Indledning.

Maalet for den højere Geodæsi *) er Bestemmelsen af Jordens Form og Størrelse. Denne Bestemmelse udføres ved Hjælp af Gradmaalingen, der er en Kombination af astronomiske og de dertil svarende geodætiske Maalinger; hver for sig strækker ingen af disse til. Formen, men ikke Størrelsen, kan dog ogsaa bestemmes ved Pendulmaalinger eller endnu bedre ved en Kombination af Gradmaaling og Pendulmaaling.

Ved Betegnelsen Jordoverflade maa vi skjelne mellem den fysiske, o: den i Naturen tilstedeværende Jordoverflade og den matematiske. Den fysiske Jordoverflade behandles under Terrænet i dets Afhængighed af den geologiske Bygning. Her er det alene den matematiske Jordoverflade, der er Gjenstand for Betragtning.

Den matematiske Jordoverflade defineres som den lukkede Flade, der i Havets Middelhøjde *) vinkelret gjennemskærer samtlige Tyngderetninger; denne Flade er altsaa en Niveauflade 2).

Tænker man sig Vandet i alle Have fuldstændigt
stille og tillige et tyndt Lag af Jordskorpen saa porøst,

---

1) Havets Middelhøjde kan være vanskelig nok at angive,. Dels fremkalde Bevægelserne i Havet: Tidevande, Bølgebevægelsen og Strømninger, uophørlige Svingninger, hvoraf man dog ved mangeaarigo Maalinger kan skaffe et Middeltal. Dels antog man tidligere, at Middelvandstanden i do forskjellige Have var forskjellig; de Præcissionsnivellementer, der ere foretagne, tyde imidlertid paa, at der ikke existerer en saadan Forskjel.

2) En Niveauflade er en Flade, hvis Ligning er Potentialfunktionen lig med en Konstant, saaledes at Niveaufladen er vinkelret paa Kraftlinjerne gjennem hvert af dens Punkter.

1) af yfj, Jord og datoftai, deler.

at det uhindret kunde gjennemtrænges af Havvandet vilde dettes Overflade fremstille den betragtede Flade forudsat at det kun var paavirket af Tyngdekraftei og Centrifugalkraften. Overfladen i Indsøer vil derimoc som oftest være Dele af andre Niveauflader, der ikk< ere parallel e med den matematiske Jordoverflade.

Rent umiddelbart frembyder Jordoverfladen sig som en Plan med større og mindre Ujævnheder. Saaledes har vel ogsaa den oprindelige Opfattelse være! overalt, og saaledes opfattede Grækerne den, hvilke! vi kunne SH hos Hesiod og Horner, og det synes — mærkeligt nok — som om Herodot har hældet til der samme Anskuelse. I den ældre græske Kulturperiod« betragtes Jorden som eti flad Skive omflydt af Okeanos og over det hele hvælver Himlen sig. Denne naiv« og uvidenskabelige Opfattelse har imidlertid kun hi storisk Interesse.

Naar vi derefter gaa over til en Betragtning al de mere videnskabelige Opfattelser af Jordens Form og Størrelse, der i Tidernes Løb have gjort sig gjældende, viser det sig, at der kan opstilles tre Perioder.

I den første, indledet af Kaldæerne og Ægypterne i Orienten og Pythagoræerne her i Europa, opfattede man Jorden som en Kugle, en Opfattelse, der holdt sig indtil Slutningen af det 17. Aarhundrede. Først i den sidste Del af denne Periode, efter at Snellius havde indført Triangulationen, fik man Midler til med nogen Nøjagtighed at bestemme Størrelsen. Under Forudsætning af, at den matematiske Jordoverflade er en Kugleflade, er én Maaling tilstrækkelig til at bestemme den.

Den anden Periode indledes af Newton og Huygens, der, støttede paa teoretiske Betragtninger, hævdede, at Jorden maatte være en Omdrejningsellipsoide (Sfæroide) J). Først omtrent 1740 fik man ved Maaling Vished for, at Jorden ikke var nogen Kugle, men maatte nærme sig til at være en Sfæroide. Er Jorden en Sfæroide, ere to Maalinger nødvendige, men ogsaa tilstrækkelige for at faa dens Form og Størrelse bestemt. I denne Periode er det franske Videnskabsmænd, der føre an.

Den tredje Periode, der begynder noget efter Midten af det 19. Aarhundrede, er karakteriseret ved, at Jordoverfladen ikke længere opfattes som en matematisk Flade, men at den afviger noget derfra. Denne Form er bleven betegnet med Navnet Geoide¹); denn< kan kun bestemmes punktvis, og er et større elle] mindre Stykke bestemt, ved man ikke derfor noge om Niveaufladens videre Forløb. I denne Period« have Tyskerne væsentligst haft Førerskabet.

Første Periode: Kuglen

Ideen om Jordens Kugleform synes først at være opstaaet hos Kaklerne, hvorfra don er gaaet over til Ægypterne. Endog Størrelsen havde Kaldæerne et Begreb om, idet de antog, at en Jordomvandring ti' Fods vilde medtage 3 Aar, hvilket ogsaa er rigtigl nok under Forudsætning af, at der daglig tilbagelægge? 5 Mil. Maaske ere de komne til den Antagelse ve< at lægge Mærke til, hvor langt man skulde bevæg« sig i Nord_—Syd, for at Polhøjden skulde forandre sig 1 Grad.

Den første, der i Europa hævder Jordens Kugleform, er Pythagoras (c. 480 f. Chr.) eller maaske rettere den pythagoræiske Skole 2), muligvis paavirket fra Orienten. Noget egentligt Bevis blev der ikke ført, men man antog det nærmest af geometrisk-æstetiske Grunde, fordi Kuglen ansaas for det mest fuldkomne Legeme. Efter en Brydning mellem Nyt og Gammelt vinder Opfattelsen af Jorden som en Kugle Sejr paa Eudoxua' og Aristoteks' Tid. Fra Sidstnævntes Haand have vi endog et Skrift, hvori han sammenstiller de da kjendte Beviser for Kugleformen.³) Medens de græske Videnskabsmænd tidlig søgte eftei Bevis for Jordens Kugleform — Beviser, som ere mere eller mindre ufuldstændige — varede det derimod længe, før der blev foretaget en Maaiing af Jordens Størrelse.

Den Første, som under Forudsætning af Jordens Kugleform foretog en Udmaaling efter rigtige Principer, var den alexandrinske Bibliotekar Eratosthenes⁴) [278—195] c. 220 f. Chr. Som bekjendt, kan man, naar man kiender en Bues Gradantal og dens lineære 2nR l „ , r lßo_xx l Længde, ar Jb ormlen =— finde R — X~ 360 o n q

(se Fig. la). Betragtes den matematiske Jordoverflade
som en Kugleflade, maa man altsaa maale Afstanden

---

1) scfuioa, Kugle og etas?, hvad der ligner. Navnet stammer fra forrige Aarhundrede. Blev først almindeligore hnnyttot p a._'i Laplace's og Humboldts Tid. Helmert föreslåar at kalde denne Form en Omdrejningsellipsoide.

1) "/'?) Jord og F.itäs; <>t ret intetsigende Navn. Helmert anvender i Stedet for Betegnelsen Sfæroide.

2) H. Martin: Hypothése astronomierne de Pvthagore (Bull. di bibliogr. o di storia delle sciense matemat, e fis. V. p. 99).

3) De coelo II Kap. 14. ed Prantl. 1857.

