behandling. Man foreslaar da, at alle
egentlige geometriske Emner, der ikke har særlig systematisk Betjening
for Analysen eller slutter sig som Anvendelser særlig nær til denne, fremtidig
henlægges under Deskriptiv Geometri alene, hvilket vil kunne gennemføres
ved Hjælp af enkelte mindre Ændringer i den nuværende Undervisning i
dette Fag.
Ved at følge de her i Korthed angivne Veje er Udvalget naaet til det i
P'orandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
839
det følgende meddelte detaillerede Forslag angaaende Afgrænsningen af det
normale Kursus i Matematik for Maskin-, Bygnings- og Elektroingeniører.
Forslaget er inddelt i følgende Hovedafsnit:
I. Differentialligninger,
II. Funktionsteori, Rækkeudviklinger, Vektorregning, Variationsregning,
III.	Ligningernes Teori.
IV.	Analytisk Geometri, Differential- og Integralregningens Anvendelse
paa Geometri.
V. Sandsynlighedsregning, Fejlteori,
idet de her nævnte Afsnit omfatter alt, hvad der har givet Anledning til sær-
lige Forslag. De Emner, der ikke omtales særligt, forudsættes i det væsent-
lige medtaget i et lignende Omfang som hidtil.
Med Hensyn til Spørgsmaalet om Optagelse af Emner fra de tekniske
Anvendelser som Øvelseseksempler i det normale matematiske Kursus skal
her udtales, at det maa anses for ønskeligt, at man overalt i Fremstillingen
tilstræber saa nær Forbindelse med Virkeligheden som muligt, og at man som
Følge deraf søger at drage Nytte af saadanne Eksempler fra Praksis, der kan
give Undervisningen Liv og bidrage til at udvikle det praktisk-matematiske
Skøn. Paa den anden Side bør den tekniske Iklædning være af en saadan Art,
at den ikke stiller særlige Krav til Forklaring, idet Hensynet til den matema-
tiske Side af Sagen stadig maa være det væsentlige inden for det grund-
læggende Kursus.
Det skal i denne Forbindelse ogsaa anføres, at man anser det for ret
vigtigt, at man ved Gennemgangen af saadanne matematiske Emner, som
har direkte Betydning for bestemte Anvendelser i Praksis, benytter Lejlig-
heden til blot at nævne disse for de Studerende. Ligeledes anses det for nyt-
tigt, at man ved passende Litteraturhenvisninger lejlighedsvis henleder de
Studerendes Opmærksomhed paa Emner, der har Tilknytning til Undervis-
ningen, hvad enten der i saa Henseende er Tale om videregaaende matema-
tiske Undersøgelser, der har Betydning for Anvendelserne, eller om lettere
tilgængelige tekniske Anvendelser.
Der er i Udvalget Enighed om, at man ved at følge det foreliggende
Forslag med Hensyn til det normale Kursus vil kunne naa en Ordning, der er
særdeles tilfredsstillende baade med Hensyn til rent systematiske Krav og
med Hensyn til de praktiske Fags Tarv, saa længe som man kun tager Sigte
paa et fyldestgørende matematisk Grundlag for den nuværende Ingeniør-
eksamen.
Et videregaaende Hensyn, som er blevet fremdraget i Udvalget, og
som sikkert ikke længe vil kunne lade sig afvise, knytter sig imidlertid til
Spørgsmaalet om Organisering af en videregaaende teknisk-videnskabelig
Undervisning ved Læreanstalten. Angaaende dette Hensyn er det i Udvalget
blevet gjort gældende, at f. Eks. i Tyskland de ledende Stillinger ved større
Firmaer fortrinsvis forbeholdes Doktor-Ingeniører; og da man endvidere har
bragt i Erfaring, at de tekniske Højskoler i vore nordlige Nabolands forbe-
reder eller har forberedt Planer til Oprettelse af en Doktor-Ingeniørgrad,
bør man være forberedt paa, at vor egen Højskole for at kunne følge med i
Konkurrencen, inden for en nær Fremtid maa foretage et lignende Skridt.
Og med dette Skridt vil man samtidig staa over for Kravet om en videre-
840
Den polytekniske Læreanstalt 1914 —15.
gaaende teknisk-videnskabelig Undervisning, der atter vil kræve en tilsva-
rende fakultativ Udvidelse af Undervisningen i det matematiske Grundlag.