4) H. ]ler<ier: Die geographischon Fnigmente des Eratosthenes. Leipzig 1880

paa Jordoverfladen mellem to Punkter M og N, der helst maa ligge langt fra hinanden (200 Mil eller saa), og den Vinkel, som i Jordens Centrum dannes af Linjerne herfra til de to Punkter. Denne Vinkel kan kun bestemmes ved astronomiske lagttagelser; men vælges Punkterne paa samme Meridian, (Fig. la) er

den søgte Vinkel lig deres Bredeforskjel og kan altsaa lindes ved Polhøjdebestemmelser iMogN. For enhver anden Beliggenhed af Buen MN (se Fig, lb) maa man foretage en Bestemmelse til i Trekant PMN enten < P (en Længdeforskjel) eller <C M (et Asimut), en Fremgangsmaade, som allerede Ptolomæus var paa det Rene med; men da disse Operationer tidligere vare langt vanskeligere end Bredebestemmelser, tilstræbte man i ældre Tid altid Maaling paa samme Meridian.

De to Punkter, Eratosthenes gik ud fra, var Alex andria og Syene (det nuværende Assvan). Han antog, at de laa paa samme Meridian, hvilket ikke er Tilfældet, da den nedre Del af Nildalen fra Assvan i Hovedsagen er parallel med det røde Hav (se Fig. 2). Ligeledes antog han, at Assvan laa lige under den nordlige Vendekreds. Som bekjendt, fandt han paa en primitiv, men forøvrigt sindrig Maade, at Bredeforskjellen var 3103¹ ₀- af 360° (altsaa 7° 12'). Den lineære Længde af Buen blev vurderet

til 5000 Stadier¹). Indsættes Værdierne i den tidligere 2xlt 5000 antørte Formel faas = 8(. altsaa 2.T /t¹ = 250,000 Stadier. Da vi ikke kjender den nøjagtige Længde af en Stadie, er Resultatet værdiløst for os, hvilket det i og for sig er i Forvejen paa Grund af de mange Fejlkilder. Sættes en Stadie lig 185 m., bliver én Meridiangrad 128 km., medens den er 111 km.

kulminerer i Horisonten paa Rhodos. Ved at iagttage dens Kulminationshøjde i Alexandria er, som det let ses af Fig. 3, Stedernes Bredeforskjel bestemt; den blev funden at være -fe af 360°. Da man langt fra kjendte den lineære Afstand mellem Alexandria og Rhodos, maa Resultatet være endnu daarligere end i foregaaende Tilfælde.

Det er altsaa sikkert, at Jorden allerede i Oldtiden blev opfattet som en Kugle, og at man endog gjorde Forsøg paa at bestemme dens Størrelse. Karakteristisk nok benyttes i begge Tilfælde specielle Stillinger af Stjærnerne ved de astronomiske Bestemmelser, uagtet Grækerne ellers ingenlunde stod tilbage i Astronomi.

Med den klassiske Kultur gik Opfattelsen af Jorden
som en Kugle til Grunde her i Europa, men dukker
atter op hos Araberne.

Af den arabiske Geograf Abulfeda vide vi, at der
paa Tilskyndelse af den abassidiske Kalif Almannim
blev foretaget en virkelig Gradmaaling2) paa Sindsjar

En anden Maaling ('?), som beroede paa samme Princip, er udført af Posidonius paa Rhodos (omtrent 200 Aar efter Eratosthenes ¹). Han benyttede sig af Stjærnen Kanopus, som netop

---

den 01- fremkommen vod en Summation af Grundstykker, kan vanskelig afgjøres. Selv om Længden or fundet paa donno sidste Maade, er der d<>g ingen Grund til at antage, at den er særlig unøjagtig, da Landmaalerkunsten i Ægypten stod højt og vel meppo har været meget unøjagtigere ond en almindelig Landmaalers Arbejde nu til Dags; men derfra og til den Nøjagtighed, den højere Geodæsi fordrer, er der ganske vist ot mægtigt Spring. Foretager man en Reduktion til Meridianen, faar man forøvrigt et Resultat, der stemmer godt med senere Mani inger.

1) Bunbury: History of the geography of the ancients. London, vol I 1879.

1) Hvorvidt denne Længde virkelig blev maalt, saaledes som Baeyer mener (Geogr. Jahrb. 111 p. 155), eller om

2) Jordan: Die Gradmessung der Araber. 827 n. Chr. [Zeitschr. f. Vermessungswesen 18 Bd. p. 1001. Se ogsaa

Sletten i Mesopotamien¹) (827). Fra et fælles Punkt drog to Hold Geodæter henholdsvis mod Nord og mod Syd. Naar de havde fjærnet sig en halv Grad fra Udgangspunktet, hvilket de iagttog ved Observation af Polhøjden, skulde de gjøre Holdt. Endepunkternes Bredeforskjel blev altsaa en Grad. Længden blev her virkelig maalt med Maalestænger. Da Maalingerne, som det synes, ere blevne foretagne med stor Omhu, kunde man vente et godt Resultat. Uheldigvis kjender man ikke den nøjagtige Længde af Maaleenheden (en arabisk Tomme lig 6 ved hinanden liggende Hvedekorn) 2). Imidlertid har dog Jordan ved Undersøgelser af en Nilmaaler paa Øen Rodah, der skal stamme fra samme Tid, skaftet en god Tilnærmelse. Men noget nøjagtigt Maal giver denne naturligvis ikke, dels fordi den i Tidernes Løb er bleven restaureret, og dels fordi den er lavet af almindelige Haandværkere. Ifølge Jordan skal en Meridiangrad herefter beløbe sig til 118,3 km., hvilket er for meget.

Omtrent ved denne Tid begynder Anskuelsen om Jordens Kugleform atter at leve op her i Europa, idet 13eda Venerabilis^) paany hævder den; fra ham gik Ideen over til den bekjendte Alkuin og til den af Karl den Store gumdede Hofskole. Først langt senere, i Renæssancetiden, skal der være foretaget en Maaling af Pariserlægen Fernel (vistnok 1528)⁴), men muligvis er den kun fingeret. Efter at have bestemt Polhøjden i Paris ved Hjælp af en Kvadrant, saaledes beskriver han det selv, kjørte han ud ad Vejen til Amiens, der løber stik mod Nord, indtil han kom til et Punkt, der laa 1° nordligere. Længden af denne Grad bestemte han ved at tælle ved Hjælp af en Tandhjulforbindelse, der bevirkede, at en Klokke slog et Slag for hver Omdrejning, hvormange Omdrejninger et af Hjulene gjorde. Dette Hjul blev derpaa udmaalt paa det aller nøjagtigste³). Resultatet af Maalingen er forbavsende godt (en Meridiangrad 111.229 km.), men maa nødvendigvis skyldes en tilfældig Kompensation af meget betydelige Fejl.

En nøjagtig Udmaaling af en Afstand svarende til en eller flere Grader er næsten et uoverkommeligt Arbejde, og tilmed vil Terrænet næsten aldrig i saa stor en Udstrækning være egnet dertil. Det var derfor af gjennemgribende Betydning, at Hollænderen Snellius (1591 — 1626) 1615 fandt paa at forene Endepunkterne af den betragtede Bue med en Kække Trekanter, der to og to have en Side fælles.¹) Herved kan Længdemaalingen indskrænkes til en enkelt Side, som i Forbindelse med Vinklerne, der altsaa maa maales, giver hele den søgte Afstand. Denne Fremgangsmaade kaldes Triangulation og er senere udelukkende bleven benyttet²). Ved dette Princip kan til Længdemaaling vælges det gunstigste Sted, og den maalte Længde kan saa ved Vinkelmaaling, der er langt lettere, overføres til store Afstande. Snellius selv gik endnu videre, saaledes at der ikke en Gang direkte maaltes en egentlig Trekantside, men en endnu kortere Linje, Basis eller Grundlinje. Denne Længdemaaling foretages med særligt konstruerede Apparater, de saakaldte Basisapparater, der forøvrigt ere temmelig dyre; et af de billigste er Bessels Basisapparat, der har en Værdi af 2700 Kr. Et Basisapparat med Mikroskoper koster 16000 Kr. Med disse Apparater kan der maales særdeles fint. Basis paa Amager er saaledes udmaalt saa nøjagtig, at den sandsynlige Fejl kun er 3 mm. De fleste maalte Grundlinjer ere kun mellem 2—82^—8 km. (Basis paa Amager 2,7; i Bjærglande, f. Ex. Chile, endnu kortere, medens Trekantsiderne ordentligvis ere det Tidobbelte.

Den Meridianbue, som Snellius beregnede, strakte sig fra Alkmaars Parallel over Leijden til Bergen op Zooms Parallel (c. 1° 11'.5). Basis blev udmaalt fra Leijden. Som Fixpunkter benyttede han Kirketaarne i den hollandske Slette. Imidlertid svarede Resultatet (en Meridiangrad 107.338 km., altsaa meget for lille) ingenlunde til det teoretiske Fremskridt og til den Omhu, hvormed Vinklerne vare maalte. Ved en Revision af Mussclienbrotk^) 100 Aar senere kom man dog

---

Denrilschki: Manuel de la cosrnographi du moyen age, ed. Meliren. Copenhague 1874.

1) af Schmidt: Math. Geogr. I p. 167 fejlagtig .-ingivet at ligge ved den arabiske Bugt.

2) Da et Længdemaal kun er defineret ved sin egen Længde. er dette kun en Skindefinition.

1) Eratosthenes Batavus sen do terrae ambitus vera quantitate suscitatus, Lu gel. Bat 1617.

2) Englænderen Nor/rood maalte dog en halv Snes Aav efter med Kjæde og- Bussole langs Landevejene Strækningen fra London til York (c. 300 km._l, og langt senere (1764,) maalte to Nordamerikanere en lignende Sträckning i Pennsvlvanien.

3) Beda: De naturam rerum ed. Migne. Paris 1802.

4) Fernel: Cosmotheoria seu de forma mundi et de rorporibus coelestibus libri duo. Paris 1528.

5) Fernels Id o at anvende et Hjul til Udmaaling af en Længde er senere (efter 1850) atter bleven optagen, men opgive n uden at v;ere fort ud i Praxis ise Astr. Nadirichten Nr. 1728).

3) M'n.sschenbrock: Physicæ experimentales et guometrieæ dissertationes. Leyden 1729.

til et Resultat, der stemmer godt med moderne Maa-1
i uger.

Endnu var der ikke blevet rokket ved Jordens Kugleform, og under den Forudsætning foretog Picard¹} paa Opfordring af det nys oprettede franske Akademi en Gradmaaling (1669 — 70) mellem Paris (egentlig Malvoisine syd for Paris) og Amiens. Buens Udstrækning var 1° 23'. Med Hensyn til den tekniske Udforelse er der Grund til at minde om, at der her for første Gang blev anvendt Kikkert og Traadkors, hvorved Indstillingen blev langt skarpere end tidligere med Dioptere. Vinkelmaalingen i Trekantpunkterne blev udført med en Jærnkvadrant, paa hvilken der kunde aflæses med en Nøjagtighed af 20". Resultatet (en Meridiangrad 111.210 km.) stemmer ogsaa godt med senere Maalinger, men skyldes i Virkeligheden en Kompensation af Fejl paa de astronomiske og geodætiske Maalinger.

Anden Periode: Sfæroiden.

Omtrent ved denne Tid indtræder der et Vendepunkt, idet man begynder at tvivle om Jordens Kugleform, og henimod Slutningen af det 17. Aarhundrede kom II ny gens og Netvton ad teoretisk Vej til den Antagelse, at Jorden maatte have Form af en ved Polerne fladtrykt Omdrejningsellipsoide, for hvilken Form man har indført Betegnelsen Sfæroide. Ganske vist havde en og anden langt tidligere, endog i Oldtiden, udtalt, at Jorden afveg fra Kugleformen, men det var som oftest ren Fantasi uden noget som helst videnskabeligt Grundlag.

Ved sine Undersøgelser over Centrifugalkraften førtes Huygens til den Antagelse, at Jorden var fladtrykt ved Polerne som Følge af den ved Jordens Axerotatio ²) frembragte Centrifugalkraft. Denne Antagelse støttedes af flere Forhold. Saaledes iagttog den franske Astronom Rieher (1672), at Sekundpendulet i fransk Guyana (Cayenne) var 2,67 mrn. kortere end i Paris, og da det kom tilbage til Paris maatte det atter gjøres 2,67 mm. længere for at vedblive at være et Sekundpendul; dette kunde tyde paa en Tiltagen af Tyngdekraften fra Cayenne til Paris. Uheldigvis bevirkede andre Pendulmaalinger, der gav et afvigende Resultat, at Richers lagttagelse ikke fik den tilbørlige Betydning. Før den Tid havde Huygens opdaget Planeten Mars' Rotation (1659), og 1666 opdager Cas

de gaa ud fra helt forskjellige Antagelser med Hensyn til de übekjendte Massefordelinger i Jordens Indre. Disse Resultater ere, efter hvad vi ved i vore Dage, fejlagtige, men derfor faa de to Forskere alligevel stor Betydning, navnlig fordi de give Stødet til, at Jordens Form atter blev taget op til en indgaaende Undersøgelse.

sini den ældre Jupiters Aplatissement -^ (dog først publ. 1691). 1690 udgav Huygens sit Skrift: Traité de la lurniere. Avec un discours de la cause de la pesanteur; men tre Aar tidligere havde Newton fremsat den samme Hypotese. De to Forskere nøjedes forøvrigt ikke med blot at godtgjøre Jordens Fladtrykning ; ogsaa dennes Størrelse søgte de at udlede. De Resultater, de kom til, ere imidlertid meget forskjellige. Newton sætter Aplatissementet til •2-^-0-, Huygens til ---i s-, idet

For at en Ellipsoide skal være bestemt, udkræves to Elementer (Kuglen bestemmes af et), hvortil man kan vælge de to Axer, Æquatorialaxen og Polaraxen. I Reglen vælger man dog til Elementer quatorialaxen (AA_i=2a), der bestemmer Størrelsen og Excen

Stedet for Excentriteten anvendes som oftest Applatissementet(Fladtrykningen) (Fladtrykningen) til at angive Formen. Applatissementet a defineres som Forskjellen mellem quatorialaxen 2a og Polaraxen 2b i Dele af Æquatorialaxen og udtrykkes altsaa ved Ligningen

Da der er to Übekjendte a og a, udkræves der to Ligninger, som tilvejebringes ved Hjælp af to Meridianbuer med forskjellige Middelbreder, naar disse Buers Længde saa vel som Brederne af deres Endepunkter ere maalte. Vælges den ene Bue nær Æquator, den anden saa nær Polen som muligt, vil Krumningsforskjellen mellem Buerne træde skarpest frem. Da man oprindelig tilstræbte at faa Længden af en Bredegrad som Udtryk for Jordens elliptiske Form, kaldte man disse Maalinger for Bredegradsmaalinger.

Have de maalte Meridianbuer en forholdsvis ringe Udstrækning, og betegnes Længderne af en Meridiangrad under Buernes Middelbrede /_x og /₂ henholdsvis ved GI og G.₂, har man to Ligninger, hvori de übekendte indgaa nemlig:

---

1) I'icard: La mesure de la terre. Paris 1671.

2) Jordens Axerotation er først fremsat af Hippark c. 270 f Chr., senere (1543), men uafhængig af ham fremsatte Copernicus den samme Antagelse.

og

Af disse to Ligninger kunne e og a findes.

Have Buerne en større Udstrækning, blive de to
Ligninger mindre simple og Beregningen derfor mere
omstændelig.