Det er for det første af Hensyn hertil, at Udvalget ikke har ladet sig nøje med
at fremsætte Forslag angaaende Ordningen af det normale Kursus i Mate-
matik, men samtidig har fundet det formaalstjenligt at anbefale, at man frem-
tidig ogsaa søger at afholde frivillige Forelæsninger over saadanne matematiske
Emner, som det til sin Tid under den nævnte Forudsætning vil blive nødven-
digt at optage. Men dernæst vil det i alle Tilfælde, rent bortset fra Spørgs-
maalet om Indførelse af Doktorgraden, være ønskeligt, at der paa Lærean-
stalten gives en passende Vejledning for saadanne Studerende, der kunde
ønske at have et videregaaende matematisk Grundlag til Raadighed. Som
Emner for saadanne Forelæsninger er der i det følgende nævnt: Partielle
Diflerentialligninger, Vektorregning, Variationsregning; der kunde let nævnes
flere f. Eks. Differensregning, specielle Funktioner m. m. Med Hensyn til
Omfanget af saadanne Forelæsninger skal endnu bemærkes, at de ikke bør
anlægges paa en altfor bred videnskabelig Basis; hver Forelæsningsrække
bør sædvanligvis kun omfatte et mindre Antal, f. Eks. 6—8 Timer, idet Ind-
holdet nøje afgrænses efter de Anvendelser, som det er Formaalet at forberede.
Da man i Almindelighed ikke i Lære- eller Haandbøger kan gøre Regning paa
at finde Fremstillinger, der er egnede som Grundlag i det nævnte Øjemed,
var det onskeligt, om der i Tilslutning til Forelæsningen maatte fremkomme
en Gengivelse af dens Indhold i trykt eller autograferet Form. En saadan
Forelæsningsrække vilde da kunne virke langt ud over det Halvaar, hvori
den var holdt.
Endelig skal Udvalget udtale, at nærværende Porslag om Ordning af
Matematikundervisningen først vil kunne faa den Betydning, der tilkommer
det, naar det kan føres ud i Livet ved Læreanstaltens egne Lærerkræfter.
Man skal derfor varmt anbefale det ved flere tidligere Lejligheder i Lærer-
raadet udtalte Ønske om, at man tilstræber at faa oprettet et nyt Professorat
i Matematik ved Læreanstalten, saaledes at Undervisningen i dette Fag i
enhver Henseende kan tage Sigte paa de for Læreanstalten særlige Krav,
som allerede maa stilles ved det normale Kursus, saaledes som det her er fore-
slaaet, men som vil træde endnu skarpere frem, naar det matematiske Grund-
lag for den videregaaende teknisk-videnskabelige Undervisning maa tages
op til særlig Bearbejdelse, saaledes som det ovenfor er antydet gennem For-
slag om frivillige Forelæsninger over forskellige specielle Emner. Det maa her
ubetinget være en Forudsætning, at vedkommende Lærere i Matematik maa
være i Stand til at kunne ofre Læreanstalten deres fulde Interesse og Ar-
bejdskraft.
Detailleret Forslag til Ændring af Matematikun-
dervisningen for Maskin-, Bygnings- og Elektro-
ingeniører.
I. Differentialligninger.
Paa dette Omraade har man hidtil holdt sig til de saakaldte elementære
Integrationsmetoder, idet man har opregnet et vist Antal specielle Typer af
Differentialligninger, som lader sig integrere i sluttet Form, medens Til-
nærmelsesmetoder, som kunde tjene til praktisk Behandling af Ligninger,
Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
841
der ikke falder ind under de nævnte Typer, eller som muligvis ogsaa kunde
være at foretrække i Tilfælde, hvor den sluttede Integration vel var teoretisk
mulig, men praktisk uigennemførlig, ikke har været behandlet. Metoder til
Integration af partielle Differentialligninger har siden den i 1894 foretagne
Ændring i Læreanstaltens Program ikke været Genstand for Forelæsninger.
Med Hensyn til de Forandringer, som det nu maatte anses for ønske-
ligt at faa foretaget inden for det her nævnte Afsnit af Matematikundervis-
ningen, skal man udtale følgende:
1.	Det erkendes, at flere af de Typer, som behandles ved de elementære
Integrationsmetoder, bar en noget tilfældig Karakter og er uden direkte
Betydning for Anvendelserne. Man anser det derfor for muligt og, af Hensyn
til de i det følgende fremsatte Forslag, for ønskeligt, at Behandlingen af det
herhen horende Stof formes noget mere kortfattet. Som Vejledning hertil skal
anføres følgende Enkeltheder:
A.	Ligninger af 1. Orden, bortset fra let tilgængelige Kvadraturer,
forekommer meget lidt i praktiske Anvendelser, og de spiller saaledes, set
fra et praktisk Synspunkt, kun en Rolle som Grundlag for Ligninger af højere
Orden.
Integrationsfaktorers Eksistens og Betydning ønskes behandlet,
men kun ganske kort.
Læren om singulære Integraler skønnes ikke at have nogen Betydning
for Praksis, og den systematiske Betydning af disse Integraler vil formentlig
kunne oplyses tilstrækkeligt gennem simple Eksempler.
B.	Af Ligninger af højere Orden fremhæves de homogene og de lineære
som de vigtigste, og ganske særligt de lineære Ligninger med konstante
Koefficienter. Der bør derfor fremtidig ikke lægges mindre Vægt paa Kendskab
til disse Typers Behandling end hidtil; men man er enig om, at Metoderne
(derunder ogsaa Konstanternes Variation) i Hovedsagen bør læres gennem
simple konkrete Eksempler, væsentlig Ligninger af 2. Orden.