I Stedet for at anvende Meridianbuer kunde man - som tidligere berørt — ogsaa have anvendt Parallelbuer med forskjellig Brede. Da Parallelbuens Gradantal kun kan findes ved en Længdebestemmelse, og da denne før den elektriske Telegrafs Opfindelse var meget unøjagtig, benyttede man ved ældre Gradmaalinger næsten altid Meridianbuer. Forøvrigt er man ikko henvist blot til Meridianbuer og Parallelbuer; Buer under et hvilket som helst Asimut kunne benyttes, men Formlerne ere da mere komplicerede. Exempel paa en saadan Asimutalbue er Maine-Alabama der, parallel med Allegany-Bjærgene, strækker sig fra Canada til det mexicanske Hav. En auden med en Udstrækning af 33° er projekteret at skulle strække sig fra St. Francisco i sydøstlig Retning til det stille Havs Kyster paa 97°, 2 (se Fig. 6).

For at prøve Rigtigheden af Newtons og Huygens
Hypotese foreslog Dominic CassiniI}, der 1680 paany
havde taget Gradraaalingsarbejdet op efter Picard, at
der skulde maales en Meridianbue (paa 8° 30', 3) fra
Dunkerque over Paris til Pyrenæerne (Collioure). Med
Afbrydelser varede denne Gradmaaling til 17182). Resultatet
syntes imidlertid ganske at modbevise de to
Fysikeres Teori; idet man fandt, at Meridiangraden
nord for Paris (ved Dunkerque) var kortere (111.017
km.) end syd for (Perpignan, 111.286 km.), med andre
Ord, at Jorden var en ved Polerne ophøjet Omdreja
• fo
ningsellipsoide (b >a, altsaa a— —-— negativ). I
a
Frankrig holdt man stærkt paa det negative Aplatissernent
(Citronen !), medens man i England lige saa bestemt
hævdede det positive (Appelsinen!). Af Diskussionen
fremgik det imidlertid, at en mulig Forskjel
mellem en Grad i det nordlige og i det sydlige Frankrig
ganske vilde tilsløres af Observationsfejl, idet Forskjellen
inden for Frankrigs Grænser var for ringe, i
hvert Fald i Forhold til den Nøjagtighed, hvormed
man kunde maale den Gang. uagtet det viste sig, at
Maalingen var foretagen med langt større Nøjagtighed
end tidligere.

Vilde man naa et afgjørende Resultat, maatte man. som omtalt tidligere, maale to Buer, en nær Æquator, en anden nær Polen. 1785 blev der udsendt en Gradmaalingsexpedition (1735 — 43) under Ledelse af Bougucr og de la Condamine til Peru¹) (Middelbrede -r-1°.5) og 1736 en anden (1736^—37) under Manpertnis og Clalruitt til Lapland'²) (Middelbrede -\- 66°.3). Af disse to Expeditioner havde übetinget den første de største Hindringer at overvinde, men den Nøjagtigbed, hvormed den arbejdede, overgik betydelig den laplandske Expedition. Medens den første arbejdede i sex Aar, fuldendte Maupertuis sin Maaling i Løbet af to Aar ; Basis blev maalt paa den frosne Torneåelf. Den peruanske Maaling i Forbindelse med den reviderede fransk ³) gav et Aplatissement paa -g-^-j- og viste saaledes tydelig nok, at Meridiangradens Længde voxer fra Æquator mod Polerne: Jorden er fladtrykt ved Polerne. Den dynamiske Teori havde saaledes sejret (c. 1740).

Paavirket af Frankrigs Exempel blev der ikke blot flere Steder her i Europa, men ogsaa i Nord Syd-Afrika og For-Indien, foretaget Gradmaalinger, men ingen af disse have haft nogen særlig Betydning for Bestemmelsen af Jordens Form og Størrelse. Der er dog Grund til at minde om, at Lederne, to Jesuiter, af Maalingerne i Kirkestaten inddrog flere andre Maalinger i Beregningerne af Jordens Form og Størrelse for at naa det bedst mulige Resultat og anvendte et Udjævningsprincip, der lignede de mindste Kvadraters Metode. I Nord-Amerika anvendte man ikke Triangulation, men maalte direkte hele Buen som paa Kalifatets Tid.

I de nordlige europæiske Stater, ligesaa lidt som
i Rusland, var man endnu begyndt paa Gradmaalingsarbejdet.

Et betydeligt Opsving tog dette, da Nationalforsamlingen 1790 „befalede" det franske Akademi at foranstalte en ny Gradmaaling til Bestemmelse af et Naturmaal, og allerede d. 19. Marts 1791 mødte den nedsatte Kommission med sit Forslag. I Spidsen for

---

1) Boufjuer: La figure do la len o. Paris 1749. — De la Condamine: Journal du voyage fait par ordre du roi A l'cquateur. Paris 1751. — ib.: Mesure de trois premiers degres du méridien dans l'hémisphere australe. Paris 1751.

1) D. Casxini: De la méridienne dø Fobservatoire royale de Paris, prolonge jusqu'aux Pyrenees. [Mem. do I'acad. de Paris. 1701].

2) Maupertuis: La figure de la terre. Paris 1738.

3) Cassini de Thury: La méridieuue do l'observatoire royal de Paris vérifiée dans toute l'étendue du royaume par des nouvelles observations. Paris 1744.

2) Publ. af J. Cassini: Traité de la grandeur et la figure de la terre. Paris 1720.

•Arbejdet stod Borda, som ikke blot anordnede Fremgangsmaaden, men ogsaa indførte tekniske Forbedringer. Det er saaledes Borda, der i Stedet for Træstænger anvender Metalstænger til Basismaaling, efter at man ved en af de tidligere Gradmaalinger havde opdaget, at Træstængernes Længde kunde variere, uden at man var i Stand til at kontrollere dette¹). Ogsaa Vinkelmaalingen blev forbedret, idet han indførte Maaling ved Repetition; derved kunde Vinklerne aflæses med en Nøjagtighed af l". Bonguer og Condamine kunde kun naa til o" og Maupertius endog kun til 10", og endelig kunde Snellius kun aflæse med en Minuts Nøjagtighed. Senere er man kommet langt videre. Saaledes er Middelfejlen paa Vinklerne i Trekanterne mellem Skagen og Samsø kun lidt over 0".4. Der blev af Delambre-) maalt en Meridianbue paa c. Q^l/₂ ^° fra Dunkerque til Barcellona. Ved at kombinere denne Maaling med Perumaalingen fik man <i og « bestemte, altsaa ogsaa Meridiankvadranten. Heraf beregnede man Længden af Middelgraden og fandt den at være g= 111.1086 km.; a var 3-| |. Senere har det vist sig, at disse Tal ere noget for smaa.

I Begyndelsen af det 19. Aarh. blev der udført Gradmaalinger flere Steder. I Frankrig blev Buen forlænget fra Barcellona til Øen Formentera (en af Balearerne), saaledes at denne Bue nu fik en Udstrækning af IS¹/;;⁰. Den af Maupertuis maalte Bue i Lapland blev fuldstændig revideret af Svenskeren Svanber ³) i Aarene 1801_—3; det viste sig at Meridiangraden var 111.532 km. og ikke 112.004 km., hvilket Maupertius havde fundet. I England blev der i Slutningen af det 18. Aarh. paabegyndt en Maaling, som sluttedes i Begyndelsen af det 19., af en Meridianbue paa c. 3° fra Wight til Cliston. Senere blev denne Bue forlænget til Shetlandsøerne (10°16'). I For-Indien maalte Lambton og Everest to Buer, hvoraf den ene fra Kap Comorin til Foden af Himalaja senere fik den betydelige Udstrækning af over 21°.