2.	Det maa anses for utilfredsstillende at blive staaende ved de spe-
cielle Typer af Differentialligninger som det eneste Stof, der paa dette Om-
raade bliver gennemgaaet i det normale Kursus. Der bør lægges Vægt paa
den almindelige Forstaaelse af en Differentiallignings Egenskaber og Anvendelse,
bl. a. gennem lettere anskuelige Undersøgelser over Integralkurvernes Form
(f. Eks. med Hensyn til Konkavitet og Vendepunkter). Dernæst anser man
det for nødvendigt, at der gives Anvisning paa Metoder til praktisk Udforelse
af Integrationer, der ikke falder ind under de specielle Typer. Saadanne be-
regningsmæssige Metoder maa siges at udgøre et vigtigt Fundament for
Differentialligningernes praktiske Anvendelse; her skal kun henvises til Inte-
gration ved Rækkeudviklinger og til de successive Approxirnationers Metode.
Som et vigtigt Eksempel paa Rækkeudvikling medtages den Differential-
ligning, der leder til Indførelse af Cylinderfunktioner, hvorved der kan blive
Lejlighed til en kort Omtale af disse Funktioner, der spiller ind ved visse
praktiske Anvendelser.
For saa vidt Eksistensbeviser medtages, bør de behandles saa kortfattet
som muligt og knyttes saa nær som muligt til de Beregninger, som benyttes
842
Den polytekniske Læreanstalt 1914—15.
ved de virkelige Anvendelser, saaledes at de vil kunne tjene som Grundlag
for en Bedømmelse af den Nøjagtighed, man opnaar i Praksis.
3.	Samtidige Differentialligninger indøves gennem passende konkrete
Eksempler, væsentlig ved Eliminationsmetoden.
4.	Angaaende partielle Differentialligninger skal man udtale, at det var
ønskeligt, om man fremtidig inden for det normale Kursus kunde medtage
saa meget, at de Studerende blev fortrolige med Forestillingen om saadanne
Ligninger, samt at specielt Løsningen af Ligningen
d2z	d2z
dx2 a dy2 ^
var indøvet.
løvrigt maa det udtales, at videregaaende Forelæsninger over partielle
Differentialligninger vilde have Betydning for flere specielle Anvendelser,
og at man derfor maa anse det for ønskeligt, om der kunde afholdes passende
frivillige Forelæsninger over dette Emne.
II. Funklionsteori, Rækkeudviklinger, Vektorregning, Variationsregning.
Medens man liidtil for Funktionsteoriens Vedkommeude væsentlig
bar ladet sig nøje med at betragte reelle variable og kun formelt har anvendt
enkelte Omskrivninger ved Hjælp af imaginære variable, f. Eks. ved Løs-
ningen af lineære Differentialligninger med konstante Koefficienter, og medens
man med Hensyn til Læren om Funktioners Fremstilling ved Rækkeudvik-
ling efter specielle Funktioner foruden Potensrækker kun har medtaget en
kort Behandling af Fourier-Rækker, maa det nu i Betragtning af den stadig
stigende praktiske Anvendelse af komplekse variable, hvilken endog i den
nyeste Tid har ført til Nødvendigheden af at fremstille numeriske og grafiske
Tabeller over Funktioner af komplekse Argumenter, samt i Betragtning af
de trigonometriske Hækkers store Betydning for Praksis, anses for nødvendigt,
at man paa disse Punkter udvider det normale Kursus noget, saaledes at man
1.	tilstræber større almindelig Fortrolighed med de komplekse Tal,
2.	udvider de elementære Transcendenters Teori til komplekse vari-
able, samt
3.	giver en noget udførligere Behandling af de Fourier'ske Rækker,
saaledes at der tages forøget Hensyn til den praktiske Brug af disse Rækker
og til Bedømmelsen af de derved opnaaede Approksimationer.
Ved en saadan Udvidelse vil man ikke blot imødekomme et berettiget
Krav fra praktisk Side, men man vil ogsaa tilføre det normale Kursus en i
rent matematisk Henseende værdifuld Forbedring.
De nærmere Enkeltheder, som i den nævnte Anledning her skal bringes
i Forslag, er følgende:
A. Den almindelige Lære om komplekse Tal, som vel tør forudsættes
at være kendt af de Studerende ved deres Optagelse paa Læreanstalten,
men som næppe i Almindelighed vil være tilstrækkelig indøvet paa dette Trin,
maa ved Læreanstaltens Undervisning suppleres paa en saadan Maade, at
de Studerende kan opnaa en klar Forstaaelse af disse Tal og deres Betydning
samt Øvelse i at regne med dem.
Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
843
B.	De elementære Transcendenter, saasom
e2, sin z, cos z, tg z
behandles udførligt som Funktioner af en kompleks variabel. Der lægges
særlig Vægt paa Forbindelsen mellem Eksponentialfunktionen og de tri-
gonometriske Funktioner, og de Studerende bor være fortrolige med Be-
tegnelserne
sin h x, cos h x, ty li x
og have Øvelse i at operere med de hertil svarende saakaldte »Hyperbel-
funktioner«,
Ogsaa de omvendte Funktioner til de ovenfor nævnte Transcendenter
bør behandles som Funktioner af en kompleks variabel.
Som et vigtigt Eksempel paa de ved Funktioner af komplekse variable
bestemte konforme Afbildninger medtages den ved den brudne lineære
Funktion
az+6
W — V 7
CZ + tf
fremstillede Transformation, der har Betydning i Anvendelserne. Navnlig
ønskes det paavist, at Planens rette Linier transformeres til Cirkler.
C.	Angaaende specielle Funktioner, som ikke henhører til de ovenfor
nævnte, anser man det ikke for nødvendigt, at der gives nogen nærmere
Behandling ud over, hvad der kan medtages i naturlig Tilknytning til Læren
om Differentialligninger (f. Eks. Cylinderfunktioner) eller gennem Opgaver
og Eksempler paa andre Omraader, idet man dog samtidig maa betone, at
man anser det for ret væsentligt, at de Studerende gennem saadanne Op-
gaver og Eksempler faar Lejlighed til, i Tilslutning til det kendte Stof, at
lære Definitionerne af forskellige praktisk vigtige Funktioner at kende,
saaledes at de ikke behøver at staa helt fremmede over for saadanne Funk-
tioner, som de eventuelt senere træffer i Anvendelser, og saaledes, at de lærer
i disse Funktioner at se naturlige praktiske Hjælpemidler, som man hurtig
kan gøre sig fortrolige med, og som man kan beherske ved Hjælp af Tabeller.
Det henstilles, at man, hvor der i Litteraturen kan være Tale om af-
vigende Betegnelser for visse Funktioner eller Operationer, henleder de Stu-
derendes Opmærksomhed herpaa (f. Eks.: sin~lx for arc sin x; sin h lx for
arc sin h x o. s. v.).
Af Hensyn til Fejlteorien ønskes medtaget den eksakte Bestemmelse
af Integralet
/''+ oo
e~x2dx
- OG
844
Den polytekniske Læreanstalt 1(.)]4 —15.
D.	Med Hensyn til krumlinede Integraler vilde det være ønskeligt,
om man i hvert Fald kunde medtage saa meget, at man havde et fyldest-
gørende Grundlag for en anskuelig og let tilgængelig Behandling af totale
Differentialers Integration.
E.	Kvad Fourier-Rækkerne angaar, anser man det for nødvendigt,
at de Studerende faar en grundig Forstaaelse af disse Rækkers Betydning
og Evne til at kunne fremstille vilkaarlige, ogsaa diskontinuerte Funktioner.
Udregning af Koefficienterne indøves gennem passende Eksempler, hentede
fra Anvendelserne; specielt fremhæves saadanne vigtige Tilfælde, hvor visse
af Koefficienterne periodisk falder bort, f. Eks. ved lige eller ulige Funktioner,
periodiske Funktioner o. lign
Dernæst bør man medtage Sætningen om, at Rækken i et Diskonti-
nuitetspunkt for Funktionen fremstiller Middelværdien af de to Grænse-
værdier, fra højre og venstre, som Funktionen har i det betragtede Punkt.
Formlen for Integralet af Funktionens Kvadrat ildtrykt ved Koef-
ficienternes Kvadratsum bør ogsaa udledes.
Med Hensyn til Bedømmelsen af den ved et endeligt Antal Led af Ræk-
ken opnaaede Approksimation medtages den almindelige Sætning, at den
opnaaede Tilnærmelse til Funktionen er den bedste, som overhovedet kan
naas ved et lineært Udtryk i de medtagne cosinus- og sinus-Led (d. v. s. en
saadan Tilnærmelse, at Fejlkvadratet er Minimum).
Endelig skal nævnes, at det ogsaa vilde være ønskeligt, om man kunde
medtage nogle karakteristiske Eksempler paa, hvorledes man ud fra Kend-
skabet til Funktionens mere eller mindre glatte Forløb er i Stand til at drage
Slutninger om, hvor hurtigt Koefficienterne aftager mod Nul, saaledes at
man f. Eks. har Midler til at afgøre, hvorvidt den n'te Fourier-Koefficient
1
for en Funktion vil være af Størrelsesordenen eller lignende.
Hvad Vektorteorien angaar, mener man ikke, at denne bør give Anled-
ning til nogen Udvidelse af det normale Kursus, idet der allerede i Lærean-
staltens Kursus i rationel Mekanik, hvor den nævnte Teori naturligst hører
hjemme, medtages saa meget, at de Studerende derigennem lærer de første
Elementer af denne Teori at kende.