Da Maalingerne paa hvert enkelt Sted paa Grund af uundgaaelige Observationsfejl ville give en Værdi, der maa afvige_noget fra den sande, vil man faa den bedst mulige Bestemmelse af Jordens Størrelse og Form ved at benytte alle enkelte Resultater. En saadan Beregning paa Grundlag af do foreliggende Maalinger blev foretagen 1819 af Walbeck*), strax efter at, de mindste Kvadraters Metode var fremsat af Gauss. Han fandt Middelgraden g -•= 111.169km. og a — 3^Jj. 1828 udførte Schmidt") paa Foranledning af Gauss en ny og mere systematisk Beregning af de samme Maalinger forøget med den liannoverransko Gradmaaling³) 1821 — 24, i Spidsen for hvilken selve Gauss stod. Denne Gradmaaling var ikke synderlig omfattende (2°), men har faaet stor Betydning derved, at denne berømte Matematiker korn praktisk til at beskæftige sig med Gradmaalingsarbejdet, for hvis Udvikling hans Optræden blev epokegjørende. Ved den af Schmidt gjennemførte Beregning blev Middelgraden saa at sige uforandret; derimod blev FJadtrykningen lidt større, nemlig Y|_b.

En ny og meget vigtig Beregning blev fuldført 1841 af Bessel. Foruden det af Schmidt benyttede Materiale var der i Mellemtiden kommet 3 Maalinger til, nemlig den danske, den russiske og den stpreussiske.

Medens Sverig allerede 1801 havde foretaget en Revision af den af Maupertius maalte Bue i Lapland, begyndte man i Danmark⁴) først 1816 paa det egentlige Gradmaalingsarbejde. Bugge havde dog allerede 1787 paatænkt at benytte de i Anledning af Landets Opmaaling 1765 af Videnskabernes Selskab paabegyndte Triangulationsarbejder til en dansk Gradmaaling. Han opgav dog atter Planen, vistnok fordi han indsaa, at den Nøjagtighed, hvormed Triangulationen var udført, ikke var tilstrækkelig nøjagtig til derpaa at støtte en Gradmaaling. Under de forviklede Forhold i Begyndelsen af det 19. Aarhundrede blev dette Foretagende yderligere udskudt. Efter Kielerfreden blev Gradmaalingsarbejdet atter taget op til Overvejelse, og, trods Statsbankerotten, stillede Kongen meget betydelige Pengemidler til Raadighed for Foretagendet. 1816 blev Schumacher stillet i Spidsen for

---

1) Ved Revisionen af den franske Bue havde dog Cassini de Thurij (se ovenfor) 1739 benyttet Jernstænger til Ommaulingen af Pieards Basis. Men først efter Borda's Maaling blev Mftalstænger eneraadende ved alle Maalinger af videnskabelig Betydning.

2) Delambrv: Base du systeme métrique decimale. Paris l 1806. Il 1807 og 111 1809. IF. Perrier: De la Méridienne de France. [Bull, de la Soc. de Geogr. VI. Ser. Tome 111 p. 1872 p. 613] gives en kort historisk Oversigt af Gradmaalingen i Frankrig.

1) Walbeck: Dissertatio d» formå et Magnitudine telluris ex dimensionibus arens meridiaui definieiidis. Äbo 1819.

2) Fremgangsmaaden er fremstillet i Schmidt: Lehrbuch der mathematischen Geographie. I. Th. Göttingen 1829.

3) Svanberg: Historisk Ofversigt at Problemet om Jordens Figur. [Handl, svensk. Vettensk. 18041: id.: Exposition des operations faites en Lapponie pour la determination d'un are de méridien. Stockh. 1805.

3) Gauss: Nachrichten von der hannoverschen Gradmessung. [Bodes astr. Jahrb. 1826].

4) Andræ: Den danske Gradmaaling I. Kjøbenhavn 1867.

Arbejdet. Han forkastede de tidligere Triangulationer og udkastede en hel ny Plan for Arbejdet. Efter denne skulde der føres en Kække Hovedtriangler langs Meridianen fra Skagen til Lauenburg; denne skulde atter skæres af en anden fra Kjøbenhavn langs dennes Parallel til Jyllands Vestkyst. Disse to Triangelrækker vilde tilsammen danne et Kors, hvori dog den vestlige Arm var kortere end de andre 3. Endvidere skulde der for Kontrollens Skyld maales 8 Grundlinjer ved Enden af de 3 lange Korsarme (Skagen, Altona, Kjøbenhavn). I de samme 3 Punkter samt et Sted i Midten af Meridianrækken agtedes udført Bredebestemmelser, ligesom det endvidere var paatænkt ved Benyttelsen af Ildsignaler at bestemme Længdedifierensen mellem Kjøbenhavn og Jyllands Vestkyst. I A arene 1817 —24 arbejdedes nu ganske efter denne Plan. Vinkelmaalingen i Trekanthjørnerne udførtes efter Repititionsmetoden og var fuldført mellem Lauenburg og Lysabbil paa Als 1823. Alle de paatænkte Bredebestemmelser samt en Bredebestemmelse ved Frederiksværk blev udført ved Hjælp af den Ramsdenske Zenitsektor¹), Datidens fortrinligste Instrument. 1820 — 21 udmaaltes den sydlige Basis (c. 6 Km.) ved Braak (nord for Altona) med et af Schumacher²) udtænkt Instrument. Dermed var Buen Lauenburg — Lysabbil udmaalt, og det er kun denne Del, der har en Udstrækning af lV2°j sorn kunde benyttes af Bessel.

Senere er Gradmaalingsarbejdet ført videre og omfatter nu Meridianen fra Skagen videre mod Syd. Forøvrigt er Gradmaalingens Historie, alle Operationer og Beregninger saavelsom Gradmaalingens Teori nedlagt i det monumentale Værk af Andræ: Den danske Gradmaaling. De vigtigste Resultater af Gradmaalingens senere Arbejder findes publiceret af Zachariae i Videnskabernes Selskabs Oversigter, saaledes Relative Pendulmaalinger i Kjøbenhavn og paa Bornholm med Tilknytning til Wien og Potsdam, med Anhang E. C. Rasmussen: Fremgangsmaaden ved Pendulmaalinger, 1897.

Af den store russiske Maaling³) (1817^—55), der lededes af Wilhelm Struve, og som strakte sig fra Fuglenæs (nord for Hammerfest) 70°40' langs Dorpats Meridian til Staro^—Nekrassovka (øst for Ismail ved Donaumundingen) 45°20, blev der udført en Maaling paa 8° fra Øen Högland i den finske Bugt til Belin¹). Hele Meridianlmen, der havde en Udstrækning af 25° 20'. blev først færdigmaalt 1855. Trekantnættet bestod af 258 Trekanter, hvortil kom Tilknytningen af 10 Grundlinjer. Endelig blev der foretaget Bredebestemmelser i 13 Triangelpunkter, hvorved hele Meridianen blev delt i 12 Dele.

Den øst-preussiske Gradmaaling (1831 — 34), der lededes af Bessel og den senere bekendte Baeyer²), omfattede en Bue fra Memel til Trunz paa 11/l¹/»⁰- 81. a. har denne Maaling faaet Betydning ved. at den tidligere benyttede Repetition blev erstattet med Satsmaaling, der ansaas for den nøjagtigste, indtil Schreiber i 70erne indførte en noget ændret Fremgangsmaade.

Efter først kritisk at have gennemgaaet det Materiale,
der forelaa, udvalgte Bessel følgende 10 Maalinge
3):

1. Den peruanske 1735_—44, 2. Iste for-indiske 1802-5, 3. 2den for-indiske 1802—43, 4. franske 1792 — 1806, 5. engelske 1800—1802, 6. hannoveranske 1821—24, 7. danske 1816—23, 8. st-preussiske 1831—84, 9. russiske 1816—27 og 10. svenske 1801—3.

Bessel⁴) fandt, at Middelgraden (90de Delen af en Meridiankvadrant) var 111.1206 km. med en sandsynlig Fejl 5) af ± 0.0037 km. og a= 8.148 samt a= 6377.397 km. og b= 6353.079 km. Uagtet der senere er fremkommet Beregninger, som tyde paa, at de Bessel'ske Elementer ere for smaa, benyttes de endnu i de fleste Lande, da Encke i Astr. Jahrb. 1852 udgav Tavler over Størrelser, der hvile paa Bessels Beregninger. Hvormeget man skal gøre Middelgraden større, er endnu ikke sikkert; deiimod mener lidmert, at man for a (Formen) kan blive staaende ved

---

1) Id.: Beschreibung der Breitengradmessung in der Ostseeprovinzen Ruslands. Dorpat 1831.