Videregaaende Undersøgelser i den Retning, herunder ogsaa højere
Vektoranalyse og Vektorfelternes Teori, spiller vel en stor Rolle i mange
Anvendelser og benyttes en Del i den tekniske Litteratur, men vil næppe
— selv i et beskedent Omfang — kunne bringes ind i passende Rammer
indenfor det normale Kursus; hertil kommer, at man paa det nævnte Om-
raade vil have Vanskelighed ved at skabe Interesse om en Kreds af Fore-
stillinger, hvis Betydning først kan træde klart frem gennem Anvendelser,
der efter deres Natur maa falde udenfor det grundlæggende matematiske
Kursus.
Derimod skal man varmt anbefale den videregaaende Vektorregning
og Vektoranalyse til frivilligt Studium under Vejledning ved dertil bestemte
særlige Forelæsninger.
Det samme gælder et andet Omraade, nemlig Variationsregninqen,
der ogsaa har Betydning for Anvendelserne, men som det dog formentlig
vil føre for vidt at optage i det normale Kursus. Men det var ønskeligt, om
man, i hvert Fald gennem en kortere, frivillig Forelæsningsrække kunde give
Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
84n
de Studerende, der ønsker det, Lejlighed til ogsaa i dette Afsnit af Mate-
matikken at lære de nødvendigste Hjælpemidler at kende, saaledes at Maksi-
mums- og Minimumsbestemmelser af Integraler af Formen
/ i (•• «• % 2)dx
xv
kunde blive indøvet.
III. Ligningernes Teori.
Læren om de lineære Ligninger med den dertil knyttede Determi-
nantteori bør opretholdes i samme Omfang som hidtil.
Derimod har de særlige Metoder, som i det nuværende Kursus indøves
til numerisk Behandling af algebraiske Ligninger af højere Grad (Læren om
Tegnskifter, specielt Budart s Række og Sturm's Teorem) ingen Interesse for
Praksis, og da tilmed disse Metoder staar noget isoleret inden for det mate-
matiske Kursus, saa at de ikke har nogen systematisk Forbindelse med andre
Omraader tager vi ikke i Betragtning at foreslaa, at de fremtidig helt udelades.
Enkelte mindre Emner af mere almindelig Karakter, saasom den lineære
Interpolation og Newton's Approksimationsmetode, i Forbindelse med en
nøjagtig grafisk Fremstilling og Diskussion, samt de successive Approksi-
mationers Metode til Løsning af Ligningen x = f (x) foreslaas medtaget i
Tilslutning til den almindelige Analyse.
Ligninger af højere Grad med flere ubekendte behandles saa kortfattet,
som systematiske Hensyn tillader det. Afrunding til Ligninger af første Grad
omtales her eller under Fejlteorien.
IV. Analytisk Geometri. Differential- og Integralregningens Anvendelse
paa Geometri.
Der skønnes ikke her at være Anledning til at foretage væsentlige
Ændringer inden for selve Undervisningsstoffet. Af Enkeltheder skal i saa
Henseende kun nævnes, at det anses for nødvendigt, at den almindelige
Metode til Reduktion af Ligninger for Flader af 2. Orden fremdeles bibeholdes,
idet dog Koefficientbestemmelsen kan indskrænkes til Behandling af Flader
med Centrum; endvidere, at det af Hensyn til Elasticitetsteorien var ønske-
ligt, om man i denne Forbindelse anførte de simpleste Ortogonalinvarianter.
Karakterligningerne for de forskellige Fladefamilier skønnes ikke at have
nogen Interesse og foreslaas fremtidig forbigaaet. Endelig skal det endnu
nævnes, at den nødvendige Behandling af algebraiske Kurver formes saa-
ledes, at den paa en naturlig Maade indgaar i den almindelige Analyse.
Derimod er der Enighed i Udvalget om at foreslaa en Ændring af en
helt anden Art, nemlig en Omlægning af en Del af det geometriske Stof.
Hidtil har det været saaledes, at adskillige Emner af geometrisk Ka-
rakter er blevet behandlet — mere eller mindre fuldstændigt — - baade i det
normale Kursus i Matematik og i det normale Kursus i deskriptiv Geometri;
dette gælder saaledes Polarteorien, Læren om cirkulære Snit i Flader af 2.
Orden, Rumkurver og udfoldelige Flader o. s. v., og selv om de Behandlinger
Universitetets Aarbog.	107
Don polytekniske Læreanstalt 1914—15.
af disse Ting, der hidtil har været givet i de to Fag, i visse Henseender har
suppleret hinanden ganske godt, niaa det indrømmes, at en væsentlig bedre
Økonomi inden for den samlede Undervisning vil kunne naas, naar de paa-
gældende Emner samles til fuldstændig Behandling paa een Haand. Og paa
Grund af Emnernes saglig-geometriske Karakter vil det da være naturligt
at henlægge dem under Læreanstaltens geometriske Kursus, det normale
Kursus i deskriptiv Geometri. Det vil sikkert i enhver Henseende, saavel
fra systematiske, pædagogiske som praktiske Synspunkter være at anbefale,
at man tilstræber en saadan Deling af Undervisningen i matematisk Analyse
og Geometri, at man inden for den førstnævnte Disciplin (Analysen) medtager
saa megen Geometri, som af systematiske Grunde er nødvendig til Oplysning
af Metoderne, til Eksempler, billedlig Fremstilling o. s. v., saaledes at Geo-
metrien dér væsentlig behandles som Hjælpemiddel, medens man inden for
den anden Disciplin (Geometrien) samler det saglig-geometriske Stof til Be-
handling ved væsentlig anskuelige Metoder, idet man dog benytter Analysen
som Hjælpemiddel, hvor dette medfører Lettelser.
Man skal i Overensstemmelse med denne Betragtning tillade sig at fore-
slaa, at man fremtidig fritager det normale Kursus i Matematik for følgende
Emner:
1)	Den almindelige Polarteori;
2)	Læren om cirkulære Snit i Flader af 1. Orden samt de herhen hørende
indledende Sætninger om, KeglesnitsHaders Skæring;
3)	Kumkurvers Krumning, Torsion. Oskulationsplan, Hoved- og Binormal,
udfoldelige Flader;
i) Fladers Krumning (Meunier's Teorem; Hovedkrumningsradier; Krum-
ningslinier m. m.)»
saaledes at disse Emner i Hovedsagen benvises til Behandling i det normale
Kursus i deskriptiv Geometri, hvor de til Gengæld fremstilles saa fuldstæn-
digt, at de derhen hørende analytiske Formler udledes i væsentlig samme
Omfang, som det hidtil har været Tilfældet inden for det normale Kursus i
Matematik, men i nær Tilslutning til en anskuelig Behandling af de geometriske
Former.
Det lille Tillæg af Stof, som herved vil blive føjet til det normale Kursus
i deskriptiv Geometri, saaledes som dette foreligger nu, vil kunne optages,
uden at man derved overskrider Grænserne for den ved det nuværende Pro-
gram fastsatte Undervisning i dette Fag. Det vil kun i den nævnte Anled-
ning blive nødvendigt at udskyde enkelte Betragtninger eller Metoder, som
i Forvejen maa siges at have en forældet Karakter eller er uden væsentlig
systematisk eller praktisk Værdi. De Ændringer, der her bliver Tale om,
angaar i Virkeligheden kun mindre Undervisningsspørgsmaal, der ikke be-
rører Programmet, men som for Fuldstændigheds Skyld her skal anføres:
1) Analytiske Betragtninger tages til Hjælp, hvor det vil lette Frem-
stillingen, f. Eks. i Læren om Keglesnit og Keglesnitsflader.
'2) Enkelte specielle Undersøgelser over vindskæve Flader udelades
(f. Eks. Centralpunkt og Parameter, Striktionslinien).
3) En Del Konstruktioner ved Passer og Lineal udelades og erstattes
med direkte Bestemmelser ved geometrisk Eksperiment. Herved vil man
baade indvinde Tid og samtidig forøge Fagets praktiske Værdi.
Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
847
V. Sandsynlighedsregning. Fejlteori.
Angaaende disse Emner, der hidtil ikke har været Genstand for Under-
visning inden for det matematiske Kursus, skal man for det første henvise til,
at ikke blot moderne Naturvidenskab, men ogsaa den praktiske Ingeniør-
videnskab i stedse stigende Grad har Brug for Sandsynlighedsregningens
Begreber og Metoder, samt at alle Anvendelser af Matematik inden for de
tekniske Fag i større eller mindre Grad maa forudsætte Kendskab til Ele-
menterne af Fejlteoriens matematiske Grundlag. Det anses derfor at være af
Vigtighed, at disse Emner faar en passende Plads inden for Læreanstaltens
almindelige Kursus.
Og selv om der ved de fysiske Øvelser allerede gives de Studerende
Vejledning i Vurdering af Usikkerhed ved Maaling, og selv om en enkelt
Studieretning — Bygningsingeniørerne — i Indledningen til det almindelige
Kursus i Landmaaling faar en endog ret udførlig Gennemgang af baade Sand-
synlighedsregningens og Fejlteoriens Elementer, maa man dog anse det for
ønskeligt, at de omhandlede Emner fremtidig optages til en nogenlunde fuld-
stændig, elementær Behandling under det normale matematiske Kursus,
saaledes at samtlige Maskin-, Bygnings- og Elektroingeniørstuderende faar
Del i Undervisningen. Principperne vil formentlig paa denne Maade kunne
træde tydeligst frem, og de Studerende vil bedst i Matematiken faa Øjet
op for Hjælpemidlernes almindelige Karakter og forskelligartede Anvendelses-
muligheder.
Og dernæst maa det betones, at den herved fremkomne Tilføjelse til
det normale Kursus vil betegne en Vinding for selve den matematiske Under-
visning. Sandsynlighedsregningen med sine mange interessante Eksempler
vil virke oplivende paa Undervisningen, og Fejlteorien vil frembyde en gunstig
Lejlighed til at belyse Spørgsmaalet om det almindelige Forhold mellem
den matematiske Teori og dens Anvendelse i Praksis.