2) Die Gradmessung in Ostpreussen, ausgefiihrt von Bessel und Baeyer. Berlin 1838.

3) Baeyer: Über den gegemvartigen Stand der Gradmessung. [Geogr. Jahrb. IJ

4) Bessel havde fuldført Beregningen 1837: men da Puissant (i Compte rendu 1841) havde eftervist en Fejl paa 182 m. paa Buen Barcellona^—Formentera. rettede Bessel sin første Beregning: det nye Resultat blev offentliggjort i Astr. Nachr. No. 438.

1) Instrumentet var af den engelske Regering stillet til Gradmaalingens Disposition. Schumacher ma:itte selv personlig afhente det. Senere laante Gauss det ved den hannoveranske Gradmaaling.

2) Schumacher: Nachricht iiber don Apparat, der 1820 zur Me ssu ng dor Basis bei Braak diente. Altona 1821.

5) Den sandsynlige Fejl er en Størrelse af den Beskaffenhed, at den virkelige Fejl. som selvfølgelig ikke kjendes. med lige Sandsynlighed kan være mindre eller større end hin.

3) F. (?. W. Sir ure: Are du mc'ridien do 25°2<J ontro le Danube et la mer glaciale, mésurc clepuis 1816 jusqu'en 1855. St. Petersb. I. 1860. 11. 1857.

Y^U-' da dette angiver Forholdet mellem Centrifugalkraften
og Tyngdekraften ved Æquator og ogsaa passer
godt med Pendulforsøgene.

Senere (1858) har Clarke bestemt Jordens Form og Størrelse ; han fandt a = 6378.207 km. og « = -5-^3-. 1880 foretog han en ny Beregning, hvorved a blev 6378.249 km. og a= Y^.-r- J England benyttedes tidligere en af Airy udført Beregning.

Ved alle disse Udjævninger viste det sig, at ogsaa Sfæroiden kun kan være en Tilnærmelse til Jordens virkelige Form. Dette træder allerede frem paa en mindre Strækning. Saa snart der nemlig, som f. Ex. her i Danmark, er foretaget flere astronomiske Bestemmelser end nødvendigt, maa der, hvilken Form og Størrelse man end giver Sfæroiden, tillægges Maalingerne Rettelser, der langt overgaa deres virkelige Fejl, for at faa dem til at passe til Sfæroideformen. Da denne lagttagelse er gjort overalt, hvor Maalingerne have haft den fornødne Finhed, er dermed bevist, at den matematiske Jordoverflade gjennerngaaende afviger noget fra Sfæroiden. Det er netop en af Andræ's mange Fortjenester først at have paavist, at disse Korrektioner, som man altsaa maa tillægge Maalingerne, uagtet de ikke ere Observationsfejl, dog følge den almindelige Fejllov, eller med andre Ord. at de ere at betragte som tilfældige Afvigelser fra en bestemt Norm, og denne Norm svarer til Sfæroiden, som derfor fordelagtigst gjøres til den Flade, hvortil Observationerne reduceres, og den virkelige Niveauflade bedst henføres. Helmert har for denne Sfæroide indført Betegnelsen Referensellipsoide.

For at faa Maalingerne til at passe bedre har man forsøgt at henføre Maalingerne til en 3-axet Ellipsoide (Schubert, Clarke), eller ogsaa til et Rotationslegeme, hvor Meridiansnittet ikke var en Ellipse (Botcditch, Clarke, Paucker, Ritter). Endelig forsøgte Fergola at gaa ud fra en Rotationsfæroide med en i Forhold til Jordaxen skjævt liggende Rotationsaxe. Resultatet af alle disse Bestræbelser maa imidlertid betegnes som et negativt; thi for det første er det ikke herved lykkedes at tilvejebringe bedre Overensstemmelser mellem Maalingerne. og for dut andet har man ikke kunnet bestemme Elementerne af en saadan Grundform med tilstrækkelig Sikkerhed. Alle disse Bestræbelser tre derfor nu opgivne.

Allerede længe før Bessels Tid havde man tvivlet om Jordens nøjagtige Sfæroideform, og var Jorden overhovedet ingen Omdrejningsellipsoide, kunde Bredegradmaalinger alene ikke strække til til en Bestemmelse af Jordoverfladens Form; der maatte ogsaa foretages Længdegradmaalinger. Disse kunde imidlertid ikke faa nogen videre Betydning, før Telegrafen var opfunden. Ide senere Tider er det ved Telegrafens Hjælp lykkedes at faa Længdebestemmelser, der tilsyneladende ikke staa tilbage for Bredebestemmelserne. For at give en Forestilling om Nøjagtigheden kan anføres, at de Bredebestemmelser, der ere udførte efter Horreboivs Metode her i Danmark, vise en sandsynlig Fejl af højst O".06, hvortil svarer en Udstrækning paa Jorden af c. 2 m.

Den første Længdegradmaaling af nogen videnskabelig Værd *) blev sat i Gang paa Laplace's Tilskyndelse (1811 — 25). Den strakte sig fra Girondemundingen (Marennes) til Fiume (Udstrækning c. 13°) og følger altsaa den 45de Parallel. Da Telegrafen endnu ikke var opfunden, udførtes Længdebestemmelsen ved Hjælp af Lyssignaler. Man kom til det Resultat, at der maatte være nogen Afvigelse fra Sfæroidefornien. Forøvrigt ansaa Bessel den ikke for nøjagtig nok til at kunne tages med ved hans Beregning af Jordens Form og Størrelse.

1857 lagde W. Struve Planen til en stor Længdegradmaaling paa den 52de Parallel, og som skulde strække sig mod Øst helt til Orskaja. Før den Tid havde Airy foretaget en Længdegradmaaling fra Øen Valentia ved Irlands Vestkyst til Greenwich. Senere blev den engelske Bue forlænget til Bjærget Kemmel i Belgien²). Disse to Buer, den engelske og den russiske, blev senere af den mellemeuropæiske Gradmaaling satte i Forbindelse med hinanden. Hele Længdebuen fra Valentia til Orskaja beløber sig til 69° eller maalt paa den 52° Parallel til 4741 km.

For at det store Materiale, der allerede var samlet, kunde blive bearbejdet og sammenlignet, saaledes at man i det mindste for Mellemeuropas Vedkommende kunde komme paa det rene med, om Jorden passede til den sfæroidiske Hypotese eller ikke, og hvori Afvigelserne bestod, foreslog Baeyer en Sammenslutning af de mellemeuropæiske Stater her taget i udvidet Betydning, idet Grænserne dannedes af Parallelerne gjennem Kristiania og Palermo og Meridianerne gjennem Bonn og Elbing, hvortil dog knyttedes enkelte Punkter udenfor. 1862 tilsagde alle de paagjældende Stater deres Bistand, og saaledes var den „mellemeuropæiske Gradmaaling" konstitueret. I Oktober 1867 gik denne

---

1) Paa Paris'Parallel blev der 1733^—34 udført en Længdegradmaaling.

2) James: Extension uf the triangulation of the Ordnance Survey into France and Belgium with the measurement of an arc of parallel in latitude 52° N. from Valentia in Ireland to mount Kemmel in Belgium. London 1863.

Institution, efter at de fleste civiliserede Stater i Europa havde sluttet sig til den, over til en „europæisk Gradmaaling'' for endelig 1886 at ende som en „international Jordmaaling." Denne har Centralbureau i Potsdam og modtager siden 1887 Bidrag beregnet efter Folkemængden af hvert af de deltagende Lande, hvis Regeringer udnævne Repræsentanter, der med visse Mellemrum samles til Drøftelse af de herhen hørende Æmner, medens iøvrigt hvert Laud arbejder u afhængigt.