Udvalget foreslaar derfor, at det normale matematiske Kursus for
Maskin-, Bygnings- og Elektroingeniører fremtidig optager Sandsynligheds-
regningens og Fejlteoriens matematiske Grundlag i elementær Behandling.
Af Sandsynlighedsregning ønskes medtaget saa meget, at de Studerende
bliver fortrolige med Begrebet Sandsynlighed og faar Øvelse i at regne saa-
danne ikke for indviklede Opgaver, hvis Behandling bygger paa de to Hoved-
sætninger om Addition og Multiplikation af Sandsynligheder.
Af Fejlteori gives saa meget, at de Studerende kan tilegne sig
1)	Forstaaelsen af og Indøvelsen i at operere med Begreberne: absolut
Fejl, relativ Fejl, Middelfejl-,
2)	Kendskab til de mindste Kvadraters Metode, saaledes at de Studerende
gennem Eksempler lærer at udjevne en empirisk given Funktion efter en be-
stemt analytisk Udvikling, samt at behandle et overtalligt System af lineære
Ligninger (Element- og Korrelatudjevning)«.
I et Møde den 26. November 1914 behandlede Lærerraadet Udvalgets
Betænkning, som det gav sin Tilslutning, som Grundlag for den fremtidige
Undervisning i Matematik for Maskin-, Bygnings- og Elektroingeniører.
Lærerraadet nedsatte et Udvalg, bestaaende af Professorerne, Dr. Hjelms-
lev, Dr. Juel, og Knudsen samt Docent Dr. Bohr til at udarbejde et detailleret
Undervisningsprogram for den nævnte Undervisning, hvilket Program dog
848
Don polytekniske Læreanstalt 1914 —15.
ikke kunde ventes endelig udarbejdet, før der ved Gennemførelsen af et
2-aarigt Kursus paa det nye Grundlag var indhøstet de nødvendige Erfa-
ringer.
U. Ændring i Reglerne for Bedømmelsen al' kemiske Kursusarbejder.
I Skrivelse af 19. Maj 1914 foreslog det staaende Udvalg for Fabrik-
ingeniørernes Undervisning følgende Regler for Udførelsen af Fabrikingeni-
ørernes kemiske Kursusarbejder:
1. Antallet af .Semesteranalyser (d. v. s. Kursusarbejder i organisk og
uorganisk kvalitativ samt i kvantitativ Analyse) fastslaas til 3 i Stedet for
som nu 5 af hver Slags. 2. Kursusarbejderne i kvantitativ Analyse
udføres i 5. Halvaar; Kursusarbejderne i organisk Analyse og Syntese i 6.
og 7. Halvaar; Kursusarbejderne i uorganisk Syntese i 7. Halvaar; Kursus-
arbejderne i uorganisk Analyse i 9. Halvaar, alt efter nærmere Aftale med
Laboratoriernes Bestyrere. — 3. Ovennævnte Kursusarbejder udføres i
Tiden Kl. 12—6 for at undgaa Kollision med Forelæsningstiderne. — 4.
Ønsker en Eksaminand at gøre et af de kemiske Kursusarbejder om, kan
dette finde Sted, efter at han yderligere har udført 10 analytiske eller 5 syn-
tetiske Arbejder indenfor det Fags Omraade, han ønsker Omprøve i.
Forslaget vedtoges af Lærerraadet i dets Mode den 17. September s. A.
dog med den Ændring, at »Semesteranalyser« i 1. rettedes til »Kursusanalyser«
og at der i 2. indskødes »normalt« foran »5. Halvaar«.
Da den i 1. foreslaaede Ændring krævede Ministeriets Approbation
indstillede Læreanstalten i Skrivelse af 26. Marts 1915 til Ministeriet, at saa-
dan Approbation gaves. Til Støtte for Forslaget anførtes, at Grunden til,
at Spørgsmaalet om Regler for Udførelsen af Fabrikingeniørernes Kursus-
arbejder allerede nu saa kort Tid efter, at Læreanstaltens nye Program var
bleven udarbejdet, var taget op til Drøftelse, for en væsentlig Del var den,
at den siden Udarbejdelsen af de i Resolutionen nævnte Regler ansatte
Professor i teknisk Kemi, Professor P. E. Raaschou, havde følt sig meget
generet i Ledelsen af de teknisk-kemiske Øvelser derved, at disse meget hyppig
kolliderede med de ovennævnte Kursusarbejder. Det havde tillige vist sig,
at Planlæggelsen af Ekskursioner og Fabrikbesøg var bleven vanskeliggjort
af Kursusarbejderne.
For at undgaa Ulemper havde man derfor foreslaaet at indskrænke
Kursusarbejdernes Antal til 3 i Stedet for 5.
Og endelig havde den stærke Stigning i Fabrikingeniørstuderendes An-
tal af Pladshensyn gjort det nødvendigt at formindske Antallet af Kursus-
arbejder.
Ved ministeriel Resolution af 22. April 1915 indførtes der derefter
følgende Ændring i Reglerne for Bedømmelsen af kemiske Kursusarbejder:
I hvert af Fagene: uorganisk kvalitativ Analyse, organisk kvalitativ
Analyse og kvantitativ Analyse for Fabrikingeniører gives der Eleverne i
et dertil egnet Studiebalvaar hver 3 Analyser, hvis Resultater bedømmes
efter Laboratorieforstanderens Foranstaltning. Middeltallet af Gennemsnits-
karakteren for disse 3 Analyser og Karakteren for Eksamensanalyser i hvert
af Fagene giver Eksamenskarakteren for Faget.
De to Karakterer, hvoraf Middeltallet tages, gives efter den aritmetiske
Karakterrække, jfr. § 15 i Reglement for den polytekniske Læreanstalt«.
Forandringer i Undervisnings- og Eksamensplanen.
841)
c. Oprettelse af en Docentstilling i Maskinlære for Fabrikingeniører.
1 sin Budgetskrivelse af 30. Juni 1911 fremsatte Læreanstalten Forslag
om Ansættelse af en særlig Docent i Maskinisere for Fabrikingeniører. For-
slaget motiveredes med følgende:
»Ved Læreanstaltens nye Reglement af 13. Oktober 1913 blev Undervis-
ningen i teknisk Mekanik og Maskinisere for Fabrikingeniører udvidet, dels
ved at Forelæsningernes Antal forøgedes med 2 ugentlige Timer i hvert af
Fagene i eet Halvaar. dels ved at der indførtes Øvelser i Maski ni ab oratoriet
samt Konstruktionsøvelser i begge Fag. Den forøgede Undervisning, der skal
meddeles forste Gcliuj i E fteraurshalvaaret 1915, vil, saaledes som Lærean-
stalten meddelte i sin Skrivelse af 19. Juni 1913, hvori den søgte kgl. Reso-
lution paa det nye Reglement, kræve Ansættelsen af en Docent, hvis Løn
vel ikke med de nuværende Lønninger kan sættes højere end 2,400 Kr. aar-
lig, hvilket Beløb derfor foreslaas bevilget paa denne Konto.
Det vil dog næppe være muligt at faa ansat en til Pladsen egnet Mand,
hvis han ikke kan vente at faa Stillingen forbedret ved en kommende Løn-
ni ngslov«.
Da Forslaget ikke blev optaget paa Finanslovforslaget for 1915—16,
henvendte Læreanstalten sig paa ny derom til Ministeriet i Skrivelse af 21.
November 1914, idet den til yderligere Støtte anførte, at det siden Forslagets
Fremsættelse i Læreanstaltens Budgetskrivelse offentliggjorte Resultat af
en Industri tælling, viste, at det Personale, som den danske Industri beskæf-
tigede, i Tidsrummet 1906—14 var vokset fra 315 000 til 346 000 Personer,
samt at den danske Industris Konkurrence efter Krigen efter alt at domme
vilde blive endnu haardere end hidtil, da Danmark vilde blive oversvømmet
med Industriprodukter fra de krigsførende Lande, som havde mistet deres
Eksport til de Lande, med hvem de havde ligget i Krig Og det var netop
under Hensyn til Fremme af dansk kemisk Industri, at Dansk Ingeniørfor-
ening tog Spørgsmaalet op om en bedre Undervisning for vore Fabrikinge-
niører, og navnlig i Maskinisere.
Der blev derefter af Ministeren for Kirke- og Undervisningsvæsenet
stillet Forslag ved 2. Behandling i Folketinget af Finanslovforslaget for 1915-—
16 om Ansættelsen af en Docent i Maskinlære for Fabrikingeniører, jfr.
Rigsdagstidende for 1914—15, Till. B. Sp. 301—02. Forslaget vedtoges af
Rigsdagen.
Med Hensyn til Fordringerne til de Kvalifikationer, der burde stilles
til en Docent i Maskinisere for Fabrikingeniører tiltraadte Lærerraadet i
sit Møde den 15. April 1915 en fra det staaende Udvalg for Fabrikingeni-
ørernes Undervisning i Skrivelse af 25. Marts 1914 fremkommen Udtalelse
om Ønskeligheden af , at den eventuelle Docent maatte være i Besiddelse af
Kendskab til Apparatlæren inden for den tekniske Kemis Omraade, hvorfor
det vilde va>re heldigt, om Vedkommende kunde faa Lejlighed til at uddanne
sig ogsaa i denne Retning. Udvalget ansaa det saaledes for betimeligt, at Ved-
kommende ogsaa gav nogle Oversigtsforedrag over visse Apparatgrupper,
saasom Findelingsapparater, Presser, Centrifuger m. m., hvortil den fornødne
Tid kunde vindes derved, at Professoren i teknisk Kemi afgav 1 ugentlig
Time i 1. Semester.
Om Stillingens Besættelse, se S. 856.