Heri Europa (Fig. 5) findes der for Tiden 8 Meridianbuer, nemlig en fra Shetlandsøerne til Atlasbjærgene (syd for Oran paa 32¹/₂°N.) en anden fra Skagen til Tunis (syd for Gabes paa 33° N.) og en tredje i Rusland (projekteret at strække sig til Kreta). Af Parallelbuer er der kun to nemlig Valentia^—Orskaja og den mindre Marennes^—Fiume. I Nord-Amerika (Fig. 6) blev Planen til Gradmaalingsarbejdet allerede lagt 1807, men først

fra 1832 begyndte selve Arbejdet i Marken. Der er foruden Asimutalbueu Maine^—Alabama (22°) udmaalt en Parallelbue paa 49° N. fra Atlanterhavet til det store Hav under den 39. Parallel; endvidere er der projekteret en Meridianbue paa 55° fra den mexicanske Havbugt til Polarhavet (Fig. 6). I Syd-Amerika er der i Aarene 1859 —67 under Pissis¹) blevet foretaget eri Gradmaaling i Chile af en Meridianbue paa 10°. Meridiangraden blev funden at være g= 110.877 km.; til Sammenligning kan anføres, at Maclear i Syd paa samme Brede fandt g — 111.018 km. Forøvrigt kan det anføres, at Pissis maalte 5 korte

(c. x/ 2 km.) Grundlinjer. Foruden Gradmaalingen i Chile er der i den nyeste Tid blevet projekteret et omfattende Gradmaalingsarbejde i Brasilien. I Syd udførte Lacaille en Gradmaaling fra Kap Town til Klyp Fontein (Udstr. lo^)¹). For Middelbreden ~ 33°18' fandtes g= 111.221 km., altsaa for stor. I Midten af dette Aarhundrede foretog Maclear²) en Revision og fik et noget mindre Resultat, men dog stadig noget for stort. Han forlængede Lacailles Bue til det tredobbelte og fandt for Middelbreden — 32°9' g — 111.018km. Maalingerne i Forindien ere tidligere omtalte.

Pendulmaaling

Som omtalt i Indledningen, kan Jordsfæroidens

Form, men ikke dens Størrelse, ogsaa findes ved Pendulrnaalinger, der ere lettere at anstille og navnlig have den Fordel fremfor Gradmaalingens rent geometriske Fremgangsmaade, at de ogsaa kunne udstrækkes til oceaniske Øer, hvorimod man endnu ikke har fnndet noget Middel til at udføre dem over selve Havet. Gradmaalingen kan derimod kun finde Sted over sammenhængende Landmasser og kystnære Øer. Da nu

---

1) Le Globe, organe de la soc. de Géogr. de Genéve. 1867.

1) Lacaille: Observations sur la mesure du 34^me degré de la latitude australe au Cap de bonne espérance. [Mém. Par. 1751].

2) Madear-. Verification and extension of Lacailles Arc of meridian at Cape of Good Hope. London 1.—11. 1886.

Landet kun udgjør c. 3/_u af Jordoverfladen, vil en Bestemmelse, der beror paa Gradmaaling, nødvendigvis blive daarligere end en, der beror paa Pendulmaalinger, naturligvis forudsat at man har et tilstrækkeligt Antal Maalinger.

Allerede forlængst er der, efter Newtons og Huygens Arbejder blevet foretaget Pendulmaalinger, men da man til at begynde med ikke havde nogen simpel Relation mellem Aplatissementet og Tyngdekraftens Tilvæxt mod Polerne, fik de tidligere Maalinger ingen Betydning. Først da Clairaut¹) (1743; egentlig allerede 1737) opstillede en saadan, fik man et nemt Middel til at bestemme a. Det Clairaut'ske Teorem udtrykkes ved følgende Formel:

mentet, <7₉₀ og y 0 Tyngdens Acceleratiozi henholdsvis ved Polen og ved Æquator og f'_o Centrifugalkraftens Størrelse ved Æquator. Ganske vist fremstiller det Clairautske Teorem ingen Naturlov, men en Tilnærmelse dertil. Helmert har vist, at man kan drive Tilnærmelsen saa vidt, man ønsker, men i saa Fakl bliver Formlen kompliceret.

Den første mere omfattende Pendulmaaling blev foretagen af Bouguer og Condamine i Peru; den blev i Løbet af Aarhundredet ført videre af andre, saaledes, at Laplace havde et ret betydeligt Materiale, da han ad den Vej bestemte a²). Senere er der blevet foretaget en Mængde Maalinger. Af disse synes det at fromgaa at g₀ -~ 9781 mm. og <7₉₀ --= 8932 mm. /'₀ kan sættes til c. 34 mm. Indsættes disse Værdier i ovenstaaende Formel, faas

Selv om der endnu langt fra foreligger et tilstrækkeligt Antal Maalinger, saa ere de dog tilstrækkelige til at forstærke Sandsynligheden for, at man i Sfæroiden har en god Tilnærmelse til Jordens virkelige Form. Alle Maalingerne vise, at Formen falder saa nær sammen med Sfæroiden, at Afvigelserne ere Brøkdele af Radius vector multipliceret med Kvadratet paa Aplatissementet. og at Jorden hverken er en 3-axet Ellipsoide eller frembyder kjendelig Forskjel mellem den nordlige og sydlige Halvkugle. Du tilstedeværende Afvigelser lade sig forklare ved Uregelmæssigheder i Fordelingen af Masserne i Jordskorpen. Endnu behøver man ikke at ty til en uregelmæssig Fordeling af Masserne i det Indre. Afvigelserne kunne enten være lokale eller kontinentale ('?). I første Tilfælde skyldes de den lokale Terrænform, at der ligger Masser i Jordskorpen af større eller mindre Tæthed end normalt. De formodede kontinentale Afvigelser fremkaldes af Modsætningen mellem Kontinenter og Have.

Tredje Periode: Geoiden.

Som omtalt, var man allerede før Bessels Tid kommet under Vejr med, at Jorden i det enkelte afveg fra Sfæroiden. Endog i det 18. Aarh. mente Lacaille at have paavist, at den sydlige Halvkugle ikke passede til den nordlige. For det meste tilskrev man Afvigelserne Observationernes Unøjagtighed, eller ogsaa antog man, at de vare af en ren lokal Oprindelse. Hvem der egentlig har Æren for først at have paavist, at Jorden ikke kan være nogen Sfæroide, er vanskeligt at sige, men det synes, som om Listing (1872) er den, der først skarpt har formuleret dette¹). Før den Tid havde dog Fischer²} (1868) vist, at man ikke kunde blive staaende ved Sfæroiden, og at det vilde være haabløst at bestemme Jordens Form og Størrelse ved et ringe Antal Maalinger.

Efter denne nye Opfattelse er Jorden et hydrostatisk Ligevægtslegeme; man kan betragte Jordskorpen som svømmende paa den letforskydelige Magma. Naar Jorden er en Ligevægtsfigur, kun paavirket af Tyngdekraften (Tiltrækningen mellem Massedelene) og Centrifugalkraften, kan den ikke være nogen Sfæroide. For at den skulde være det, maatto der ingen Ujævnheder være paa Jordens Overflade, og Masserne maatte være ensartet fordelte i Skorpen. Ingen af Delene finder Sted, og følgelig ville Vertikalerne afvige noget fra Sfæroidenormalerne. Den paa Vertikalerne vinkelrette Niveauflade, Geoiden, vil altsaa, naar man giver den samme Centrum og Polaraxe som Sfæroiden, afvige fra denne ved utallige større og mindre bølgeformede Forhøjninger og Fordybninger, uden at man dog nogensinde maa tænke sig Geoidens Krumning vendt indad (se Fig. 7).

Angaaende Størrelsen og Beliggenheden af Afvigelserne har der hersket forskjellige Anskuelser. Som det synes, er der større Afvigelser langs Parallelerne end langs Meridianerne. Oprindelig forestillede man

---

1) Clairaut: Investigationes aliquot, exquibus probatur, torrae figuram ad ellipsin accedere debere. [Phil. Tran^. 1737J — id.: Tliéorie de la figure de ia terre. Paris. 1743.

2) Laplace: Mécanique celeste. 11. p. 146.

1) Listing: Ueber misere jetzige Kenntniss der Gestalt und Grösse der Erde. Göttingen 1872.

2) Fischer: Untersuchungen iiber die Gestalt der Erde. Darmstadt. 1868.

sig Afvigelserne som ret betydelige: 1000 in. og derover, og samtidig antog man, at Havets Niveauflade hævede sig op over Sfæroiden over Land og sænkede sig under denne i Verdenshavene, idet man ganske jævnførte Kontinenterne med Bjærge og helt saa hort

fra Massefordelingen i det Indre. Geoiden vil altsaa gengive Kontinenternes Højder og Havenes Dybder i en meget formindsket Maalestok. Denne Anskuelse er dog atter for en Del opgiven₁). Nu antager man, at Afvigelserne ere forholdsvis smaa: 10 m. eller i det højeste nogle faa Dekametre, og ligeledes ere de fleste

komiic bort fra tie kontinentale Bwlger. idel det
synes, som der under Havet er ophobet større Masser
end under Kontinenterne. Navnlig har Pratt'2) stærkt
hævdet det, og senere har Andræ hældet til den samme
Anskuelse.

Bestemmelsen af Geoiden £>: dennes Afvigelse fra Referensellipsoiden er en meget omfattende og meget vanskelig Opgave, der endnu næppe er rigtig begyndt. Det bedste Middel, der staar til vor Raadighed, er at bestemme Lodafvigelsen o: Vinklen mellem Sfæroidenormalen og Vertikalen i saa mange Punkter som muligt. Denne Fremgangsmaade er af Helmert betegnet som et astronomisk Nivellement. Kjender man nemlig Lodafvigelsen saavel i Størrelse som i Retning, vil ogsaa Tyngderetningen være bestemt og dermed Retningen og Stigningen af den Flade, som normalt gjennemskærer alle disse Tyngderetninger ; denne Flade er en Niveauflade, og naar den tillige vælges i Havets Middelhøjde, vil den netop være Geoidefladen. Da vi i Virkeligheden ikke kjende Referensfladen (Sfæroiden), kunde det synes ørkesløst at prøve paa at bestemme Geoiden. Det viser sig imidlertid, at Valget af Referensellipsoiden (Sfæroiden) ikke faar nogen Indflydelse

Perpendikulærplanet. Lodafvigelsen i Meridianpianot findes som Forskjellen mellem den beregnede sfæroidiske og den observerede astronomiske Brede. Lad os sætte, at vi have to Punkter A og B paa samme Meridian omtrent under 51° N., og at vi ved de geodætiske Operationer have fundet, at deres Afstand var 58682 m. T Buemaal lindes Afstandene af —-^- = -^—, ,r = 1899" = 31/39", hvilket altsaa er den beregnede sfæroidiske Bredeforskjel. Findes den astronomiske Bredeforskjel at være 81'2G", saa er der en Lodafvigelse paa lo", \iden at man dog ved noget om, hvorledes denne fordeler sig paa de to Punkter. Havde man ved tidligere Bestemmelser fundet, at der i Punktet A ingen Lodafvigelse var, maatte hele Lodafvigelsen falde paa B.

Saa simpelt som her ville Forholdene i Reglen ikke være; der vil naturligvis ogsaa i Reglen være en Afvigelse til Siden for Meridianen. Denne den perpendikulære Del af Lodafvigelsen kan bestemmes ganske paa tilsvarende Maade som Mericlianafvigelsen. nemlig som Forskjellen mellem den beregnede sfæroidiske Længdeforskjel og den observerede astronomiske. Kjeu

paa Lodafvigelsernes
Karakter, men
den. vældes aabenbartaben-
i'ordelagtigst
saaledes. at Forhojningerne
ug
Fordybningerne
æquivalere liinanden
(altsaa saaludes.
at Sfæroiden
har sanune Rumfang
som Geoidea)
ug saaleues, ai
Lodafvigelserne
blive et Minimum.
Direkte kan
man ikke bestemme
Lodafvigelsens
Størrelse og Retning,
men derimod
kan man bestemme
dens Projektioners
Størrelse
paa to paa
hinanden vinkelrette
Planer, Meridianplanet
og

---

1) i geografiske Lærebøger opretholdes dog fremdeles denne ligesom man ogsaa undertiden sammenligner Jorden med en Kartoffel; det gaar dog ikke an.

2) Pratt: On the deflection of the plumb-line in India, caused by the attraction of the Himalaya mountains. [Phil. Trans. CXLX, CXLIX. CLXIj.

der man den perpendikulære Del af Lodafvigelsen i A,
ved man altsaa nu, hvor stor den er i B.

Af disse to Lodafvigelser ka : man beregne den sande Lodafvigelses Størrelse og Retning, og dermed er den Vinkel bestemt, under hvilken Geoidefladen hæver sig op over eller sænker sig ned under Sfæroidefladen.

Antallet af Bestemmelser af Lodafvigelser voxer stadig stærkt, men er naturligvis endnu langt fra tilstrækkeligt til en blot nogenlunde god Bestemmelse af Jordens Form og Størrelse. For at dette kan være muligt, udkræves et temmelig tæt Næt af Lodafvigelser. Da Bredebestemmelserne lade sig udføre ret hurtigt, föreslåar Helmert¹) at udføre saa mange af disse som muligt langs Meridianerne og af Længde- og Asimutbestemmelser kun saa mange, som ere nødvendige for at sikre Forbindelsen mellem Meridianprofilerne.

Da Geoiden ikke er noget matematisk Legeme, er det unyttigt at forsøge paa at fremstille dens Ligning, thi selv om vi formaaede at beregne de 3 Koordinater for et hvert Punkt af Geoiden, maatte man dog have en matematisk Flade at henføre den til for at kunne anskueliggjøre os dens Forløb.

Geoiden kan fremstilles ganske efter samme Princip som det, hvorved Terrænet fremstilles paa topografiske Kort, nemlig ved æquidistante Horisontalkurver. Dette er man i Stand til at gjøre, naar man kjender Geoidefladens Heldning med Sfæroidefladen, og denne kan, som vi have set, bestemmes. Æren for først at have udtænkt og delvis gjennemført denne Metode tilfalder Andra), idet han har fremstillet Geoiden for Har/egnens Vedkommende, hvor der da allerede forelaa et betydeligt Antal Lodafvigelser. (Se den danske Graclmaaling 4. Bind Note III: Geoiden for Egnen om Harzen og Thiiringerwald).

Følgende Arbejder, der flere Steder ere benyttede,
ved den egentlige geodætiske Fremstilling, ere ikke citerede
paa hvert enkelt Sted:

Andr«>: Den dansko Gradmaaling. 1.—IV. 1867—84.

Httlnwt: Die mathematischen und physikalischen Theoriou
der holieren Geodæsi. 1., 1881; IL, 1884.

Sand: Gradmaaling. [Vor Kultur]. Manuskript.

Zachariae: De geodætiske Hovedpunkter og deres Koordinator. 1876. ib.: Bemærkninger om Gradmaaling, og dens Formnal og Opgaver. [Oversigt: Vid. Selsk. Forhandl. 1894. p. IJ.

---

1) Verh. d. XI. allg. Konf. in Berlin. Berlin, 1896. 11. p. 191.